初一数学有理数经典讲义

一、有理数的相关概念：1. 负数（1）正数：大于0的数叫做正数。

（2）负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数。

a) “-”读作负号。

b) 一个数前面的“+”、“-”叫做这个数的符号（3）0：既不是正数也不是负数。

取一个基准量，记为0；大于（高于）基准量的数为正数，小于（低于）基准量的数为负数；习题：1、某仓库运进货物30吨，记作30吨，那么－50吨表示( )；2、物体向东运动4m ，记作4m ，那么向西运动5m ，记作( )3、某零件的直经尺寸在图纸上是 10± 0．05 （mm ），表示这种零件的标准尺寸是 ______ （mm ），合格产品的零件尺寸范围是 （mm ）。

2. 有理数分类1：有理数{ 整数{正整数负整数0分数{正分数负分数 分类2：有理数{ 正有理数{正整数正分数负有理数{负整数负分数0数的分类注意：a) 0非正非负，0是整数，0是自然数b) 小数可以化为分数，所以小数属于分数习题：1、把下列各数分别填入相应的集合内：3-，2，17-，0.21，0，－3.01，3.14159，10-． 整数集合:{ } 分数集合: { }负数集合: { } 正数集合: { }3.数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度a) 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；b) 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；c) 选取适当的长度为单位长度。

方向表示正负，距离表示数。

数轴上，唯一的点——唯一的数（1) 给数描点，给点读数（2) 比较大小：从左到右，由小变大；（3) 会找有特定限制的数，比如，小于4的正整数。

习题：1、把5，－6，－2，3，0，213，－421在数轴上表示出来，并用“〈”把它们连接起来。

2、a,b,c 三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是 （ ）（Ａ）a+b<0 （Ｂ）a+c<0（Ｃ）a －b>0 （Ｄ）b －c<0 a b 0 c3、在数轴上与数-1所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为 ，长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个点。

4.相反数：在原点两侧，到原点距离相等的两个数（只有符号不同的两个数）（1) 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0；反之，如果一个数的相反数是负数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是正数，那么这个数是正数；如果一个数的相反数是0，那么这个数必然为0；（2) 0的相反数为0，所以如果一个数与它的相反数相等，那么这个数必然为0；（3) 求数或式子的相反数，直接在数或式子前加负号，注意式子的相反数要在整体前加负号。

（4) 互为相反数的两个数，和为0；和为0的两个数，互为相反数。

（5) 化简时，奇数个负号，结果为负；偶数个负数，结果为正。

习题：1、如果13a =-，那么a -=______；2、若a 与b 互为相反数，则a + b = ；3、化简符号：－[－(－3)] = ；－[＋(－3)] = 。

4、相反数是它本身的数是 ；5.绝对值：数轴上某点到原点的距离，就是这点所表示的数的绝对值。

（1) 正数的绝对值是本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.反之，绝对值等于本身的数必然为正数和0；绝对值为它的相反数的数为负数和0；（2) 绝对值非负：正数和负数的绝对值都为正数；0的绝对值为0，0的绝对值最小;（3) 0的绝对值考点：如果一个数的绝对值为0，那么这个数必然为0; 如果一个式子的绝对值为0，那么这个式子必然为0；如果两个式子的绝对值之和为0，那么这两个式子同时为0；（4) 绝对值为某正数的数有两个，这两个数互为相反数；所以当绝对值确定时，数并不能确定，而是一正一负都有可能。

（5) 如果一个数与它的绝对值和为0，那么这个数为负数或0（6) 比较大小：a) 绝对值法：两个正数，绝对值大的大；两个负数，绝对值大的小；正数与负数，正数大于负数。

b) 数轴法：在数轴上表示（想象）出两个数的位置，右边> 左边。

（7）一个数由符号和绝对值两部分组成，这两部分确定了，这个数就确定了。

习题：1、绝对值是它本身的数是2、如果|x ＋8|＝5，那么x ＝ 。

3、绝对值不大于4的整数共有___个，其中最小的是___，绝对值最小的是____．4、已知032=-++b a ，则=-5a b 。

5.当a ﹤0时，=a ；a 的相反数是 ，绝对值为5的数是 ，6.绝对值最小的数是 ，绝对值等于6- 的数是 。

7.绝对值小于3的整数有 个，它们是 ；绝对值大于6小于13的所有负整数的和是 。

8.已知1=-a ，32=b ，则=+b a 。

9.若8=a ，3=b ，且a ﹥0，b ﹤0，则=-b a 。

10.满足a a =的数有 个。

11.若312=-x ，则=x 。

12.31-的绝对值与212-的相反数的差是 。

13.若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯+23)(m ab b a d c 14.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式m cd cb a b a +++++的值是 。

15.若1=x x ，则x 0，若1-=xx ，则x 0。

16.已知3=a ，2=b ，求b a +的值。

33.已知 a ﹤0, b ﹤0，且︱a ︱﹤︱b ︱，试用“﹤”号将a 、b 、a -、b -连接起来。

17.有理数a 、b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论错误的是A. ︱b ︱﹥-aB. ︱a ︱﹥-bC. b ﹥aD. ︱a ︱﹥︱b ︱18.已知024=++-y x ，求x 、y 的值。

a b 019.已知031=-+-y x ，求yx xy +的值。

20.0321=-+++-z y x ，则=+-+)3)(2)(1(z y x 。

21.如果0)23(22=++-y x ，那么=+y x 。

6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

（1）注意：互为倒数的两个数乘积为1，而非-1；所以，正数的倒数为正数，负数的倒数为负数；0没有倒数。

（2）互为倒数的两个数，乘积为1；反之，乘积为1，互为倒数。

（3）倒数为本身的数有两个，1和-1.习题：1、倒数是它本身的数是 ；2、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，有理数m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则代数式m cd cb a b a +++++的值是 。

二、有理数的运算（一）有理数的加减法1、有理数的加法（1）加法法则：a) 同号两数相加，符号不变，绝对值相加。

b) 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0.c) 一个数同0相加，仍得这个数。

（2）加法计算的步骤：先确定和的符号，再确定和的绝对值。

（3）加法运算律：加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

表达式：a+b=b+a 。

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。

表达式：（a+b ）+c=a+（b+c ）加法结合律一般遵循：互为相反数的数结合；同分母（易通分）的数结合；和为整数（10、100、1000等数的倍数）的数结合；同号的数结合；具体情况，灵活运用。

2、有理数的减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。

表达式：a-b=a+（-b ）减法法则，实现了变减法为加法。

3、有理数的加减混合运算根据减法法则，变减法为加法，统一为加法运算。

代数和：的加减法算式视为省略加号的几个有理数的和，称这个算式的结果为这几个有理数的代数和。

化为代数和形式后，运算还要按照有理数的加法运算法则进行。

去括号法则：括号前为正号，去括号后括号里各数不改变符号；括号前为负号，去括号后括号里各数改变符号；添括号法则：括号前添正号，添括号后括号里各数不改变符号；括号前添负号，添括号后括号里各数改变符号。

（二）有理数的乘除法1、有理数的乘法：（1）有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0.乘法运算的步骤，与加法运算一样，先确定积的符号，再确定积的绝对值。

（2）乘法运算律乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

表达式：ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

表达式：（ab ）c=a（bc）结合律一般遵循：能约分的数结合；乘积为整数（10、100、1000的倍数）的数结合。

乘法分配律：一个数同两个的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

表达式：a（b+c）=ab+ac（有时正用，有时逆用）（3）连乘法积的符号：几个非0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数为奇数个时，积为负数；负因数为偶数个数，积为正数。

可先确定符号，再确定得数。

2、有理数除法法则：（1）两数相除，同号得负，异号得正，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.（2）除以一个不等于0的数，等于乘以一个数的倒数。

化简分数时，任意改变分子、分母、分数的符号中的两个，分式的值不变；分数线可以看成除号。

3、有理数乘除法混合运算：按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。

（三）有理数的乘方1、乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

n个相同的因数a相乘，记做a n中，a叫做底数，n叫做指数。

根据有理数的乘法法则可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

注意（-a）n与-a n的区别； a n与（-a）n的关系：掌握1-20的数的平方，1-10数的立方。

2、有理数的混合运算顺序（1）“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行；（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

3、科学记数法：把一个大于10的数表示成a*10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），叫做科学记数法。

a：1≤︱a︱＜10； n：小数点移动的位数会用科学记数法表示数；会求科学记数法所表示的原数。

4、近似数：与实际数有差别但是可以代表实际数的数。

近似数通常通过四舍五入获得，用精确度表示近似数与实际数近似的程度。

精确度（精确到的位数）：个位、十位、百位、千位……十分位（0.1）、百分位（0.01）、千分位（0.001）、万分位（0.0001）……有效数字：从左边第一个非0数字起，到末位数字为止，所有数字都是这个数的有效数字。