圆的标准方程 优秀教案
(完整版)圆的标准方程教案
教学过程讲授新课的方程•我们把它叫做圆的标准方程。
那同学们观祭一下圆的标准方程形式有什么特点？思考一下当圆心在原点时，x轴上，y轴上时，圆的方程是什么？这是二元二次方程，展开后没有xy项，括号内变数x，y的系数都是1 •点(a，b)、r分别表示圆心的坐标和圆的半径.且当圆心在原点即 (0,0 )时，方程为x2 y2 r2圆心在x轴上时：(x a)2 y2 r2 (r 0)2 2 2圆心在y轴上时：x (y b) r (r 0)圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a，b，r二个量确定了且r >0，圆的方程就给定了.这就是说要确定圆的方程，必须具备二个独立的条件.注意，确疋a、b、r，可以根据条件，利用待定系数法来解决.口头练习例1说出下列圆的圆心和半径：(1) (x-3) 2+(y-2) 2=5；(2) (2x+4) 2+(2y - 4)2=8;(3) (x+2) 2+ y2=m (讨0)总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的圆心和半径.例2、(1)圆心在原点，半径是3的圆是.(2)以(8，-3)为圆心，且过点(5，1)的圆的方程为总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.三、点与圆的位置关系容易看出：如果点M (x。
，y。
)在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径r，即(X。
a)2 (y°b)2 r2提醒学生注意圆心在不同位置时圆的标准方程的不同形式。
教师注意提醒同学语言精练准确。
同学独立思考，给出答案。
学生独立总结。
确定圆的标准方程的必要条件。
的距离等于圆的半径r，即（X。
a）2（y。
b）2 r2如果点M (x。
，y。
)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径r，即2 2 2(X o a) (y o b) r定与的置系条确点圆位关的#教学过程讲授新课例3.已知两点R(4,1),P2( 2, 3)，求以线段R巳为直径的圆的方程，并判断点M(-1,-4),N(5,2) 和Q(2,0)是在圆上、圆内,还是在圆外？总结：熟练掌握点与圆的位置关系的判定方法四、与圆有关的实际问题再回到我们最初是提出的那个问题，如何用我们今天学的方法去解决这个问题呢？问题：在一张半径为5cm的半圆纸上，能否裁出一个长为8cm,宽为4cm的矩形？解：根据题意列出该圆的方程为：x2 y2 25 当x=4时，y=3，所以能裁出的长方形的宽最大为3, 所以不能裁出长为8cm,宽为4cm的长方形。
圆的标准方程教案7篇
圆的标准方程教案圆的标准方程教案7篇作为一位不辞辛劳的人民教师，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以让教学工作更科学化。
那么问题来了，教案应该怎么写？以下是小编收集整理的圆的标准方程教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
圆的标准方程教案11.教学目标(1)知识目标:1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程。
(2)能力目标:1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;3.增强学生用数学的意识.(3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.2.教学重点.难点(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用。
(2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。
3.教学过程(一)创设情境(启迪思维)问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?[引导]画图建系[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习)解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径ab所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2y2=16(y≥0)将x=2.7代入,得.即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。
(二)深入探究(获得新知)问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?答:x2y2=r22.如果圆心在,半径为时又如何呢?[学生活动]探究圆的方程。
[教师预设]方法一:坐标法如图,设m(x,y)是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合p={m||mc|=r}由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为①把①式两边平方,得(x―a)2(y―b)2=r2方法二:图形变换法方法三:向量平移法(三)应用举例(巩固提高)i.直接应用(内化新知)问题三:1.写出下列各圆的方程(课本p77练习1)(1)圆心在原点,半径为3;(2)圆心在,半径为;(3)经过点,圆心在点。
人教版高中数学教案圆的标准方程
人教版高中数学教案圆的标准方程教学目标：1. 理解圆的标准方程的概念和意义。
2. 学会利用圆的标准方程解决实际问题。
3. 掌握圆的标准方程的推导和应用方法。
教学内容：1. 圆的标准方程的定义和意义。
2. 圆的标准方程的推导过程。
3. 圆的标准方程的应用实例。
教学步骤：第一章：圆的标准方程的概念和意义1.1 引入圆的概念：引导学生回顾初中阶段学习的圆的概念，复习圆的性质和特点。
1.2 圆的标准方程的定义：介绍圆的标准方程的定义，解释圆的标准方程的意义。
1.3 圆的标准方程的意义：引导学生理解圆的标准方程在数学中的重要作用，以及它在实际问题中的应用。
第二章：圆的标准方程的推导过程2.1 圆的参数方程：介绍圆的参数方程的概念，引导学生理解参数方程与圆的标准方程的关系。
2.2 圆的标准方程的推导：引导学生通过转化思想，将圆的参数方程转化为标准方程。
2.3 圆的标准方程的简化：引导学生学会简化圆的标准方程，理解圆的标准方程的不同形式。
第三章：圆的标准方程的应用实例3.1 圆的方程与圆的性质：引导学生利用圆的标准方程研究圆的性质，如半径、直径等。
3.2 圆的方程与圆的位置关系：引导学生利用圆的标准方程研究圆与圆的位置关系，如相离、相切等。
3.3 圆的方程与圆的面积：引导学生利用圆的标准方程计算圆的面积，理解圆的面积与半径的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对圆的标准方程的概念和意义的理解程度。
2. 通过课后作业和练习题，评价学生对圆的标准方程的推导和应用能力。
3. 通过小组讨论和问题解答，评价学生对圆的标准方程的实际应用和创新能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示圆的标准方程的概念和意义，以及推导和应用过程。
2. 练习题库：准备丰富的练习题库，包括不同难度和类型的题目，以供学生课后练习和巩固知识。
3. 教学案例：提供一些与圆的标准方程相关的实际案例，引导学生将理论知识应用于实际问题中。
圆的标准方程教案
圆的标准方程教案一、教学目标1、理解圆的标准方程的推导过程。
2、掌握圆的标准方程的形式和特点。
3、能够根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径。
4、会用待定系数法求圆的标准方程。
二、教学重难点1、教学重点圆的标准方程的推导。
圆的标准方程的应用。
2、教学难点圆的标准方程的推导过程中坐标变换的理解。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入通过展示生活中常见的圆形物体，如车轮、圆盘等，引导学生思考圆的特征。
提问学生如何描述一个圆，从而引出本节课的主题——圆的标准方程。
2、知识讲解（1）圆的定义在平面直角坐标系中，以点\（（a,b)＼）为圆心，以\（r\）为半径的圆的定义是：平面内到定点\（（a,b)＼）的距离等于定长\（r\）的点的集合。
（2）圆的标准方程的推导设点\（M(x,y)＼）是圆上任意一点，根据圆的定义，点\（M\）到圆心\（（a,b)＼）的距离等于半径\（r\）。
根据两点间的距离公式可得：＼（＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2} ＝ r\）两边平方可得：＼（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）这就是圆的标准方程。
（3）圆的标准方程的特点方程\（（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2\）中，有三个参数\（a\）、＼（b\）、＼（r\），即圆心坐标\（（a,b)＼）和半径\（r\）。
当圆心在原点\（（0,0)＼）时，圆的标准方程为\（x^2 ＋ y^2 ＝r^2\）。
3、例题讲解例 1：已知圆的圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），求圆的标准方程。
解：因为圆心为\（（2,－3)＼），半径为\（4\），所以圆的标准方程为\（（x 2)＾2 ＋（y ＋ 3)＾2 ＝ 16\）例 2：求以点\（（－1,2)＼）为圆心，且过点\（（3,4)＼）的圆的标准方程。
首先计算半径\（r\）：＼（r ＝＼sqrt{（3 ＋ 1)＾2 ＋（4 2)＾2} ＝＼sqrt{16 ＋ 4} ＝2\sqrt{5}＼）所以圆的标准方程为\（（x ＋ 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＝ 20\）4、课堂练习（1）已知圆的圆心为\（（－3,4)＼），半径为\（＼sqrt{5}＼），写出圆的标准方程。
圆的标准方程教案
4.1.1圆的标准方程武穴中学伍雅宜一．三维教学目标：1.知识与技能目标：使学生掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程,能根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径。
能够判断点与圆的位置关系。
会用待定系数法求圆的标准方程；2.过程与方法目标：在学习过程中培养学生用代数的方法解决几何问题的能力，加强学生理论联系实际的能力3.情感，态度与价值目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识，激发学生学习数学的热情和兴趣。
二．教学重点：（1）圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确。
（2）点与圆的位置关系（3）求圆的标准方程三．教学难点：会根据不同的已知条件，用不同的方法去求圆的标准方程。
课时安排1课时四教学过程1.提出问题具有什么性质的点的轨迹称为圆？讨论结果：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径。
给出圆的标准方程确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为C(a,b),半径为r(其中a、b、r都是常数,r＞0).设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件2)2x-a-=r.①+(y)(b将上式两边平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.②方程②就是圆心为C(a,b),半径长为r的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
2.总结圆的标准方程的特点（1）明确给出了圆心坐标和半径。
（2）圆的标准方程含有三个参量，即a,b,r(3)若圆心在坐标原点，则圆的方程为222x y r+=当r=1时，为单位圆。
3.初步运用写出下列各圆的方程：(1)圆心在点C(3, 4 )(2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)（3）圆心是原点，半径3写出下列各圆的圆心坐标和半径：（1）()()22129x y ++-=(2)()222x a y a ++=4.例题讲解例1()()()()()12124,9,6,3,693353P PP N Q 已知P 求以为直径的圆的方程。
圆的标准方程优秀教案
圆的标准方程【教课目的】（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；（2）掌握圆的标准方程，并能依据方程写出圆心的坐标和圆的半径；（3）能依据所给条件，经过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。
【教课重难点】圆的标准方程及其运用。
圆的标准方程的推导和运用。
【教课过程】一、问题情境1．情境：河北赵州桥是世界上历史最悠长的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们可否表示出该圆弧所在圆的方程呢？2．问题：在表示方程从前我们应当先观察有没有坐标系？假如没有坐标系，我们应当如何成立坐标系？如何找到表示方程的等式？二、学生活动回想初中相关圆的定义，如何用方程将圆表示出来？三、建构数学1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆P(x, y) 的标准方程：一般地，设点 P( x, y) 是以 C (a, b) 为圆心， r 为半径的圆上的C ( a, b) O随意一点，则 |CP | r ，由两点间距离公式，获得：(x a)2 (y b)2 r 即( x a)2 ( y b)2r 2 （1） ；反过来，若点 Q 的坐标 ( x 0 , y 0 ) 是方程 (1) 的解，则 ( x 0 a)2 ( y 0 b) 2 r 2 ，即 ( x 0 a) 2 ( y 0 b)2 r ，这说明点 Q ( x 0 , y 0 ) 到点 C (a, b) 的距离为 r 即点 Q 在以 C (a,b) 为 圆心， r 为半径的圆上；2．方程 (x a)2 (y b)2 r 2 (r 0) 叫做以 (a,b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点 (0,0) 时，圆的方程则为 x 2y 2r 2 (r 0) ；特别地，圆心在原点且半径为１的圆往常称为单位圆；其方程为 x 2 y 2 1四、数学运用1．例题：例 1．分别说出以下圆方程所表示圆的圆心与半径：（2） ( x 2)2( y 3)27； （ ） ( x 5) 2 ( y 4) 2 182（3）x 2( y 23（ ） 2 y 21441)4 x （5） ( x 4)2y 24解：（以下表）方程圆心半径( x 2) 2 ( y 3)2 7 (2,3)7 ( x 5)2 ( y 4) 2 18 ( 5, 4) 3 2x 2 ( y 1)2 3 (0, 1)3x 2y 2 144(0,0) 12( x 4) 2 y 2 4(4,0)2例 ．（ ）写出圆心为 A(2, 3)，半径长为 5 的圆的方程，并判断点 M (5, 7)，N( 5, 1)21能否在这个圆上；（2）求圆心是 C (2,3) ，且经过原点的圆的方程。
圆的标准方程 优秀教案
4.1.1圆的标准方程教学目标：(1)掌握圆的标准方程，会由标准方程得出圆心与半径，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．(2)会用待定系数法与数形结合法求圆的标准方程．(3)培养学生用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，(4)在探索圆的知识与特点时感受数学中的对称美与和谐美．教学重点：圆的标准方程的得出与应用．教学难点：根据不同的已知条件，求圆的标准方程教学方法: 启发、引导、讨论．教学过程：一、新课引入1.引入语：通过上一章的学习，我们知道直线这一平面图形可以由一个代数中的二元一次方程来表示，称此方程为直线的方程。
从而，通过方程利用代数的方法研究了直线的性质与特点。
事实上，这种方法是解析几何解决问题的基本方法，我们还可以采用它研究其他的一些平面图形，比如：圆。
在直角坐标系中，两点确定一条直线，或者一点和倾斜角也能确定一条直线。
圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？（圆心，半径。
圆心决定位置，半径决定大小）那么我们能否在圆心与半径确定的条件下，找到一个方程与圆对应呢？这就是我们这节课的主要任务。
（书写标题）回顾直线方程得出的过程：在直线l 上任取一点P(x,y),找到该点的横纵坐标满足的一个关系式，通过验证，称此方程为直线的方程。
类似的，我们用得出直线方程方法来探求圆的方程。
二、讲授新课确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r >）．设(,)M x y 为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）{}P M MA r ==,由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r ①引导学生自己证明r 为圆的方程，得出结论．1.若点),(00y x M 在圆上，由上述讨论可知，点M 的坐标适用方程①．2.若),(00y x 是方程①的一组解，则以这组解为坐标的点),(00y x M 到圆心A 的距 离为r ，即点M 在圆心为A 的圆上．故方程r =为圆的一个方程。
高中圆的标准方程教案文档
高中圆的标准方程教案文档一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解圆的定义及相关概念；（2）掌握圆的标准方程及其推导过程；（3）能够运用圆的标准方程解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）运用数学符号、图形等工具，表示圆的位置和大小；（3）培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的精神；（3）培养学生合作交流的能力。
二、教学内容1. 圆的定义及相关概念：（1）圆的定义；（2）圆心、半径、直径等概念；（3）圆的性质。
2. 圆的标准方程：（1）圆的标准方程的推导；（2）圆的标准方程的形式；（3）圆的标准方程的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）圆的定义及相关概念的理解；（2）圆的标准方程的推导和应用。
2. 教学难点：（1）圆的标准方程的推导过程；（2）圆的标准方程在实际问题中的应用。
四、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生主动探究；（2）运用分组讨论法，培养学生的合作能力；（3）采用案例分析法，让学生感受数学与生活的联系。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，直观展示圆的定义和性质；（2）运用几何画板，动态演示圆的标准方程的形成；（3）提供实际问题，引导学生运用圆的标准方程解决。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习相关概念：点、线、角等；（2）引入圆的定义，引导学生观察生活中的圆；（3）提出问题：如何用数学语言表示圆的位置和大小？2. 探究圆的标准方程：（1）引导学生通过观察、分析、推理等方法，探究圆的标准方程的形成；（2）讲解圆的标准方程的推导过程，引导学生理解并掌握；（3）让学生运用圆的标准方程，解决实际问题。
3. 巩固练习：（1）提供一些有关圆的标准方程的练习题，让学生独立完成；（2）组织学生进行小组讨论，共同解答练习题；（3）教师对学生的解答进行点评和指导。
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(,)P x y
(,)C a b
圆的标准方程
【教学目标】
（1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法；
（2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。
【教学重难点】
圆的标准方程及其运用。
圆的标准方程的推导和运用。
【教学过程】
一、问题情境
1．情境：
河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？ 2．问题：
在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动
回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学
1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程：
一般地，设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的
任意一点，则||CP r =r 即
222()()x a y b r -+-=（1） ；
反过来，若点Q 的坐标00(,)x y 是方程(1)的解，则222
00()()x a y b r -+-=，
r =，这说明点00(,)Q x y 到点C (,)a b 的距离为r 即点Q 在以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上；
2．方程222()()(0)x a y b r r -+-=>叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)x y r r +=>；
特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221x y += 四、数学运用
1．例题：
例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： （2）22(2)(3)7x y -+-=； （2）22(5)(4)18x y +++= （3）22(1)3x y ++= （4）22144x y += （5）22(4)4x y -+= 解：（如下表）
例2．（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N -
是否在这个圆上；
（2）求圆心是(2,3)C ，且经过原点的圆的方程。
解：（1）∵圆心为(2,3)A -，半径长为5 ∴该圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++=
把点(5,7)M -代入方程的左边2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边即点(5,7)M -的坐标适合方程，∴点(5,7)M -是这个圆上的点；
把点(1)N -
的坐标代入方程的左边22(2)(13)1325+-+=+≠
即点(1)N -坐标不适合圆的方程，∴点N 不在这个圆上； （2）法一：∵圆C 的经过坐标原点，
∴圆C
的半径为r ===因此所求的圆的方程为22(2)((3))13x y -+--=即22(2)(3)13x y -++=； 法二：∵圆心为(2,3)C -
∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=即213r = ∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=
例3．（1）求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的的圆的标准方程； （2）已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程。
解：（1）∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2； 因此圆的标准方程为22(1)(2)4x y -+-=；
（2）∵PQ 为直径∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M
又∵||PQ ===
||
2
PQ r =
=∴圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=
例4．已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？ 解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥ 将3x =
代入得3 3.5y ==< 即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度 因此，该货车不能驶入这个隧道；
思考：假设货车的最大的宽度为am ，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？
略解：将x a =
代入得y =
m 五、回顾小结：
1．圆的标准方程及其表示的圆心和半径； 2．建系思想和方程思想。