用线性规划来解决生产和生活中的实际问题
线性规划在生产调度中的实际应用
线性规划在生产调度中的实际应用在当今竞争激烈的市场环境中，企业要想提高生产效率、降低成本、优化资源配置，生产调度的合理性至关重要。
而线性规划作为一种有效的数学工具，在解决生产调度问题方面发挥着重要作用。
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支。
它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题。
简单来说，就是在一组线性等式或不等式的约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
在生产调度中，企业通常面临着多种资源的有限性和多种任务的需求。
例如，原材料的供应有限、机器设备的产能有限、工人的工作时间有限等，而同时又需要满足订单的交付日期、产品的质量要求等。
线性规划可以帮助企业在这些限制条件下，做出最优的生产计划和调度安排。
假设一家服装厂，有三种款式的服装需要生产：衬衫、裤子和外套。
生产每种服装所需的布料、工时以及每种服装的利润都不同。
同时，工厂拥有一定数量的布料和工人工作时间。
那么，如何安排生产才能使工厂的利润最大化呢？这就是一个典型的线性规划问题。
首先，我们需要确定决策变量。
在这个例子中，决策变量可以设为生产每种服装的数量，比如生产衬衫的数量为 x1，生产裤子的数量为x2，生产外套的数量为 x3。
然后，我们需要确定目标函数。
目标是使工厂的利润最大化，利润等于每种服装的销售价格乘以生产数量再减去生产成本。
假设衬衫、裤子和外套的单位利润分别为 p1、p2 和 p3，那么目标函数可以表示为：Z ＝ p1 x1 ＋ p2 x2 ＋ p3 x3接下来，我们需要确定约束条件。
约束条件包括布料的限制、工时的限制等。
假设生产一件衬衫需要 b1 米布料，生产一件裤子需要 b2米布料，生产一件外套需要 b3 米布料，工厂拥有的布料总量为 B，那么布料的约束条件可以表示为：b1 x1 ＋ b2 x2 ＋ b3 x3 ＜＝ B 同样，假设生产一件衬衫需要 h1 个工时，生产一件裤子需要 h2 个工时，生产一件外套需要 h3 个工时，工人的总工作时间为 H，那么工时的约束条件可以表示为：h1 x1 ＋ h2 x2 ＋ h3 x3 ＜＝ H 此外，还可能有其他的约束条件，比如每种服装的最低生产数量要求等。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
实际问题中的线性规划方法
实际问题中的线性规划方法线性规划是数学中一种非常重要的优化方法，广泛应用于各个领域。
在实际问题中，线性规划方法可以很好地解决很多优化问题。
本文将会介绍线性规划方法在实际问题中的应用，例如网络流问题、供应链优化问题以及航空公司航班计划问题等。
一、网络流问题网络流问题是指在具有网络形式的问题中，求得网络中一些关键指标的最优解。
这些指标可能是物流方面的，也可能是通信方面的，甚至可能与能源、水资产有关。
这个问题的形式是一组由多个变量组成的线性方程组，并且这些方程组的决策变量通常用来描述网络的流量问题。
这里的问题是要求出网络中流量的最大值图。
在实际应用中，经常使用线性规划的方法来解决这种问题。
例如，在物流配送领域，我们可能需要在多个仓库和客户之间优化货物的运输路线。
当运输网络以“源点”（例如一个集散地或一个公路）开始，并以“汇点”（例如一家客户或一个仓库）结束时，通常需要考虑许多线性限制约束，例如运输成本、运输距离和货物数量等。
使用线性规划的方法，可以快速找到最小的总运输成本以及分配给每个节点的货物数量，从而提高物流的效率并降低成本。
二、供应链优化问题供应链优化问题通常可以看作是网络流问题的一个具体实例，它也可以使用线性规划的方法以最小化成本或最大化利润的方案来求解。
这个问题涉及到优化生产和分销的方案，从而最大限度地降低整个供应链的成本或提高利润。
这种问题通常包括许多限制条件，例如合理的货物存储、库存管理、运输和分销等。
线性规划的方法可以非常有效地解决这些问题，以实现最优化的运营方案。
例如，在某个制造公司中，我们可能需要考虑如何最小化原材料和物流成本，同时最大程度地利用现有的生产能力以及最大程度地满足客户要求。
这个问题涉及到许多因素，例如供应链的表现、货物的需求、生产规模等。
使用线性规划的方法，可以快速找到最佳的物流路线、最佳的生产数量以及最佳的库存管理方案等，从而提高供应链的效率。
三、航空公司航班计划问题航空公司航班计划问题是指在规定时间内，根据市场需要以及规定的飞行路线等因素，为航空公司确定一个最佳的航班计划。
利用数学模型解决实际问题
利用数学模型解决实际问题在数学领域，数学模型是指通过符号、方程或者其他数学方法来描述和解释实际问题的工具。
通过构建数学模型，我们可以利用数学工具和方法来解决复杂的实际问题。
本文将介绍一些常见的数学模型，并举例说明利用数学模型解决实际问题的方法和应用。
一、线性规划模型线性规划模型是最常见也是最基础的数学模型之一。
它的基本思想是通过线性关系来描述问题，并在一定的约束条件下，寻找目标函数的最优解。
线性规划模型通常使用线性代数和优化方法来求解。
举例来说，假设某公司生产两种产品A和B，每单位产品A需要2小时的生产时间和3小时的加工时间，每单位产品B需要3小时的生产时间和2小时的加工时间。
而生产这两种产品需要的总生产时间为40小时，总加工时间为50小时。
另外，每单位产品A的利润为20元，产品B的利润为25元。
现在的问题是，如何安排生产计划以最大化利润？我们可以定义变量x和y来表示生产的产品A和B的数量，目标函数就是要最大化利润。
由于生产时间和加工时间有限，我们可以得到以下约束条件：2x + 3y ≤ 403x + 2y ≤ 50x ≥ 0, y ≥ 0将目标函数和约束条件进行线性化处理后，就可以通过线性规划模型来求解最优解，从而得出最优的生产计划。
二、微分方程模型微分方程模型在描述动态变化问题时非常常用。
微分方程模型通过建立动态方程来描述问题的变化规律，并通过解微分方程来获得问题的解析解或数值解。
例如，假设一个水塘中的水量随时间的变化而变化。
我们可以建立微分方程来描述这个过程。
假设水塘中的水量为V，流入水的速度为r1，流出水的速度为r2，则可以得到以下微分方程：dV/dt = r1 - r2通过求解这个微分方程，我们可以获得水量随时间的变化规律，从而更好地控制水塘中的水量。
三、统计模型统计模型是利用统计方法来描述和分析现象和问题的数学模型。
统计模型通常涉及到概率分布、参数估计、假设检验等统计概念和方法。
举例来说，假设某学校的学生成绩服从正态分布，我们可以通过收集一部分学生的成绩数据来建立统计模型。
运筹学-线性规划模型在实际生活中的应用
但由于x、y的取值均为整数，故y应取37，即购买25张桌子、椅子37张，是最优选择。
点悟：由于本题是一个实际问题，当求得最优解 后，显然它不满足题意，故应取最优解的近似值，这便是实际问题与一般的非应用问题的最大区别。在实际问题中椅子必须是整数，所以x=25,y=37。
在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。
（2）由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数；
（3）由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
线性规划的数学模型的一般形式为：
目标函数：max(min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
满足约束条件：
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(＝,≥) b1
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划在生活中的应用
线性规划在生活中的应用摘要：线性规划现如今广泛应用在生活中的各个方面，深受人们的喜爱。
本文主要采用图解法，对生活中所面临的与线性规划有关的一些问题进行求解，使人们能够在生活中消除资源分配的烦恼，使企业能够应对市场激烈的竞争，有效及时的制定方案，减少工作量节约经费。
深刻体会与认识线性规划在生活、生产中的重要地位。
关键词：线性规划生活应用1、线性规划的相关概念线性规划是运筹学的一个重要分支，其研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟，是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
是在线性约束条件下，对线性目标函数极值问题进行研究的数学理论和方法。
2、生活问题中使用线性规划的优势随着时代的变迁，经济全球化的不断发展，科学技术变得越来越先进。
现代化生产的大型企业越来越多，大型企业的管理模式变得越来越复杂，因此，必须借助有效的、科学的方法来解决一些问题。
企业必须要充分利用已有的人力物力财力，实现各个岗位员工薪资的最大化，吸引大量优秀的人才，提高企业在市场中的竞争力，并最终获得利润的最大化。
科技、时代的进步也带领农村农业的发展，在农业生产中，降低成本，获取最高利润，得到最佳的销售方法等，这些都是可以运用线性规划来解决的。
3、线性规划在生活中的应用（常见生产问题、优势等）常见的生产问题：1.面条的加工销售计划2.农业生产问题3.配料问题4.生产销售问题5.作物布局6.话费选用套餐问题7.两种不同型号材料的配比问题优势：在生活中，由于资源的有限，如果我们能够充分的利用已有的资源，这是实现高效生产的一个重要的途径，如果能够把线性规划运用到农业生产中，可以使农业的生产中减少一定的阻碍，可以使农业生产中的成本、损失降到最低，并且可以的到最大的利润，降低人力物力财力的消耗。
3、线性规划在生活中运用的实例——面条的加工销售计划某加工厂用小麦加工生产B1、B2两种面条，1桶小麦可以在老式面条机上经过10h可以加工成4kgB1,或者是在新式面条机上用是8h加工成5kgB2，由于市场湿面紧缺，生产的B1、B2被全部预定，可以完全售出，根据市场行情，1kgB1有25元的利润，1kgB2仅有16元的利润。
线性规划通过线性规划解决实际问题
线性规划通过线性规划解决实际问题线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于解决实际问题。
它能够帮助我们合理安排资源，最大化利益或最小化成本。
通过线性规划，我们可以得到一个最优的决策方案。
一、线性规划的基本概念和原理线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数的优化问题。
它的基本概念包括决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量: 在线性规划中，我们需要定义一些决策变量，它们代表着我们需要做出的决策或者选择的方案。
2. 目标函数: 目标函数是线性规划中需要优化的目标，可以是最大化利润、最小化成本等。
3. 约束条件: 约束条件是限制线性规划问题的条件，可以是资源的限制、技术要求等。
线性规划的原理是通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，然后通过求解数学模型来得到最优解。
二、线性规划的应用领域线性规划在实际中有着广泛的应用领域，下面举几个例子来说明：1. 生产计划: 一家制造厂需要决定如何安排生产计划，以最大化利润。
线性规划可以帮助厂商确定每种产品的生产数量，以及每种产品所需要的资源和人力安排。
2. 运输调度: 一个物流公司需要决定如何合理地调度运输车辆，以最小化运输成本。
线性规划可以帮助物流公司确定各个仓库之间的物流路径和货物的运输量。
3. 资源分配: 一个学校需要决定如何合理地分配教职工和学生的资源，以最大化教育效益。
线性规划可以帮助学校确定教职工的安排和学生的班级编排。
三、线性规划的解决步骤解决线性规划问题一般需要以下几个步骤：1. 建立模型: 根据实际问题，将问题转化为线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件。
2. 求解方法: 使用线性规划方法，如单纯形法、对偶法等，求解线性规划模型，得到最优解。
3. 解释结果: 对最优解进行解释和分析，确定最优决策方案。
四、线性规划方法的优势和局限性线性规划方法有一定的优势和局限性。
1. 优势：线性规划方法是一种成熟、有效、可靠的数学方法，能够提供合理的决策方案。
线性规划问题在经济生活中的应用
线性规划问题在经济生活中的应用线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料；二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。
线性规划所研究的是在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最优。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
文章根据线性规划问题在现实生活中的意义进行相关讨论与探究，介绍了线性规划问题产生的背景、特点和实际运用情况，以及线性规划问题在经济生活中运用的意义。
关键词：线性规划问题数学模型运筹学线性规划问题是数学的一个重要分支，它们所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案是最优的、以及怎么找出这些最优方案。
在现实的生产活动中这类问题普遍存在，例如在生产计划安排中，选择什么样的生产方案才能提高产值、利润；在原料配给问题中，怎样确定各种成分的比例，才能使提高质量、降低成本的目标得以实现；在资源的分配问题中，怎样分配有限的资源，使得分配方案既能满足于各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；在农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产、稳定，以发挥地区优势；在经济管理中如何使产出率最大，即单位成本的产值最大，或者赢利率最大。
诸如此类问题不胜枚举，线性规划就是为了求解这类问题并为求解这些问题提供理论基础与方法而应运而生的、实用性强的学科。
线性规划问题的发展1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的一般数学模型和求解线性规划问题的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。
同年美国数学家J.von 诺伊曼提出对偶理论，开创了线性规划的许多新的研究领域，扩大了它的应用范围和解题能力。
线性规划模型在生活中的实际应用
线性计划模型在生活中实际应用一、线性计划基础概念线性计划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟一个关键分支,它是辅助大家进行科学管理一个数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提升经济效果是大家不可缺乏要求，而提升经济效果通常经过两种路径：一是技术方面改善，比如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织和计划改善，即合理安排人力物力资源.线性计划所研究是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达成最好.通常地，求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题，统称为线性计划问题.满足线性约束条件解叫做可行解，由全部可行解组成集合叫做可行域.决议变量、约束条件、目标函数是线性计划三要素.二、线性计划模型在实际问题中应用（1）线性计划在企业管理中应用范围线性计划在企业管理中应用广泛，关键有以下八种形式：1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是赢利最大.2.劳动力安排：用最少劳动力来满足工作需要.3.运输问题：怎样制订运输方案，使总运费最少.4.合理利用线材问题：怎样下料，使用料最少.5.配料问题：在原料供给限制下怎样取得最大利润.6.投资问题：从投资项目中选择方案，是投资回报最大.7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，怎样控制库存量从而取得更高利益.8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中怎样是风险最小.（2）怎样实现线性计划在企业管理中应用在线性计划应用前要建立经济和金融体系评价标准及企业计量体系，摸清企业资源.首先经过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统各相关部分特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统相关原因和系统目标关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白很好数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不一样参数获取不一样结果和实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决议.3.3 线性计划在运输问题中应用运输是物流活动关键步骤，线性计划是运输问题常见数学模型，利用数学知识能够得到优化运输方案.运输问题提出源于怎样物流活动中运输路线或配送方案是最经济或最低成本.运输问题处理是已知产地供给量，销地需求量及运输单价，怎样寻求总配送成本最低方案；运输问题包含产销平衡运输问题和产销不平衡运输问题；通常将产销不平衡问题转化为产销平衡问题来处理；运输问题条件包含需求假设和成本假设.需求假设指每一个产地全部有一个固定供给量全部供给量全部必需配送到目标地.和之类似，每一个目标地全部有一个固定需求量，整个需求量全部必需有出发地满足；成本假设指从任何一个产地到任何一个销地配送成本和所配送数量线性百分比关系.产销平衡运输问题通常提法是：假设某物资有m 个产地a 1，a 2，⋯，a m ;各地产量分别为b 1，b 2，⋯，b n ，物资从产地A i 运往销地B j 单位运价为c ij ,满足：∑∑===nj j m i i b a 11.其数学模型为：Min Z=∑∑==m i nj ij ij x c 11∑==n j ij x1 a i (i =1,2,⋯,m)产地约束s.t =∑=m i ij x1b j (j =1,2,⋯,n)销地约束 （a ）x ij ≥0(i =1,2,⋯,m; j =1,2,⋯,n)非负约束1：产销不平衡运输问题分两种情况：（1）总产量大于总销量，既满足∑∑==>nj j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1a i 改为 ∑=≤n j ij x 1 a i .（2）总产量小于总销量，既满足∑∑==<n j j m i i b a 11，此时其数学模型和表示式(a)也基础相同，只需将表示式（a ）中产地约束条件∑==n j ij x1 b j 改为 ∑=≤n j ij x 1 b j .2.运输问题处理策略现实生产情况往往比较复杂，很多实际问题不一定完全符合运输问题假设，可能部分特征近似但其中一个或多个特征却并不符合运输问题条件.通常来说，假如一个问题中包含两大类对象之间联络或往来，且该问题能提供运输问题所需要三类数据:供给量、需求量、单位运价，那么这个问题(不管其中是否包含运输)经合适约束条件处理后，基木全部能够应用运输问题模型来处理.比如:（1）追求目标是效益最大而非成木最低，此时仅将表示式(a)中目标函数中“Min Z ”改为“Max Z ”即可.（2）部分(或全部)供给量(产量)代表是从产地提供最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中产地约束中部分(或全部)“∑==nj ij x 1 a i ”改成“∑=<nj ij x 1 a i ”即可.(3)部分(或全部)需求量(销量)代表是销地接收最大数量(而不是一个固定数值)，此时只需将表示式(a)中销地约束条件中“=∑=m i ij x 1b j ”部分(或全部)改成“<∑=mi ij x 1b j ”即可.(4)一些目标地同时存在最大需求和最小需求，此时处理措施是将表示式(a)中对应销地约束中“=∑=mi ij x 1b j ”一个式子分解成最大需求和最小需求两个式子即可.三、结论现在，线性计划求解方法有很多，很多学者全部对原先求解方法进行了不停改善，计算机时代发展也加紧了处理复杂线性计划问题速度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0∃ x∃ 8
0∃ y∃ 4 x + y ∃ 10
求 z = 320x + 504y的最小值.
24x + 30y % 180
0∃ x ∃ 8
解: 作出不等式组 0 ∃ y ∃ 4
即
x + y ∃ 10
24x + 30y % 180
0∃ x∃ 8
0∃ y∃ 4
x + y ∃ 10
4x + 5y = 30
注意: 利用等比数列的求和公式时要注意 公比是否为 1, 在不确定时要注意分类讨论.
二、裂项相消法求和
把数列的通项拆成两项之差, 即数列的每 一项都可按此法拆成两项之差, 在求和时将一 些正负项相互抵消, 于是前 n 项的和变成首尾
若干项的和.
( 1)
1 n(n +
1)
=
1 n
-
1 n+
1
( 2)
1 n(n +
zm ax = 36. 说明: 上面验证过程即寻求整点的过程可
这样进行:
法
1: 将 A ( 270,
60 7
)
代入
z=
4x +
3y 得
z=
37
17, 令 4x +
3y
=
37得 y =
37 - 4x 代入约束 3
6x
+
5!
37 3
4x
∃
60
条件
5x
+
3!
37 3
4x
∃
40得
5 2
∃
x∃
3, 此时
x%0
18x + 15y ∃ 180 1000x + 600y ∃ 8000, x%0 y%0 求 z = 4x + 3y 的最大 值.
18x + 15y ∃ 180 解: 方程组 1000x + 600y ∃ 8000 即
x%0 y%0 6x + 5y ∃ 60 5x + 3y ∃ 40表示的可行域如图 1阴影部分. x%0 y%0 作直线 l: 4x + 3y = 0, 将 l移动 l1 位置时 z
可能的, 必须另求他法. 法二: 网格法, 即过 ( 2, 0) ( 4, 0) ( 6, 0) ( 8,
0) 分别作 x 轴 垂线, 过 ( 0, 2) ( 0, 4) ( 0, 6) ( 0, 8) ( 0, 10) ( 0, 12) 分别作 y 轴垂线, 两组垂线构 成许多网格, 网格的交点处都是整点, 我们可以
根据最优整点解应是距 l1 最近的点这一特征, 直观地观察选出几个点代入目标函数验证, 使
目标函数值最大的即所求解. 这种方法直观, 缩 小了验证范围, 但是当作图误差较大或单位长 度选得过小 (比如 0. 5 cm 代表 10个单位 ), 这
时很难将最优整点找出来. 法 3: 区域划分法, 过 A 点作 AM ∋ x 轴于 M
n ( n + 1)!
=
1 n!
-
1 ( n + 1)!
( 6)2( n + 1 - n) < 1 < 2( n n
! 17!
∃ 12, y 可 取 0, 1, 2, ∗ 12. 但 是 我 们 只 要 把 A 1 ( 0, 12) 挑出来即可 (因为要求的最大值 ).
当 x = 1时, 0 ∃ y ∃ 10 45, = 2时, 0 ∃ y ∃ 9, 选出 A 3 ( 2, 9), 在这三个 点中当取点 A 1 时目标函数值较大为 k1 = 36. 对 ( ) ), 同 理 可 选 出 B 1 ( 3, 8), B2 ( 4, 6), B3 ( 5, 5), B4 ( 6, 3), B5 ( 7, 1), B 6 ( 8, 0), 在 这 六 个 点 中取 B1 点时目标函数值较大为 k2 = 36, 最后只 要选出 k1 与 k2 中较大的一个, 其对应的点即所 求的最优整点解 (本题为 A 1 或 B 1 ). 这种找整 点的方法是通法, 它实质上是把所有的整点都
点, 则可行域可表示为
0∃
x∃
20 7
(( )
y%0
6x + 5y ∃ 60
即
0∃
x∃
2
6 7
0∃
y∃
12 -
6 5
x
20 7
∃
x∃
8
与 ()) y% 0
即
5x + 3y ∃ 40
2
6 6
∃
x∃
8
两
0∃
y∃
40 - 5x 3
部分, 对 ( ( ), x 可取 0, 1, 2, 当 x = 0时, 0 ∃ y
活多样, 它是数列与极限、数列与数学归纳法有
机联系的桥梁, 在高考中经常出现, 所以学好数 列求和非常必要. 在学这部分知识时, 首先要认
真分析数列的通项, 再就是应熟练掌握常见的 几种求和方法.
一、公式法: 常用的数列求和公式有 ( 1) 等差数列求和公式 (三种形式 )
( 2) 等比数列求和公式 (三种形式 )
k)
=
1 k
(
1 n
-
1 n+
k)
( 3)
1 k2
<
1 k2 -
= 1
1 2
(
k
1 -
1-
1 k+
1)
1 k
-
k
1 +
1=
(
k
1 + 1)
k
<
1 k2
<
(
k
1 - 1)
k
=
k
1 -
1
-
1. k
( 4)
n(n +
1 1) (n +
2)
=
1 2
[
1 n(n +
1)
-
(n+
1 1) ( n +
2) ]
( 5)
验证过程如下: 将 l平移时先经过区域 ( ,
所以只要在 ( 内找出使目标函数取最大值的
点即所求点.
x + y ∃ 10 ( 区域为 4x + 5y % 30即
0∃ y∃ 2
数理化学习 ( 高中版 )
30 4
5y
∃
x∃
8
0∃ y∃ 2 因为 y # Z, 所以 y = 0, 1, 2; 当 y = 0时,
十一、用于求椭圆的离心率
例 12
已知
O 为 坐标 原点 ,
过椭
圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a > b > 0) 的右焦点 F 作与 x轴垂直的直
线交椭圆于 A、B 两点, 将坐标平面沿 x 轴折成
直二面角, 此时, AOB = 60 , 求椭圆的离心
率.
分析: 易知 | AF
| = | BF | =
x = 8; 当 x = 1时, x = 7; 当 y = 2时, x = 5, 显 然 x = 8, y = 0时, zm in = 2560最小. 这样就省去 了讨论 ) 内的整点, 使验证过程简单化.
山东省郯城县第一中学 ( 276100)
∀张 娟
数列求和的几种常用方法
数列求和是数列的一个重要内容, 题型灵
y%0
y=
37
-
4 3
&
3
=
25 2
Z.
所以 4x + 3y = 37不成立.
! 15!
数理化学习 ( 高中版 )
令 4x + 3y = 36, 同样代入约束条件得 0 ∃ x ∃ 4, 所以 x = 0, 1, 2, 3, 4.
当 x = 0时 y = 12; 当 x = 3时 y = 8; 当 x = 1, 2, 4时, y 不是整数.
所以目标函数的 最优整点解为 ( 0, 12) 和
( 3, 8). 该法是对目标函数的值由大到小逐一验证
(求最大值时 ) 需要指出的是最优整点解不一 定是 A 点附近的点, 它是距离直线 l1 最近的点. 使用该法的缺点是当目标函数 z = f ( x2y ) 中 x、 y 的系数较大时, 最优整点解与最优非整点解 的目标函数值相差很大, 这时再一一验证是不
= 4x + 3y 最大. 解不等式组 6x + 5y = 60得点 5x + 3y = 40
A
的坐标为
( 270,
60 7
),
因为
x,
y
#
Z, 所以 A ( 270,
670) 不是最优解, 可以验证可行域内使 z = 4x + 3y 取得最大值的整点为 ( 0, 12) 和 ( 3, 8), 此时
( 3) 1 + 2 + 3 + ∗ + n =
1 2
n
(
n
+
1)
( 4) 12 + 22 + 32 + ∗ + n2 =
1 6
n
(
n
+
1) ( 2n
+ 1) ( 5) 1 + 3 + 5 + ∗ + ( 2n - 1) = n2,
( 6) 1 + 3 + 5 + ∗ + ( 2n + 1) = ( n + 1) 2
的可 行 域 如 图 2, 作 直 线 l: 320x +
504y = 0, 即 40x + 63y = 0当 l移到 l1 位置时 z 最大, 解方程组