高等数学上理工类)期末模拟试卷
高三上册数学理科期末试题及答案
高三上册数学理科期末试题及答案第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置。
1.已知平面向量，，且，则实数的值为A.B.C.D.2.设集合，，若，则实数的值为A.B.C.D.3.已知直线平面,直线,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.定义：.若复数满足，则等于A.B.C.D.5.函数在处的切线方程是A.B.C.D.6.某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A.B.C.D.7.若函数的图象(部分)如图所示，则和的取值是A.B.C.D.8.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是A.B.C.D.9.已知，若方程存在三个不等的实根，则的取值范围是A.B.C.D.10.已知集合,。
若存在实数使得成立,称点为“￡”点，则“￡”点在平面区域内的个数是A.0B.1C.2D.无数个第二卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上.11.已知随机变量，若，则等于******.12.某几何体的三视图如下右图所示，则这个几何体的体积是******.13.已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率******.14.在平面直角坐标系中,不等式组所表示的平面区域的面积是9，则实数的值为******.15.已知不等式，若对任意且，该不等式恒成立，则实数的取值范围是******.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题满分13分)在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)证明：.17.(本小题满分13分)已知向量(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)求由的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积。
福建工程学院高等数学(理工类上册)模拟试题2(附答案)
ex 1 e
2x
（5 分）
(0,1), f ( ) 0
f ' ( x) 1 3 0 1 x
（4 分）
dy (2 x ln 2
' 2y
ex 1 e
'
2x
)dx
'
（7 分）
f ( x) 为单调， 故根是唯一
2.证明：证明： lim f ( x) 0 ，补充 f (0) 0
设 g ( x) f ( x) x g ' ( x) f ' ( x) 1 g ' (0) 0 3. 解： 原式= 2
d x 1 x
2 arcsin x c
（7 分）
g '' ( x) f '' ( x) 0 g (0) 为极小值且为最小值
则 g ( x) g (0) 0 f ( x) x （6 分）
）
2. 当 x 0 时， (1 cos x) 是较 x 3x 的（
密
A.高阶无穷小 C.同阶无穷小
B.低阶无穷小 D.等阶无穷小
' 3. f ( x) ( x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 3 则 f ( x) 0 的实根数是（
）
1 1 ) 2 x sin 2 x
2. 已知 y f ( x y) ，则 dy
班级:＿＿＿＿＿＿姓名:＿＿＿＿＿＿学号:＿＿＿＿＿＿
考生注意事项：1、本试卷共 6 页，请查看试卷中是否有缺页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 教师注意事项：如果整门课程由一个教师评卷的，只需在统分人栏目签名，题首的评卷人 栏目可不签名。
高三上学期期末考试数学(理科)试题含解析
高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1. 设全集，会合，，则()A. B. C. D.C【答案】【分析】，，，所以，应选择 C.2. 已知复数知足，则（）A. B. C. D.【答案】D【分析】z 知足，则，应选D．试题剖析：∵复数考点：复数运算.3. 已知中，，，则等于A. B. C.或 D.或【答案】A【分析】【剖析】由正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，联合大边对大角的性质即可确定出 B的度数．【详解】中，，，，由正弦定理得：，，，则．应选： A．【点睛】本题考察了正弦定理，以及特别角的三角函数值，娴熟掌握正弦定理是解本题的关键．4. 已知随机变量听从正态散布则A. 0.89B. 0.78C. 0.22D. 0.11【答案】 D【分析】本题考察正态散布和标准正态散布的转变及概率的计算方法.应选 D5. 已知向量，，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】依题意，，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选 D.6. 设等差数列 {a} 的前n项和为S，若S－ 1＝－2，S＝ 0，S＋1＝3，则＝ ()n n m m mA.3B.4C.5D. 6【答案】 C【分析】∵{a n} 是等差数列∴S m==0a1=－ a m=－ (S m－ S m－1)= － 2，又=－=3，∴公差=－=1，∴3==－，∴=5，应选 C．视频7.如所示的程序框，出的S 的 ()A. B.2 C.－1 D.－【答案】 A【分析】k＝ 1 ， S＝ 2，k＝ 2 ， S＝，k＝ 3 ， S＝－ 1，k＝ 4，S＝ 2，⋯⋯所以 S 是以 3 周期的循．故当 k＝2 012 ， S＝．8.如所示是一个几何体的三，个几何体外接球的表面A. B. C. D.【答案】 C【分析】试题剖析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，选 C.考点：三视图，外接球【方法点睛】波及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特别点( 一般为接、切点 ) 或线作截面，把空间问题转变为平面问题，再利用平面几何知识找寻几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确立球心的地点，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.视频9.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才获得其关，要见次日行里数，请公认真算相还. ”其粗心为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从次日起脚痛每日走的行程为前一天的一半，走了6天后抵达目的地 . ”则这人第一天走的行程为（）A. 192 里B. 96里C. 63里D.6里【答案】 A【分析】设第一天走了里，则是以为首项，以为公比的等比数列，依据题意得：解得应选10. 函数A.，B.在区间，，C.内是增函数，D.则实数的取值范围是【答案】 B 【分析】【剖析】对函数进行求导，依据函数单一递加易得在内恒成立，即果 .【详解】∵，∴，∵函数在区间内是增函数，∴在内恒成立，即，∴，应选B．【点睛】本题考察利用导数研究函数的单一性，将函数单一递加转变为属于中档题．，解出即得结是解题的重点，11. 已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为A. B. 4 C. 3 D. 2【答案】【分析】D试题剖析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，进而，把代入得，所以的面积为，解得，所以离心率，应选 D.考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考察了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题. 正确运用双曲线的几何性质是本题解答的重点，第一依据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，进而求得值，最后由离心率的定义求出其值.12. 已知函数，，为的零点，为图象的对称轴，且在，上单一，则的最大值为A.11B.9C.7D.5【答案】 B【分析】，则，得，又，则，得，当时，则，则，所以，在不但一；当，则，则，所以，在单一递减。
上学期高三理科数学期末质量检测模拟试卷含答案
高三上学期期末质量检测模拟试卷数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，60分）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于实轴对称，z 1=1+i ，则z 1z 2=（ ） A ． −2 B ．1+i C ． 1−i D ．22．在等差数列{}n a 中， 47,a a 是函数()2318f x x x =--的两个零点，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ． 15-B ． 15C ． 30D ． 30-3．设函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π 在x =π6时取得最大值，则函数g x =cos 2x +φ 的图象（ ）A ．关于直线x =π3对称 B ． 关于点 π3,0 对称 C ． 关于直线x =π6对称 D ．关于点 π6,0 对称4．设x ,y 满足约束条件 x −2y ≤02x +y −10≤0x ≥1 ，设向量a =(y −2x ,m )，b =(1,−1)，若a //b，则m 的最大值为（ ） A ． -6 B ． 6 C ． 1 D ． -1 5．函数f x =x 2+ln e −x ln e +x 的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．ΔABC 中有：①若A >B ，则sinA >sinB ；②若sin 2A =sin 2B ，则ΔABC —定为等腰三角形；③若acosB −b cos A =c ，则ΔABC —定为直角三角形；④若∠B =π3,AB =2，且该三角形有两解，则AC 的范围是 3,+∞ .以上结论中正确的个数有（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 7．已知a >0，b >0，并且1a，12，1b成等差数列，则a +9b 的最小值为（ ）A ． 16B ． 9C ． 5D ． 48．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S = 14c 2a 2−c 2+a 2−b 222．现有周长为4+ 10的△ABC 满足sin A :sin B :sin C =2−1 : 5: 2+1 ，试用以上给出的公式求得△ABC 的面积为（ ） A ．34 B ． 54 C ． 32 D ． 529．已知f′ x 是函数f x 的导函数，f 1 =e ,∀x ∈R ,2f x −f′ x >0，则不等式f x <e 2x−1的解集为（ ）A ． −∞,1B ． e ,+∞C ． −∞,eD ． 1,+∞ 10．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为（ ） A ．334 B ．3 C ．5 33 D ． 11 3611．已知函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x e x f x ()()k x x f x g 3++=．若g （x ）存在1个零点，则k 的取值范围是（ ）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32，B ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-23， D ． ⎪⎭⎫⎝⎛-2123， 12．已知函数，，对，，使得，则的最小值为（ ） A ． B ．C. D ．第II 卷（非选择题，90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知等腰梯形ABCD 如下图所示，其中AB =8,BC =4,CD =4，线段CD 上有一个动点E ，若EA ⋅EB =−3，则EC ⋅ED =____________. 14．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2+b 2=c 2+23ab ，若△ABC 的外接圆半径为3 22，则△ABC 面积的最大值为__________．()2x f x e =()1ln 2g x x =+a R ∀∈()0,b ∃∈+∞()()f a g b =b a -ln 212+ln 212-21e -1e -15．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n +24a n +5的最小值为____________.16．已知函数f x =x ln x ，g x =−x 2+ax −3，对一切x ∈ 0,+∞ ，2f x ≥g x 恒成立，则实数a 的取值范围为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，，且． （Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量(),2n a S = ， ()1,12nb =- 满足条件a ⊥b（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nnc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .ABC ∆,,A B C ,,a b c 23C π=()(222a b c bc --=B {}n a 1cos 21a B = 248,,a a a 14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S19．（本小题满分12分）如图，点A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点B 和点P 都在单位圆上，且点B 的纵坐标为45， AOB α∠=，2παπ<<， AOP θ∠=， 02πθ<<． （Ⅰ）求sin α和cos α的值； （Ⅱ）若()5cos 13αθ-=-，求点P 的坐标； （Ⅲ）若四边形OAQP 为平行四边形且面积为S ，求S OA OQ +⋅的最大值．20．（本小题满分12分）已知几何体A −BCED 的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.（Ⅰ）求几何体A −BCED 的体积；（Ⅱ）求直线CE 与平面AED 所成角的正弦值.21．（本小题满分12分）已知函数f (x )=ax e x +1+be −x ，点M (0,1)在曲线y =f (x )上，且曲线在点M 处的切线与直线2x −y =0垂直． （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）如果当x ≠0时，都有f (x )>x e −1+ke −x ，求k 的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线B 是过点P (−1,1)，倾斜角为π4的直线，以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线A 的极坐标方程是ρ2=123+sin θ．（Ⅰ）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程； （Ⅱ）曲线A 与曲线B 相交于M ，N 两点，求|MP |+|NP |的值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数f (x )= ax +1 + 2x −1 （Ⅰ）当a =1时，求不等式f (x )>3的解集； （Ⅱ）若0<a <2，且对任意x ∈R ，f (x )≥32a恒成立，求a 的最小值．高三数学（理科）试题参考答案1~6：DBDBCB 7~12：ACDBCA13．−3 14．4 2 15．4 16． −∞,417.（1）由得，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴，由，得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）设数列的公差为，()(222a b c bc --=-222a b c --=222cos 2b c a A bc +-==6A π=23C π=6B π={}n a d由（1）得，且，∴，又，∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．（1）∵a ⊥b ,(),2n a S = ， ()1,12n b =- ，∴122n n S +=-,当2n ≥时， ()()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当1n =时， 112a S ==满足上式， ∴2n n a =.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）可得2n n nc =， ∴1211212222n n nn n T --=++++ ，① ∴231112122222n n n n nT +-=++++ ，② ①-②，得21111122222n n n n T +=+++- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 1111221212n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--112cos3a π==2425a a a =()()()211137a d a d a d +=++0d ≠2d =2n a n =14111n n a a n n +=-+11111122311n n S n n n =-+-++-=++1212n n ++=-， ()222n n n T n N ++∴=-∈． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（Ⅰ）由点B 的纵坐标为45， AOB α∠=，可知4sin 5α=，又2παπ<<，所以3cos 5α==-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （Ⅱ）因为2παπ<<， 02πθ<<，所以0αθπ<-<，于是由()5cos 13αθ-=-，可得()12sin 13αθ-=． ()cos cos θααθ⎡⎤∴=--⎣⎦=354126351351365⎛⎫-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，()sin sin θααθ⎡⎤=--⎣⎦=1665，故点P 的坐标为6316,6565⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （Ⅱ）()1,0OA = ， ()cos ,sin OP θθ= ．因02πθ<<，故sin S θ=．因OAQP 为平行四边形，故()1cos ,sin OQ OA OP θθ=+=+．sin 1cos θθ=++ 2sin 14πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(02πθ<<)．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当4πθ=时，取最大值21+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．（1）由该几何体的三视图可知AC ⊥平面BCED ，且EC =BC =AC =4，BD =1. ∴S BCED =12×(4+1)×4=10∴几何体A −BCED 的体积V =13⋅S BCED ⋅|AC |=403．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(2)分别以CA 、CB 、CE 方向为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则：C (0,0,0)、E (0,0,4)、A (4,0,0)、D (0,4,1).所以CE =(0,0,4)，AE =(−4,0,4)，ED =(0,4,−3) 设平面AED 的法向量为n =(x ,y ,z )， n ⋅AE =0n ⋅ED =0∴ x =zy =3z 4于是可以取n =(4,3,4).设CE 与平面AED 所成的角为θ，则：sin θ= n⋅CE n ⋅ CE=441 41. ∴CE 与平面AED 所成的角的正弦值为.41414．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（1）f′(x )=a (e x +1)−ax e x(e +1)−be −x ，依题意f (0)=1，f′(0)=−12，解得a =b =1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分（2）由（1）可知f (x )=x e +1+e −x ，代入f (x )>x e −1+ke −x 得x e x +1+e −x >x e x −1+ke −x ，即1−k >2x e x −e −x，因为当x >0时，e x −e −x >0，x <0时，e x −e −x <0，所以2xe −e >0， 所以1−k >0，即(1−k )e x −e −x (e x −e −x −2x1−k )>0， 令21−k=t ，设g (x )=e x −e −x −tx ，则t >0，又g′(x )=e x +e −x −t ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分①当0<t ≤2，即k ≤0时，g′(x )=e x +e −x −t ≥2−t ≥0恒成立， 所以g (x )=e x −e −x −tx 在R 上单调递增，所以（i ）当x >0时，g (x )>g (0)=0，又因为此时e x −e −x >0，1−k >0，所以(1−k )e x −e −x (e x −e −x −2x1−k )>0，即f (x )>xe x −1+ke −x 成立；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（ii ）当x <0时，g (x )<g (0)=0，又因为此时e x −e −x <0，1−k >0， 所以(1−k )e x −e −x(e x −e −x −2x 1−k)>0，即f (x )>x e x −1+ke −x 成立．因此当k ≤0时，当x ≠0时，都有f (x )>xe x −1+ke −x 成立，符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当t >2，即0<k <1时，由g′(x )=e x+e −x−t =0，得x 1=lnt− t 2−42，x 2=lnt + t 2−42，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分因为t >2，所以x 2>0，x 1=−x 2<0，当x ∈(0,x 2)时，g′(x )<0，所以g (x )在(0,x 2)上递减，所以g (x )<g (0)=0，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为此时e x −e −x >0，1−k >0，所以(1−k )e −e (e x −e −x −2x1−k )<0，即f (x )<xe −1+ke −x 与f (x )>xe −1+ke −x 矛盾，所以不符合题意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 综上可知：k 的取值范围是k ≤0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．（1）∵ρ2=123+sin 2θ， ∴ρ2(3+sin 2θ)=12， 即曲线A 的普通方程为x 24+y 23=1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分由题得，曲线B 的一个参数方程为{x =−1+ 22t y =1+ 22t（t 为参数）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设|PM |=|t 1|,|PN |=|t 2|， 把{x =−1+ 22t y =1+ 22t，代入x 24+y 23=1中，得3(−1+22t)2+4(1+22t)2=12，整理得，72t2+2t−5=0，∴t1+t2=−227,t1t2=−107，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴|MP|+|NP|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=1227．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（1）当a=1时，f(x)=x+1+2x−1，即f(x)=−3x, x<−1−x+2, −1≤x≤123x, x>12，解法一：作函数f(x)=x+1+2x−1的图象，它与直线y=3的交点为A(−1,3), B(1,3)，所以，f(x)>3的解集的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分解法2：原不等式f(x)>3等价于x<−1−3x>3或−1≤x≤12−x+2>3或x>123x>3，解得：x<−1或无解或x>1，所以，f(x)>3的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）∵0<a<2, ∴−1a <12, a+2>0, a−2<0．则f(x)=ax+1+2x−1=−(a+2)x, x<−1a,(a−2)x+2, −1a≤x≤12,(a+2)x, x>12所以函数f(x)在 −∞,−1a 上单调递减，在 −1a,12上单调递减，在12,+∞ 上单调递增．所以当x=12时，f(x)取得最小值，f(x)min=f12=1+a2．因为对∀x∈R，f(x)≥32a恒成立，所以f(x)min=1+a2≥32a．又因为a>0，所以a2+2a−3≥0，解得a≥1（a≤−3不合题意）．所以a的最小值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。
【精品】XX理工大学《高等数学》期末考试模拟试卷试题18附参考答案
XX 理工大学《高等代数》期末考试模拟试题及参考答案试题十八一、选择题（每小题3分，共15分）1. 设4阶矩阵123123(,,,),(,,,)αγγγβγγγ==A B ，若|A |=2，|B |=3，则|A +B |=（ ）A. 40B. 6C. 10D. 5 2．下列判断不正确的是（ ）A. T A A =B. *A A =C. 0≠A 时，11=⋅-A AD. 2A A A T =⋅ 3. 若矩阵A ,B ,C 都是n 阶方阵，则下列说法正确的是（ ） A. 若2=A A ，则A =O 或A =E B. 2222)(B AB A B A ++=+ C . A+B=B+A D. 22))((B A B A B A -=+- 4. 设12,,,,s αααβ是线性相关的n 维向量组,则（ ）A. β可由12,,,s ααα线性表示B. β不可由12,,,s ααα线性表示C. 若秩r(12,,,s ααα,β)=s,则β可由12,,,s ααα线性表示 D. 若12,,,s ααα线性无关,则β可由12,,,s ααα线性表示5. 齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0x x 5x 30x 2x x 432321的基础解系所含解向量的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4二、填空题（每小题3分，共15分）1．已知四阶行列式D ，其第3列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分 别为3，-2，1，1，则行列式D 的值为 .2. 若A,B 均为3阶矩阵，2A =，3B -=，则AB 2= .3. 设11013,12211A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A TB= .4. 齐次线性方程组AX O =只有零解的条件是系数矩阵A 的秩 变量的个数（选填“大于”、“小于”、“等于”）.5. 若=1α(1, 2, 3)T , =2α(4, 5, 6)T , =3α(5, 7, 9)T , 则向量123ααα，， (线性相关或线性无关). 三、计算题（每小题15分，共60分）1．用克拉默法则解线性方程组123123123241,532,1.x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩2. 计算矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛343122321的转置矩阵、行列式和逆矩阵. 3. 求向量组12345(1,0,2,1),(1,2,0,1),(2,1,3,0),(2,5,1,4),(1,1,3,1)ααααα====-=--的秩及一个极大无关组.4. 求解非齐次线性方程组 12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩四、证明题（10分）设n n A ⨯满足22--=A A E O , 证明A 及2+A E 都可逆.试题十八标准答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共15分） 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 二、填空题 （每小题3分，共15分）1. 52. -483. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2211424. 等于5. 线性相关 三、计算题（每小题15分，共60分）1.解:根据克拉默法则有:2411538,111D -=-=-----------3分 114125311111D -=-=--,--------6分 22111239111D ==-,-------9分32411526111D -=-=--, ---------12分故有解12311,89,83.4x x x ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩-----------15分2.解：A T =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛313422321，-----------3分 1232212343A ==，-----------7分法一：,222563462A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=*------12分 得*1A A A -==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11125323231.-----15分 法二：由矩阵的初等行变换作()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10343010122001321E A ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111100012520011201~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1111025323010231001，-------13分 得A -1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----11125323231.--------15分 3. 解：11221021512031311041⎛⎫ ⎪-⎪⎪- ⎪-⎝⎭--------2分31412r r r r -→-11221021510215100222⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪--- ⎪--⎝⎭3234r r r r +→↔11221021510022200000⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-- ⎪⎝⎭. --------9分 向量组的秩为3，--------12分且123,,ααα为其中一个极大无关组. --------15分 4.解：对增广矩阵施行初等行变换:211114*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭21111~0001000000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------7分 即得 12341112220x x x x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，--------10分令21x c =，32x c =，--------12分则原方程组的解为121234111222100010000x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（12,c c R ∈）.--------15分 四、证明题（10分）证：由22--=A A E O 得22-A A =E ，--------2分 即()12-=AA E E ，故A 可逆. --------4分又因为()()12[3]4+--=A E A E E ，--------9分 故2+A E 可逆. --------10分。
高三数学上学期期末数学模拟6 理 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三上学期期末数学模拟六(理科)分值：150分时间是：120分钟一、选择题：(本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分) 1、不等式012≥--x x 的解集是〔〕 A 、),2()1,(+∞⋃-∞B 、),2[)1,(+∞⋃-∞C 、)2,1(D 、]2,1( 2、)2,2(,31sin ππθθ-∈-=，那么)23sin()sin(θππθ--的值是〔〕A 、922B 、922-C 、91-D 、91 3．在等差数列}{n a 中，假设1201284=++a a a ，那么201141a a -的值是〔〕 A 、30B 、45C 、50D 、80 4、)5,6(),6,5(=-=b a，那么a 与b 〔〕A 、垂直B 、不垂直也不平行C 、平行且同向D 、平行且反向5、),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--≤-+010103x y x y x ，那么22)2()4(-+-y x 的最大值是〔〕A 、3B 、13C 、9D 、136、函数⎩⎨⎧>≤=-)0(,log )0(,3)(81x x x x f x ，假设31)(0<x f ，那么0x 的取值范围是〔〕A 、20>x B 、00<x 或者20>x C 、200<<x D 、00<x 或者200<<x7．关于函数x x x f sin )(+=有以下说法：①)(x f 为奇函数②)(x f 在),(+∞-∞上为单调函数③当0>x 时，0)(>x f ，当0<x 时，0)(<x f ④)(x f 为周期函数〕个A 、1B 、2C 、3D 、4 8．①假设0>>b a，那么b a 11>；②假设0>>b a ，那么b b a a 11->-； ③假设0>>b a ，那么bab a b a >++22；④假设0>a ，0>b ，且12=+b a ，那么ba 12+的最小值为9〕A 、②④B 、①④C 、②③④D 、①②③④ 9．m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ)(A)假设α⊥γ，α⊥β，那么γ∥β(B)假设m ∥n ，m ⊂α,n ⊂β,那么α∥β (C)假设m ∥n ，m ∥α，那么n ∥α(D)假设m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α∥β 10一个几何体的三视图如下列图，它的外表积是〔〕A ．22+B ．32+C ．42+D ．611各项均为正数的数列{}n a 满足对一切正整数n，都有224n n n a a a ++=，假设32a =，74a =，那么15a =〔〕A ．8B ．16C ．32D ．6412．函数sin()y A x k ωϕ=++(0)A >的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，那么下面各式中符合条件的解析式是〔〕 A ．4sin(4)26y x π=++B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++ 二、填空题：(本大题一一共4小题,每一小题4分,一共16分〕 13.平面向量(1,3)a =-，(4,2)b =-，a b λ+与a 垂直，那么λ=_______.14.等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，那么这个等比数列的公比是___________. 15.．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 假设222b c a bc +=+且4AC AB ⋅=，那么ABC ∆的面积等于16.假设250(,)300x y x y x x y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩⎭⊆{}222(,)(0)x y x y m m +≤>,那么实数m 的取值范围是_________.、证明过程或者推演步骤.〕 17．(本小题总分值是12分)集合{}(2)(31)0A x x x a =---<，函数22lg(1)a xy x a -=-+的定义域为集合B ，(I)假设4B ∉，务实数a 的取值范围； (Ⅱ)求使B A ⊆的实数a 的取值范围18．(本小题总分值是12分)函数21()2cos 2f x x x =--,()x R ∈ 〔I 〕求函数()f x 的最小值和最小正周期；〔II 〕设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =()0f C =，假设向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )nB =一共线，求,a b 的值.19．〔本小题总分值是12分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n S n 都在函数42)(2-=+x x f 的图像上。
高一上册数学期末试卷及答案(理科)期末试卷及答案(理科)
高一上册数学期末试卷及答案（理科）期末试卷及答案（理科）同学们都在忙碌地复习自己的功课，为了帮助大家能够在考前对自己多学的知识点有所巩固，下文整理了这篇高一上册数学期末，希望可以帮助到大家!第I卷(60分)注意事项1.答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。
请认真核准考号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.本试卷共12小题，每小题5分，共60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
一、( 共60 分，每小题5分)1.若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 异面D. 以上均有可能2.三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有()A.1条B.2条C.3条D.1或2条3.过点(1，0)且与直线平行的直线方程是()A.B.C.D.4.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF与平面ABCD所成的角的正切值为()A. 2B. 2C. 1/2D.2/26.边长为a的正方形ABCD沿对角线AC将△ADC折起，若DAB=60，则二面角DACB的大小为A. 60B. 90C. 45D. 307.在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于()A. ACB. BDC. A1C1D. A1D8.如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是()A. ①③B. ②C. ②④D. ①②④9.BC是Rt△ABC的斜边，AP平面ABC，PDBC于点D，则图中共有直角三角形的个数是()A. 8B. 7C. 6D. 510.圆C：x2+y2+2x+4y-3=0上到直线：x+y+1=0的距离为的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个11.求经过点的直线，且使到它的距离相等的直线方程.()A.B.C.，或D.，或12.当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q(3，0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是()A. (x+3)2+y2=4B. (x-3)2+y2=1C. (2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的横线上，填在试卷上的答案无效)13. 经过圆的圆心，并且与直线垂直的直线方程为_____.14. 以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为.15.已知实数满足，则的最小值为________.16.半径为R的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为.三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分) 过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点为坐标原点，的面积等于6，求直线的方程.18.(本小题满分12分) 如图，垂直于⊙所在的平面，是⊙的直径，是⊙上一点，过点作，垂足为求证：平面19.(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB 的中点.(1)求证：EF ∥平面CB1D1;(2)求证：平面CAA1C1平面CB1D1.20.(本小题满分12分)已知圆C:，直线L:(1)证明:无论取什么实数，L与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C截得的弦长最小时直线L的斜截式方程.21.(本小题满分12分)已知圆与圆(其中) 相外切，且直线与圆相切，求的值.22.(本小题满分12分)已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：(1)动点M的轨迹方程;(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.参考答案：18.证明：因为平面所以又因为是⊙的直径，是⊙上一点，所以所以平面而平面所以又因为，所以平面19.证明:(1)连结BD.在正方体中，对角线又E、F为棱AD、AB的中点，又B1D1平面平面EF∥平面CB1D1.(2)在正方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1 平面A1B1C1D1，AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1，B1D1平面CAA1C1. 又B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1.21.解：由已知，，圆的半径，圆的半径因为圆与圆相外切，所以整理，得. 又因为，所以因为直线与圆相切，所以即两边平方后，整理得，所以或22.解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P={M||MA|=|MB|}.由两点间距离公式，点M适合的条件可表示为[(x-2)2+y2]=1/2[(x-8)2+y2]平方后再整理，得x2+y2=16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程.(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1).观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
高三上学期数学理科期末调研试卷及答案
绝密★启用前揭阳市—高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 参考公式：球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =D ．A B =∅2．已知复数z 满足3)3i z i =，则z 为A ．32 B. 34 C. 32 D. 343．已知幂函数()y f x =的图象过点1(22，则2log (2)f 的值为 A.12 B. －12C.2D.－2 4．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．A.B.12 D. 235．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A.711 B.117- C. 113- D.1136．定积分⎰的值为．A.9πB.3πC.94π D.92π 7．若2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++（n N *∈）且1221a a +=，则展开式的各项中系数的最大值为A.15B.20C. 56D. 708．从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为 A.23 B.47 C.57 D.67二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为： 、P ⌝的真假为 . 10由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm 积为 .第10题图 11．如果执行上面的框图，输入5N =，则输出的数S= .12．不论k 为何实数，直线:1l y kx =+恒过的定点坐标为 、若该直线与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知121cos,cos cos ,32554πππ==231cos cos cos 7778πππ=，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为23,2 1.x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 .15．(几何证明选讲选做题) 已知圆的半径为，从圆外一点 引切线和割线，圆心到的距离为，， 则切线的长为 ____ _． 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）O 3O A AD ABC O AC 223AB =AD24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图0.02频率/cm已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最大值和最小值；(2)设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P, 求PM 与PN 的夹角的余弦. 17．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2. 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率；（3）在男生样本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望. 18. （本题满分12分）甲DCBAF E乙DCBA已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且120PF PF ⋅=，12||||4PFPF ⋅=，求1F 、2F 的坐标； （2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF ，求动点Q 的轨迹方程．19．（本题满分14分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦.20．（本题满分14分）在数列{}n a 中，已知1112332n nn n a a a ++==+-，，()n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 21．（本题满分14分）设函数2()()()xf x x ax b e x R =++∈.（1）若1,1a b ==-，求函数()f x 的极值； （2）若23a b +=-，试确定()x f 的单调性； （3）记|()|()xf xg x e =，且()g x 在]1,1[-上的最大值为M ，证明：21≥M ．揭阳市—高中毕业班期末质量测试 数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BDAA CCBD解析：2．34z ===，选D.3．由幂函数()y f x =的图象过点1(,)22得12111()()222n n ==⇒=,故选A.4．直线220x y -+=与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得2,1c b a e ==⇒==，选A. 5．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C. 6．由定积分的几何意义知⎰是由曲线y =0,3x x ==围成的封闭图形的面积，故⎰＝23944ππ⋅=，选C. 7．由1221a a +=得1221n n C C +=6n ⇒=，故各项中系数的最大值为3620C =,选B.8.解法1：从正方体的8个顶点中任取3个有3856C =种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有12448⨯=个直角三角形，故所求的概率：486567P ==,选D. 解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有3856C =种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：5686567P -==,选D. 二．填空题：9.2:,12P x R x x ⌝∀∈+≥、真；10.3110003cm π；11. 45；12. （0，1）、31≤≤-a ；13. 21coscoscos2121212n n n n n πππ=+++，n N *∈． 14. 4970x y -+=；15. . 解析：10．该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积23321100010301033V cm πππ=⨯⨯+⨯= 11．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-=. 12．题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x 的15圆心的距离不超过半径，解得31≤≤-a . 14．曲线C 普通方程为2219y x =+，则切点坐标为11(1,)9，由4'9y x =得切线斜率14'|9x k y ===，故所求的切线方程为4970x y -+=. 15．依题意，=2，5，由=15，得=三．解题题：16．解：（1）∵()cos f x x x ππ=+=12(cos )22x x ππ+ =2sin()6x ππ+------------------------------------4分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为2，-2.----------------------6分 （2）解法1：令()2sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N -------------------8分 由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴1(,2),3P ---------------------------9分∴11(,2),(,2),22PM PN =--=-从而∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=.--------------------------------------------------12分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||2,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,-----------8分 ||||2PM PN ===,-------------------------------------------------------9分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅=1721154171724⨯-=⨯.------------12分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||2,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,----------8分||||PM PN ===--------------------------------------------------9分BC =∴AC =2AD =.AB AC AD 15MoF 2F 1Q(x,y)yx男生样本频率分布直方图1851801751701651601900.01频率组距身高/cm0.060.070.050.04在Rt PAM ∆中，||417cos ||17172PA MPA PM ∠===------------------------------------11分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-217152(11717=⨯-=.---------------------------------------------------12分 17.解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.-------2分 频率分布直方图如右图示：------------------------------------------------6分 （2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在[165,180)的频率423705==f ----8分 故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率35=p .-9分（3）依题意知ξ的可能取值为：1,2,3∵14361(1)5C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===, 34361(3)5C P C ξ===------------------------12分∴ξ的分布列为： --------------13分ξ的数学期望1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=.-------------------------------14分18．解：（1）依题意知3a b =-----------------①-------------1分 ∵021=⋅PF ∴12PF PF ⊥， ∴()22222212248PF PF c (a b )b +==-=---------2分又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a +=，()22212884PF PF b a +=+=------②--------4分由①②得2262a ,b ==⇒2c =． ∴()120F -，、()220F ，------------------------------------6分 （2）由已知12QF QM =，即2212QF QM =∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1QM QF =-------------------8分yX∴()221221QF QF =--------------------------------------9分 设(,)Q x y ，则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=（或221220x y x +-+=）-------------------------------------------11分综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()22634x y -+=---------------------------------12分 19．（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即AB BD ⊥------------------------------------------------------------------------------------2分在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD .-----------------------------------------4分 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC . -----------------------------------------------------5分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角------------------------------------7分在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 设CD a =则2,BD a BC ==,BF ==,1122EF CD a ==------9分 ∴在Rt △FEB中，1sin 4aEF FBE FB ∠=== 即BF 与平面ABC所成角的正弦值为4.---------------------------------10分 解法2：如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD a =，则2,BD AB a ==BC =，AD =-------------6分可得(0,0,0),(2,0,0)B D a ,(0,0,2)A a,3(,,0)22C a a ，(,0,)F a a ，∴1(,,0)2CD a =,(,0,)BF a a =-------------8设BF 与平面ABC 所成的角为θ由（1）知DC ⊥平面ABC∴212cos()24||||aCD BF CD BF a πθ⋅-===⋅⋅∴sin 4θ=--------------------------------------------10分 （3）由（2）知 FE ⊥平面ABC ，又∵BE 平面ABC ，AE 平面ABC ，∴FE ⊥BE ，FE ⊥AE，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角-------------------------------------------------12分在△AEB 中，12AE BE AC ==== ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅ 即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-.--------------------------------------------------------14分 （其他解法请参照给分）20.解：（1）解法1：由11332()n n n n a a n +*+=+-∈N可得1112213333n nn n n n a a +++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，----------------------------------3分 ∴数列233nn n a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为12033a -=，公差为1等差数列，∴2133nn n a n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， -------------------------------------------------------------------6分 ∴数列{}n a 的通项公式为(1)32n nn a n =-+．-------------------------------------7分 解法2：由11332()n n n n a a n +*+=+-∈N可得111213333nn n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-------------------------------------------------------------2分令3n n na b =，则1121()33nn n b b +-=------------------------------------------------------3分 ∴当2n ≥时1123221n n n n b b b b b b b b ----+-++-+-211222(1)[()()()]3333n n -=--+++-----5分122(1)[1()]33n n -=---⊂⊂∴1122(1)[1()]33n n b b n -=+--- 2(1)()3n n b n =-+-------------------------------------------------------------------------6分 ∴32(1)3n n n n n a b n ==+------------------------------------------7分解法3：∵2222133232a a =+-=+，----------------------------------------------------1分22323333(32)32232a =++-=⋅+，--------------------------------------------2分33434443(232)32332a =⋅++-=⋅+．---------------------------------3分由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)32n n n a n =-+．----------------------------4分以下用数学归纳法证明．①当1n =时，12a =，等式成立．②假设当n k =（,2k N k *∈≥）时等式成立，即(1)32k k k a k =-+，那么11332k k k k a a ++=+-13[(1)32]32k k k k k +=-++-11[(1)1]32k k k ++=+-+．------------------------------------------------------------6分这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据①和②可知，等式(1)32n n n a n =-+对任何n N *∈都成立．----------------------------------------------------------------------------------------------------7分（2）令234132333(2)3(1)3n n n T n n -=+⋅+⋅++-+-，--------------------------①-----8分3451332333(2)3(1)3n n n T n n +=+⋅+⋅++-+- -----------------②------9分 ①式减去②式得：122311332333(1)3(1)32n n n n n T n n +++--=+++--=--⋅，------------------10分 ∴1121(1)333(23)39244n n n n n n T +++---⋅+=-=．----------------------------12分 ∴数列{}n a 的前n 项和2131(23)39(23)3212244n n n n n n n S ++++-+-++=+-=．------14分 21．解：（1）若1,1a b ==-，则2()(1)xf x x x e =+-有22()(21)(1)(3)x x x f x x e x x e e x x '=+++-=+令()0f x '=得13x =-,20x =-----------------------------------1分∵当(,3)x ∈-∞-时'()0f x >，当(3,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x > ∴当3x =-时,函数()f x 有极大值，35()(3)f x f e-=极大值＝，-----------------------2分 当0x =时，函数()f x 有极小值，()(0)1f x f ==-极小值.-----------------------------3分(2)∵23a b +=- 即 23b a =--又22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e e x a x a b '=++++=++++∴2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++--------------------------5分当31a --=即4a =-时，2'()(1)0x f x e x =-≥∴函数()x f 在(,)-∞+∞上单调递增；---------------------------------------------------------6分当31a -->，即4a <-时，由()0f x '>得3x a >--或1x <，由()0f x '<得13x a <<--；------------------------------------------------------------------7分当31a --<，即4a >-时，由()0f x '>得3x a <--或1x >，由()0f x '<得31a x --<<；------------------------------------------------------------------8分综上得：当4a =-时，函数()x f 在(,)-∞+∞上单调递增；当4a <-时，函数()x f 在(,1)-∞和(3,)a --+∞上单调递增，在(1,3)a --上单调递减---9分 当4a >-时,函数()x f 在(,3)a -∞--和(1,)+∞上单调递增，在(3,1)a --上单调递减.---10分（3）根据题意|()|()x f x g x e=＝2||x ax b ++， ∵()g x 在]1,1[-上的最大值为M ，∴(1),(0),(1)g M g M g M -≤≤≤即|1|,||,|1|a b M b M a b M -+≤≤++≤ ---------------------------12分2＝|(1)(1)2||1||1||2|4a b a b b a b a b b M -++++-≤-+++++≤ ∴21≥M -------------------------------------------------------14分。
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北京林业大学2014--2015学年第一学期模拟试卷（A ）试卷名称： 高等数学上（理工类) 课程所在院系： 理学院考试班级 学号 姓名 成绩试卷说明：1. 本次考试为 闭 卷考试。
本试卷共计4页，共8大部分，请勿漏答；2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷所有试题答案直接写在试卷上；（特殊要求请详细说明）5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外交回，不得带出考场；考试中心提示：请你遵守考场纪律，参与公平竞争！一、填空题（每题3分，共30分）1. 已知2211()6f x x x x+=++，则()f x =24x +.2． =++→xx x 2)]1ln(1[lim ____e 2________。
3．设23sin ,0()(1),0x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在0x =处连续,则a =2e . 4．设函数220()ln(3)x f x t dt =+⎰，则()f x '= 2x ln(3+x 4) 。
5、函数32)3()12()(+-=x x x x f ，则=)()6(x f 2880 。
6．21cos 1cos 2xdx x ++⎰=1(tan )2x x c ++. 7．2522sin||2x x dx x -+=+⎰ ln3 。
8．)(x f 为连续函数，且)(x f 为奇函数，则[]222()1 f x x dx -+⎰=163． 9．已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则==0x dxdy32π。
10．设sin t x e t =，cos t y e t =，则dy dx =cos sin cos sin t t t t-+． 二、计算题（每题5分，共35分） 1．计算220limsin xt x x e dtx x→-⎰ 2 求极限xexx 10lim -→+解： 解：2220202020lim sin 1lim 2sin cos 2lim 2sin 2cos 2cos sin 13xt x xx x x x e dt x x e x x x x xe x x x x x x x→→→--=+-=++-=-⎰ 11002110021lim lim 1()1lim lim 1()0xx x xx x x xe x x e x e e x ++++-→→→→==-=-= 或2223200lim1lim 32lim 613xt x xx xx x e dtx e x xe x →→→--=-==-⎰3. 计算dx e e x x⎰+12 4. 计算⎰+dx x x )1ln( 解：21xxe dx e +⎰ 解： ⎰+dx x x )1ln( =21x x x x e e e dx e +-+⎰ =21ln(1)2x dx +⎰2()1x x x x e e e dx e +-=+⎰ =221(ln(1))21x x x dx x +-+⎰=⎰-dx e x1x x e dx e +⎰ =211(ln(1)(1))21x x x dx x+--++⎰ =C e e xx ++-)1ln( =221111ln(1)ln(1)2422x x x x x +-+-+ 5. 设2arctan(2)xy x x =+,求dy ,解：令2xu x =ln 2ln u x x =2ln 2u x u'=+ 2(2ln 2)xu x x '=+22[(2ln 2)2]14x dy x x dx x =+++ 6．计算1ln(1dx ⎰.,t = 则2dx dt =原式120ln(1)t dt =+⎰112200ln(1)ln(1)t t t d t =+-+⎰210ln 21t dt t=-+⎰11ln 2(1)1t dt t=--++⎰ 12=7、已知x x x y 2arcsin 412-+=，求dy 。
dxx xx dx xx x xx dy )2arcsin 4143()412412arcsin 41281(2222--=-⋅-+--+=8、已知x yey x arctan225=+，求22,dx yd dx dy 。
.)()(2)(22)()1)(()1)((,,,1arctan 5ln )ln(2132222222222222y x y x y x dx dyx y y x dx dy y x dx dy y x dx y d y x y x dx dy ydx xdy ydy xdx x y x ydxxdy y x ydy xdx xy y x -+=-+-=--+-+-=-+=-=++-=+++=+解：三、证明题 1.设0x >，证明21ln(1)21x x<++ 证明：()f x =21ln(1)21x x-++ 22411()0(21)(1)(1)(21)f x x x x x x x '=-+=>++++ 所以，()f x 在[0,+∞上单调增加，又lim ()0x f x →+∞=故当0x >时，()0f x <，即21ln(1)21x x<++ 2.设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内具有二阶导数，且)()(b f a f =，)(x f 在a x =处的右导数)(/a f +为正，证明在（b a ,）内至少存在一点c ，使得0)(//<c f证明： 因为 /()()()lim 0x af x f a f a x a++→-=>-，根据极限的局部保号性知，存在0δ>，使得当(,)x a a δ∈+时，有()()0f x f a ->，取0(,)x a a δ∈+，根据拉格朗日中值定理知，分别在存在102[,],[,]o a x x b ξξ∈∈使得010020()()()(),()()()()f x f a f x a f x f b f x b ξξ''-=--=-由于0()()0,()()f x f a f a f b ->=，所以12()0,()0f f ξξ''><。
因为()f x '在闭区间12[,]ξξ上连续，开区间12(,)ξξ可导，所以存在12(,)c ξξ∈，使1212()()()()f f f c ξξξξ''''-=-，由1212()()0,0f f ξξξξ''->-<得0)(//<c f 。
四．（5分） 设函数)(x f 在[0,1]上连续，且101()d ()12f tx t f x =+⎰，求()f x 在[0,1]上的表达式. 解：100111()d ()d =()d =()12xt ux x f tx t f u u f u u f x x x ====⋅+⎰⎰⎰2()d =()2x f u u xf x x +⎰上式两边对x 求导后整理得 ()()2f x xf x '-=所以 2()2f x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭⇒ ()2f x c x x =+ ⇒ ()2f x cx =+（c 为任意常数）五、当曲线)0(2≥=x x y 上某点P 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为121，试求： （1）切点P 的坐标； （2）过切点P 的切线方程；（3）由上述所围平面图绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设切点A 为200(,)x x ，由()2f x x '=知，过A 点的切线方程为20002()y x x x x -=-，即2002y x x x =-，令0y =，得切线与x 轴的交点为0(,0)2x . 由题设023220001(2)1212x x x x S x dx xx x dx ==--=⎰⎰，可知01x =，即切点A 的坐标为(1,1). 于是切线方程为 12(1)y x -=-.所求旋转体体积为 12112220()(21).30V x dx x dx πππ=--=⎰⎰。