第三章相对论力学
动力学中的相对论力学相对论效应对物体运动的影响
动力学中的相对论力学相对论效应对物体运动的影响动力学中的相对论力学：相对论效应对物体运动的影响相对论力学是描述高速运动物体行为的物理理论，它与牛顿力学有着本质的区别。
在动力学中，相对论效应对物体运动产生了深远的影响。
本文将探讨相对论效应对物体运动的影响，包括时间膨胀、长度收缩和质量增加。
一、时间膨胀对物体运动的影响根据相对论理论，高速运动物体的时间流逝速度会减慢，即时间会相对于静止参考系而膨胀。
这种时间膨胀效应对物体运动产生了显著的影响。
以光速作为参考标准，当物体接近光速时，时间的流逝速度减缓。
时间膨胀对物体运动的影响可以通过实验进行验证。
例如，将两台高精度原子钟放置在相对静止和以高速移动的飞行器上。
当飞行器以接近光速的速度运动时，与地面上的原子钟比较，飞行器上的时钟会显示较慢的时间。
这意味着高速运动物体相对于静止物体，它的时间流逝速度会变慢。
时间膨胀效应对我们准确测量物体运动的时间非常重要，特别是在高速运动中。
二、长度收缩对物体运动的影响相对论理论还提出了长度收缩效应，即高速运动物体的长度会相对于静止参考系而收缩。
这一效应对于描述物体运动的长度变化具有重要意义。
根据相对论，当物体接近光速时，相对于静止物体，它的长度会出现收缩。
例如，我们观察一个以接近光速运动的飞船，会发现它的长度相对于静止参考系而言显得更短。
这是因为在高速运动中，物体的长度会根据相对论效应而收缩。
长度收缩效应在实践中也得到了证明。
科学家进行过很多实验，例如使用粒子加速器将粒子加速到高速，然后测量粒子在高速运动中的长度。
实验结果表明，高速运动的粒子相对于静止参考系而言会出现长度收缩。
这一效应的存在使得我们在描述物体运动和相对位置时需要考虑相对论效应的影响。
三、质量增加对物体运动的影响相对论理论还提出了质量增加效应，即物体的质量会增加，当它的速度接近光速时，质量增加的幅度变得更明显。
这一效应对物体运动产生了显著的影响。
根据相对论，当物体以接近光速的速度运动时，它的质量会相对于静止参考系而增加。
相对论力学——精选推荐
§6 相对论力学经典力学在伽利略变换下形式不变（具有伽利略因变性）。
它符合经典时空理论，但一般它仅应用于C v <<。
当C v →时，时空理论为相对论时空理论，变换应当满足洛伦兹变换。
而原来的力学方程显然不适合洛伦兹变换。
本节主要讨论相对论力学方程。
一、能量—动量四维矢量1、 经典力学的牛顿第二定律：关为物体质量，与运动无，m v m p dt p d F ==,'''dtpd F = 符合伽利略变换由于''F p ，均不是洛伦兹协变量，他们不满足洛伦兹变换。
2、用四维速度定义四维动量：（在相对论中认为刻划物质惯性量度的质量不是洛伦兹标量）已知四维速度矢量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-===τγτγτμμμd C v d dt dt dx d dx U 221 ()的前三个分量为，则系运动速度为设速度相对dtdx i dt dx v v i i μ31-<=∑假定物体相对参考系静止时的质量为m ，它是一个洛伦兹标量（不变量）。
定义四维动量：μμU m p 0=前三个分量为()2220040131C v C m C im iC p i v m p i i -==-<=γγ3、运动质量概念0m 为静止时的质量，称为静止质量，为了让动量四维式前三分量与经典形式上一致引入运动质量v m p mv p C v m m i i==-=,1220，则与经典形式上相同。
4、4p 与能量相关将4p 做泰勒展开⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-=202022204211v m C m c i C v C m ci p 可见4p 与能量相关2021v m 为经典动能，20C m 也为能量量纲 但当0→v 时，可舍去高次项4p 中仅含两项，一项为经典动能，另一项代表什么？设22201C v C m W -=为物体具有的能量，即：，，则W Cip mC W ==42 ⎪⎭⎫⎝⎛=W C i p p , μ因此能量—动量矢量，为相对论不变量。
第三章相对论力学
这是因为m0c2项的出现是相 对论协变性要求的结果,删 去这项或者用其他常数代替 这项都不符合相对论协变性 的要求. 从物理上看,自然界最基本 的定律之一是能量守恒定 律,只有当附加项m0c2可以 转化为其他形式的能量时, 这项作为能量的一部分才有 物理意义.
由此我们可以推 论,物体静止时具 有能量m0c2 ,在一 定条件下,物体的 静止能量可以转化 为其他形式的能 量.
物体的动能
p4是与物体的能量有关
设相对论中物体的能量为
W =
m0 c 2 1
υ2
c2
i p4 = W c
W包含物体的动能.当υ=0时动能为零.因 此相对论中物体的动能是
T=
m0 c 2 1
υ2
c2
m0 c 2
而总能量是
W = T + m0 c 2
从形式上看 动能T
W
静止能量(当物体静止时仍然存在的能量) 在非相对论中,对能量附加一个常量是没有意 义的.但是在相对论情形,我们必须进一步研 究常数项m0c2的物理意义.
2
p=29.79Mev/c, W() =109.78 MeV/c2 子的γ因子为
γ =
1 1 υ2
c
2
109.78 = = = 1.0390 2 105.66 m c
W( )
由此得出子的速度为 υ = 0.2714c
3. 相对论力学方程 现在我们把它修改为满足相对论协变性的方程. 根据上面的讨论,动量和能量构成四维矢量p. 如果用固有时dτ量度能量动量变化率,则
dp dτ
四维矢量
如果外界对物体的作用可以用一个四维力矢 量K描述,则力学基本方程可写为协变形式
K =
dp dτ
相对论知识：相对论中的描述质点运动的动力学公式
相对论知识：相对论中的描述质点运动的动力学公式相对论的动力学公式相对论是描述运动的理论，它改变了我们对运动的看法。
相对论的开创者爱因斯坦在他的论文中提出：所有物体的运动都应该相对于其他物体来描述。
这个观点是基于他对光速不变原理以及电动力学的研究得出的。
在相对论中，质量和能量被视为相互关联的物理量。
质量变大时能量会增加，反之亦然。
这个想法引出了著名的公式e=mc²，这个公式描述了质量和能量之间的转换关系。
相对论还提出了一个重要的概念：光速是一个与参考系无关的常数，也就是说，不论你移动得多快，光速永远都是恒定的。
在相对论中，运动的描述符合了洛伦兹变换的公式。
在洛伦兹变换中，时间、空间、速度和动量都是参考系相关的。
动量是质量和速度的积，所以动量也会随着速度的变化而变化。
相对论中的质点运动描述需要考虑到更多的变量。
在经典力学中，我们认为物体的动量是独立于速度的，但是在相对论中，动量会随着速度的变化而增加，物体的质量也会变得更大。
这个效应被称为相对论性质量增加。
质量的增加会影响到物体的动力学行为，因此在相对论中需要考虑这个因素。
相对论中质点的动力学可以用以下公式来描述：E² = (pc)² + (mc²)²其中E是能量，p是动量，c是光速，m是质量。
这个公式意味着相对论性能量和动量是相互关联的。
质量越大，动量也越大。
相对论性能量和动量增加的速度还会随着速度的变化而增大。
质点在运动中能量会增加，它所带动的质量也称为相对质量，它随着速度的增加而增加。
因此，相对论描述的质点运动需要考虑到相对论性能量和动量，以及相对质量的变化。
相对论中的这个公式有着许多有趣的性质。
例如，对于光子，它的质量为零，所以它的能量就是它的动量。
这就是为什么光子能在真空中传播的原因。
另外，当一个沿着某个方向运动的粒子减慢速度时，它运动方向上的动量始终为正，随着速度的减小会增加。
然而，质量的增加会导致相对论性能量的增加，因此粒子的总能量也会增加。
第三章 狭义相对论3
/
图3.1 坐标变换
x = x / + ut /
或
y = y/ z=z t = t/
/
(3.1)
15 首 页 上 页 下 页退 出
t =t
/
(3.1)叫做伽利略坐标变换方程。 叫做伽利略坐标变换方程。 叫做伽利略坐标变换方程
3.1.2 伽利略相对性原理
1、以太理论的提出 人们在研究机械波（例如声波）的传播过程， 人们在研究机械波（例如声波）的传播过程，发现机械波 的传播必须有弹性媒质。 的传播必须有弹性媒质。当时的物理学家认为可以用这个框架 来解释一切波动现象。 来解释一切波动现象。 19世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波， 19世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波，并 世纪中期麦克斯韦建立的电磁场理论指出光是电磁波 提出光是在以太中传播的假说。 提出光是在以太中传播的假说。 以太假说的主要内容是： 以太假说的主要内容是：以太是传播包括光波在内的电磁波的弹 性媒质，它充満整个宇宙空间。 性媒质，它充満整个宇宙空间。以太中带电粒子振动会引起以太变 这种变形以弹性波的形式传播，这就是电磁波。 形，这种变形以弹性波的形式传播，这就是电磁波。 并且进一步认为以太就是人们一直在寻找的绝对静止参考 只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量。 系，只有在这个参考系中光速才是与方向无关的恒量对性原理 10 加速度对伽里略变换不变
d 2 x d 2 x′ ax = 2 = 2 = a′ x ′ dt dt 因两参考系 彼此作匀速 又 t′ = t 直线运动 ay = a / y az = a / z
v v′ ∴ a = a
9 首 页 上 页 下 页退 出
物理学中的相对论性力学
物理学中的相对论性力学相对论是现代物理学中的一项基础理论，它完全颠覆了牛顿力学，对于我们理解自然界中的许多现象都有着重要的作用。
相对论性力学作为相对论理论的基础之一，在物理学中也占据着极为重要的地位。
一、相对论的出现在牛顿力学时代，人们普遍认为时间、空间是独立存在的，而运动物体的速度并不会影响观察者对于事物的观察结果。
而随着科技的进步，人们越来越能够观测到高速运动物体的运动情况，例如光速飞行的光子、超高速运行的电子等。
但是，当人们用牛顿力学理论去解释这些现象时，常常会出现一些矛盾和问题。
例如，当人们观测到两个运动中的物体之间的距离在不断缩短时，牛顿力学会认为它们之间的相对速度在不断增大。
但是，当这两个物体的速度趋于光速时，牛顿力学理论将无法解释它们之间的相互作用现象，因为此时它们会变得无穷重，并且它们之间的相对距离也将变得无限缩短。
正是由于这些现象的存在，物理学家开始担心牛顿力学是否还能够适用于所有情况。
因此，他们开始寻找一种更普遍的物理理论来解释高速运动物体的运动规律，最终找到了相对论。
二、相对论的基本概念相对论的核心概念是时间和空间的相对性，它进一步推导出了质量、能量和动量等物理量的相对性。
首先，时间的相对性是指时间不是惟一存在的，而是与不同观测者有不同的时间。
如果两个观测者相对静止，那么这两个观测者看到的时间是一致的。
但是，如果两个观测者之间存在相对运动，那么他们看到的时间是不同的。
例如，人们可以观测到暴露在空间中的计时器上，当它和观测者静止时计时是一致的。
但是，当它的速度越来越快时，便会出现时间的膨胀现象。
除了时间的相对性之外，相对论还规定了空间的相对性。
空间的相对性是指空间也不是惟一存在的，而是与观测者的运动状态有关。
例如，如果两个观测者之间相对静止，他们看到的空间是完全一致的。
但是，如果某个观测者开始运动，那么他看到的空间将出现扭曲现象。
三、相对论性动力学相对论性动力学是相对论力学的重要组成部分，它主要研究高速运动下物体的运动规律和相互作用力。
大学物理第一册力学各章节总结
单质点
p I
d ( mv ) d p Fd t d I mv 2 mv 1 Fd t
t1 t2
(微分)
动量定理
x轴方向分量mv2 x mv1 x
质点系
d( mi v i ) Ft dt
(积分) t2 Fx d t
t1
m v m v
i i i
大小
P mi v i
i
L rp sin mrv sin
质点系
L rc mv c (ri mi vi )
L O L 轨道 L自旋
刚体定轴转动 Lz （所有质点角动量之和） 单位(SI):
2
J z
kg m / s或 J s
注意：说明质点的动量矩时必须说 明是对哪个轴的
i
i
i0
单质点
Mdt d L
i
i
Fi dt
t i t0
角动 量定 理
质点系
M 外 dt d L
t2
t2
t1
M d t L 2 L1
刚体
t1
M 外 d t d L L 2 L1 L
L1
L2
M z dt d L Jd d ( J )
2
v2 法向加速度 an wv w r r
西安建筑科技大学电子信息科学与技术08级 孙 伟
ⅴ刚体的运动
刚体：特殊的质点系，形状和体积不变化（理 想化模型）
即在力的作用下组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。
刚 刚体的平动：可归结为质点的运动 体 刚体内的任何点都绕同一轴作圆周运 的 动各点的速度和加速度都相等 运 刚体的 动 定轴转 角坐标 f (t ) 0 t d 动 角 2 f (t ) 0 0 t 1 t 角速度 2 dt 量 2 2 角加速度
相对论力学
1kg这种核燃料所释放的能量为：
E 2.799 1012 14 3 . 35 10 J/kg 27 m1 m 2 8.3486 10
这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多 万倍！
五、能量与动量的三角形关系
E mc2
p＝mv
m
m0 1 v2 c2
2
四、质能关系
总能量 动能 静止能量
2
EK mc m0c
2
2
E mc 为粒子以速率v 运动时的总能量
EK E E0
动能为总能和静能之差。
结论：一定的质量相应于一定的能量，二者 的数值只相差一个恒定的因子 c2 。
E mc
2
为相对论的质能关系式
按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过 程中，最一般的能量守恒应表示为：
2 E ( m c i i ) 常量 i i
m
i
i
常量
表示质量守恒
能量守恒 质量守恒
历史上： 独立 相对论中： 统一
放射性蜕变、原子核能（反应）的可证明。
核反应中：
反应前： 反应后： 静质量 m01 静质量 m02 总动能EK1 总动能EK2
2 2 m c E m c EK 2 能量守恒： 01 K1 02
v x vx V ; v y v y ; vz vz
还原为伽利略速度变换 — 对应原理.
(3). 当
v c
S
c V c V v V V 1 2 c 1 c c
c
S
若 V c
V c
v c
x x
cc 2c v c c 1 2 c 11 c
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vx
vx u 1 uvx c2
cu c 1u c
例：设想一飞船以0.80c 的速度在地球上空飞行，
如果这时从飞船上沿速度方向发射一物体，物体
相对飞船速度为0.90c 。
问：从地面上看，物体速度多大？
s
S
u 0.80c
0.90c
解：选飞船参考系为S'系
地面参考系为S系
v
v u
1
vu c2
S S
u vx
x x
u 0.80c vx 0.90c
vx
vx
1
u c2
u vx
0.90c 0.80c 1 0.80 0.90
0.99c
三、狭义相对论的时空观
1、同时性的相对性
事件1
S
( x1, t1)事件2 (x2 ຫໍສະໝຸດ t2 )两事件 同时发生
t1 t2
t t2 t1 0
S
(x1, t1) (x2 , t2 )
？ t t2 t1
以爱因斯坦火车为例
S' Einstein train S 地面参考系
S S
u
A M B
实验装置
在火车上 A、B 分别放置信号接收器 中点 M 放置光信号发生器
t t 0 M 发一光信号
t t 0 M发一光信号 S
在飞行速率为0.98c的飞船中观测者看来，这个选手
跑了多长时间和多长距离（设飞船沿跑道的竞跑方向
航行）？
解：设地面为S系，飞船为S'系。
x
x ut 1 u2 c2
x2
x1
( x2
x1 ) 1
u(t2 u2 c2
t1 )
t
t
u c2
x
1 u2 c2
t2 t1
(t2 t1) u( x2 x1) 1 u2 c2
u c2
vx
vy
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
vy
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
vz
1
vz u c2
vx
u2 1 c2
vz
1
vz u c2
vx
1
u2 c2
一维洛仑兹速度变换式
v v u
1
vu c2
v
v u
1
vu c2
狭义相对论速度变换式与光速不变原理是协调一致的.
设在S系内发射光信号，信号沿 x方向以 vx c
vx
dt 1 u2 c2
vx
vx
1
u c2
u vx
由洛仑兹变换知
dy dy dt dt
dy
dt dt
dt
vy
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
dt
1
u c2
vx
dt
1
u2 c2
vz
1
vz u c2
vx
1
u2 c2
洛仑兹速度变换式
正变换
逆变换
v x
vx u
1
u c2
vx
vx
vx u
1
讨论
1) 在洛伦兹变换中时间和空间密 切相关，它们不再是相互独立的。
x x ut 1 u2 c2
伽利略变换
2) u c x x ut
y y
z z
t
t
u c2
x
1 u2 c2
(1
u2 c2
)
1
y y z z
t t
3) u>c 变换无意义 速度有极限
例：一短跑选手，在地球上以10s的时间跑完100m，
c2
例：在惯性系S中，相距x=5106m的两个地方发生 两个事件，时间间隔t=10-2s；而在相对于S系沿x轴
正向匀速运动的S'系中观测到这两事件却 是同时发生
的，试求：S'系中发生这两事件的地点间的距离x'。
解：设S'系相对于S系的速度大小为u。
t t ux c2
1 u2 c2
x x ut 1 u2 c2
解释天文现象的困难
夜空的金牛座上的“蟹状星云”，是900多年前一 次超新星爆发中抛出来的气体壳层。
A c V
Bc
l
tA
c
l V
tB
l c
l 5千光年 抛射速度V 1500km/s
结论：在25年持续看到超新星爆发时发出的强光。
史书记载：强光从出现到隐没还不到两年。 矛盾
从麦克斯韦方程组可得两条结论：
有 y y z z
设 S S 的 变换为： x k( x ut)
根据Einstein相对性原理:
S S 的 变换为： x k( x ut)
由光速不变原理： 原点重合时，从原点发出一个光脉冲，其空间坐标为：
对 S系：x ct 对 S 系： x ct
x k( x ut)
x k( x ut)
t t 0 o o 重合
同时发出闪光
yS
y
S
u
经一段时间 光传到 P点
P
x
o o
x
S Px, y, z, t 寻找 两个参考系相应的
S Px, y, z,t
坐标值之间的关系
x, t 和 x, t 的变换基于下列两点：
（1）时空是均匀的，因此惯性系间的时空变换应该 是线性的。
（2）新变换在低速下应能退化成伽利略变换。
一切物 理规律
力学 规律
2 光速不变与伽利略变换 与伽利略的速度相加原理针锋相对 3 观念上的变革
革命性
时间标度 牛顿力学 长度标度
质量的测量
与参考系无关
速度与参考系有关 (相对性)
狭义相对 论力学 光速不变
长度 时间 质量 与参考系有关
(相对性)
3-2 相对论时空观
一、洛仑兹变换 Lorentz transformation
t ux c2 0 u t c2
x
t
t
u c2
x
1 u2 c2
二、狭义相对论速度变换
(vx , v y , vz )与(vx , vy ,vz )的关系vx
dx dt
x
x ut 1 (u c)2
dx vx u dt 1 u2 c2
t
t
u c2
x
1 (u c)2
dt
1
u c2
1、光在真空中的速度是一个恒量，与参考系 的选择无关。
2、电磁现象服从相对性原理。
二、爱因斯坦的狭义相对论基本原理 1.狭义相对性原理 物理规律在所有的惯性系中都有相同的数学形式。 2.光速不变原理 在所有惯性系中，光在真空中的速率恒为c
讨论
1 Einstein 的相对性理论 是 Newton理论的发展
ct k(c u)t
ct k(c u)t
相乘
c2tt k 2 (c u)t(c u)t
k
1
1 (u c)2
时空变换关系
S S
正变换
x
x ut
1
u2 c2
y y
z z
t
t
u c2
x
1
u2 c2
S S
逆变换
x x ut
1
u2 c2
y y
z z
t
t
u c2
x
1
u2 c2
第三章 相对论力学
爱因斯坦: Einstein 现代时空的创始人 二十世纪的哥白尼
3-1 狭义相对论(special relativity)的基本假设
一、狭义相对论产生的时空背景
伽利略变换的困难 1) 电磁场方程组不服从伽利略变换 2) 光速c 3) 高速运动的粒子
迈克耳孙-莫雷实验 测量以太风 零结果