全国卷2017-2010理数学试题及详细答案分类汇编一集合与简易逻辑
2017年高考全国卷I卷(理数)试题及答案详细解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则( )A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( ) A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为( ) A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ) A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．1011．设x ，y ，z 为正数，且235x y z ==，则( )A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
2017年高考理科数学全国卷1-答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题 1.【答案】A【解析】本题考查集合的运算及简单不等式的求解.由31x <,得0x <,所以{}|0B x x =<,故{| 0}A B x x =<I ,故选A . 2.【答案】B【解析】本题考查几何概型.设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为2π,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率2228P ππ==⨯,故选B . 3.【答案】B【解析】本题考查复数的计算和命题真假的判断.对于命题1p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,由2211a bi z a bi a b -==∈++R ,得0b =,则z ∈R 成立,故命题1p 正确；对于命题2p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,由222()2z a b abi =-+∈R ,得0a b =g ,则0a =或0b =,复数z可能为实数或纯虚数,故命题2p 错误；对于命题3p ,设1(,)z a bi a b =+∈R ,2(c,d )z c di =+∈R ,由12()()z z ac bd ad bc i =-++∈R g ,得0ad bc +=,不一定有12z z =,故命题3p 错误；对于命题4p ,设(,)z a bi a b =+∈R ,则由z ∈R ,得0b =,所以z a =∈R 成立,故命题4p 正确.故选B .4.【答案】C【解析】本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用.等差数列{}n a 中,166()482a a nS +==,则162516a a a a +==+,又4524a a +=,所以42224168a a d -==-=,得4d =,故选C . 5.【答案】D【解析】本题考查利用函数的性质求解不等式.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调递减函数,且为奇函数,则(1)(1)1f f -=-=,所以原不等式可化为(1)(x 2)(1)f f f ≤-=≤-,则121x -≤-≤,即13x ≤≤,故选D .6.【答案】C【解析】本题考查二项式定理中项的系数问题.对于621(1)(1)x x++,若要得到2x 项,可以在21(1)x +中选取1,此时6(1)x +中要选取含2x 的项,则系数为26C ；当在21(1)x +中选取21x时,6(1)x +中要选取含4x 的项,即系数为46C ,所以,展开式中2x 项的系数为246630C C +=,故选C .7.【答案】B【解析】本题考查立体几何中的三视图问题.由多面体的三视图还原直观图如图.该几何体由上方的三棱锥A BCE -和下方的三棱柱11BCE B C A -构成,其中面11CC A A 和面11BB A A是梯形,则梯形的面积之和为(24)2122+⨯=.故选B . 8.【答案】D【解析】本题考查程序框图问题.本题求解的是满足32 1 000n n ->的最小偶数,可判断出循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件要输出结果,所以判断语句应为 1 000A ≤,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此中语句应为2n n =+,故选D .9.【答案】D【解析】本题考查三角函数的诱导公式及图象变换.首先利用诱导公式化异名为同名.22sin(2)cos(2)cos(2)cos[2()]332612y x x x x πππππ=+=+-=+=+,由cos y x =的图象得到cos2y x =的图象,需将曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变；由cos2y x =的图象得到cos[2()]12y x π=+的图象,需将cos2y x =的图象上的各点向左平移12π个单位长度,故选D . 10.【答案】A【解析】如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足为1A ,1B ,则1||=||AF AA ,1||=||BF BB ,过点F 向1AA 引垂线FG ,得||||cos ||||AG AF pAF AF θ-==, 则||=1cos p AF θ-,同理,||=1cos pBF θ+,则22||||||sin p AB AF BF θ=+=,即24||sin AB θ=, 因l 与2l 垂直,故直线DE 的倾斜角为2πθ+或2πθ-,则24||cos DE θ=,则222222444416||||1sin cos sin cos sin 2(sin 2)2AB DE θθθθθθ+=+===, 则易知||||AB DE +的最小值为16.故选A . 11.【答案】D【解析】由235x y z ==,可设23535(2)(3)(5)x y z t ===,因为x ,y ,z 为正数,所以1t >,因为636228==,6236339==,所以323<；因为105102232==,510525=,所以525>,所以53523<<.分别作出(2)x y =,3(3)x y =,5(5)x y =的图像,如图.则325y x z <<,故选D .12.【答案】A【解析】本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.不妨设11(12)(122)(122)2n t m -+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=(其中m 、n 、t ∈N ,0t n ≤≤),则有(1)12n n N t +=++,因为100N >,所以13n ≥. 由等比数列的前n 项和公式可得1122212n t m n ++--+-=. 因为13n ≥,所以22n n >+,所以1222n n n +>++,即1222n n n +--> 因为1210t +->,所以12222m n n n +>-->,故1m n ≥+,因为112121t n ++-≤-,所以2223m n n +≤--,故1m n ≤+. 所以1m n =+,从而有t 123n +=-,因为13n ≥,所以3t ≥. 当3t =时,95N =,不合题意；当4t =时,440N =,满足题意,故所求的最小值为440. 二、填空题 13.【答案】23【解析】本题考查向量数量积的计算.由题意知1||||cos602112=︒=⨯⨯=g g a b a b ,则2222|2|(2)||4||444412+=+=++=++=g a b a b a b a b .所以|2|23+=a b .14.【答案】5-【解析】本题考查利用线性规划求解最值.由约束条件作出可行域,如图阴影部分所示.平移直线320x y -=可知,目标函数32z x y =-在A 点处取最小值,又由21,21x y x y +=⎧⎨+=-⎩解得1,1,x y =-⎧⎨=⎩即(1,1)A -,所以min 3(1)215z =⨯--⨯=-. 15.【答案】23【解析】本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M 、N 在渐近线by x a=上,如图,AMN △为等边三角形,且||AM b =,则A 点到渐近线b y x a=的距离为3b ,又将by x a=变形为一般形式为0bx ay -=,则(,0)A a 到渐近线0bx ay -=的距离22ab d c a b ==+,所以32ab b c =,即32a c =,所以双曲线离心率233c e a ==.16.【答案】415【解析】由题意知折叠以后三棱锥的直观图如图所示.连接CO 并延长交AB 于H ,连接DO 、DH .则DO ⊥平面ABC .令 cm OH x =,则2 cm OC x =,(5) cm DH x =-,得22(5)2510 cm OD x x x =--=-,2 3 cm AB =.则22311( 23 3) 25103 25101552 cm 32D ABC V x x x x x x x -=-=-=-g g g g ,令2()1552f x xx =-,则2215(105)()15(252 )5252x x f x x x x x x-'=-+=--g ,则当(0,2)x ∈时,()f x 单调递增,当(2,2.5)x ∈时,()f x 单调递减,所以当2x =时,体积取最大值,为3345415 cm ⨯⨯=.三、解答题17.【答案】解：(1)由题设得21sin 23sin a ac B A =,即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =. 故2sin sin 3B C =.(2)由题设及(1)得1cos cos sin sin 2B C B C -=-,即1cos()2B C +=-. 所以23B C π+=,故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即2()39b c bc +-=,得33b c +=. 故ABC ∆的周长为333+.【解析】本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用. 18.【答案】解：(1)由已知90BAP CDP ∠=∠=o ,得AB AP ⊥,CD PD ⊥. 由于//AB CD ,故AB PD ⊥,从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PF AD ⊥,垂足为F . 由(1)可知,AB ⊥平面PAD ,故AB PF ⊥, 可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点,FA u u u r的方向为x 轴正方向,||AB uuu r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由(1)及已知可得2222(,0,0),(0,0,),(,1,0),(,1,0)2222A PBC -所以2222(,1,),(2,0,0),(,0,),(0,1,0)2222PC CB PA AB =--==-=u u u r u u u r u u u r u u ur设(,,)n x y z =是平面PCB 的法向量,则0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即220,2220.x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)n =--.设(,,)m x y z =是平面PAB 的法向量,则0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即220,0.x z y ⎧-=⎪⎪=⎩可取(1,0,1)m =.则cos ,||||n m n m n m <>==g .所以二面角A PB C --的余弦值为3-【解析】本题考查了立体几何中面面垂直的证明和二面角问题.19.【答案】(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.997 4,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.002 6,故~(16,0.0026)X B ,因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.(2)(i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii )由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为ˆ9.97,μσ=的估计值为ˆ0.212σ=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=,因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑,剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为, 221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈,因此σ0.09≈. 【解析】本题考查了统计与概率中的二项分布和正态分布的性质及应用.20.【答案】(1)由于34,P P 两点关于y 轴对称,故由题设知C 经过34,P P 两点. 又由222211134a b a b+>+知,C 不经过点1P ,所以点2P 在C 上. 因此22211,131,4b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故C 的方程为2214x y +=.(2)设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k .如果l 与x 轴垂直,设:l x t =,由题设知0t ≠,且||2t <,可得,A B的坐标分别为(,,22t t -.则1222122k k t t +=-=-,得2t =,不符合题设.从而可设:(1)l y kx m m =+≠.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=.由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>.设1122(,),(,)A x y B x y ,则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++. 而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=, 由题设121k k +=-,故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141m km k m k k --++-=++g g . 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时,0∆>,于是1:2m l y x m +=-+, 即()1122m y x ++=--, 所以l 过定点(2,1)-.【解析】解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题. 21.【答案】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()2(2)1x x f x ae a e '=+--(1)(21)x x ae e =-+.(i )若0a ≤,则()0f x '<,所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减.(ii )若0a >,则由()0f x '=的ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时,()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时,()0f x '>所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减,在(ln ,)a -+∞单调递增.(2)(i )若0a ≤,由(1)知,()f x 至多有一个零点.(ii )若0a >,由(1)知,当ln x a =-时,()f x 取得最小值,最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. 当1a =时,由于(ln )0f a -=,故()f x 只有一个零点；当(1,)a ∈+∞时,由于11ln 0a a -+>,即(ln )0f a ->,故()f x 没有零点； 当(0,1)a ∈时,11ln 0a a -+<,即(ln )0f a -<. 又422(2)(2)2220f ae a e e ----=+-+>-+>,故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-,则00000000()(2)20n n n n f n e ae a n e n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-,因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.综上,a 的取值范围为(0,1).【解析】本题考查了利用导数讨论函数的单调性和函数的零点问题. 22.【答案】解：(1)曲线C 的普通方程为. 当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=. 由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为2124(3,0),(,)2525-. (2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =. 当4a ≥-时,d=所以8a =； 当4a <-时,d,=所以16a =-. 2219x y +=综上,8a =或16a =-.【解析】本题考查参数方程的应用.23.【答案】解：(1)当时,不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤. ①当1x <-时,①式化为2340x x --≤,无解；当11x -≤≤时,①式化为220x x --≤,从而11x -≤≤；当1x >时,①式化为240x x +-≤,从而112x -+<≤. 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤. (2)当[1,1]x ∈-时,()2g x =. 所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-,等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一,所以(1)2f -≥且(1)2f ≥,得11a -≤≤.所以a 的取值范围为[1,1]-.【解析】本题考查参数方程的应用.1a =。
2017高考题数学理真题汇编含答案
专题1 集合与常用逻辑用语1．(2017·高考全国卷乙)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅2．(2017·高考全国卷甲)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1，0} C ．{1，3}D ．{1，5}3．(2017·高考全国卷丙)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．04．(2017·高考北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2017·高考浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4 ＋ S 6＞2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2017·高考天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2017·高考江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．专题2 函 数1．(2017·高考全国卷乙)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C ．[0，4]D ．[1，3]2．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C.12D ．13．(2017·高考北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数4．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0，1]时，函数y ＝(mx －1)2 的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[23，＋∞)B ．(0，1]∪[3，＋∞ )C ．(0，2]∪[23，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)5．(2017·高考浙江卷)若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关6．(2017·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x ，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－4716，2 B ．⎣⎡⎦⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D ．⎣⎡⎦⎤－23，3916 7．(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 8．(2017·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D ＝{x |x ＝n －1n，n ∈N *}，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________． 9．(2017·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________．专题3 导数及其应用1．(2017·高考全国卷甲)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．12．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．3．(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．4．(2017·高考全国卷甲)已知函数f (x )＝ax 2－ax －x ln x ，且f (x )≥0. (1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2.5．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．6．(2017·高考江苏卷)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a ；(3)若f (x )，f ′(x )这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a 的取值范围．专题4 三角函数与解三角形1．(2017·高考全国卷乙)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．(2017·高考全国卷丙)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减3．(2017·高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )A ．a ＝2bB ．b ＝2aC ．A ＝2BD ．B ＝2A4．(2017·高考天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π245．(2017·高考全国卷甲)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 6．(2017·高考浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________．7．(2017·高考全国卷乙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．8．(2017·高考全国卷甲)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .9．(2017·高考全国卷丙)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．专题5 平面向量、数系的扩充与复数的引入1．(2017·高考全国卷乙)设有下面四个命题 p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 42．(2017·高考全国卷甲)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 3．(2017·高考全国卷甲)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－14．(2017·高考全国卷丙)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A ．12B ．22C. 2D ．25．(2017·高考全国卷丙)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．26．(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．(2017·高考山东卷)已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1B ．7或－7C ．－ 3D ． 38. (2017·高考浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 39．(2017·高考全国卷乙)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2 b |＝ ________ . 10．(2017·高考山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________11．(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．12．(2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．专题6 数 列1．(2017·高考全国卷乙)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．82．(2017·高考全国卷甲)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏3．(2017·高考全国卷丙)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．84．(2017·高考全国卷甲)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 k ＝1n1S k＝__________． 5．(2017·高考全国卷丙)设等比数列{a n }满足a 1 ＋ a 2 ＝－1, a 1－a 3 ＝－3，则a 4 ＝ ________． 6．(2017·高考山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2. (1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n ＋1(x n ＋1, n ＋1)得到折线P 1 P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .7．(2017·高考天津卷)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)．8．(2017·高考北京卷)设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n ＝max{b 1－a 1n ，b 2－a 2n ，…，b n －a n n }(n ＝1，2，3，…)，其中max{x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．(1)若a n ＝n ，b n ＝2n －1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，c nn >M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m ＋1，c m ＋2，…是等差数列．专题7 不等式、推理与证明1．(2017·高考全国卷甲)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．92．(2017·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．93．(2017·高考山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．64．(2017·高考浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)5．(2017·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．23B ．1 C.32D ．36．(2017·高考全国卷乙)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．7．(2017·高考全国卷丙)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．专题8 立体几何1. (2017·高考全国卷乙)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．162．(2017·高考全国卷甲)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π3．(2017·高考全国卷丙)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4C.π2D ．π44．(2017·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．π2＋1B ．π2＋3C.3π2＋1 D ．3π2＋35．(2017·高考全国卷丙)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)6．(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．7. (2017·高考全国卷乙)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A PB C 的余弦值．8．(2017·高考全国卷甲)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45° ，求二面角M -AB -D 的余弦值．9．(2017·高考全国卷丙)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD ＝∠CBD ，AB ＝BD .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．专题9 平面解析几何1．(2017·高考全国卷乙)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．102．(2017·高考全国卷甲)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2B ． 3 C. 2D ．2333．(2017·高考全国卷丙)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝14．(2017·高考全国卷丙)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A ．63B ．33C.23 D ．135．(2017·高考全国卷乙)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．6．(2017·高考全国卷甲)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．7．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．8．(2017·高考全国卷乙)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3(－1，32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．9．(2017·高考全国卷甲)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．(2017·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．11. (2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．12．(2017·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62，求直线AP 的方程．专题10 计数原理、概率、随机变量及其分布1．(2017·高考全国卷乙)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A ．14B ．π8C.12D ．π42．(2017·高考全国卷乙)⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．353．(2017·高考全国卷甲)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种4．(2017·高考全国卷丙)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．805．(2017·高考山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )A ．518B ．49C.59D ．796．(2017·高考全国卷甲)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX ＝________．7．(2017·高考浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)8．(2017·高考山东卷)已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________．9．(2017·高考全国卷乙)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116（x i －x ）2＝116⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i－16x 2≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1，2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.10．(2017·高考全国卷丙)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30) [30，35) [35，40)天数 2 16 36 25 7 4(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？11．(2017·高考山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX .12．(2017·高考天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．专题11 统计、统计案例及算法初步1．(2017·高考全国卷乙)下面程序框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入()A．A>1 000和n＝n＋1B．A>1 000和n＝n＋2C．A≤1 000和n＝n＋1D．A≤1 000和n＝n＋22．(2017·高考全国卷甲)执行如图的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝()A．2 B．3C．4 D．53．(2017·高考全国卷丙)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．(2017·高考全国卷丙)执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为()A．5 B．4C．3 D．25．(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为()A．0 B．1C．2 D．36．(2017·高考江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件．7．(2017·高考全国卷甲)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg, 新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)0.01)．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.8．(2017·高考北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)专题12 选考部分 选修4-4：坐标系与参数方程1．(2017·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t ，(t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .2．(2017·高考全国卷甲)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．3．(2017·高考全国卷丙)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt ，(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k，(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．4．(2017·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设p 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．选修4—5：不等式选讲1．(2017·高考全国卷乙)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围．2．(2017·高考全国卷甲)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.3．(2017·高考全国卷丙)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．4．(2017·高考江苏卷)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8.数学理·参考答案与解析 专题1 集合与常用逻辑用语1．解析：选A.集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x <0}，所以A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A.2．解析：选C.因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1，3}，选择C.3．解析：选B.A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．解析：选A .因为m ，n 是非零向量，所以m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ，n 〉<0的充要条件是cos 〈m ，n 〉<0.因为λ<0，则由m ＝λn 可知m ，n 的方向相反，〈m ，n 〉＝180°，所以cos 〈m ，n 〉<0，所以“存在负数λ，使得m ＝λn ”可推得“m ·n <0”；而由“m ·n <0”，可推得“cos 〈m ，n 〉<0”，但不一定推得“m ，n 的方向相反”，从而不一定推得“存在负数λ，使得m ＝λn ”．综上所述，“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件，故选A.5．解析：选C.因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d ，2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，故选C.6．解析：选A.法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6，故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”．故选A.法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12.故选A. 7．解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1专题2 函 数1．解析：选D.因为函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3，故选D.2．解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.3．解析：选A.因为f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x＝⎝⎛⎭⎫13x－3x ＝－⎣⎡⎦⎤3x －⎝⎛⎫13x＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x在R 上是增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数，所以f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数．故选A.4．解析：选B.当0＜m ≤1时，需满足1＋m ≥(m －1)2，解得0≤m ≤3，故这时0＜m ≤1.当m ＞1时，需满足(m －1)2≥1＋m ，解得m ≥3或m ≤0，故这时m ≥3.综上可知，正实数m 的取值范围为(0，1]∪[3，＋∞)．5．解析：选B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.6．解析：选A.根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝⎛⎭⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝⎛⎭⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x ＞1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－4716，2.7．解析：当x >0时，f (x )＝2x >1恒成立，当x －12>0，即x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x －12>1，当x －12≤0，即0<x ≤12时，f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋12>12，则不等式f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1恒成立．当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋x ＋12＝2x ＋32>1，所以－14<x ≤0.综上所述，x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 8．解析：由于f (x )∈[0，1)，因此只需考虑1≤x <10的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0，1)，可设lg x ＝nm，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m＝q p，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分， 且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点， 因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：89．解析：因为x ∈[1，4]，所以x ＋4x∈[4，5]，①当a ≤92时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，所以a ＝92(矛盾)，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，92 专题3 导数及其应用1．解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x－1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·ex －1＝(x ＋2)(x －1)ex －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1ex ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号，所以f (x )在其定义域内单调递增，所以不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)⇔a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 3．解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)． (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递减． (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝－ln a .当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，＋∞)单调递增．(2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．(ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1a ＋ln a .①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0，故f (x )只有一个零点；②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1a ＋ln a >0，即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点；③当a ∈(0，1)时，1－1a＋ln a <0，即f (－ln a )<0.又f (－2)＝a e －4＋(a －2)e －2＋2>－2e －2＋2>0，故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a －1，则f (n 0)＝e n 0(a e n 0＋a －2)－n 0>e n 0－n 0>2n 0－n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a －1>－ln a ，因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0，1)． 4．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0.因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0，而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x .当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．所以x＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0.综上，a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x .设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0.所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞单调递增．又h (e －2)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎡⎭⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0.因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点． 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)，故f (x 0)＝x 0(1－x 0)． 由x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12得f (x 0)<14. 因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2.所以e －2<f (x 0)<2－2.5．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点．由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n 得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122…⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 6．解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋b －a23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0，又a >0，故b ＝2a 29＋3a. 因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)，故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值；当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根x 1＝－a －a 2－3b3，x 2＝－a ＋a 2－3b3.列表如下：x (－∞，x 1)x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )极大值极小值故f (x )12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2.当t ∈⎝⎛⎭⎫362，＋∞时，g ′(t )>0，从而g (t )在⎝⎛⎭⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .(3)由(1)知，f (x )的极值点是x 1，x 2，且x 1＋x 2＝－23a ，x 21＋x 22＝4a 2－6b 9.从而f (x 1)＋f (x 2)＝x 31＋ax 21＋bx 1＋1＋x 32＋ax 22＋bx 2＋1＝x 13(3x 21＋2ax 1＋b )＋x 23(3x 22＋2ax 2＋b )＋13a (x 21＋x 22)＋23b (x 1＋x 2)＋2＝4a 3－6ab 27－4ab9＋2＝0. 记f (x )，f ′(x )所有极值之和为h (a )，因为f ′(x )的极值为b －a 23＝－19a 2＋3a ，所以h (a )＝－19a 2＋3a ，a >3.因为h ′(a )＝－29a －3a2<0，于是h (a )在(3，＋∞)上单调递减． 因为h (6)＝－72，于是h (a )≥h (6)，故a ≤6.因此a 的取值范围为(3，6]．专题4 三角函数与解三角形1．解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 2．解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；。
2010-2017高考数学全国卷分类总汇编(解析汇报几何)
2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知F为抛物线C：24y x=的交点，过F作两条互相垂直1l，2l，直线1l与C交于A、B两点，直线2l与C交于D，E两点，AB DE+的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解析】设AB倾斜角为θ．作1AK垂直准线，2AK垂直x轴易知11cos22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--=⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AKAK AFP PGP Pθ（几何关系）（抛物线特性）cosAF P AFθ⋅+=∴同理1cosPAFθ=-，1cosPBFθ=+，∴22221cos sinP PABθθ==-又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为π2θ+2222πcossin2P PDEθθ==⎛⎫+⎪⎝⎭，而24y x=，即2P=．∴22112sin cosAB DE Pθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭2222sin cos4sin cosθθθθ+=224sin cosθθ=241sin24=θ21616sin2θ=≥，当π4θ=取等号，即AB DE+最小值为16，故选A2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线2222:x yCa b-，（0a>，0b>）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若60MAN∠=︒，则C的离心率为_______．23【解析】如图，OA a =，AN AM b ==∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b =--∴2232tan 34AP OP a bθ==-又∵tan b aθ=223234b a a b =-，解得223a b = ∴22123113b e a =+=+3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ，，331P ⎛- ⎝⎭，，431P ⎛ ⎝⎭，中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P 、4P 又4P 横坐标为1，椭圆必不过1P ，所以过234P P P ，，三点 将()233011P P ⎛- ⎝⎭，，，代入椭圆方程得 222113141b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．（2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 221121A A P A P B y y k k m m m----+=+==- 得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设()1l y kx b b =+≠∶，()()1122A x y B x y ，，，联立22440y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b +++-= 122814kb x x k -+=+，21224414b x x k -⋅=+，则22121211P A P By y k k x x --+=+()()21212112x kx b x x kx b x x x +-++-=222228888144414kb k kb kbk b k --++=-+()()()811411k b b b -==-+-，又1b ≠21b k ⇒=--，此时64k ∆=-，存在k 使得0∆>成立．∴直线l 的方程为21y kx k =--当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-，．4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线)00(1:2222>>=-b a by a x C ，的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．332 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 【考点】 双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值围)．5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知F 是抛物线x y C 8:2=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则=FN . 【答案】6 【解析】试题分析：如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NM NP 2= (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3-=x 上，且1=⋅. 证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解：（1）设)(y x P ，，则)22(y x M ，，将点M 代入C 中得12222=+y x ，所以点P 的轨迹方程为222=+y x .（2）由题可知)01(，-F ，设)()3(n m P t Q ，，，-，则)1( )3(n m t ---=-=，，，， )3( )(n t m PQ n m OP ---==，，，.由1=⋅OQ OP 得1322=-+--n tn m m ，由（1）有222=+n m ，则有033=-+tn m ，所以033 =-+=⋅tn m ，即过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│ ，B={}(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ，则b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==②由①②解得2,a b =C 的方程为22145x y -=，故选B. 9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为D.13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=∴0112x μθ==+，01y λθ==+． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤(其中sin ϕ，cos ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.()A O DxyBPCE（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程. 解：（1）设()()11222A x ,y ,B x ,y ,l :x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩可得212240则4y my ,y y --==- 又()22212121212==故=224y y y y x ,x ,x x =4因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212-4==-14y y x x 所以OA ⊥OB故坐标原点O 在圆M 上.（2）由（1）可得()2121212+=2+=++4=24y y m,x x m y y m + 故圆心M 的坐标为()2+2，m m ，圆M 的半径r =由于圆M 过点P （4，-2），因此0AP BP =,故()()()()121244220x x y y --+++= 即()()121212124+2200x x x x y y y y -++++= 由（1）可得1212=-4，=4y y x x ，所以2210m m --=，解得11或2m m ==-.当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M ，圆M 的方程为()()223110x y -+-=当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(432112344224xEDABC【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<，故选A ．13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于ED ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52pD ⎛- ⎝，点(02A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52pD ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值围．【解析】：⑴圆A 整理为()221x y ++=，A 坐标()1,0-，如图，BE AC ∥，则C EBD =∠∠，由,AC AD D C ==则∠∠，EBD D ∴=∠∠，则EB ED =，4||AE EB AE ED AD AB ∴+=+==> 根据椭圆定义为一个椭圆，方程为22143x y +=，(0y ≠)；F432112344224xQPNMAB()()2222222363634121||1||13434M Nm m mMN m y y mm m+++=+-=+=++⑵221:143x yC+=；设:1l x my=+，因为PQ l⊥，设():1PQ y m x=--，联立1l C与椭圆：221143x myx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my++-=，则圆心A到PQ距离()22|11||2|11m mdm m---==++，所以2222224434||2||21611m mPQ AQ dm m+=-=-=++，())2222222121114342411||||2412,831223413431MPNQm m mS MN PQm m mm+++⎡∴=⋅=⋅⋅==∈⎣+++++15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆2228130x y x y+--+=的圆心到直线10ax y+-=的距离为1，则a=（）（A）43-（B）34-（C）3（D）216.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知12,F F是双曲线2222:1x yEa b-=的左，右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=,则E的离心率为（）（A2（B）32（C3（D）217.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.试题解析：（I ）设，则由题意知，当时，的方程为，.由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.将代入得.解得或，所以.因此的面积.（II ）由题意，，.将直线的方程代入得. 由得，故.由题设，直线的方程为，故同理可得，由得，即.当时上式不成立，因此.等价于，即.由此得，或，解得.因此的取值围是.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，,A B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF x⊥轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba 或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线l ：330mx y m ++-=错误!未找到引用源。
2017高考全国卷1数学试题及答案解析(理科)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学注意事项：1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 2．回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、 选择题：本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则（) A ．{}0=<A B x x B ．AB =RC ．{}1=>A B x xD ．A B =∅2. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（)A ．14B ．π8C ．12D ．π43. 设有下面四个命题，则正确的是(）1p :若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ;2p ：若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ；3p ：若复数12z z ，满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ．A ．13p p ，B ．14p p ，C ．23p p ，D ．24p p ， 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（） A ．1B ．2C ．4D ．85. 函数()f x 在()-∞+∞，单调递减,且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x的取值范围是（） A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，6.()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．357. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．16 8. 右面程序框图是为了求出满足321000n n ->的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．1000A >和1n n =+B ．1000A >和2n n =+C ．1000A ≤和1n n =+D ．1000A ≤和2n n =+9. 已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C10. 已知F 为抛物线C ：24y x =的交点，过F 作两条互相垂直1l ,2l ，直线1l 与C 交于A 、B两点，直线2l 与C 交于D ,E 两点，AB DE +的最小值为（） A ．16 B ．14C ．12D ．1011. 设x ,y ，z 为正数，且235x y z ==，则（）A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x<<D ．325y x z <<12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码"的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是02，接下来的两项是02，12，在接下来的三项式62，12,22，依次类推,求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13. 已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=________． 14. 设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为_______．15. 已知双曲线2222:x y C a b-，(0a >，0b >)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点，若60MAN ∠=︒,则C 的离心率为_______．16. 如图，圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，DBC △，ECA △，FAB △分别是一BC ,CA ，AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当ABC △的边长变化时,所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______．三、 解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017全国卷1理科数学试题解析纯版完美版(最新整理)
2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)理科数学一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)1、已知集合A={x|x<1}，B={x|3x <1}，则( )A ．A∩B={x|x<0}B ．A ∪B=R C ．A ∪B={x|x>1} D ．A∩B=∅解析：A={x|x<1}，B={x|3x <1}={x|x<0}，∴A ∩B={x|x<0}，A ∪B={x|x<1}，选A ．2、如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A ．B ．C ．D ．14π812π4解析：设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2=4，圆的面积为π×12=π，图中黑色部分的概率为．则此点取自黑色部分的概率为=．故选B ．π2π24π83、设有下面四个命题，其中正确的是( )p 1：若复数z 满足∈R ，则z ∈R ；1zp 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=；z 2p 4：若复数z ∈R ，则∈R ．z A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4解析：p 1:设z=a+bi ，则==∈R ，得到b=0，所以z ∈R ．故p 1正确；1z 1a +bi a–bia 2+b2p 2:若z 2=–1，满足z 2∈R ，而z=i ，不满足z 2∈R ，故p 2不正确；p 3:若z 1=1，z 2=2，则z 1z 2=2，满足z 1z 2=R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p 3不正确；p 4:实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确；故选B ．4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( )A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24，S 6=6a 1+d=48，联立求得6×52{2a 1+7d =24①6a 1+15d =48②)①×3–②得(21–15)d=24，∴6d=24，∴d=4，∴选C ．当然，我们在算的时候引用中间项更快更简单：a 4+a 5=24→a 4.5=12，S 6=48→a 3.5=8，∴d=4．5、函数f(x)在(–∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=–1，则满足–1≤f(x –2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[–2,2] B ．[–1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]解析：因为f(x)为奇函数，所以f(–1)=–f(1)=1，于是–1≤f(x –2)≤1等价于f(1)≤f(x –2)≤f(–1)．又f(x)在(–∞,+∞)单调递减，∴–1≤x –2≤1，∴1≤x≤3．故选D ．6、(1+)(1+x)6展开式中x 2的系数为( )1x2A ．15 B ．20 C ．30 D ．35解析：(1+)(1+x)6=1·(1+x)6+·(1+x)6．对(1+x)6的x 2项系数为C ==15，1x 21x 2266×52对·(1+x)6的x 2项系数为C =15，∴x 2的系数为15+15=30．故选C ．1x2467、某多面体的三视图如图，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16解析：由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，∴S 梯=(2+4)×2÷2=6，S 全=6×2=12．故选B ．8、右面程序框图是为了求出满足3n –2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A>1000和n=n+1B ．A>1000和n=n+2C ．A≤1000和n=n+1D ．A≤1000和n=n+2解析：因为要求A 大于1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“”中不能输入A>1000，排除A 、B ．又要求n 为偶数，且n 初始值为0，“中n 依次加2可保证其为偶，故选D ．9、已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是( )2π3A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲π6线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲π12线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线12π6C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲π12线C 2解析：C 1：y=cosx ，C 2：y=sin(2x+)，首先曲线C 1、C 2统一为一三角函数名，可将C 1：y=cosx 用诱导公式处2π3理．y=cosx=cos(x+–)=sin(x+)．横坐标变换需将ω=1变成ω=2，π2π2π2即y=sin(x+)→y=sin(2x+)=sin2(x+)→y=sin(2x+)=sin2(x+)．π2C 1上各点横坐标缩短为它原来的一半π2π42π3π3注意ω的系数，在右平移需将ω=2提到括号外面，这时x+平移至x+，π4π3根据“左加右减”原则，“x+”到“x+”需加上，即再向左平移．π4π3π12π1210、已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的交点，过F 作两条互相垂直l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，|AB|+|DE|的最小值为( ) A ．16B ．14 C ．12 D ．10解析：设AB 倾斜角为θ．作AK 1垂直准线，AK 2垂直x 轴，易知．{|AF|·cos θ+|GF|=|AK 1|(几何关系)|AK 1|=|AF||GP|=PP ,2))=P)∴|AF|·cosθ+P=|AF|．同理|AF|=，|BF|=，∴|AB|==．P 1–cos θP 1+cos θ2P 1–cos 2θ2Psin 2θ又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为+θ，|DE|==，而y 2=4x ，即P=2．π22P sin 2(\F(π,2)+θ)2Pcos 2θ∴x|AB|+|DE|=2P(+)=4==≥16，当θ=取等号，即|AB|+|DE|最小值为16，故1sin 2θ1cos 2θsin 2θ+cos 2θsin 2θcos 2θ4sin 2θcos 2θ16sin 2θπ4选A ．11、设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：取对数：xln2=yln3=zln5，=>，∴2x>3y ．又∵xln2=zln5，则=<．∴2x<5z ，∴3y<2x<5z ，故选D ．x y ln3ln232x z ln5ln25212、几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，在接下来的三项式26，21，22，依次类推，求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( ) A ．440B ．330C ．220 D ．110解析：设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为，n(1+n)2由题，N>100，令>100→n≥14且n ∈N +，即N 出现在第13组之后．第n 组的和为=2n–1．n(1+n)21–2n 1–2n 组总共的和为–n=2n –2–n ．2(1–2n )1–2若要使前N 项和为2的整数幂，则N–项的和2k –1应与–2–n 互为相反数，即2k –1=2+n(k ∈N+，n≥14)．n(1+n)2∴k=log 2(n+3)．∴n=29，k=5．∴N=+5=440，故选A ．29×(1+29)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．1、已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=________．解析：|a +2b |2=(a +2b )2=|a |2+2·|a ||2b |·cos60°+(2|b |)2=22+2×2×2×+22=4+4+4=12，∴|a +2b |==2．121232、设x ，y 满足约束条件，则z=3x–2y 的最小值为_______．{x +2y ≤12x +y ≥–1x–y≤0)解析：不等式组表示的平面区域如图．{x +2y ≤12x +y ≥–1x–y ≤0)2x +y +1=0由z=3x–2y 得y=x–，32z2求z 的最小值，即求直线y=x–的纵截距的最大值32z2当直线y=x–过图中点A 时，纵截距最大32z2由解得A 点坐标为(–1,1)，此时z=3×(–1)–2×1=–5．{2x +y =–1x +2y =1)3、已知双曲线C ：–=1，(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条x 2a 2y 2b2渐近线交于M ，N 两点，若∠MAN=60°，则C 的离心率为_______．解析：如图，|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ．∵∠MAN=60°，∴|AP|=b ，|OP|==，32|OA|2–|PA|2a 2–34b 2∴tanθ==，又∵tanθ=，∴=，解得a 2=3b 2，∴e===． |AP||OP|32b a 2–34b 2b a 32ba 2–34b 2b a 1+b 2a 21+132334、如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ，D 、E 、F 为元O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是一BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为_______．解析：由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD ⊥BC ，OG=BC ，即OG 的长度与BC 的长度或成正比．36设OG=x ，则BC=2x ，DG=5–x ．∴三棱锥的高h===．3DG 2–OG 225–10x +x 2–x 225–10x 又∵S △ABC =2·3x·=3x 2，∴V=S △ABC ·h=x 2·=·，312313325–10x 325x 4–10x 3令f(x)=25x 4–10x 3，x ∈(0,)，f'(x)=100x 3–50x 4．52令f'(x)>0，即x 4–2x 3<0，x<2．∴f(x)≤f(2)=80，∴V≤×=4，∴体积最大值为4cm 3．380515三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17–21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．1、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为．a 23sinA(1)求sinBsinC ；(2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC 的周长．解析：本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.(1)∵△ABC 面积S=且S=bcsinA ，∴=bcsinA ．∴a 2=bcsinA ．a 23sinA 12a 23sinA 1232∵由正弦定理得sin 2A=sinBsinCsin 2A ，由sinA≠0得sinBsinC=．3223(2)由(1)得sinBsinC=，cosBcosC=．∵A+B+C=π，∴cosA=cos(π–B–C)=–cos(B+C)=sinBsinC–cosBcosC=．231612又∵A ∈(0,π)，∴A=60°，∴sinA=，cosA=．3212由余弦定理得a 2=b 2+c 2–bc=9 ①由正弦定理得b=·sinB ，c=·sinC ，∴bc=·sinBsinC=8②a sinA a sinA a 2sin 2A由①②得b+c=．∴a+b+c=3+，即△ABC 的周长为3+．3333332、(12分)如图，在四棱锥P–ABCD 中，AB ∥CD 中，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA=PD=AB=DC ，∠APD=90°，求二面角A–PB–C 的余弦值．解析：(1)证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ．又∵AB ∥CD ，∴PD ⊥AB ．又∵PD∩PA=P ，PD 、PA ⊂平面PAD ．∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PAD ．(2)取AD 中点O ，BC 中点E ，连接PO ，OE ，∵AB ∥CD ∴四边形ABCD 为平行四边形，∴OE ∥AB ．由(1)知，AB ⊥平面PAD ，∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ．∴OE ⊥PO ，OE ⊥AD ．又∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ．∴PO 、OE 、AD 两两垂直∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O–xyz ．设PA=2，∴D(–,0,0)、B(,2,0)、P(0,0,)、C(–,2,0)，∴PD =(–,0,–)、PB =(,2,– )、BC =(–2,0,0) 222222222设n =(x,y,z)为平面PBC 的法向量由，得．令y=1，则z=，x=0，可得平面PBC 的一个法向量n =(0,1,)． {n ·PB =0n ·BC =0){x +2y–z =0–2x =0)22∵∠APD=90°，∴PD ⊥PA ．又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ．∴PD ⊥AB ，又PA∩AB=A ，∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PAB 的一个法向量，PD =(–,0,–)． ∴cos<PD ,n >===–．22PD ·n |PD ||n |–22333由图知二面角A–PB–C 为钝角，所以它的余弦值为–．333、(12分)为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性：②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得1619.97i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过x μσ程进行检查，剔除(–3,+3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．μσμσ附：若随机变量Z 服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)．0.997416≈0.9592，≈0.09．0.008解析：(1)由题可知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026．P(X=0)=C (1–0.9974)0·0.997416≈0.9592，P(X≥1)=1–P(X=0)≈1–0.9592=0.0408，016由题可知X~B(16,0.0026)，∴E(X)=16×0.0026=0.0416．(2)①尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在(μ–3σ,μ+3σ)之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理．②(μ–3σ=9.97–3×0.212=9.334，μ+3σ=9.97+3×0.212=10.606，∴(μ–3σ,μ+3σ)=(9.334,10.606)∵9.22∉(9.334,10606)，∴需对当天的生产过程检查，因此剔除9.22．剔除数据之后：μ==10.02．9.97×16–9.2215σ2=[(9.95–10.02)2+(10.12–10.02)2+(9.96–10.02)2+(9.96–10.02)2+(10.01–10.02)2+(9.92–10.02)2+(9.98–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.26–10.02)2+(9.91–10.02)2+(10.13–10.02)2+(10.02–10.02)2+(10.04–10.02)2+(10.05–10.02)2+(9.95–10.02)2]×，∴σ=≈0.09．1150.0084、(12分)已知椭圆C ：+=1(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1,)，P 4(1,)中恰有三点在椭圆C 上．x 2a 2y 2b 23232(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A 、B 两点，若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．解析：(1)根据椭圆对称性，必过P 3、P 4．又P 4横坐标为1，椭圆必不过P 1，所以过P 2、P 3、P 4三点将P 2(0,1)、P 3(–1,)代入椭圆方程得，解得a 2=4，b 2=1．∴椭圆C 的方程为：+y 2=1．32x 24(2)①当斜率不存在时，设l ：x=m ，A(m,y A )，B(m,–y A )，k P2A +k P2B =+=–=–1y A –1m –y A –1m 2m得m=2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l ：y=kx+b(b ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立，整理得(1+4k 2)x 2+8kbx+4b 2–4=0．∴x 1+x 2=，x 1x 2=．{y =kx +b x 2+4y 2–4=0)–8kb 1+4k 24b 2–41+4k 2则k P2A +k P2B =+====–1．y 1–1x 1y 2–1x 2x 2(kx 1+b)–x 2+x 1(kx 2+b)–x 1x 1x 28kb 2–8k–8kb 2+8kb1+4k 24b 2–41+4k 28k(b–1)4(b +1)(b–1)又b ≠1，∴b=–2k–1，此时△=–64k ，存在k 使得△>0成立．∴直线l 的方程为y=kx–2k–1．当x=2时，y=–1．所以l 过定点(2,–1)．5、(12分)已知函数f(x)=ae 2x +(a–2)e x –x ．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a 的取值范围．解析：(1)由于f(x)=ae 2x +(a–2)e x –x ，故f'(x)=2ae 2x +(a–2)e x –1=(ae x –1)(2e x +1)①当a≤0时，ae x –1<0，2e x +1>0．从而f'(x)<0恒成立．f(x)在R 上单调递减②当a>0时，令f'(x)=0，从而x 综上，当a≤0时，f(x)在R lna,+∞)上单调递增(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在R 上单调减，故f(x)在R 上至多一个零点，不满足条件．当a>0时，f min =f(–lna)=1–+lna ．1a令g(a)= f min =1–+lna(a>0)，则g(a)在(0,+∞)上单调增，而g(1)=0．故当0<a<1时，g(a)<0．当1a a=1时g(a)=0．当a>1时若a>1，则f min =1–+lna=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，从而f(x)无零点，不满足条件．1a 若a=1，则f min =1–+lna=0，故f(x)=0仅有一个实根x=–lna=0，不满足条件．1a 若0<a<1，则f min =1–+lna<0，注意到–lna>0．f(–1)=++1–>0．1a a e 2a e 2e故f(x)在(–1,–lna)上有一个实根，而又ln(–1)>ln =–lna ．3a 1a且f(ln(–1))=e 的ln(–1)次方·(a·e 的ln(–1)次方+a–2)–ln(–1)=(–1)·(3–a+a–2)–ln(–1)=(–1)–ln(–1)>0．3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a 3a故f(x)在(–lna,ln(–1))上有一个实根．3a又f(x)在(–∞,–lna)上单调减，在(–lna,+∞)单调增，故f(x)在R 上至多两个实根．又f(x)在(–1,–lna)及(–lna,ln(–1))上均至少有一个实数根，故f(x)在R 上恰有两个实根．3a综上，0<a<1．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．1、[选修4–4：坐标系与参考方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l 的{x =3cos θy =sin θ)参数方程为(t 为参数)．{x =a +4t y =1–t)(1)若a=–1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 距离的最大值为，求a ．17解析：(1)a=–1时，直线l 的方程为x+4y–3=0．曲线C 的标准方程是+y 2=1，x 29联立方程，解得：或，则C 与l 交点坐标是(3,0)和(–,)．{x +4y–3=0x 2){x =3y =0)21252425(2)直线l 一般式方程是x+4y–4–a=0．设曲线C 上点P(3cosθ,sinθ)．则P 到l 距离d==，其中tan φ=．依题意得：d max =，解得a=–16或|3cos θ+4sin θ–4–a|17|5sin(θ+φ)–4–a|173417a=8．2、[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=–x 2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x–1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1]，求a 的取值范围．解析：(1)当a=1时，f(x)=–x 2+x+4，是开口向下，对称轴x=的二次函数．g(x)=|x+1|+|x –1|=12，{2x(x >1)2(–1≤x ≤1)–2x(x <–1))当x ∈(1,+∞)时，令–x 2+x+4=2x ，解得x=．17–12g(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减．∴此时f(x)≥g(x)解集为(1,]．17–12当x ∈[–1,1]时，g(x)=2，f(x)≥f(–1)=2；当x ∈(–∞,–1)时，g(x)单调递减，f(x)单调递增，且g(–1)=f(–1)=2．综上所述，f(x)≥g(x)解集[–1,]．17–12(2)依题意得：–x 2+ax+4≥2在[–1,1]恒成立．即x 2–ax–2≤0在[–1,1]恒成立．则只须，解出：–1≤a≤1．故a 取值范围是[–1,1]．{12–a·1–2≤0(–1)2–a(–1)–2≤0)“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)(可编辑修改word版)
绝密★启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。
考试用时 120 分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1 }，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ． 14C． 123.设有下面四个命题B ． π8D ． π4p ：若复数 z 满足 1∈ R ，则 z ∈ R ； 1zp 2 ：若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则 z ∈ R ；p 3 ：若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ；p4：若复数 z ∈R，则 z∈R .其中的真命题为A.p1 , p3B.p1 , p4C.p2 , p3D.p2 , p44.记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和．若a4 +a5 = 24 ，S6 = 48 ，则{a n } 的公差为A．1 B．2 C．4 D．85.函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤ 1的x 的取值范围是A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4]D．[1, 3]6．(1+ 1)(1+x)6展开式中x2的系数为x2A．15 B．20 C．30 D．357.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．168.右面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000 和n=n+1B．A>1 000 和n=n+2C．A ≤1 000 和n=n+1D．A ≤1 000 和n=n+29.已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ 2π)，则下面结论正确的是1 23⎨ ⎩A. 把 C 1 π 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C 2B. 把 C 1 π上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得 12 到曲线 C 2C. 把 C 1 1 π 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得26到曲线 C 2D. 把 C 1 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2 π个单位长度，12得到曲线 C 210.已知 F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点， 直线 l 2 与 C 交于 D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011.设 xyz 为正数，且2x = 3y = 5z ，则 A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4， 8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22， 依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
(word完整版)2017年高考全国1卷理科数学和答案详解(word版本)
绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<I B ．A B =R U C ．{|1}A B x x =>UD ．A B =∅I2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π43．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．85．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．357．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A ．10B ．12C ．14D ．168．右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入A ．A >1 000和n =n +1B ．A >1 000和n =n +2C ．A ≤1 000和n =n +1D ．A ≤1 000和n =n +29．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 210．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1011．设xyz 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2017年高考真题数学理全国Ⅰ卷Word版含答解析
B．π8
D．
π
C．14
，那么在和两个空白框中，可以分别填
，
111,),(,)333C -在轴上的截距越大，就越小，
3z
x -y z
解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理sin()y A x b ωϕ=++以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18．（12分）
如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且.
90BAP CDP ∠=∠=
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，，求二面角A −PB −C 的余弦值.90APD ∠= 【解析】
试题解析：（1）由已知，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .90BAP CDP ∠=∠=︒由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD .又AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .⊂（2）在平面内作，垂足为，
PAD PF AD ⊥F 由（1）可知，平面，故，可得平面.
AB ⊥PAD AB PF ⊥PF ⊥ABCD 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F FA x ||AB
.
F xyz -
，，，,0,0)2(0,0,)P 2(,1,0)B (C -。
2017高考全国1卷理科数学试题与答案解析[精校解析版]
2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)理科数学注意事项：1、 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴 在答题卡上的指定位置•用2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑•2、 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效3、 填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 •写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效•4、 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题 卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第I 卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的• 1.设集合 Ax 2x4x 30 , x 2x 3 0 ,则 AI B(A )3,3(B )3?(C )(D ) 3,322222.设(1 i)x1 yi ，其中 x, y 是实数，则 x yi(A ) 1(B )(C )(D ) 23. 已知等差数列 a n 前9项的和为27, a io 8，则3100(A ) 100(B ) 99(C ) 98( D ) 974. 某公司的班车在 7:00 , 8:00 , 8:30发车，小明在 7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到 达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是1(A ) 3 (B ) 2 (C ) I ( D ) 45.已知方程2y1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离4,则n 的取值范围(A) 1,3 (B) 1,、、3 (C) 0,3 (D) 0^.36. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是2^ ,则它的表面积是3(A 17(B)18 (C) 20 (D) 287. 函数y 2x2在2,2的图像大致为(A) a c b c(B) ab c ba c(C) alog b C blog a c (D log a c log b C9.执行右面的程序框图,如果输入的x 0, y 1，n 1,则输出(A) y 2x (B) y 3x (C) y 4x (D) y 5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于DE两点.已知| AE|= 4DE|=2 .,5,则C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)811.平面过正方体ABCDABCD 的顶点A, //平面CBD,I平面ABC=m I平面AB BA=n,则m n所成角的正弦值为(22 (B)2),x— 为f (x)的零点，x 4为y f (x)图5像的对称轴，且f (x)在 ，二单调,18 36二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分2 2 213.设向量 a =(m 1) , b =(1,2)，且 |a +b | =| a | +| b | ,15.设等比数列 a n 满足 a 1+a 3=10, a 2+a 4=5,贝V aa ^16.某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg , 乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品 B 的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg ，乙材料90kg ,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 .解答题：解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤.(A ) 11 (B ) 9 (C ) 7 (D ) 514. (2x .x)5的展开式中，x 3的系数是(用数字填写答案)12.已知函数 f(x) sin( x+ )(0,的最大值为则n r…a n 的最大值为17.(本小题满分为12 分)ABC 的内角A , B, C 的对边分别为 a , b , c ,已知 2cos C(acosB+b cos A) c.(I )求 C;(II )若 c -.7 ,ABC 的面积为，求 ABC 的周长.218.(本小题满分为12分)如图，在以 A , B, C, D E , F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形,AF =2FD, AFD 90°，且二面角D -AF-E 与二面角G BE F 都是60° .(I )证明：平面 ABEF 平面EFDC (II )求二面角E -BGA 的余弦值.元.19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数•（I ）求X的分布列；（II ）若要求P（X n） 0.5,确定n的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？20. （本小题满分12分）设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A直线I过点B（1，0 ）且与x轴不重合，I交圆A于CD两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II ）设点E的轨迹为曲线C,直线I交C于MN两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q 两点，求四边形MPN（面积的取值范围.221. （本小题满分12分）已知函数fx x 2 e x a x 1有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设X1,X2是f x的两个零点，证明：x1 x2 2.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲1如图，△ OAB是等腰三角形，/ AOB120。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国卷2017-2010理数学试题及详细答案分类汇编一
一、集合与简易逻辑
1、（2010全国理数3）1．已知集合A={x ∈R||x|≤2}}，，则A∩B=（ ） A ．（0，2） B ．[0，2] C ．{0，2] D ．{0，1，2}
2、（2010全国理数3）5．已知命题p 1：函数y=2x ﹣2﹣x 在R 为增函数，p 2：函数y=2x +2﹣x
在R 为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：（￢p 1）∨p 2和q 4：p 1∧（￢p 2）中，真命题是（ ） A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4 D ．q 2，q 4 3、（2011全国理数1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}
B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,
则B 中所含元素 的个数为（ ）
()A 3()B 6 ()C 8 ()D 10
4、(2012全国理3)（2）已知集合∪B=A,则m=().
A.0
B.0或3
C.1
D.1或3
5、(2013全国理数1)（1）已知集合A ＝{x|x2－2x ＞0}，B ＝{x|x ，则( )．
A ．A ∩
B ＝ B ．A ∪B ＝R
C ．B ⊆A
D ．A ⊆B
6、(2013全国理数2)（1）已知集合M ＝{x|(x －1)2＜4，x ∈R}，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．
A ．{0,1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
7、(2013全国理数3)（1）设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
8、（2014全国理数1）（1）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则
A B ⋂=
A .[-2,-1]
B .[-1,2）
C .[-1,1]
D .[1,2）
9、（2014年全国理数2）（1）设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则
M N ⋂=( )
A. ｛1｝
B. ｛2｝
C. ｛0，1｝
D. ｛1，2｝
10、（2014全国理数3）（2）设集合
2
{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ）
A ．(0,4]
B [0,4)
C ．[1,0)-
D ．(1,0]-
11、（2015全国理数2）(1)已知集合21,01,2A =--｛，，｝，
{}
(1)(20B x x x =-+<,
则A B = （ ） A ．
{}
1,0A =- B ．
{}0,1
C ．
{}1,0,1-
D ．
{}0,1,2
12、（2015全国理数1）（3）设命题P ：∃n ∈N ，2
n >2n
，则⌝P 为
（A ）∀n ∈N,2n >2n （B ）∃ n ∈N,2n ≤2n
（C ）∀n ∈N,2n ≤2n （D ）∃ n ∈N,2n =2n
13、（2016全国理1）（1）设集合
2
{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =
（A ）3(3,)2--（B ）3
(3,)
2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2
14、（2016全国理1）（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B = （A ）{}1
（B ）{12}， （C ）{}0123，，， （D ）{10123}-，，
，， 15、（2016全国理3）、（1）设集合
{}{}
|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则
S T = （ ）
(A) [2，3] (B)（-∞，2]U [3,+∞） (C)[3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 16、（2017全国理1）（1）已知集合{}{}
131x A x x B x =<=<，，则（ ）
A ．{}0=< A
B x x B ．A B =R
C ．
{}
1=> A B x x
D ．A B =∅
17、（2017全国理1）（2）设集合
{}
1,2,4A =，
{
}240
x x x m B =-+=．若
{}
1A B = ，则B =（）
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}
1,3 D ．{}
1,5
18、（2017全国理2）（7）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
19、（2017全国理3）（1）已知集合A={}22(,)1x y x y +=│
，B={}
(,)x y y x =│，则A ⋂B 中元素的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
答案
1、解：A={x ∈R||x|≤2，}={x ∈R|﹣2≤x≤2}，
故A∩B={0，1，2}． 应选D ．
2、解：易知p 1是真命题，而对p 2：y′=2x ln2﹣ln2=ln2（
），
当x ∈[0，+∞）时，
，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；
同理得当x ∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p 2是假命题．
由此可知，q 1真，q 2假，q 3假，q 4真． 故选C ．
3、解析:选D
5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个
4、答案：B ∵A B ={1,m },A ∪B =A , ∴m =3或m
∴m =3或m =0或m =1.
当m =1时,与集合中元素的互异性不符,故选B. 5、答案：B
解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2. ∴集合A 与B 可用图象表示为：
由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B. 6、答案：A
解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A. 7、答案：B
解析：由题意知x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素．故选B. 8、答案：A
解析：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}
22x x -≤<，
9、答案：D
解析：把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。
所以选D. 10、答案：B
解析:由x 2﹣3x ﹣4＜0，得﹣1＜x ＜4．∴M={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}={x|﹣1＜x ＜4}，
又N={x|0≤x ≤5}，∴M ∩N={x|﹣1＜x ＜4}∩{x|0≤x ≤5}=[0，4）．
故选：B
11、答案:A
12、答案:C
解析:p ⌝:2,2n n N n ∀∈≤，故选C.
13、
{}
{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫
=->=>⎨⎬⎩
⎭．
故332A B x x ⎧⎫
=<<⎨⎬⎩⎭
． 故选D ．
14、()(){}
120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，，
∴{}01B =，
，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．
15答案D 解析：由
解得或，所以，所以
，故选D ．
16、{}
1A x x =<，
{}{}310x B x x x =<=<
∴
{}
0A B x x =< ，{}
1A B x x =< ，选A
17、答案:C
解析:1是方程2
40x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =
∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，
18、答案：D
解析：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．
甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．
19、答案：B 解析:根据题意，
中元素的个数为圆
与直线
的交点个数。
根据图
象可知其交点个数为。
故本题正确答案为B。