一元线性回归方程在预应力千斤顶标定中的应用
应用线性回归模型校准液压千斤顶
应用线性回归模型校准液压千斤顶【摘要】本文先介绍了最小二乘法的定义和最小二乘法在线性回归模型中的表示方法。
然后再介绍了最小二乘法的相关公式。
最后利用已经校准的液压千斤顶来检测井盖的破坏荷载是否满足规范要求。
一、最小二乘法与线性回归模型1、最小二乘法的定义在实际工作中，常常会遇到这样的问题：给出两个变量x，y的n组试验数据，怎么才能从中找出变量x、y的函数关系式呢？然后利用这个函数关系式对x与y之间的除了试验数据之外的其它对应情况作出某种判断。
这样的问题一般可以分为两类：一类是对x与y之间所存在的对应规律一无所知，这时要从试验数据中找出符合实际情况的函数关系式是很困难的，这类问题为黑箱问题；另一类是通过问题作出分析，然后再建立数学模型或者通过整理归纳试验数据，得出x与y之间符合某种类型的函数关系式，其中有m个待定参数，这些参数的值可以通过n组试验数据来确定，这类问题称为灰箱问题。
解决灰箱问题的方法通常会利用到“最小二乘法”。
2、最小二乘法在线性回归模型中的表示方法上面我们已经说明了最小二乘法的数据全部来自于试验取得。
在建立一元线性回归方程中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数，但是在回归分析中最常用的方法就是最小二乘法。
如果变量x与y有精确的线性关系比如说y=kx+b，那么观测值与回归值是相等的。
然而在实际工作中诸多变量的关系不一定都是如此，由于受到许多随机因素的干扰使得物与物之间没有那么明确的一一对应关系。
那么我们就需要通过数学的方法来来使之对应。
首先通过试验取得数据，其次把数据描绘出来。
然后拟合一条跟已知的函数图像最为接近的曲线，这样就可以相对地将他们之间的关系表示出来了。
在处理诸如此类的事件中常常应用到最小二乘法。
3、最小二乘法的适用范围（1）本文所讨论的最小二乘法仅且只适用于一元线性函数，比如y=bx+a。
（2）不适用于非线性函数和多元线性函数。
二、最小二乘法的公式为了定量地给出y=bx+a与实验数据之间线性关系的符合程度，可以用Pearson（皮尔逊）相关系数R来衡量。
《一元线性回归》课件
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
千斤顶校准作业指导书
．．．．．．．．．．．．．．．第五章千斤顶校验规程第一节 根本原理千斤顶，特别是大吨位千斤顶，常用于预应力砼施工中预应力钢绞线等的张拉。
由于千斤顶对外显示不是活塞上的力值而是液压油的压力值，这样在张拉钢绞线张拉时不便利。
钢 绞线的张拉是以力为掌握参数的，故校验的第一个任务就是建立千斤顶液压油压力值同千斤 顶向外供给的力值之间的关系；一般地，这种关系是线性关系。
另外，由于千斤顶活塞与活塞环之间存在摩擦阻力，单纯以液压油压力来计算千斤顶提 供的力值是不恰当的，同时，假设活塞与活塞环之间的摩擦阻力过大，也不能保证千斤顶的正确计量，这也是在千斤顶的校验要处理的问题，也就是要限制千斤顶的摩阻系数不大于1.05。
一般地，校验千斤顶前，应先校准油压表；只有经校准的油压表才能用在千斤顶上。
在千斤顶上的油压表一般是 1.5 级精度，这样，在最不利的状况下，互换油压表后的误差也不会超过 3.0%，这种精度是能满足施工要求的。
故在理论上用于千斤顶上的油压表可以互换使用，前提条件是油压表必需校准合格。
其次节校验荷载级数确定千斤顶在使用时，往往达不到其最大的吨位，因此在校验时，也不肯定要校验到最大吨位。
因此校验荷载级数可这样确定：依据使用要求，确定本次校验的最大压力Pa，则级间压力差为Pa/10，同时，再向最大压力之外加上两荷载级，即两个Pa/10，这样校验荷载级数共有12 级。
第三节校验过程1、千斤顶的预备在校验之前，应让千斤顶的活塞自由往复运动数次，一是查看千斤顶是否完好，二是确定千斤顶活塞与活塞环之间是否有异物，造成摩擦阻力过大。
如有故障，应先排解故障。
然后要查找千斤顶的铭牌或档案，查出它的公称活塞面积备用。
2、校验时，将千斤顶置于反力架上，测力计或传感器器置于千斤上方〔可选用三等精度的测力计或传感器〕，用垫块适当地垫高千斤顶或测力计，使用千斤顶活塞能顶上反力架，如图1 所示。
启动千斤顶油压泵，使压力表清零。
假设是小吨位、小行程的千斤顶，可以用试验室的压力机或万能材料试验机做反力架。
第八章 §8.2 一元线性回归模型及其应用
i＝1
i＝1
5
yi－y^ i2
i＝1
R2＝1－
≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好.
5
yi－ y 2
i＝1
反思 感悟
刻画回归效果的三种方法 (1)残差图法，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明 选用的模型比较合适.
n
(2)残差平方和法：残差平方和 (yi－y^i)2 越小，模型的拟合效
(3)利用所得模型，预测x＝40时y的值. x 21 23 25 27 29 32 35 y 7 11 21 24 66 115 325
解 当 x＝40 时，y^＝e0.272×40－3.849≈1 131.
反思 感悟
非线性回归问题的处理方法 (1)指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象，如图所示；
②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z ＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模 型的方法求出a，b. (2)对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象，如图所示；
②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a， 再根据线性回归模型的方法求出a，b. (3)y＝bx2＋a型 处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线 性回归模型的方法求出a，b.
a^ ＝ y －b^ x .
思考1 经验回归方程一定过成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)中的某一点吗？ 答案 不一定. 思考2 点( x ， y )在经验回归直线上吗？ 答案 在.
知识点三 残差与残差分析
1.残差 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 观测值 ，通过经验回归方程 得到的 y^ 称为 预测值 ， 观测值 减去 预测值 称为残差. 2.残差分析 残差 是随机误差的估计结果，通过对 残差 的分析可以判断模型刻画数 据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 残差分析.
浅谈一元线性回归分析在标定千斤顶中的应用
读数的关系。校验时，应将千斤顶及使用的张拉油泵、油压表一起配套进 抹第二遍抗裂砂浆将四角网包覆。整个抗裂防护层的厚度宜控制在 8～
行标定，并且要请有资质的单位进行张拉设备标定，标定前要准备好反 15mm，厚度太薄强度不够，厚度太厚，造价提高且荷载增大。d.粘贴面砖
力架，反力架要有足够的安全系数。校验仪器中采用压力试验机或传感 及勾缝：面砖接缝宽度不应小于 5mm，不得采用密缝粘贴。应采用压折比
直线方程的两个变量之间的线性关系的密切程度?必须给出一个数量的
指标叫相关系数，用 r 表示，由下式确定：
（上接 200 页） 把漆膜拉裂，而凹凸浮雕涂料的变形方向具有多向性，
r=Lxy/ 姨LxyLyy 式中 Lyy=∑ni=1yi2-1/n（∑ni=1yi）2，相关系数 r 接近于 1，说明所配的回 归线是最有意义的。
介绍一元线性回归分析在标定千斤顶中的应用，以对公路建设的其他质 2.2 应用中应注意的问题
量检测起抛砖引玉的作用。
首先，为确保 P 与 F 关系的准确，千斤顶标定前，应对压力表按专门
1 一元线性回归分析简介
规定校验；若标定时校验仪器采用压力试验机，还应对压力试验机进行
1.1 一元线性回归分析基本原理
线性关系，即可以用一条适当的直线来表示这两个变量的关系，此直线 平整度仪的相关分析。
方程为：y=a+bx，式中：a、b 为回归系数，a、b 值构成的最优直线必须使 y=
参考文献
a+bx 方程的函数值 yi 与实际测量值 yi 之间的偏差最小。理论分析和工 [1] 交通部第一公路工程总公司.公路施工手册 桥涵下册[M Nhomakorabea.北京：人民
程实践均表明，最小二乘法确定的回归方程偏差最小。根据最小二乘法
基于一元线性回归模型预测工程项目的造价
（3）进行线性回归分析：利用最小二乘法对自变量和因变量进行线性回归分 析，得到回归模型的参数a和b。
（4）验证模型：利用历史数据对模型进行训练和预测，并计算预测误差，以 验证模型的准确性和可靠性。
2、提取影响工程项目造价的关 键因素
工程项目造价受到多种因素的影响，包括工程量、材料价格、人工成本、市场 环境等。在一元线性回归模型中，我们需要根据历史数据和实际情况，提取对 工程项目造价影响最为显著的关键因素作为自变量。
（3）地区差异性：不同地区的工程项目造价可能存在较大差异，因此模型的 适用范围可能受到限制。未来可以考虑建立地区特定的模型，以提高模型的适 用性。
结论
本次演示基于一元线性回归模型预测工程项目的造价，通过提取影响工程项目 造价的关键因素，建立回归模型并利用历史数据进行训练和预测。结果表明， 一元线性回归模型在工程项目造价预测中具有较好的准确性，但同时也存在一 定的局限性。未来可以进一步完善模型结构，考虑更多影响因素，提高模型的 预测精度和适用范围。
接下来，利用得到的模型参数，我们对测试集进行预测。对于每个测试项目， 我们根据其工程量、材料价格和人工成本等数据，代入回归模型计算出预测的 工程造价。将预测值与实际值进行比较，可得到模型的预测误差。
4、分析预测结果及模型局限性
通过计算，我们得到了模型的预测误差为10%，表明一元线性回归模型在工程 项目造价预测中具有较好的准确性。但同时我们也发现模型的预测结果存在一 定的偏差，这可能与以下因素有关：
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结论与展望
一元线性回归模型在经济预测中具有广泛的应用价值，其能够通过对历史数据 的分析，揭示变量之间的线性关系，并以此为依据对未来趋势进行预测。然而， 需要注意的是，这种模型的应用也存在一定的局限性。例如，它无法处理非线 性关系和复杂因素的影响，对于一些不确定性和变化性较大的经济现象可能无 法得出准确的预测结果。
千斤顶工作原理及标定、管道摩阻测试1
千斤顶活塞受力简图
2.什么情况下应该对张拉千斤顶进行校验
（1）新千斤顶初次使用前；
（2）油压表指针不能退回零点时； （3）千斤顶、油压表和油管进行过更换或维修后；
（4）当千斤顶使用超过6个月或张拉超过200次以上，客 运专线规定千斤顶标定周期为一个月，油压表标定周期为 一周；
（5）在使用过程中出现其他不正常现象。
此外，也可采用双千斤顶卧放对顶并在其连接处装标准测力 计进行标定，见图7。千斤顶A进油，B关闭时，读出两组数据： ①N－Pa主动关系，供张拉预应力筋时确定张拉端拉力用；② N－Pb被动关系，供测试孔道摩阻损失时确定固定端拉力用。 反之，可得N－Pb主动关系，N－Pa被动关系。
1—千斤顶A；2—千斤顶B；3—拉杆；4—测力计
为宜。
图2 YC60型千斤顶
a）构造与工作原理； b）加撑脚后的外貌 1一张拉油缸；2—顶压油缸（张拉活塞）；3—顶压活塞；4—弹簧；5—预应力筋； 6—工具锚； 7—螺帽；8—锚环；9—构件；10—撑脚；11一张拉杆；12—连接器； 13—张拉工作油室； 14—顶压工作油室；15—张拉回程油室；16—张拉缸油嘴；17一顶压缸油嘴；18—油孔
图1 YC-60型千斤顶具和JM型锚的安装
1—工作锚；2—YC-60型千斤顶；3—工具锚；4—预应力筋束
其工作原理是：张拉预应力筋时，张拉缸油嘴进油、顶 压缸油嘴回油，顶压油缸、连接套和撑套连成一体右移 顶住锚环；张拉油缸、端盖螺母及堵头和穿心套连成一 体带动工具锚左移张拉预应力筋；顶压锚固时，在保持 张拉力稳定的条件下，顶压缸油嘴进油，顶压活塞、保 护套和顶压头连成一体右移将夹片强力顶入锚环内；此 时张拉缸油嘴回油、顶压缸油嘴进油、张拉缸液压回程。 最后，张拉缸、顶压缸油嘴同时回油，顶压活塞在弹簧 力作用下回程复位。 大跨度结构、长钢丝束等引伸量大者，用穿心式千斤顶
关于检校张拉千斤顶的回归方程式
关于检校张拉千斤顶的回归方程式关于检校张拉千斤顶的回归方程式阐明由（一）式至（二）式的转换过程以及a 与b 的出处（一） Y = a + b X （试验室公式，旨在求得a 、b 。
） 试验室数据（“顶压机”法）油缸面积571.48cm 2=57148mm 20.4（1.0）级压力表读数MPa(Y) 千斤顶压 力值(KN) （理论计算）压力机读数KN(X)校正系数实测值理论值=K1.00≤K ≤1.051 2 3 均值 A B C D E F G i1 5 285.7 272.1 1.05 i2 10 571.5 544.3 1.05 i3 15 857.2 816.4 1.05 i4 20 1143.0 1088.6 1.05 i5 25 1428.7 1360.7 1.05 i6 30 1714.4 1632.8 1.05 i7 35 2000.2 1905.0 1.05 i8 40 2285.9 2177.0 1.05 i9 45 2571.7 2449.2 1.05 in …首先计算相关系数])([])([2222Y Y n X X n YX XY n ∑-∑*∑-∑∑*∑-∑=γ ≥0.9999计算公式：截距 222)(X n X X Y X XY a ∑-∑∑*∑-∑*∑=斜率 22)(Xn X XYn Y X b ∑-∑∑-∑*∑= 说明：①“Σ”读“西格玛”是“∑=ni 11”的简化。
表示与a 、b 相关的数据（即“回归因素”）Y 或X 由 i 1=5MPa(或272.1KN)……至i 9=45MPa(或2449.2KN)……i n =……之总和。
② n 表示数据量即因数发生的次数，此处n=9。
例如：22229124515105+++=∑= i y 。
()22914515105+++=⎪⎭⎫⎝⎛∑= i y 。
()2.2449454.816153.544101.2725991⨯+⨯+⨯+⨯=∑= i YX n 。