第三章-点、线、面的投影(1)知识讲解
点线面投影
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
投影法
投 射 方 向
斜投影法
平行投影法
投
射
方
正投影法
向
① 中心投影法：所有的投射线都交于一个点
② 平行投影法 ： 所有的投射线都互相平行
（1）斜投影法：投射线倾斜于投影面
投 射 方 向
90°
② 平行投影法 ：所有的投射线都互相平行
（2）正投影法：投射线垂直于投影面的投影法
投 射 方 向
90°
2. 特性
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
[例3-10] 已知平面五边形ABCDE的正面投影和AB、 AE边的水平投影，试完成五边形的水平投影。
分析：利用在△ＡＢＥ上取点的方法完成水平投影。
作图
C B
I
A
E
课后作业：
《习题集》:Ｐ8 ～ 9
3-6 直线与平面、平面与平面的相对位置
相对位置包括平行、相交和垂直三种情况:
一、平行问题
包括
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
第3章 点线面的投影
b a a b a
b
投影特性：
三个投影都为类似 形。即: 都不反映空间 线段的实长及与三个投 影面夹角的实大，且与 三根投影轴都倾斜。
三、直线上点的投影
直线上的点具有两个特性：
1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线 的各同面投影上。 利用这一特性可以在直线上找点，或 判断已知点是否在直线上。
两直线相交吗？ ★ 同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空间 为什么？ 一个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上 的一 对重影点的投影， 用其可帮助判断两直线 的空间位置。
投影特性：
例：判断两直线的相对位置
c
1 a d d 1
相交吗？
b
X
a
c 1d
b
1c
判断两直线重影点的可见性
a k● b a
●
k
b
a k●
b
因k 不在a b 上， 故点K不在AB上。
另一判断法 如何判断 ? ?
应用定比定理
例3 ：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
a k
b
●
解法二： （应用定比定理）
a
a k
● ●
●
k● b
怎么做?
b
b
k● a
求出侧面投影
⒉ 两直线相交
V a
A a c k b
注意：交点 为两直线共 有！
B c b k d
C
d K D d
k
a b
H
c
a c k
d
b
投影特性：
若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影规律。 (反之 用于判断） 。
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
第三章点、直线及平面的投影详解
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到 画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的 各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱 线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图， 还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的 投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。 作图步骤：（1）根据B的相对位置求 其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
03 点、线、面、体的投影规律(1)
Fundamentals of Engineering Graphics第三章点、线、面、体的投影（1）第三章点、线、面、体的投影（1）§3.1 点的投影规律P3～22Projection of Points§3.2 线的投影规律P23～72Projection of lines§3.3 面的投影规律P73～128Projection of Planes3a-A 点的水平投影（H 面投影）a’-A 点的正面投影（V 面投影）HVOXA WY Za”-A 点的侧面投影（W 面投影）二、点A 在三投影体系中的投影注：在标记时，空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。
a a’a”一、三投影面体系中的点A 点为三面投影体系中的点§3.1点的投影规律过空间A 点分别向三个投影面作射线，得交点分别为a 、a’、a”。
W VH●●●●XYZOVHWAaa "a 'xa a za y向右翻向下翻不动三、A 点三面投影的展开a a Za a 'ya ya XYY O"●●a z●x●●●●XYZOVHWAaa "a '①a 'a ⊥OX 轴②aa x = a "a z =y=A 到V 面的距离a 'a x = a "a y =z=A 到H 面的距离aa y = a 'a z =x=A 到W 面的距离xa a za y●●YZa za "XYa yOaa xa ya '●a 'a "⊥OZ 轴四、点在三投影面体系中的投影规律五、点的三面投影和坐标的关系yxzOA VHWa'a a"XZ Y水平投影a 反映了A 点的X 、Y 坐标；（x, y ）（x, z ）（y, z ）正面投影a’反映了A 点的X 、Z 坐标；侧面投影a”反映了A 点的Y 、Z 坐标。
第3章-点线面投影
V面倾斜
a”b”与OYW夹角反映α实际大小，
编辑a版”pbp”t 与OZ夹角反映β实际大小。 22
投影面平行线的投影特性
名称 水平线(‖H面，对V、W面 正平线(‖V面，对H、W面 侧平线(‖W面，对H、V
b=AB；
1.正面投影a’b’=AB；
1.侧面投影a”b”=AB；
– 点的三面投影及其规律，两点的相对位置；
– 各种位置直线的投影特点，直角三角形法求直 线的实长，两直线的相对位置；
– 各种平面的表示法，各种位置平面的投影特点， 直线与平面、平面与平面的相对位置。
编辑版ppt
3
3.1 三面投影体系与物体的三视图
一、三投影面体系与物体的三视图 1.单面投影
空间形体1
水平投影ab‖ OX，侧面投影 a”b” ‖OZ，都不反映实长；
a’b’与OX夹角反映α实际大小，
a’b’与OZ夹角反映γ实际大小。
编辑版ppt
21
2.投影面平行线——侧平线
直线AB与哪个投影面 平行？
实长
侧面投影a”b”=AB；
平行于W面，对H、
水平投影ab‖ OYH，正面投影 a’b’ ‖OZ，都不反映实长；
性 大小。
实际大小。
A、B为基于H面的重影点。
编辑版ppt
不可见点一般 加括号表示
思考：基于V面、W面的重 影点的投影图。
15
3.3 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。
编辑版ppt
16
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
垂直于投影面； 直线平行于投影面； 直线倾斜于投影面；
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
点线面的投影
b
x
c
b
yW
a b
yH
Z
C c c
a A
a
O
b c
b
a
X
bB
A位于 空间
B位于 H面
C位于 V面
Y 11
第二节 直线的投影
直线的投影 直线上的点 各种位置直线的投影特性 线段的实长及倾角
一 直线的投影
直线的投影特性
1.直线平行于投影面，其投影反映实长。 2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。 3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。
2、ab =AB 反映实长,倾斜于OZ轴，反映 、 角
投影面垂直线
垂直于一个投影面 平行于另外两个投影面。 垂直线分三种：
铅垂线⊥Ｈ面
正垂线⊥Ｖ面
侧垂线⊥Ｗ面
铅垂线（ Ｈ面、//Ｖ面、//Ｗ面）
Z a
Z
a
a
b X
A
O B a(b)
a
b
X
O
b
Y
a(b)
YH
b YW
投影特性：1、水平投影 a b 积聚 成一点 2、 a b // OZ ; a b // OZ； a bOX ; 3、 a b = a b = AB 反映实长
y 点B的Z坐标为0，故点B为H面上的
w 点。
b
yH
点C的x、y坐标为0，故点C为z轴 上的点。
例题7 已知点D 的三面投影，点C在点D的正前方15mm，
求作点C的三面投影，并判别其投影的可见性。
解： 由已知条件知：XC=XD
Z
ZC=ZD YC-YD=15mm
c' (d')
因为点C、D在V面上的投 影重影。
点线面的投影
点线面的投影投影是几何学中一个重要的概念，用来描述物体在不同维度中的影子或映像。
在三维空间中，投影通常分为点投影、线投影和面投影三种形式。
本文将对点线面的投影进行讨论，并探索其在现实生活中的应用。
一、点的投影点的投影是指当一个点在一个平面上投影时，与该点连线垂直于平面的投影点。
这个投影点可以将原始点的位置在平面上进行准确表示，而不会改变该点的其他性质，如颜色、大小等。
在现实生活中，点的投影有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，建筑师需要通过对建筑物顶部的点进行投影来确定其在平面图上的位置。
同样，在地图制作中，将地球上各个城市的经纬度进行投影来绘制平面地图也是常见的应用。
二、线的投影线的投影是指当一条线在三维空间中投影到一个平面上时，将线段两个端点对应连接起来的线段。
线的投影可以更直观地展示出线在平面上的位置和方向。
线的投影在工程和制图中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，工程师可以通过将建筑物的立面进行投影，来更好地展示建筑物的外观和形状。
此外，在工程测量中，通过线的投影可以准确地测量出建筑物内部的各种线段长度和角度，为工程施工提供了重要的参考。
三、面的投影面的投影是指当一个平面在三维空间中投影到另一个平面上时，将原始平面的各个顶点在投影平面上对应连接起来的多边形。
面的投影能够完整地展示出原始平面的形状和大小。
面的投影在几何学和地理学中都有着广泛的应用。
例如，在地图投影中，通过将地球表面的多个面投影到一个平面上，可以制作出我们常见的地图样式。
此外，在几何学研究中，通过面的投影可以确定不同形状的二维图形，为解决问题提供了重要的思路。
总结起来，点线面的投影是几何学中重要的概念，用来描述物体在不同维度下的影子或映像。
它们在建筑设计、地图制作、工程测量等领域都有着重要的应用。
通过理解和应用投影，我们可以更好地理解和展示物体的形状、位置和方向，为解决实际问题提供了有力的工具。
以上是对点线面的投影的简要介绍，希望能够帮助您更好地理解和应用投影的概念。
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【例3-1】 已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其 侧面投影a″
解: 作图步骤如下
二、点的投影与坐标
1、投影与坐标
引入直角坐标系的概念，点A的空间位置可用直角坐标表 示为A（x，y，z），其中x表示A点到W面的距离，y表示 A点到V面的距离，z表示A点到H面的距离。
V
a
b
X
Z
a
A
a
b
W
X
O
a
a
B
b
Z a
b
O
YW
Hb
b YH
Y
侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴
投影面平行线的投影特性
如图所示：直线与投影面之间的夹角，称为直线的倾角。直线 对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ标记。
投影面平行线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且倾斜于投影轴，该投 影与相应投影轴之间的夹角，反映直线与另两个投影面的倾角。 （2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于 实长。
直线与投影面垂直 直线与投影面平行 直线与投影面倾斜
一、投影面平行线
定义：平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影 面的直线。
分类：
水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。
正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。
侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。
水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）
事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另 一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映 与其他两投影面夹角的实形。
二、投影面垂直线
定义：垂直于一个投影面。
分类：
铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。 正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。 侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。
V X
铅垂线（垂直于H面，同时平行于V、W面的直线）
Z
a
Z
a
a
b
b
A
W
a X
O
YW
b
O B
H a(b)
b
Y
a(b)
YH
特性：
1.ab积聚为一点; 2.a'b'∥a″b″∥OZ; 3.a'b'=a″b″=AB
正垂线（垂直于V面，同时平行于H、W面的直线）
Z
V ab
(a)b
Z a b
ห้องสมุดไป่ตู้
A
a
W
XO
YW
B
点的投影规律
Z
水平投影和正面投影的
a
az
X
ax
O
a
ay
a'
ay YW
连线垂直于OX轴（长 对正）； 正面投影和侧面投影的 连线垂直于OZ轴（高平 齐）；
水平投影到OX轴的距 离等于侧面投影到OZ轴 的距离（宽相等）。
YH
可得出点的投影特性如下：
（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。 （2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面 的距离。
【例3-3】 已知直线AB的水平投影ab,AB对H面的倾角为30°,端点A 距水平面的距离为10,A点在B点的左下方,求AB的正面投影a'b',如图38a所示。
图3-8 作正平线的V投影
解:(1)作图分析
由已知条件可知,AB的水平投影ab平行于OX轴,因而AB是正平线,正平 线的正面投影与OX轴的夹角反映直线与H面的倾角。A点到水平面的距离 等于其正面投影a‘到OX轴的距离,从而先求出a’ 。
Z
Z
V
a b
a
b
a
b
A
a
X
B
WX
O
O
b a
YW
a
H
b
Y
b YH
水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴
V
a
X
正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）
Z
b
Z
b
b
B
b
a
a
A
a W X
O
YW
O
a
b
a
b
H
Y
YH
正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴
侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）
第三章-点、线、面的投影(1)
第一节 点的投影
任一形体都可视为由点、线、面所组成，其中 点是最基本的几何元素。
一、点的三面投影及其规律
空间点A放置在三面投影体 系中，过点A作垂直于H面、V 面、W面的投影线
点的三面投影图
Z
V
a
az
X
ax
A
a'
OW X
a H
ay Y
a
ax a
Z
az
a'
ay
O
YW
ay YH
b
a
X
O
a b
H Y
b
YH
特性：
1.c'd'积聚为一点 2.cd∥OYH,c″d″∥OYW 3.cd=c″d″=CD
侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）
V a
Z
b
a
b Z a(b)
ab X
O
YW
A
BW
X
O
a
b
YH
Ha
b
特性：
Y 1.e″f″积聚为一点
2.ef∥e'f'∥OX
3.ef=e'f'=EF
第二节 直线的投影
由于直线的投影一般
V
情况下仍为直线，且
两点决定一直线，故
a'
要获得直线的投影，
X
只需作出已知直线上
的两个点的投影，再
将它们相连即可。
b' B
O A
b
a
H
直线的分类
按直线与三个投影面之间的相对位置，将直线分为三类： 投影面平行线、投影面垂直线、一般位置直线。前两类统 称为特殊位置直线。
V面的重影点
W面的重影点
直 观 图
投 影 图
重影的特性：
如图所示：点A在点B的正上 方，则其在H面上的投影a和 b重合，A、B点即为H面的 重影点。由于A点在上，B点 在下，向H面投影时，投射 线先遇点A，后遇点B，所以 点A的投影a可见，点B的投 影b不可见。因此为了区别 重影点的可见性，将不可见 点的投影用字母加括号表示， 即为a(b)。则它们的X、Y坐 标相同，Z坐标不同。
投影面垂直线的投影特性
投影面垂直线的投影特性可概括如下： （1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点； （2）直线的另外两个投影垂直于相应的投影轴，且反 映实长。
事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行 于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间 直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线 必垂直于积聚投影所在的投影面。
H面：a(x,y) V面：a′(x, z) W面： a〞(y, z)
【例3-2】 已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。 解:作图步骤如下
（1）方法一
（2）方法二
2．特殊位置点的投影
（1）投影面上的点
（2）投影轴上的点
三、两点的相对位置
空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该 点的前或后、左或右、上或下。
空间两点的相对位置用坐标来表示：X坐标大者在左，小者在右；Y坐 标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。如果已知两点的相 对位置 ，以及其中一点的投影，也可以作出另一点的投影。
在投影面的重影点
重影：当两个点处于某一投影面的同一条投射线上，则两个点在这个投
影面上的投影便互相重合。
H面的重影点