2018版浙江数学-知识清单与冲A训练：28 立体几何中的向量方法 全国通用

知识点一 空间向量的有关概念知识点二 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________________．推论 如图所示，对空间任意一点O ，点P 在l 上的充要条件是存在实数t ，使OP→＝OA→＋t a ，①其中a 叫做直线l 的________．在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝_______________________. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝________________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为AP →＝xAB→＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝________________________或OP →＝xOA →＋yOB→＋zOC →，其中x ＋y ＋z ＝________. (3)空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝________________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 知识点三 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作________，其范围是________________________．如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a ，b ____________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积已知两个非零向量a ，b ，则________________叫做a ，b 的数量积，记作________．即________________________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝________________； ②交换律：a·b ＝______________； ③分配律：a·(b ＋c )＝________________. 知识点四 空间向量的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)． (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)． (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)． (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(5)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. (6)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23.(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (9)若A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则d AB ＝|AB →|＝(b 1－a 1)2＋(b 2－a 2)2＋(b 3－a 3)2. 知识点五 平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 知识点六 空间中直线与直线关系的向量表示若空间不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则a ∥b ⇔a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R )，a ⊥b ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0.知识点七 空间中直线与平面关系的向量表示若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a ⊄α，则a ∥α⇔a ∥α⇔a ⊥n ⇔a ·n ＝0，a ⊥α⇔a ⊥α⇔a ∥n ⇔a ＝λn .知识点八 空间中平面与平面关系的向量表示若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则α∥β⇔a ∥b ⇔a ＝λb ，α⊥β⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0.知识点九 空间中异面直线所成角的向量求法设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝|a ·b ||a ||b |. 知识点十 空间中直线与平面所成角的向量求法设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|＝|l ·n ||l ||n |.知识点十一 空间中二面角的平面角大小的向量求法设n 1，n 2是二面角α－l －β的两个面α，β的法向量，则向量n 1，n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．若二面角α－l －β的平面角为θ，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|.例1 (2015年10月学考)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点，设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ，则( )A ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝2OD 1 B ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝2OD 1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝OD 1 D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝OD 1例2 如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c例3 (2016年4月学考)已知空间向量a ＝(2，－1,5)，b ＝(－4,2，x )(x ∈R )，若a ⊥b ，则x 等于( )A ．－10B ．－2C ．2D ．10例4 已知O 为空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________． 例5 (2016年4月学考)如图，将棱长为1的正方体ABCD －EFGH 任意平移到A 1B 1C 1D 1－E 1F 1G 1H 1，连接GH 1，CB 1，设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长为________．例6 如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是BB1，DD1，DC 的中点．(1)求证：平面ADE∥平面B1C1F；(2)求证：平面ADE⊥平面A1D1G；(3)在AE上求一点M，使得A1M⊥平面DAE.例8如图，在长方体AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，点E、F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中点．以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF 和BE 所成的角； (2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．一、选择题 1．下列四个说法：①若向量{a 、b 、c }是空间的一个基底，则{a ＋b 、a －b 、c }也是空间的一个基底； ②空间的任意两个向量都是共面向量；③若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是a 、b ，则l ∥m ⇔a ∥b ；④若两个不同平面α，β的法向量分别是u 、v ，且u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)，则α∥β.其中正确的说法的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)4．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且3|AC →|＝|AB →|，则点C 的坐标是( ) A ．(72，－12，52) B ．(38，－3,2) C ．(103，－1，73)D ．(52，－72，32)5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直6．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是( )A.155B.22C.105D ．07.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )A.π6B.π4C.π3D.π28．正方形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，若P A ＝AB ，则平面P AB 与平面PCD 的夹角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 二、填空题9．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )．若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝________.10．设O 为坐标原点，向量OA→＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB→取得最小值时，点Q 的坐标为________．11．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,0)，B (2,1，6)，则向量AB →与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________．12.如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC ＝________.三、解答题13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点， AA 1＝AC ＝CB ＝22AB .(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ； (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．答案精析知识条目排查 知识点一0 1 相同 相等 平行或重合 平面 知识点二(1)存在实数λ，使a ＝λb 方向向量 OA →＋tAB →(2)x a ＋y b OA →＋xAB →＋yAC → 1(3)x a ＋y b ＋z c 知识点三(1)①〈a ，b 〉 0≤〈a ，b 〉≤π 互相垂直 ②|a||b |cos 〈a ，b 〉 a·b a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉(2)①λ(a·b ) ②2b·a ③a·b ＋a·c 题型分类示例例1 A 以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，DD 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， M (0，12，1)．设点O (x ，x ，z )，∴AO →＝(x －1，x ，z )，AM→＝(－1，12，1)， 又AO→与AM →共线，∴AO →＝λAM →， ∴(x －1，x ，z )＝(－λ，12λ，λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－λ，x ＝12λ，z ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，z ＝λ＝23，∴点O (13，13，23)， ∴BO→＝(－23，－23，23)， 又BD 1→＝(－1，－1,1)，∴BO →＝23BD 1→，∴D 1，O ，B 三点共线， 且OB ＝2OD 1，故选A.] 例2 D如图所示，连接A 1C ，则在△A 1CB 中，有A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c .]例3 C ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2×(－4)＋(－1)×2＋5x ＝0， 得x ＝2.] 例4 －1解析 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此，2x ＋3y ＋4z ＝－1. 例5 62解析 由题意，不妨设平面ABFE 与平面D 1C 1G 1H 1重合，则N 与B 重合，M 是GE 的中点， ∴MN ＝1＋12＝62.例6 证明 (1)如图建立空间直角坐标系A －xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． 取AB 中点为N ，连接CN ， 则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE→＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE→＝NC →，∴DE ∥NC ， 又∵NC ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC . ∴DE ∥平面ABC .(2)∵B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． ∴B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF . 例7 解如图，以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，则点D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2，0,0)，A 1(2,0,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，G (0，1,0)，B 1(2,2,2)，C 1(0,2,2)． (1)证明 ∵DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面ADE ，平面B 1C 1F 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →. ∴⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧2x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.取y 1＝1，z 1＝－2，∴n 1＝(0,1，－2)． 同理，可求得n 2＝(0,1，－2)． ∵n 1∥n 2，∴平面ADE ∥平面B 1C 1F . (2)证明 ∵DA →·D 1G →＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0，∴DA →⊥D 1G →.∵AE →·D 1G →＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0， ∴AE →⊥D 1G →.∵DA →，AE →不共线，∴D 1G ⊥平面ADE . 又∵D 1G ⊂平面A 1D 1G ， ∴平面ADE ⊥平面A 1D 1G .(3)解 由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λ·AE →＝λ·(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， ∴点M (2,2λ，λ)，A 1M →＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面DAE ，只需A 1M ⊥AE ， ∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1) ＝5λ－2＝0， ∴λ＝25.故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面DAE .例8 解 (1)由题意得A (2,0,0)，F (1,2，22)，B (2,2,0)，E (1，1，2)，C (0,2,0)， ∴AF→＝(－1,2，22)，BE →＝(－1，－1，2)， ∴AF →·BE→＝1－2＋1＝0. ∴直线AF 和BE 所成的角为90°. (2)设平面BEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又BC→＝(－2,0,0)，BE →＝(－1，－1，2)， 则n ·BC →＝－2x ＝0，n ·BE →＝－x －y ＋2z ＝0， ∴x ＝0，取z ＝1，则y ＝2，∴平面BEC 的一个法向量为n ＝(0，2，1)． ∴cos 〈AF →，n 〉＝AF →·n |AF →||n |＝522222×3＝53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ，则sin θ＝53333，即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333. 考点专项训练1．D ①若向量{a 、b 、c }是空间的一个基底，则{a ＋b 、a －b 、c }也是空间的一个基底，正确；②空间的任意两个向量都是共面向量，正确；③若两条不同直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，则l ∥m ⇔a ∥b ，正确；④若两个不同平面α，β的法向量分别是u 、v ，且u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)， ∵v ＝－2u ，则α∥β. 其中正确的说法的个数是4.]2．A 由题意，得BM →＝BC →＋CC 1→＋C 1M →＝BC →＋CC 1→＋12C 1A 1→＝BC →＋CC 1→－12(AB →＋BC →)＝－12AB →＋12BC →＋CC 1→＝－12a ＋12b ＋c .]3．A 由题意可得，直线l 的一个方向向量AB →＝(2,4,6)， 又∵(1,2,3)＝12(2,4,6)，∴(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．]4．C ∵C 为线段AB 上一点，且3|AC →|＝|AB →|， ∴AC→＝13AB →， ∴OC→＝OA →＋13AB → ＝(4,1,3)＋13(－2，－6，－2) ＝(103，－1，73)．] 5．B6．D 以DA ，DC ，DD 1所在直线方向为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则可得A 1(1,0,2)，E (0,0,1)，G (0,2,1)，F (1,1,0)． ∴A 1E →＝(－1,0，－1)，GF →＝(1，－1，－1)， 设异面直线A 1E 与GF 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈A 1E →，GF →〉|＝0.] 7．A以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，1,0)，B 1(0,0,3)，C 1(0，2,3)，AB 1→＝(－3，－1,3)，B 1C 1→＝(0,2,0)，BB 1→＝(0,0,3)． 设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·B 1C 1→＝0，即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0，2y ＝0.取z ＝1，则x ＝3，n ＝(3，0,1)． ∵cos 〈BB 1→·n 〉＝BB 1→·n |BB 1→||n |＝33×2＝12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12， ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.] 8．B如图所示，建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝1， 则A (0,0,0)，D (0,1,0)，P (0,0,1)． 于是AD→＝(0,1,0)． 取PD 中点为E ， 则E (0，12，12)， ∴AE→＝(0，12，12)， 易知AD→是平面P AB 的法向量，AE →是平面PCD 的法向量，∴cos 〈AD→，AE →〉＝22，∴平面P AB 与平面PCD 的夹角为45°.] 9.103 －6 10．(43，43，83)解析 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，故Q (λ，λ，2λ)，故QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)． 则QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10 ＝6(λ－43)2－23，当QA →·QB→取最小值时，λ＝43， 此时Q 点的坐标为(43，43，83)． 11.74解析 设平面xOz 的法向量为 n ＝(0，t,0)(t ≠0)，AB→＝(1,3，6)，所以cos 〈n ，AB →〉＝n ·AB →|n ||AB →|＝3t 4|t |，因为〈n ，AB →〉∈0，π]，所以sin 〈n ，AB →〉＝1－(3t 4|t |)2＝74.12．12解析 因为PC →＝P A →＋AB →＋BC →，所以PC →2＝P A →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. 所以|PC→|＝12. 13．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ， 则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ， BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD . (2)解由AC ＝CB ＝22AB 得AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，CB →的方向为y 轴正方向，CC 1→的方向为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 C －xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)， A 1(2,0,2)，CD→＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)， CA 1→＝(2,0,2)． 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎨⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33， 故sin 〈n ，m 〉＝63.6即二面角D－A1C－E的正弦值为3.。