数形结合参考论文
数学解题中数形结合作用论文
数学解题中数形结合作用论文一、研究数形结合思想的必要性所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
初中数学教学数形结合思想论文
初中数学教学数形结合思想论文摘要：数和形是初中数学内容的两大板块和两条主线。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
数形结合思想主要指借助数形对应转化进而解决实际问题，倘若我们令数量关系借助图形性质便可令较多抽象关系、概念变得更为形象与直观，十分有利于探求合理的解题途径，即所谓的以形助数，而倘若一些图形问题能合理的借助数量关系转化又可获取一般化简捷的解题方式，即以数解形。
由此可见数形结合理念的实质就是有效将直观图形与数学语言结合，令形象思维与抽象思维融合，通过数形转化、图形认识培养学生的形象性与灵活性思维，进而令复杂数学问题趋向简单、抽象问题趋向具体。
可以说数形结合是初中数学教学最为基本的价值化思想之一，在教学实践中应用广泛，是合理解决多类数学问题的重要思维。
一、数形结合方法及主要类型所谓数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来的一种思想，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到优化解题的目的。
数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：（1）建立适当的代数模型（主要是方程、不等式或函数模型），（2）建立几何模型（或函数图象）解决有关方程和函数的问题。
（3）与函数有关的代数、几何综合性问题。
（4）以图象形式呈现信息的应用性等问题。
在初中学数学的解题中，数形结合方法主要有三种类型：（1）以“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，（2）以“形”变“数”，通过图像找出与数的对应关系。
（3）“数”“形”结合，利用数画出图，利用图找出与数的对应关系。
数形结合毕业论文
数形结合思想在解题中的应用摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。
把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。
关键词：数形结合解题应用数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。
应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。
下面，我将从3个方面来说明数形结合思想在解题中的应用(一)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。
分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。
如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。
图1例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下：① 40个学生每人都至少解出一道题②在没有解出第一道题的学生中，图2解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍③仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个④ 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析 本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.解答 设集合A ={解出第一道题的学生数}，集合B ={解出第二道题的学生数}，集合C ={解出第三道题的学生数}，如图2，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+=+=++++++cb a g e d a fc f b g f ed c b a 1)(240 解之得a =11，b =10，c =1，d+e+g =10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。
妙用“数形结合”提升思维能力 论文
妙用“数形结合”提升思维能力摘要：“敷”和“脑”是数学教学中两个最范本的研究对象,有着初为紧密的联系，在一定条件下可以相互转化.通过数和彩的转化能够让复杂问题简单化，抽象问飕形象化。
通过数学学科所要学习的内容来看，数量关系的相互转化无疑是理点，然而通过一些困舫将这些具有抽象性的数量关系进行转变，将其以更加互现的形式展现在学生而前，学生势必会对好地理解这些教量关系，进而在计算和分析的过程中也会变存更加细致入微。
有鉴于此，本文在对数形蟀合概念及必要性进行分析基础上,提出了基于小学生"致形结合”思维培养的教学教邨术∙养有效构成的系略。
关健四：小学生：敦杉结合：关维能力引言为了实现这一目的，小学一线数学老师也做了很多尝试,数形结合就是i种实操性强的方式，为了更好地实现这一目的就需要数学教师结合自身的教学实践经验,对数形结合的方法进行重点研究，以此来实现学生数学思维的有效培养。
对学生的思维能力进行培养能够有效带动学生学习效果的提升。
一、数形结合及其K要性分析有关数形结合的思想主要包含两个方面的内容:一是借形助数,用代数构建形状,让代数知识史形象,加深学生对数学知识的理解和把握；二是由数思形.以形状为教体寻找和代数存在的关系，然后以代数为基础对形状进行构思，以进而对图形问题进行解决。
这•方式就是在明确形状和代数关系基础上来解决问题。
因此借助数形结合的方式可以让学生参与数学学习的热情更高.在实现教学效果提升方面发挥着非常重要的价值。
因此，数形结合也是•种重要的数学理念,对于优化思维模式方面发挥了很大的价值。
（一）培养学生数学思维能力的关键相较于传统教学模式,借助数形结合的方式,能够让学生更全面掌握数学知识,尤其是对!区难点知识的学习，数形结合的方式更能促进学生学习效果的提升。
当小学生的数形结合意识得到有效改善后,可以让学生快速解决遇到的数学问题，有助于更好地提升学生的数学成绩。
(二)促进小学数学教学改革的有效途径在数形结合教学模式指引下,可以让小学生的思维能力得到有效锻炼,带动他们核心素养的改善0另一方面，教和通过在课堂上引导学生利用数形结合的理念指导学生的数学学习活动,可以让学生高效的解题技巧.二、小学数学教学中存在的问题(一)数学教学模式传统化,创新力不足结合我国教育实际可知，目前教育者的教育理念、教育方法和原则受传统教学模式的影响比较大,其教学方法大部分都是做题,背口诀,在考试和应用的时候,将得好的句里进行嵌套就可以。
数形结合毕业论文
数形结合毕业论文数形结合毕业论文在数学和几何学领域中，数形结合是一种强大的方法，它将数学和几何学的概念相结合，以解决各种问题。
本文将探讨数形结合在毕业论文中的应用，并介绍一些相关的案例研究。
第一部分：数形结合的概念和原理数形结合是指将数学中的抽象概念与几何学中的图形相结合，以帮助解决问题。
通过将数学问题可视化为几何图形，我们能够更直观地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
数形结合的原理是将数学中的符号和公式转化为几何图形，以便更好地理解和分析。
第二部分：数形结合在毕业论文中的应用数形结合在毕业论文中有广泛的应用。
它可以用于解决各种数学和几何学问题，并提供更深入的分析和解释。
以下是一些数形结合在毕业论文中的应用案例：1. 几何图形的分析：通过将几何图形转化为数学符号和公式，我们可以更好地分析几何图形的性质和特征。
例如，在研究三角形的性质时，我们可以使用角度和边长的关系来推导出一些重要的结论。
2. 数据可视化：数形结合还可以用于将数据可视化为几何图形，以便更好地理解和分析数据。
例如，在统计学中，我们可以使用柱状图或折线图来表示数据的分布和趋势。
3. 几何模型的建立：数形结合可以帮助我们建立几何模型，以解决实际问题。
例如，在工程学中，我们可以使用几何模型来分析和设计建筑结构或机械装置。
第三部分：数形结合的案例研究以下是一些关于数形结合的案例研究，展示了它在毕业论文中的应用：1. 数学建模：一个学生在毕业论文中使用数形结合的方法建立了一个数学模型，以解决城市交通流量的问题。
通过将交通流量转化为几何图形，该学生能够更好地分析和预测交通拥堵的情况，并提出了一些改进交通流量的建议。
2. 几何优化：另一个学生在毕业论文中使用数形结合的方法，优化了一个建筑结构的设计。
通过将建筑结构转化为几何图形，并使用数学公式和算法进行分析，该学生能够找到最优的结构设计，以提高建筑的稳定性和效率。
3. 数据分析：还有一个学生在毕业论文中使用数形结合的方法，分析了一组市场数据。
数形结合思想数学论文1400字_数形结合思想数学毕业论文范文模板
数形结合思想数学论文1400字_数形结合思想数学毕业论文范文模板数形结合思想数学论文1400字(一)：小学数学数形结合教学思想论文一、数形结合教学思想在小学数学教学中的运用数形结合作为一种教学思想方法，一般包含两方面内容，一个方面是“以形助数”，另一个方面的内容是“以数解形”。
下面介绍这两个方面的内容在小学数学教学中的运用。
（一）以形助数所谓“以形助数”，是指老师在讲解某些数学知识的时候，仅靠数字讲解学生不太能理解，借助几何图形的特点，将所要讲的知识点更直观地展现在学生面前，从而将抽象化的问题转变为具体化的问题。
学生在学习行程问题的应用题时，可以运用图形的办法清晰地展现问题。
如：一辆汽车从甲地开往乙地，先是经过上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽车上坡速度是每小时20千米，在平地的速度是每小时30千米，而下坡的速度则是每小时40千米，汽车从甲地到乙地一共上坡花了6小时，平地花了2小时，下坡花了4小时。
请问汽车从乙地到甲地需要多长时间？在这道题中，既存在变量，又存在不变量。
变量就是上坡路和下坡路随着汽车行驶的方向而发生改变，当汽车从乙地到甲地行驶时，原先的上坡路变成了下坡路，原先的斜坡路变成了上坡路。
而不变量就是这两个路程汽车行驶的速度都是始终不变的。
那么在解决问题的时候，就可以直观地展现出来。
先算出汽车从乙地到甲地的上坡时间，即（40×4）÷20=8（小时），然后算出下坡所花费的时间，即（20×6）÷40=3（小时），而平地所花费的时间是不变的，所以汽车从乙地到甲地所花费的时间是8+3+2=13（小时）。
在这道题中，运用图像将数学中的数量关系、运算都直观地展现出来，学生比较易于理解，这样的教学可以在很大程度上提高教学效率。
（二）以数解形虽然图形可以更加直观地展现数学中的数量关系，但是对于一些几何图形，特别是小学数学中的几何图形来讲，非常简单，如果仅仅是通过直接观察反而看不出规律，这时就可以运用“以数解形”的方式教学。
小学数学数形结合论文
小学数学数形结合论文浅析小学数学课堂中数形结合思想的运用一、数形结合思想的由来。
华罗庚先生在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中首次提出“数形结合”思想，强调数与形的对应关系和相互转化，以几何与代数统一为核心。
数形结合思想能将抽象的数学问题直观化，使复杂问题简明化，有助于抽象思维与形象思维的协调发展。
小学中的数形结合思想主要借助实物和直观性活动，如摆、数、画等，使抽象的数与现实生活相联系，培养学生的数学思维和感知能力，为未来的数学学习打下基础。
二、小学教学中运用数形结合思想的必要性。
在小学课堂中用好数形结合思想，对于老师教学和学生成长都大有裨益。
（一）对于教师而言。
“双减”背景下，教师应遵循科学原则布置作业，特别是对于小学一、二年级的学生，不应布置书面作业。
这一政策的实施对传统教学模式产生了深远影响，促使教师们积极转变观念，重新审视并调整自己的教育实践。
基于小学低年级学生的认知特点，数学教师需更深入地解读教材，有效融入数形结合等数学思想，以激发低年级学生的数学兴趣，努力提升课堂教学质量，为国家教育改革做贡献。
（二）对于学生而言。
数形结合思想在小学数学低年级教学中的应用，可以有助于学生获得“四能”，即从生活中发现并提出数学问题、分析并解决问题。
数形结合思想增强了学生学习数学的主动性和自觉性，丰富了学生对于数学意义的理解，对于培养小学生数学素养和创新能力有很大的帮助。
三、如何在课堂上用好数形结合的思想。
下面通过一些教学案例，具体阐释如何把数形结合思想融入小学课堂当中。
在小学数学中，数形结合思想的具体运用主要有“以形助数”和“以数解形”两类。
“以形助数”是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系。
例如可以借助形来认识数、掌握加减法、掌握乘除法并解决数学问题。
在理解乘法的意义时，教师可以先提问几？然后展示一张有3排，每排5张桌子的图片，引导学生理解其中的联系。
“以数解形”是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性。
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浅谈数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
关键词：数形结合思想以形助数以数解形“数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。
数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。
即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。
一、解决实数问题数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。
因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。
例1：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。
解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a|∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。
|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c 。
利用数轴的直观性，结合实数绝对值的几何意义，结果易得，体现数形结合在解题中的直观与简明。
此外不等式的解集也很好地反映了数形结合思想。
如求不等式 812≥+x 的非正整数解。
利用数轴将不等式的解集4-≥x 在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到4-≥x 的数有无限多个，但满足条件的非正整数只有-4、-3、-2、-1、0五个，说明数形结合更能深刻地反映不等式解集的几何意义。
例2：求和：S =2561161814121+++++ 引导学生观察所求式子，发现后一项均为前一项的21，而21又正好是1的一半，由此想到构造一个面积为1的正方形，再将其不断地等分……如图所示，从而得到S=1－2561=256255 二、解决应用题问题例3、甲、乙两地相距23千米，A 从甲地到乙地，在乙地停留20分钟后，又从乙地回到甲地；B 从乙地到甲地，在甲地停留30分钟后，又从甲地返回到乙地，若A 、B 同时从甲、乙两地出发，经过5小时后，在他们各自返回的路上相遇，如果A 的速度比B 的速度快3千米/小时，求两人的速度。
分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，将数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。
A 、B 所走的路程可用下图表示：从图中可清楚地看到，A 、B 两人从出发到最后相遇正好共走完了甲、乙两地间距离的3倍，即等量关系为：A 走的路程 + B 走的路程 =23×3。
如果设B 每小时走x 千米，则A 每小时走3x +千米，由于两人途中都停留了一段时间，A 实际走)315(-小时，B 实际走)215(-小时，由此就不难列出方程：323)215()315)(3(⨯=-+-+x x ， c b 0 a x •••1161814121得出)/(6小时千米=x ，)/(93小时千米=+x由此可见，数与形的有机结合，确实能为解题带来方便，它能使抽象的问题形象化、直观化，复杂的问题简单化，两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径，是一种有效的解题策略。
三、解决不等式问题例4 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a此题通过化简不等式左边也可得证，但比较繁杂，可引导学生试用简便些的方法去求解，观察所给代数式的结构，含有明显的几何意义，若能结合不等式左边式子的特点，将数的形式与形的特征联系起来构想，你会发现其形式与勾股定理相吻合，从而想到构造直角三角形，利用“形”的特点来帮助解决“数”的问题。
分析：求证的不等式左边的每一项都可以视为一个直角三角形的斜边，所证的四个二次根式之和大于等于22，可以看作分成两组线段之和不小于2即可，而2可以由边长为1 的正方形的对角线作出来。
证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=a ；在AD 上取点G ，使AG=b ，过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。
设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.由题设及作图知△AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此 22b a OA +=22)1(b a OB +-=22)1()1(b a OC -+-=22)1(b a OD -+= 且2==BD AC由于 BD OD OB AC OC OA ≥+≥+, 所以：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a当且仅当21==b a 时，等号成立。
此题充分挖掘了数形结合的巧妙构想，发挥了逻辑思维和形象思维的互助功能，这种数形结合思维的训练可以开阔学生的思路，打破常规的思维定势，培养学生细心观察、大胆猜想，善于横纵向思考问题的综合解题能力。
四、解决函数问题“函数及其图象”是初中数学的一个重要内容，同时也是一个难点内容，有关函数的问题让许多学生感到畏惧。
其实函数与方程、不等式之间有着非常密切的联系，在解题时要善于将它们“牵手”，将它们的“形”与对应的“数”结合起来，往往会使很多棘手问题迎刃而解，且解法简捷、独特。
例5、已知一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 是常数，k ≠0)，x 与y 的部分对应值如下表所示，那么不等式kx ＋b ＜0的解集是( )A 、x ＜0B 、x ＞0C 、x ＜1D 、x ＞1分析：从表中选取两对对应值x ＝0，y ＝1；x ＝1，y ＝0作为点的坐标，在平面直角坐标系内画出y ＝kx ＋b 的图象，不等式kx ＋b＜0的解集就是直线y ＝kx ＋b 在x 轴下方部分所对应的自变量x 的取值，由图可知，当y ＜0时，x 的取值为x ＞1，所以不等式kx ＋b ＜0的解集为x ＞1，故选D 。
解此题的关键是将它们对应的形与数结合起来，从形的角度看，是求直线在x 轴下方所对应的自变量的取值范围，从数的角度看，是求不等式的解集。
例6、若关于x 的不等式1202≤++≤mx x 的解集仅有一个元素，求m 的值。
解：如图：在同一坐标系内，作出1=y 与22++=mx x y 的图象。
题设条件等价于抛物线22++=mx x y 在直线0=y 与1=y 之间的带状区域仅有一个交点，且抛物线开口向上。
由图形的直观性质可知：这个交点只能在直线1=y 上，故方程组⎩⎨⎧++==212mx x y y 仅有一组解。
0142=⨯-=∆∴m 即2±=m .小结：对于含参方程（不等式），可将其与对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。
此解法利用函数图象的直观性，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，化难为易，充分体现了数形结合解题的有效性。
以上两例是有关函数与不等式、方程的问题，解这类题时要善于将问题中的数与形结合起来进行思考，将抽象思维与形象思维融合在一起，通过“以形助数”“以数解形”的思想策略，揭示出隐含在其内部的几何背景，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体、直观化，从而有效地找到解题途径，达到优化解题的目的，同时也能开阔和发展学生的思维。
五、解决最值问题例7、已知a 、b 均为正数，且2=+b a 求1422+++b a 的最小值。
解：如图，作线段AB=2，在AB 上截取AE=a ，EB=b ，过A 作AC ⊥AB ，且AC=2，过B 作BD ⊥AB ，且BD=1。
由勾股定理：CE=42+a ，BD=12+b ，原题即求CE+ED 的最小值。
又如图，延长CA 至G,使AG=AC ，连接GE ，由三角形两边之和大于第三边，则G 、E 、D 三点共线时，GE+ED=DG 最短。
作出图形，延长DB 至F ，使BF//AG 且BF=AG ，连接GF. 则在Rt △DGF 中，DF=1+2=3，GF=AB=2 13232222=+=+=∴GF DF DG∴CE+DE 的最小值是13 即1422+++b a 的最小值是13小结：此题由式子特点联想勾股定理，构造图形解决问题。
六、解决三角函数问题 在解有关三角函数的问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且A B C D E F Ga b22122能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
例8、如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的高。
试证：BE AC CF AB +≥+证法一：（三角法）因为10≤≤SinA ，SinA AC AB AC AB ⋅-≥-)(SinA AB AC SinA AC AB ⋅+≥⋅+∴)90(时取等号当 =∠+≥+∴A BE AC CF AB证法二：（代数法）由AB ＞AC ＞CF ，AB ＞BE及1122ABC S AB CF AC BE ∆=⋅=⋅ CF CF AC BE BE AB CF AC BE AB -=-=∴:变形得 CF AC BE AB ->∴-BE AC CF AB +>+∴时当 90=∠A ,BE AC CF AB +=+∴.综上：BE AC CF AB +≥+∴小结：以上两种证明方法，分别采用了三角法与代数法，较之纯几何证法来，易于想到。
七、解决空间与图形问题 新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。
我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。
教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。