任意角的三角函数2
任意角的三角函数⑵
1.任意角的三角函数的(代数表示)-----定义 设 为任意角, p ( x , y )是 终边与单位圆的交点。
y
P (x, y) 正弦： sin
1 余割： csc y
o
x
1 余弦： cos x 正割： sec x 正切： tan y 余切： cot x
y o x
α在第二象限如何？其它象限如何？
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
cos x OM
MP AT tan AT OM OA
1.设的终边与单位圆交于点P(x,y),
2.过点P作x轴的垂线，垂足为M
0
k Z
转化为求00 到3600 角的三角函数值。 可把求任意角的三角函数值，
练习：1.求值 9 1) cos 4
2) sin1470
19 4) sin( 1050 ) 5) tan 3
11 3) tan( ) 6 31 6) tan( ) 4
五.任意角的三角函数的 (几何表示)----三角函数线
y x y tan cos sin x r r
2.若角
3.角
求
的终边上一点P的坐标为 4a, 3a a 0
2sin cos 的值；
3 8 的终边过点P a， cos 则 a ______ 5
，
4.角的终边在直线3 x 4 y 0上, 求2sin cos
y T P(x,y)
sin y MP
o M A(1,0) x
高考数学任意角的三角函数(2)—三角函数的定义教案 苏教版 教案
-+-++--+--++y xxy y xOO O任意角的三角函数（2）——三角函数的定义一、课前检测1.设集合M ＝{α|α＝kπ2－π3，k∈Z }，N ＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________.解析：由－π<kπ2－π3<π得－43<k<83，∵k∈Z ，∴k＝－1,0,1,2，故M∩N＝{－56π，－π3，π6，23π}．答案：{－56π，－π3，π6，23π}2.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为( )A.π3B.2π3 C. 3 D ．2 解析：选C.二、知识梳理1.1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：xyx y ===αααtan ,cos ,sin . 2)设点()00,y x A 为角α终边上任意一点，那么：（设2020y x r +=）r y 0sin =α，rx0cos =α，00tan x y =α.(解读：特殊与一般的关系)2.αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号（一全二正弦，三切四余弦,简记为“全s t c ”）3.三角函数线（单位圆中）正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.4.三角函数的定义域三角函数定义域 x y sin =R x y cos = Rx y tan =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ5. 特殊角的三角函数值α的角度︒0 ︒30 ︒45 ︒60 ︒90 ︒120 ︒135 ︒150 ︒180 ︒270 ︒360α的弧度6π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π23π π2αsin0 21 22 23 1 23 22 21 0 1- 0 αcos123 22 2121- 22- 23- 1- 01TMA OPxy(3) 若 o<x<2,则sinx<x<tanx(2)(1)|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx||cosx|>|sinx||sinx|>|cosx|sinx>cosxcosx>sinx16. 几个重要结论:OOxyxyαtan33 1 3 — 3- 1-33- 0 — 06.诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等。
数学百大经典例题——任意角的三角函数(2)(新课标)
例1已知角α的终边上一点P(-15α，8α)(α∈R，且α≠0)，求α的各三角函数值．
分析根据三角函数定义来解
A．1 B．0
C．2 D．—2
例3若sin2α＞0，且cosα＜0，试确定α所在的象限．
分析用不等式表示出α，进而求解．
解∵sin2α＞0，∴2α在第一或第二象限，即2kπ＜2α＜2kπ+π，k ∈Z）
当k为偶数时，设k=2m（m∈Z)，有当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)有
∴α为第一或第三象限的角
又由cosα＜0可知α在第二或第四象限．综上所述,α在第三象限．
义域为{x|x∈R且x≠kπ，k∈Z｝
∴函数y=tgx+ctgx的定义域是
说明本例进一步巩固终边落在坐标轴上角的集合及各三角函数值在每一象限的符号，三角函数的定义域．
例5计算
(1）a2sin(—1350°）+b2tg405°-(a—b）2ctg765°-2abcos（—1080°）
分析利用公式1,将任意角的三角函数化为0～2π间（或0°～360°间)的三角函数，进而求值．
解（1)原式=a2sin（-4×360°+90°）+b2tg（360°+45°)-（a—b）2ctg（2×360°+45°）—2abcos(-3×360°)
=a2sin90°+b2tg45°—(a—b)2ctg45°—2abcos0°
=a2+b2-（a-b)2—2ab
=0。
任意角的三角函数2
1 第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数（2）学习目的：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
学习重点：正弦、余弦、正切线的概念。
学习难点：正弦、余弦、正切线的利用。
课堂探究：一、复习引入：1．三角函数的定义及定义域、值域：练习1已知角α的终边上一点()P m，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。
解：由题设知x =y m =，所以2222||(r O P m ==+，得r =从而sin 4α=m r ==，解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x ==cos 1,tan 0x yxαα==-==；当m =r x==，cos ,tan 4x y xαα==-==-；当m=r x ==，cos ,tan 43x y r x αα==-==．2．三角函数的符号：练习2：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号。
3．诱导公式：练习3：求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6π-， （3）9sin 2π．二、讲解新课：当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向2 延长线交与点T .当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MPy ==，于是有sin 1y y y M P r α====，c o s 1x x x O M r α====，tan y M P A TA T x O MO Aα====．我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
任意角的三角函数(2)
任意角的三角函数〔2〕一、选择题1．以下等式中成立的是A ．sin(336020)sin 20⨯︒-︒=︒B ．cos(3)cos 44πππ+= C ．2519cos cos()66ππ=- D ．sin370sin(350)︒=-︒ 2．假设θ是第二象限角，那么 A ．sin 02θ> B ．cos 2θ C ．tan 02θ> D ．cot 02θ<3．设23935tan(),cos ,sin()446b c πππα=-==-，那么 A ．b a c >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．a c b >>4．在ABC ∆中，,,A B C 满足cos cos cos 0A B C >，那么此三角形的形状是A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形二、填空题5．tan1000cos1500sin 2000︒︒︒的符号为 。
6．假设sin(2)13x π-=，那么x = 。
7．设θ是第四象限角，且|cos|cos 22θθ=-，那么2θ的取值范围是 。
8．当3(2,2),4x k k k Z ππππ∈++∈时，sin cos x x +的符号为 。
三、解答题9．求值： 〔1〕sin(1740)cos1470cos(660)sin750-︒︒+-︒︒；〔2〕22251172sintan ()cot()434πππ+--。
10．角α的终边经过点(410,32)a a -+，且cos 0,sin 0αα≤>，求实数α的取值范围。
11．sin 20α<，试化简sin |cos |tan |cot ||sin |cos |tan |cot αααααααα+++。
参考答案一、选择题1．D2．C3．B4．A二、填空题5．正6．5,12k k Z ππ+∈ 7．3(2,2),4k k k Z ππππ++∈ 8．负三、解答题9．〔1〕1 〔2〕4 10．25(,]32-11．2- 。
三角函数任意角2
第一章三角函数1.1.1任意角（2）学习目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
学习重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义学习难点：“旋转”定义角课堂探究：一、复习回顾任意角的概念，角可以分为正角、负角和零角；象限角的概念及所有与α角终边相同的角的集合的表示法S={β|β=α+k×3600，k∈Z}.我们将进一步学习并运用任意角的概念，解决一些简单问题。
二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是600+（-1）×3600=-3000 600+0×3600=600 600+1×3600=4200.（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是-210+0×3600=-210 -210+1×3600=3390 -210+2×3600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是363014，+（-2）×3600=-356046，363014，+（-1）×3600=3014，363014，+0×3600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
任意角的三角函数 第2课时教案
第2课时任意角的三角函数（二）【教学目标】1、知识目标（1）理解有向线段。
（2）理解单位圆中三角函数线，会画某角的正弦线、余弦线、正切线。
2．能力目标掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
3、情感目标通过对三角函数线的学习，进一步理解、体会数形结合的思想在数学中的应用。
【重点难点】1、重点理解单位圆中的三角函数线。
2、难点正切线。
案例（一）教学过程案例（二）教学过程1、观察投影片图1.2-7，角的正弦、余弦值能否用线段来表示？ 学生——探究图 1.2-7中（Ⅰ）~（Ⅳ），不难得到（可能有分情况给出的，形式不同）：.cos ,sin OM x MP y ====αα教师——提问，了解情况，认可上述结论。
2、为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段OM 、MP 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？教师——请同学们想一下，直角坐标系内的坐标的正负与谁的方向有关？学生——点的坐标与坐标轴的方向有关。
在坐标轴正方向上的为正，负方向上的为负。
教师——根据前面得出的关系如,sin MP y ==α如何规定线段的方向才能将绝对值符号同时拿掉？呈MP y ==αsin 形式？如果实现了这种形式，我们说就给了三角函数的正弦值以几何表示。
学生——观察、思考、回答。
(应该以坐标轴的方向来规定线段的方向。
) 当角α的终边不在坐标轴上时，以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正方向，且有正值x ，当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有负值x 。
其中x 为P 点的横坐标。
这样同，无论哪一种情况都有：αcos ==x OM 。
同理，当角α的终边不在坐标轴上时，以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正方向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负方向，且有负值y 。
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
1.2.1 任意角的三角函数(2)
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线 .
（1）
3
；
（2）
2
3
.
解：
y
的终边
T3
y
T
P
O M A(1, 0) x
M
O A(1, 0) x
2 的终边 P
3
（1）
3
正弦线是
MP，
（2）
2
3
正弦线是 MP，
余弦线是 OM，
余弦线是 OM，
正切线是 AT .
正切线是 AT .
例2. 求证：当 为锐角时，sin tan ．
3 ，y），且sin
2 4
y，
求cos、tan 的值。
解：由已知得 r （ 3）2 y2 3 y2
sin y y ，又 sin 2 y
r 3 y2
4
y 3 y2
2y 4
即
y 0或
3 y2 2 2
解得 y 0 或 y 5.
(1) 当 y 0时，P（ 3 ，0），r 3 ,
作 业：
1. 教材 P22 习题4.3 1 ~ 2 2. 步步高：P9~12
高活页：§4.3 任意角的三角函数第一课时
练习1：若角α的终边落在射线 y 3x (x 0) 上，
求 sin ，cos ，tan .
解：在 射线 y 3x (x 0) 上取一点 P(1，3)，
则 r 12 32 10 ，
α的终边
y
P
y
T α的终边 P
MO
A(1, 0) x
T
O M A(1, 0) x
y
y
T
α的终边
M O
P
A(1, 0) x