刚体和流体
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
刚体转动和流体运动知识点总结
刚体转动和流体运动知识点总结一、知识概述《刚体转动和流体运动》①基本定义：- 刚体转动呢，简单说就是一个形状不会变的东西（刚体）在那打转儿。
比如说，咱们玩的陀螺，在转起来的时候就是刚体转动。
它上面各个点之间的距离在转动过程中始终保持不变。
- 流体运动就不同啦。
像水、空气这样的流体，四处流来流去的情况就是流体运动。
你看水龙头里流出的水，它没有一个固定的形状，能随意流动改变形状，这就是流体在做运动。
②重要程度：- 在物理学里可太重要了。
对于刚体转动，很多机械设备的运转都离不开它，像汽车轮子的转动啊。
涉及到能量传递、结构稳定性这些问题。
在天体物理里面，星球的自转也是刚体转动范畴。
流体运动呢，气象学得研究它吧，大气的流动造就气象万千的天儿，水利工程也得研究，水怎么在管道、河道里流啊，都关系到实际工程问题。
③前置知识：- 刚体转动至少得了解基本的力学概念，像力、力矩这些。
要是没一点力的概念，你都不知道让刚体转动的外力或者力矩是咋回事。
对于流体运动，比较基础的是密度、压强的概念。
打个比方，要是不知道水的密度，和它在深浅不同地方压强不同的事儿，就很难理解它怎么流动的。
④应用价值：- 在汽车工业里面，知道刚体转动的原理就能设计出更有效更稳定的传动结构。
像变速器这些，让车开起来又顺又稳。
流体运动高端的像航空航天领域，要研究飞机周围空气怎么流的，才能设计出好的机翼。
普通点的像家里的暖气管道，明白流体运动让工程师能设计好管道走向，让每个房间都热乎。
二、知识体系①知识图谱：- 在物理学科里，刚体转动和固体力学等联系紧密，像材料受力分析那些。
流体运动呢，是流体力学里的关键内容，这和热学有时还有关联，像气体流动时候温度的变化情况。
②关联知识：- 刚体转动和力矩平衡等知识有关联，如果想知道一个刚体为啥稳定地转动，就得看看力矩是不是平衡的。
流体运动和伯努利原理联系很多，像飞机为啥能飞起来，就和流体运动以及伯努利原理有很大关系。
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第五章刚体与流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在§1-3 中我们曾经把角速度的大小定义为
ω=dq /dt
（5-1）
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
的 标亦运实像
坐 来会动并转
标 标非称不动
。 示常为固中
例 天缓岁定的
如 体慢差。陀
公 的地。而螺
元 位移所是一
26000 2000 0
平动和转动是刚体运动的最基本的形式。
刚体和流体
第五章刚体和流体
一般的运动可以分解为平动和转动的叠加。
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在刚体运动过程中，如果刚体上的任意一条直线始终保持 平行，这种运动就称为平动（translation）。根据这个定义 可以得出，既然刚体上的任意一条直线在刚体平动过程中 始终保持平行，那么直线上所有的点应有完全相同的位移、 速度和加速度。又因为这条直线是任意的，故可断定，在 平动过程中， 刚体上所有的点的运动是完全相同的，它们 具有相同的位移、速度和加速度。既然如此， 我们就可以
我们可以约定，以下所提及的外力都认为是处于转动平 面内的。
刚体和流体
第五章刚体和流体
假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是F1、 F2、…、Fn，让我们先考虑其中的Fi 对刚体的作用。如 图5-6所示。 外力Fi作用于刚体上的点P。 过点P作垂直 于z轴的平面，交z轴于点O。 显然这个平面就是刚体的 一个转动平面。在此平面内， 点P相对于点O的位置矢 量为ri ， ri 与Fi的夹角为fi。在dt时间内，刚体转过了 dq角。与此相对应，点P的位移为dri 。在此过程中。 外力Fi所作的元功为
刚体和流体
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR
m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
第3章刚体和流体详解
第3章 刚体和流体3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（βωθ∆,,）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（a r,,υ∆）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。
3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化?答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。
（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。
3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。
(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗?答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒=ωJ 常量） （2）由221ωJ E k =知，转动动能增加一倍。
3.4 什么是流体?流体为什么会流动?答：具有流动性的物体叫流体。
流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中的各分子可以自由运动。
3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性t s t s ∆=∆2211υυ）。
伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。
在推导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。
3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小?答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。
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(2)从开始制动到停止，飞轮转过的转数和经历的时间;
(3)摩擦力矩所作的功。
解
(1)闸瓦作用于飞轮的摩擦力矩的大小为
度为
=2.8 ra
t
从制动到转过'=3.14103rad，角速度由•‘o变为；二，；.-：应满足
2丄2_1
门：.门o-2^=2110rad s.
5-5分别求出质量为m=0.50 kg、半径为r= 36cm的金属细圆环和薄圆盘相对 于通过其中心并垂直于环面和盘面的轴的转动惯量；如果它们的转速都是105
轴的距离R成反比，是有条件的，这个条件就是保持v不变；根据公式an=..『R，
说法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比，也是有条件的，条件就
是保持•不变。
5-2一个圆盘绕通过其中心并与盘面相垂直的轴作定轴转动，当圆盘分别在恒 定角速度和恒定角加速度两种情况下转动时，圆盘边缘上的点是否都具有法向加速 度和切向加速度？数值是恒定的还是变化的？
rads1，它们的转动动能各为多大？
解
(1)细圆环：相对于通过其中心并垂直于环面的轴的转动惯量为
2_22_22
J =R
转动动能为
1
2
(2)相对于通过其中心并垂直于盘面的轴的转动惯量为
J
转动动能为
1
2
5-6转动惯量为20 kg m2、直径为50 cm的飞轮以105 rad sA的角速度旋转＜
现用闸瓦将其制动，闸瓦对飞轮的正压力为400N，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求：
即不具有切向加速度。而此时法向加速度
2
可见是恒定的。
(2)当角加速度一定时，即
：吟恒定，于是可以得到
这表示角速度是随时间变化的。由此可得
切向加速度为
这表示切向加速度是恒定的。法向加速度为2Biblioteka v22aR
显然是时间的函数。
5-3原来静止的电机皮带轮在接通电源后作匀变速转动，30 s后转速达到152
rad s1。求：
n
2
(2)在t= 20s时其角速度为
21
■ ■
(3)在t= 20s时，在皮带轮边缘上r=5.0 cm处的线速度为
v
切向加速度为
a
法向加速度为
2 2_2
a
5-4一飞轮的转速为250 rads」，开始制动后作匀变速转动，经过90s停止。
求开始制动后转过3.14103rad时的角速度。
解 飞轮作匀变速转动，「0=250rad s'，经过90s,•- 0，所以角加速
(1)在这30s内电机皮带轮转过的转数；
(2)接通电源后20s时皮带轮的角速度；
(3)接通电源后20s时皮带轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度，
已知皮带轮的半径为5.0 cm。
解
(1)根据题意，皮带轮是在作匀角加速转动，角加速度为
国_2
a
t
在30s内转过的角位移为
*=5
2 2
在30s内转过的转数为
第五章刚体和流体
5-1作定轴转动的刚体上各点的法向加速度，既可写为an= v2/R,这表示法向
加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成反比；也可以写为an=•2R，这表示
法向加速度的大小与刚体上各点到转轴的距离R成正比。这两者是否有矛盾？为什
么？
2
解 没有矛盾。根据公式an/R,说法向加速度的大小与刚体上各点到转