多面体与正多面体

高三第一轮复习数学---多面体
一、教学目标：了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有
关问题；
二、教学重点： １、欧拉公式 （如何运用） 2、割补法求体积
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体．
２、把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体． 3、表面经过连续变形可变为球面的多面体叫做简单多面体。

一切凸多面体都是简单多面体。

4、每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体．
5、如果简单多面体的顶点数为Ｖ，面数为Ｆ，棱数为Ｅ，那么Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，这个公式叫做欧拉公式．
6
思维方式: 空间想象及转化思想
特别注意: 研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥的概念和性质，而要以它们为基础去认识多面体，并讨论多面体的特点和性质．欧拉公式的适用范围为简单多面体． （二）例题分析： 例1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
(2)一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B
（２）同欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝20，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°． 思考题：一个多面体，每个面的边数相同且小于6，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数．（20,12,30）
思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２
例2: 已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．
解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=
2
1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．
说明：2
,2
kV E k nF E n =
=
条棱则过一个顶点有边形则每个面为
例3： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿
解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为
2
2，体积为6
12
1)2
2(
3
122
=
⨯
⨯⨯
．所
以体积之比为１:６．
思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．
挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（3
1arccos -π）
（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）
例４：三个12×12的正方形，如图，都被连接相邻两边中点的直线分成Ａ、Ｂ两片（如图），把６片粘在一个正六边形的外面，然后折成多面体（如图），求此多面体的体积．
解：（一）补成一个正方体，如图，V=
3
12
21⨯=864
（二）补成一个直三棱锥，如图，V=V 大三棱锥-3V 小三棱锥=864．
思维点拨：割补法是求多面体体积的常用方法．
思考题：如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2
3=，EF 与面AC 的距离为2，则该多面
体的体积为（ ） （A ）
2
9 （B ）5 （C ）6 （D ）
2
15
解：D
（三）巩固练习： 1：（１）给出下列命题①正四棱柱是正多面体②直四棱柱是简单多面体③简单多面体就是凸多面体④以正四面体各面中心为顶点的四面体仍为正四面体，其中真命题个数为（ ）个
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
(２)每个顶点处棱都是3条的正多面体共有________种
(３)一个凸多面体的棱数为 ３０，面数为１２，则它的各面多边形的内角总和为＿＿ 解：(1) B （２）3
（３）由欧拉公式Ｖ＝Ｅ－Ｆ＋２＝２０，所以内角总和为（V-2）×360°=6480°．
2、已知某金属元素的单晶体外形是简单几何体,此晶体有三角形和八边形两种晶面,如果此晶体有24个顶点,以每个顶点为一端都有三条棱,计算此晶体的两种晶面的数目．
解：由于晶体各面不都是边数相同的多边形，因此面数是两种多边形面数之和，棱数仍然是各面边数总和的一半，另一方面，由顶点数及每一顶点发出的棱数也可求出多面体的棱数，设三角形晶面x 个，八边形晶面有y 个，则Ｆ＝x+y ，同时Ｖ＝２４，∴Ｅ＝３６，由欧拉公式：24+(x+y)-36=2, x+y=14, E=
2
1(3x+8y)=36, ∴x=8, y=6．
3、一个简单多面体，每个面的边数相同，每个顶点出发的棱数也相同，若各个面的内角总和为3600°，求这个多面体的面数、顶点数及棱数． 解：设每个面的边数为x ，每个点出发的棱数为y 。

则，
20)2(180
)2(3600
=-⇒⋅-=x F x F …………..① 2
102
-=
⋅=
x x x F E ……..②
代入欧拉公式得
22
102
20=---+
x x x V 又y
x x y
E V y V E ⋅-=
=⇒⋅=
)2(2022
代入上式5
3102-+=y x
有x 3,3≥≥y 得 V=12, F=20, E=30
思维点拨：运用公式Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２
4： 连结正方体相邻面的中心，得到一个正八面体，那么这个正八面体与正方体的体积之比是＿＿＿＿＿＿
解：设正方体棱长为１，则正八面体的棱长为
2
2，体积为6
12
1)2
2(
3
122
=
⨯
⨯⨯
．所
以体积之比为１:６．
思维点拨：研究多面体时，不要脱离棱柱棱锥,特别是计算体积时．
挖掘：（１）正八面体相邻两个面所成二面角的大小＿＿＿＿＿．（3
1arccos -π）
（２）棱长为１正八面体的对角线长为＿＿＿＿＿．（2）
5：如图在棱长为a 的正四面体ABCD 内, 作一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 2B 2C 2, 当A 1取在什么位置时,三棱柱的体积最大?
解:设A A 1=x (0<x<a ) ∵平面A 1B 1C 1∥平面BCD ．又四面体ABCD 为正四面体 ∴四面体A A 1B 1C 1也是正四面体, 则A 1B 1= B 1C 1 =A 1C 1=x, 这两四面体的高分别为
a 3
6和x 3
6则棱柱的高等于)(3
6x a -
∴V 三棱锥=
3
2
27
2)](2
2[
2)(3
64
3a x a x x x a x
≤
-⋅⋅⋅=
-⋅
(当a x 3
2=
取等号)
∴当点A 1为棱AB 上的
3
2分点时,体积最大为
3
27
2a .
A B C
D
A 1
B 1
C 1
A 2
B 2
C 2
思维点拨：解有关组合体问题，主要考虑内外线段之间的关系式，有时需作一截面．
四、小结：
１、正多面体必备两个条件各面都是有相同边数的正多边形在各顶点都有相同数目的棱２、欧拉公式描述了简单多面体的顶点数，面数，棱数之间的规律．
３、有关多面体的计算问题与棱柱，棱锥的联系
五、作业：。