《火线100天》2015中考数学复习滚动小专题(二)方程(组)、不等式(组)的解法及应用
火线100天(广西专版)中考数学复习集训 题型专项七 实际应用题-人教版初中九年级全册数学试题
实际应用题实际应用型问题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，寻求解决问题的方法或方案．此类题在中考中出现较多，通常以解答题的形式出现，难度适中．解答此类问题的关键是根据已知条件列方程(组)、不等式或建立函数关系式，并综合运用函数的性质加以分析从而解决问题．类型1 方程(组)、不等式的实际应用1．(2015·某某)某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：(1)已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；(2)六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？2．(2015·某某)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3．(2014·某某模拟)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2011年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．(1)求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2015年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2014年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．类型2 方程(组)、不等式、一次函数的实际应用1．(2015·某某)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)根据图象，求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售单价应定为多少？2．(2015·某某)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？3．(2015·某某)如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a 米．(1)用含a 的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽；(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y 1(元)、y 2(元)与修建面积x(m 2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道的宽度不少于2米且不超过10米，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元．类型3 方案设计1．(2015·某某改编)“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1 520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．(1)求每本文学名著和动漫书各多少元；(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，且文学名著不低于26本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．2．(2013·某某)在“美丽某某，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？3．(2014·某某)某经销商从市场得知如下信息：他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块．设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．(1)试写出y与x之间的函数关系式；，该经销商有哪几种进货方案？(3)选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？参考答案类型11．(1)根据题意，得解得答：表格中a ，b 的值分别为0.61、0.66.(2)设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意，得200×0.61＋200×0.66＋0.92(x －400)≤300，解得x≤450.答：李叔家六月份最多可用电450度．2.(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件．由题意可得28 8002x －13 200x ＝10.解得x＝120，经检验x ＝120是原方程的解．(2)设每件衬衫的标价至少是a 元．由(1)得第一批的进价为：13 200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得：120×(a－110)＋(240－50)×(a－120)＋50×(－120)≥25%×42 000.解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．3.(1)设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得75(1＋x)21＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%.(2)设从2014年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意，得(108×0.9＋y)×0.9＋y≤125.48.解得y≤20.答：从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆． 类型21．(1)设y 与x 函数关系式y ＝kx ＋b ，把点(40，160)，(120，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝160，120k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝240.∴y 与x 函数关系式为y ＝－2x ＋240(40≤x≤120)．(2)由题意，销售成本不超过3 000元，，∴≤x ≤120.根据题意列方程，2－160x ＋6 000＝0，解得x 1＝60，x 2，故舍去．∴销售单价应该定为100元．2.(1)设每个气排球的价格为x 元、每个篮球的价格为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋3y ＝340.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80.答：每个气排球的价格为50元，每个篮球的价格为80元．(2)设购买气排球a 个，则购买篮球为(50－a)个，总费用为w 元．则w ＝50a ＋80(50－a)＝－30a ，得50a ＋80(50－a)≤3 200，解这个不等式，得a≥2623.∵购买气排球的个数少于30个，∴2623≤a ＜30.∵a 为正整数，∴a ＝27，28，29.∵w ＝－30a ＋4 000是a的一次函数，k ＝－30<0，∴w 随a 的增大而减小．∴当a ＝29时，购买总费用最低，此时50－29＝21(个)．w ＝－30×29＋4 000＝3 130(元)．答：当购买气排球29个，篮球21个时，总费用最低，最低费用是3 130元．3.(1)花圃的面积为：(60－2a)(40－2a)或4a 2－200a ＋2 400.(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×(1－38)，即a 2－50a ＋225＝0，解得a 1＝5，a 2＝45(不合题意，舍去)．∴此时甬道的宽为5米．(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，∴800≤x花圃≤2 016.由图象可知，当x≥800时，设y 2＝k 2x ＋b ，∵直线y 2＝k 2x ＋b 经过点(800，48 000)与(1 200，62 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧800k 2＋b ＝48 000，1 200k 2＋b ＝62 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝35，b ＝20 000.∴y 2＝35x ＋20 000.当x≥0时，设y 1＝k 1x ，∵直线y 1＝k 1x 经过点(1 200，48 000)，∴1 200k 11＝40.∴y 1＝40x.设修建甬道、花圃的总造价为y 元，依题意，得y ＝y 通道＋y 花圃＝40(60×40－x 花圃)＋35x 花圃＋20 000＝40(2 400－4a 2＋200a －2 400)＋35(4a 2－200a ＋2 400)＋20 000＝－20a 2＋1 000a ＋104 000＝－20(a －25)2＋116 500.∵－20<0，∴当a<25时，y 随a 的增大而增大．而2≤a≤10，∴当a ＝2时，y 最小＝105 920.∴当甬道的宽为2米时，修建甬道，花圃的总造价最低，最低为105 920元． 类型31．(1)设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ＝1 520，20x －20y ＝440.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝18.答：每本文学名著和动漫书各是40元和18元．(2)设买文学名著m 本，依题意得m≥26，且40m ＋18(m ＋20)≤2 000，所以26≤m≤82029.∵m 为正整数，∴m 的值是26，27，28.方案1，购买文学名著26本，动漫书46本；方案2，购买文学名著27本，动漫书47本；方案3，购买文学名著28本，动漫书48本．2.(1)由题意，得y 1＝250x ＋3 000，y 2＝500x ＋1 000.(2)如图所示．(3)由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y 1落在直线y 2的下方，y 1＜y 2，即方案1省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y 2落在直线y 1的下方，y 2＜y 1，即方案2省钱；③当使用时间等于8个月时，y 1＝y 2，即方案1与方案2一样省钱．3.(1)y ＝140x ＋6 000(x≤50)．(2)令y≥12 600，则140x ＋6 000≥12 600，∴x ≥4717.又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：(3)∵140＞0，∴y 随x 的增大而增大，∴当x ＝50时，y 取得最大值．又∵140×50＋6 000＝13 000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13 000元．。
中考数学复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程及其应用课件
基
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知
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固
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频
考
向
探
究
(续表)
应用类型
等量关系
面积问题
AB+BC+CD=a
S阴影=⑨ (a-2x)(b-2x)
S阴影=⑩(a-x)(b-x)
第八页，共三十四页。
S阴影= ⑪
-
·x
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对点演练
题组一 必会题
1.若关于x的方程(fāngchéng)(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,则m的取值范围是 (
耗),窗框的上部是等腰直角三角形,下部是两个全等的矩形,窗框的总面积为 3 m2
(材料的厚度忽略不计).若设等腰直角三角形的斜边长为 x m,下列方程符合题意的
A.16(1+2x)=25
B.25(1-2x)=16
)
[答案] D
[解析]一种药品原价每盒25元,两次降价的百分
率都为x,所以第一次降价后的价格用代数式表
示为25(1-x),第二次降价后的价格用代数
式表示为25(1-x)·(1-x)=25(1-x)2,根据题意可
列方程为25(1-x)2=16,故选D.
C.16(1+x)2=25
D.25(1-x)2=16
第二十六页，共三十四页。
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角度( jiǎodù)2 图形面积问题
例4 [2018·安徽名校模拟] 如图6-2,某街道办事处把一块矩形空地进行绿化.已知该矩形空地
《火线100天》2015中考数学复习专题复习阅读理解问题
阅读理解问题阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.题型之一新定义、新概念阅读型例1 (2014²安徽)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值.【思路点拨】(1)根据“同簇二次函数”先选择所写函数的顶点坐标，使二次项系数同号但数值不同即可；(2)根据其中y1的图象经过点A(1，1)，把点A的坐标代入函数解析式中即可求出m的值，得y1解析式.利用y1+y2的顶点与y1的顶点相同求a,b.最后利用二次函数的性质确定当0≤x≤3时y2的最大值.【解答】(1)答案不唯一，如顶点是原点，开口向上的二次函数，y=x2和y=2x2；(2)把点A(1，1)坐标代入到y1=2x2-4mx+2m2+1中，得2³12-4m³1+2m2+1=1，解得m=1.∴y1=2x2-4x+3.∵y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8，又∵y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，其顶点为(1，1)，且y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴()()()()241,2242841.42baa ba-⎧-=⎪+⎪⎨+⨯--⎪=⎪+⎩解得5,10.ab=⎧⎨=-⎩∴y2=5x2-10x+5=5(x-1)2.∵当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，当x=0时，y2=5.当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，当x=3时，y2=20.∴在0≤x≤3中，当x=3时，y2有最大值，最大值y2=5³(3-1)2=20.故当0≤x≤3时，y2的最大值是20.方法归纳：这类题首先要读懂题目中的新概念，然后将新概念的问题与原有的知识结合，利用原有的知识解决问题，其实就是“披了一件新外衣”，解决方法还是用原来的知识点.1.(2014²成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中的三角形ABC是格点三角形，其中S=2，N=0，L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=.(用数值作答)2.(2014²白银)阅读理解：我们把a bc d称作二阶行列式，其运算法则为a bc d=ad-bc.如：2345=2³5-3³4=-2.如果有231xx-＞0，求x的解集.3.(2014²巴中)定义新运算：对于任意实数a、b都有a△b=ab-a-b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2³4-2-4+1=8-6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围.4.(2014²长沙改编)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1，-1)，(0，0)，，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=nx（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；(2)函数y=3kx+s-1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由.5.(2013²咸宁)阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题：(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.题型之二 学习应用型例2 (2014²济宁)阅读材料：已知，如图1，在面积为S 的△ABC 中，BC ＝a,AC ＝b,AB ＝c,内切圆O 的半径为r.连接OA ，OB ，OC ，△ABC 被划分为三个小三角形.∵S=S △OBC +S △OAC +S △OAB=12BC ²r+12AC ²r+12AB ²r =12（a+b+c ）r, ∴r=2S a b c++.(1)类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图2，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆半径r ；(2)理解应用：如图3，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21，CD ＝11，AD ＝13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求12r r 的值. 【思路点拨】(1)连接OA ，OB ，OC ，OD ，仿照例题易得r.(2)过上底顶点作下底垂线，从而求出BD 的长以及梯形的高，从而利用(1)的结论用含有r 1和r 2的式子表示出两三角形的面积.根据等高的三角形面积比等于底的比，建立等量关系，得到两半径之比. 【解答】(1)连接OA ，OB ，OC ，OD.作出对应四个三角形的高OE ，OF ，OG ，OH. ∵S=S △AOB +S △BOC +S △COD +S △AOD=12ar+12br+12cr+12dr=12(a+b+c+d)r, ∴r=2Sa b c d+++.(2)过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则 AE=12(AB-DC)=12³(21-11)=5.BE=AB-AE=21-5=16.∵AB ∥DC ，∴ABD BCD S S =AB DC =2111. 又∵ABD BCDS S =()()121132120211113202r r ++++=125444r r =122722rr ， ∴122722r r =2111.即12r r =149.方法归纳：本题从人教版九年级上册课本P100练习2入手，将知识层层推进.解决这类题一定要弄懂给出学习的例题得出解题思路，然后类比例题的思路解决第(2)问的内容.1.(2014²兰州)为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100,则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S-S=2101-1，所以S=2101-1，即1+2+22+23+…+2100=2101-1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32 014的值是.2.(2013²湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题： sin30°=12,cos30°,则sin 230°+cos 230°=;① sin45°=2,cos45°=2,则sin 245°+cos 245°=;② sin60°°=12,则sin 260°+cos 260°=;③…，观察上述等式，猜想：对任意锐角A ，都有sin 2A+cos 2A=.④(1)如图，在锐角三角形ABC 中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A 证明你的猜想；(2)已知：∠A为锐角(cosA>0)且sinA=35,求cosA.3.(2013²黔西南)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如2.善于思考的小明进行了以下探索：设2(其中a，b，m，n均为整数)，则有=m2+2n2∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a=，b=；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：=；(3)若2，且a，m，n均为正整数，求a的值.4.(2014²黔西南)已知点P(x0,y0)和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离d可用公式.例如：求点P(-2,1)到直线y=x+1的距离.解：因为直线y=x+1可变形为x-y+1=0，其中k=1,b=1, 所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为：根据以上材料，求：(1)点P(1,1)到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；(2)点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离；(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离.题型之三纠错补全型例3(2014²温州)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分.赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)（1）根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；（2）最后获知A，B，C，D，E五位同学的成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分.①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况.请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可).【思路点拨】(1)5³答对题数-2³答错题数=个人的得分，然后算出4人平均分；(2)①设E同学答对题数为x，得到答错题数，然后利用(1)的关系式列出方程，求解即可；②对比(1)、(2)中每人成绩，得出C同学出错，然后利用二元一次方程的特解找到C同学答题情况.【解答】(1)A同学的成绩为：5³19-2³0+0³1=95，B同学的成绩为：5³17-2³2+0³1=81，C同学的成绩为：5³15-2³2+0³3=71，D同学的成绩为：5³17-2³1+0³2=83.A，B，C，D四位同学成绩的平均分为958171834+++=82.5.答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分为82.5分.(2)①设E同学答对x道题，则答错题数为（13-x）道.由题意可得5x-2(13-x)+0³7=58，解得x=12.答：E同学答对题数为12，答错题数为1.②C同学的成绩记错了.设C同学答对a道题，答错b道题.则5a-2b=64，即有a=6425b+.又∵a+b≤20，且a、b为整数，∴可行解只有143.ab=⎧⎨=⎩，20-a-b=3.答：C同学答对14道题，答错3道题，未答3道题.方法归纳：解决这类问题的关键是分清题目中哪些信息是没有失误的，哪些信息是有误的.在正确信息下得到的结论仍是正确的，利用正确信息去找失误点，然后解决问题.1.(2014²河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac>0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+bax=-ca,……第一步x 2+b a x+(2b a )2=-c a +(2b a)2，……第二步 (x+2b a )2=2244b aca -，……第三步 x+2b a=4a(b 2-4ac>0)，……第四步x=2b a-+.……第五步(1)嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b 2-4ac>0时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式是. (2)用配方法解方程x 2-2x-24=0.2.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE. 求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中，,,,EB EC ABE ACE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB ≌△AEC(第一步). ∴∠BAE=∠CAE(第二步).问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.3.“？”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批语.我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个“？”.结果为何不正确呢？(1)请你指出小明解答过程中存在的问题，并补充缺少的过程；变化一下会怎样…(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD内部.AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD∶AB=2∶1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d满足什么条件？请说明理由.4.(2013²河北)某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵.将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2)，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误.回答下列问题：(1)写出条形图中存在的错误，并说明理由；(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵. 参考答案题型之一 新定义、新概念阅读型1.7,3,10 11提示：不妨设某个格点四边形由四个小正方形组成，此时，S=4，N=1，L=8.由题意，可联立方程组62,3107,8 4.b c a b c a b c +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,1,21.a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩∴S=N+12L-1.∴当N=5，L=14时，S=11. 2.由题意得2x-(3-x)>0， ∴2x-3+x>0. ∴x>1.3.∵3△x=3x-3-x ＋1=2x-2， ∴225229.x x ->⎧⎨-<⎩，解得72＜x ＜112.4.(1)∵点P(2，m)是“梦之点”,∴m ＝2，P(2,2). 将点P(2,2)代入y=n x 中，得n ＝4，∴y=4x. (2)设函数y=3kx+s-1的图象上存在“梦之点”，∴设该“梦之点”为(a ，a)，代入得a=3ka+s-1. ∴(3k-1)a=1-s.3k-1=0，1-s=0，即k=13，s=1时，y=x ，此时直线上所有点都是“梦之点”； ②当3k-1=0,1-s ≠0时，此方程无解，不存在“梦之点”；③当3k-1≠0时，即k ≠13，解得a=131s k --，“梦之点”为(131s k --,131s k --).综上所述，当k ≠13时，“梦之点”为(131s k --,131s k --);当k=13，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=13，s≠1时，不存在“梦之点”.5.(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由：∵∠A=55°，∴∠ADE+∠DEA=125°.∵∠DEC=55°，∴∠BEC+∠DEA=125°.∴∠ADE=∠BEC.∵∠A=∠B，∴△ADE∽△BEC.即点E是四边形ABCD的AB边上的相似点.(2)作图如图2所示.(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM.由折叠可知：∠ECM=∠DCM=∠BCE，CE=CD，∴∠BCE=13∠BCD=30°.∴2BE=CE=AB.在Rt△BCE中，tan∠BCE=BEBC=tan30°，∴即BC.题型之二学习应用型1.2 015 312-2.1；1；1；1.(1)证明：如图，过点B作BH⊥AC于点H，则BH2+AH2=AB2.在Rt△ABH中，sinA=BHAB,cosA=AHAB，∴sin2A+cos2A=22BHAB+22AHAB＝222BH AHAB+=1.(2)∵sin2A+cos2A=1，sinA=3 5 ,∴cos2A=1-(35)2=1625.又∵cosA>0,∴cosA=4 5 .3.(1)∵2，∴2+3n2∴a=m2+3n2，b=2mn.故答案为m2+3n2，2mn.(2)答案不唯一，如：设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2.故答案为2.(3)由题意，得a=m2+3n2，b=2mn=4，则mn=2.∵m，n为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2.∴a=22+3³12=7，或a=12+3³22=13.即a的值为7或13.4.(1)∵点P(1,1)在直线y=3x-2的图象上,∴d=0.(2)因为直线y=2x-1可变形为2x-y-1=0，其中k=2,b=-1, 所以点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离为：(3)∵直线y=-x+1、y=-x+3平行,∴任取直线y=-x+1上的一点到直线y=-x+3的距离即为两直线之间的距离.∴取y=-x+1上的一点P(0,1)到直线y=-x+3的距离.题型之三纠错补全型1.(1)四；x=.(2)方程x2-2x-24=0变形，得x2-2x=24，x2-2x+1=24+1，(x-1)2=25，x-1=±5，x=1±5，∴x=-4或x=6.2.不正确，错在第一步.正确的推理是：∵EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.又∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.又∵AE=AE，EB=EC，∴△ABE≌△ACE(SSS).∴∠BAE=∠CAE.3.(1)这里的长与宽的比为2∶1，是蔬菜大棚的长与宽，而不是蔬菜种植区域.设蔬菜大棚的宽为x m，则其长为2x m，蔬菜种植区域的长为(2x-3-1)=(2x-4)m，宽为(x-1-1)=(x-2)m. 依题意，得(2x-4)(x-2)=288.解这个方程，得x1=-10(不合题意，舍去)，x2=14.∴x=14,2x=28.答：当温室的长为28米，宽为14米时，矩形蔬菜种植区域的面积是288米2.(2)设AB=x，则AD=2x，那么A′D′=2x-a-c，A′B′=x-b-d.∵矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，∴AD∶AB=A′D′∶A′B′=2∶1.∴A′D′=2A′B′，∴2x-a-c=2(x-b-d)，∴a+c=2b+2d.4.(1)D有错.理由：D组人数为10%³20=2≠3；(2)众数为5，中位数为5；(3)①第二步，②x=4458667220⨯+⨯+⨯+⨯=5.3.估计这260名学生共植树：5.3³260=1 378(棵).。
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
火线100天(广西专版)中考数学复习集训 题型专项四 计算求值题-人教版初中九年级全册数学试题
计算求值题本专题主要考查实数的运算、整式与分式的化简与求值以及方程(组)、不等式(组)的解法，在中考题中常以选择题、填空题、解答题三种类型出现，属基础题．复习时要熟练掌握实数的各种运算，并注意混合运算中的符号与运算顺序；在整式的化简时要灵活运用乘法公式及运算律；在分式的化简时要灵活运用因式分解知识，分式的化简求值时，还应注意整体思想和各种解题技巧；在求不等式组的解集及特殊解时，应注意利用数轴；解分式方程注意验根．类型1 实数的混合运算1．(2014·某某)计算：8＋(12)－2－4cos45°.2．(2014·某某)计算：(－2)2－8·12＋(sin60°－π)0.3．(2015·某某)计算： 2－1－3tan60°＋(π－2 015)0＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12.类型2 整式的运算1．(2015·某某A 卷)计算：y(2x －y)＋(x ＋y)2.2．(2015·某某)先化简，再求值：a(a －2b)＋(a ＋b)2，其中a ＝－1，b ＝ 2.类型3 分式的化简求值1．(2013·贵港)先化简：(1x ＋1－1)÷x x 2－1，再请你选择一个合适的数x 代入求值．2．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.类型4 方程(组)的解法1．(2014·某某模拟)解方程：4y －3(20－y)＝6y ＋7(y －9)．2．(2013·某某)解二元一次方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝19，①2x －y ＝1.②3．解方程：x 2＋2x －8＝0.4．(2014·某某)解方程：2x x －2＋1＝32－x.类型5 不等式(组)的解法1．(2014·)解不等式12x －1≤23x －12，并把它的解集在数轴上表示出来．2．(2015·某某)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2≥2（x ＋2），①2x ＋1>3x －5，②并求其整数解．3．(2014·某某)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有a △b ＝ab －a －b ＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3，请根据上述知识解决问题：若3△x 的值大于5而小于9，求x 的取值X 围．参考答案类型11．原式＝22＋4－22＝4. 2.原式＝4－22×12＋1＝4－2＋1＝3.3.原式＝12－3＋1＋12＝1－3＋1＝－1. 类型21．原式＝2xy －y 2＋x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋4xy.2.原式＝a 2－2ab ＋a 2＋2ab ＋b 2＝2a 2＋b 2.∵a ＝－1，b ＝2，∴原式＝2＋2＝4.类型31．原式＝1－x －1x ＋1÷x （x ＋1）（x －1）＝－x x ＋1·（x ＋1）（x －1）x，则(x ＋1)(x －1)≠0，x ≠0，解得x≠±1，x ≠0，所以，当x ＝2时，原式＝1－2＝－1.2.原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x ＋1）（x －1）÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）÷x ＋2（x ＋1）（x －1）＝2（x －1）（x ＋1）·（x ＋1）（x －1）x ＋2＝2x ＋2.∵2x －6＝0，∴x ＝3.∴当x ＝3时，原式＝25. 类型41．4y －60＋3y ＝6y ＋7y －63，4y ＋3y －6y －7y ＝－63＋60，－6y ＝－3，y ＝12.2.解法1(代入法)：由②，得y ＝2x －1，③把③代入①，得3x ＋4x －2＝19，解得x ＝3.把x ＝3代入③，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.解法2(加减法)：②×2，得4x －2y ＝2，③①＋③，得7x ＝21，解得x ＝3.把x ＝3代入②，得6－y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5. 3.∵a＝1，b ＝2，c ＝－8，b 2－4ac ＝22－4×1×(－8)＝36>0，∴x ＝－2±362＝－2±62.∴x 1＝2，x 2＝－4.4.方程两边都乘以(x －2)，得2x ＋(x －2)＝－3，解得x ＝－13.经检验，x ＝－13是原分式方程的解． 类型51．去分母，，，，得x≥－3.则解集在数轴上表示出来为：2．由①，得x≥2.由②，得x<6.∴解集为：2≤x<6.∴所求整数解为：2，3，4，5.△x＝3x －3－x ＋1＝2x －2，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＞5，2x －2＜9.解得72＜x ＜112.∴x 的取值X 围是72<x<112.。
火线100天(云南专版)中考数学一轮复习 第7讲 一元一次
第7讲一元一次不等式(组)命题点年份各地命题形式考查频次2016考查方向不等式的性质2013 德宏(T4选) 选择1个近3年共考查1次，主要考查不等式的性质，预计2016年考查的可能性较小.一元一次不等式的解法2015 云南(T2选) 选择1个近3年共考查1次，预计2016年考查的可能性不大，但作为解不等式组的基本，复习时也应重视.一元一次不等式组的解法2015昆明(T6选)，曲靖(T4选，T14填)选择2个填空1个高频考点近3年共考查了10次，主要考查解不等式组并在数轴上表示解集，预计2016年考查的可能性较大.2014云南(T3选)，曲靖(T10选)选择2个2013红河(T4选)，昭通(T8选)，曲靖(T12填)，玉溪(T16解)，西双版纳(T15解)选择2个填空1个解答2个不等式的应用2014 昆明(T21(2)解) 解答1个近3年共考查5次，主要是结合方程和函数最大(小)出现的方案设计问题，主要以解答题的形式出现，预计2016年考查方案设计问题的可能性较大.2013昆明(T21(2)解)，大理(T22(2)解)，普洱(T22(2)解)，德宏(T22(2)解)解答4个不等式的概念及性质不等式的有关概念用不等号连接起来的式子叫做不等式，使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集.不等式的基本性质性质1 若a＜b，则a±c＜b±c；性质2 若a＜b且c＞0，则ac①______bc(或ac②______bc)；性质3 若a＜b且c＜0，则ac③______bc(或ac④______bc).一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式的解法(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.不等式组的解法一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集，并表示在数轴上，再求出他们的公共部分，就得到不等式组的解集.不等式组的解集情况(假设b＜a){x＞a，x≥b x＞a 同大取大{x＜a，x≤b x≤b 同小取小{x＜a，x≥b b≤x＜a 大小小大中间找{x＞a，x≤b无解大大小小无处找不等式的应用列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：(1)审清题意；(2)设未知数；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)⑤________作答．1．已知不等式(组)的解集确定不等式(组)中字母的取值范围有以下四种方法：(1)逆用不等式(组)解集确定；(2)分类讨论确定；(3)从反面求解确定；(4)借助数轴确定．2．列不等式(组)解应用题应紧紧抓住“至多”“至少”“不大于”“不小于”“不超过”“大于”“小于”等关键词列出不等量关系式，进而求解．命题点1 一元一次不等式的解法(2015·南京)解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．【思路点拨】本题只要先去括号，然后移项，系数化为1就可以解出不等式．【解答】解不等式的步骤，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.即可得出解集．值得注意的是去分母的时候不等式的任何一项要乘以最简公分母，移项时要改变符号．求出不等式的解集，把其解集表示在数轴上要注意标记解集的方向和起始位置应是空心圆圈还是实心点．1．(2015·云南)不等式2x －6＞0的解集是( ) A ．x ＞1 B ．x ＜－3 C ．x ＞3 D ．x ＜32．(2015·舟山)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为()3．(2015·铜仁)不等式5x －3<3x ＋5的最大整数解是________． 4．(2015·绍兴)解不等式：3x －5≤2(x ＋2)．5．(2015·安徽)解不等式：x 3＞1－x －36.命题点2 一元一次不等式组的解法(2015·上海)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＞2x －6，①x －13≤x ＋19②， 并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】 本题考查不等式组的解法，先将两个不等式分别解出，再求出其公共部分即为该不等式组的解集．然后在数轴上画出解集． 【解答】寻找各个不等式解集的公共部分是解不等式组的关键．在数轴上表示不等式的解集时，要确定边界和方向，边界：有等号的用实心圆点，无等号的用空心圆圈；方向：大于向右，小于向左．1．(2015·曲靖)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，12（x ＋3）≤1的解集在数轴上表示正确的是()2．(2014·云南)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＞0，x ＋1≥0的解集是( )A ．x ＞12B.12≤x<1 C ．x<12D ．x ≥13．(2015·昆明)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x －12＜x ＋1的解集在数轴上表示为( )4．(2015·龙岩)求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，①x ＞2x －5②的正整数解．命题点3 不等式的应用(2015·益阳)大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产． (1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；(2)若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？【思路点拨】 (1)设初期购得原材料a 吨，每天所耗费的原材料为b 吨，根据“当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨”列出方程组解决问题；(2)最多再生产x 天后必须补充原材料，根据“若剩余原材料数量小于或等于3吨”列出不等式解决问题． 【解答】列不等式解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”“不超过”“不低于”“不大于”“不高于”“小于”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号，另外对一些实际问题的分析还需要注意结合实际．1．(2015·株洲)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品，已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应该买多少个球拍？2．(2015·广东)某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．(1)求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润＝销售价格－进货价格)(2)商场准备用不多于2 500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？1．(2015·南充)若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是( ) A ．m ＋2＞n ＋2 B ．2m ＞2n C.m 2＞n 2D ．m 2＞n 22．(2015·襄阳)在数轴上表示不等式2(1－x)＜4的解集，正确的是()3．(2015·温州)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞2，x －1≤2的解集是( )A ．x<1B ．x ≥3C ．1≤x<3D ．1<x ≤34．(2015·宁德)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，2x ≤4的解集在数轴上表示正确的是()5．(2015·潍坊)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞－1，－3x ＋9≥0的所有整数解的和是()A ．2B ．3C ．5D ．66．(2015·绥化)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＞1的解集为x ＞1，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ≥1D ．a ≤1 7．(2015·南充)不等式x －12＞1的解集是________．8．(2015·南昌)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12x －1≤0，－3x<9的解集是________．9．(2015·安顺)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10＞0，163x －10<4x 的最小整数解是________．10．(2013·乌鲁木齐)某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n 道题，则根据题意可列不等式________________． 11．(2015·巴中)解不等式：2x －13≤3x ＋24－1，并把解集表示在数轴上．12．(2015·黔东南)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）＞3x ，3x －12≥－2，并将它的解集在数轴上表示出来．13．(2015·北京)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1）≤7x ＋10，x －5<x －83，并写出它的所有非负整数解．14．(2015·潍坊)为提高饮水质量，越来越多的居民开始选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A 、B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36 000元．(1)求A 、B 两种型号家用净水器各购进了多少台；(2)为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11 000元，求每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．(注：毛利润＝售价－进价)15．(2015·永州)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x<1，x ＞m －1恰有两个整数解，则m 的取值范围是()A ．－1≤m ＜0B ．－1＜m ≤0C ．－1≤m ≤0D ．－1＜m ＜016．(2015·宿迁)关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞3，a －x ＞1的解集为1＜x ＜3，则a 的值为________．17．(2013·达州)若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3k －1，x ＋2y ＝－2的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是________．18．(2015·漳州)国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170 000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：类别 彩电 冰箱 洗衣机 进价(元/台) 2 000 1 600 1 000 售价(元/台)2 3001 8001 1002倍．设该商店购买冰箱x 台．(1)商店至多可以购买冰箱多少台？(2)购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？温馨提示：“整合集训”完成后，可酌情使用P127题型专项(二)类型4“不等式(组)的解法”进行强化训练！ 考点解读考点1 ①＜ ②＜ ③＞ ④＞ 考点3 ⑤检验 各个击破例1 去括号，得2x ＋2－1≥3x ＋2， 移项，得2x －3x ≥2－2＋1， 合并同类项，得－x ≥1， 系数化为1，得x ≤－1，这个不等式的解集在数轴上表示为：题组训练 1.C 2.A 3.3 去括号，得3x －5≤2x ＋4. 移项，得3x －2x ≤4＋5.合并同类项，得x ≤9. 5.2x ＞6－(x －3).2x ＞6－x ＋3.3x ＞9.x ＞3.所以不等式的解集为x ＞3. 例2 解不等式①，得x ＞－3； 解不等式②，得x ≤2.∴不等式组的解集为－3＜x ≤2.在数轴上画出解集，如图所示：题组训练 1.D 2.A 3.A 由①得x ＞－12.由②得x ＜5.则不等式组的解集为－12＜x ＜5.∴此不等式组的正整数解为1，2，3，4.例3 (1)设初期购得原材料a 吨，每天所耗费的原材料为b 吨，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －6b ＝36，a －10b ＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝1.5. 答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨．设再生产x 天后必须补充原材料，依题意得45－16×1.5－1.5(1＋20%)x ≤3， 解得x ≥10.答：最多再生产10天后必须补充原材料．题组训练 1.设购买球拍x 个，依题意得1.5×20＋22x ≤200. 解得x ≤7811.由于x 取整数，故x 的最大值为7.答：孔明应该买7个球拍．2.(1)设A ，B 型号的计算器的销售价格分别是x 元，y 元，得⎩⎪⎨⎪⎧5（x －30）＋（y －40）＝76，6（x －30）＋3（y －40）＝120， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42，y ＝56.答：A ，B 两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元．设最少需要购进A 型号的计算器a 台，得30a ＋40(70－a)≤2 500，解得a ≥30. 答：最少需要购进A 型号的计算器30台． 整合集训1．D 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.x ＞3 8.－3＜x ≤2 9.－3 10．10x －5(20－x)＞9011.去分母，得4(2x －1)≤3(3x ＋2)－12. 解得x ≥2.∴不等式的解集为x ≥2.解集在数轴上表示如图所示：12.⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）＞3x ，①3x －12≥－2，②解不等式①得x ＜4.解不等式②得x ≥－1.∴原不等式组的解集为－1≤x ＜4.不等式的解集在数轴上表示如图所示：13.⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1）≤7x ＋10，①x －5＜x －83.② 由①得x ≥－2. 由②得x ＜72.∴－2≤x ＜72.∴非负整数解为0，1，2，3.14.(1)设A 型号家用净水器购进了x 台，B 型号家用净水器购进了y 台．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝160，150x ＋350y ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝100，y ＝60.答：A 型号家用净水器购进了100台，B 型号家用净水器购进了60台．设每台A 型号家用净水器的毛利润为z 元，则每台B 型号家用净水器的毛利润为2z 元． 由题意，得100z ＋60×2z ≥11 000， 解得z ≥50.150＋50＝200.答：每台A 型号家用净水器的售价至少为200元． 15．A 16.a ＝4 17.k ＞2 18.(1)依题意，得2 000·2x ＋1 600x ＋1 000(100－3x)≤170 000， 解得x ≤261213.∵x 为正整数，∴x 至多为26.答：商店至多可以购买冰箱26台． 设商店销售完这批家电后获得的利润为y 元，则y ＝(2 300－2 000)2x ＋(1 800－1600)x ＋(1 100－1 000)(100－3x)， ∴y ＝500x ＋10 000. ∵k ＝500＞0，∴y 随x 的增大而增大． ∵x ≤261213且x 为正整数，∴当x ＝26时，y max ＝500×26＋10 000＝23 000.答：当购买冰箱26台时，商店销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23 000元．。
火线100天(遵义专版)中考数学总复习 题型专项三 二次
二次函数知识的综合运用本专项主要考查二次函数与一次函数的综合运用，二次函数的图象与字母系数之间的关系，二次函数在实际生活中的应用，以选择题、填空题、解答题形式呈现．类型1 二次函数的图象与字母系数的关系(2015·黔东南)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c>0；③a>b；④4ac－b2<0.其中正确的结论有( C )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】序号逐项分析正误①∵由抛物线过原点可知c＝0，∴abc＝0. √②∵当x＝1时，函数图象在x轴下方，∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0.×③∵抛物线对称轴为x＝－32，∴－b2a＝－32.∴b＝3a.∵图象开口向下，∴a＜0.∴a＞3a.∴a＞b.√④∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac>0，即4ac－b2<0.√二次函数图象与a、b、c之间关系问题解决：可以从一些特殊形式考虑：(1)含a＋b＋c代数式，考虑当x＝1时求y值；(2)含a－b＋c代数式，考虑当x＝－1时求y值；(3)含4a＋2b＋c代数式，考虑当x＝2时求y值；(4)含4a－2b＋c代数式，考虑当x＝－2时求y值；(5) 含b2－4ac代数式，考虑由图象与x轴交点个数来判断．1．(2015·毕节)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A．a＜0 B．b＞0 C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＜02．(2015·枣庄)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为x＝12，且经过点(2，0)，有下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(0，y1)，(1，y2)是抛物线上的两点，则y1＝y2.上述说法正确的是( )A ．①②④B ．③④C ．①③④D ．①②3．(2014·黔东南)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，下列4个结论：①abc ＜0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0.其中正确结论的有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4．(2013·遵义)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若M ＝a ＋b －c ，N ＝4a －2b ＋c ，P ＝2a －b ，则M 、N 、P 中，值小于0的数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个5．(2014·达州)下图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1.① b 2＞4ac ；②4a－2b ＋c ＜0；③不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x≥3.5；④若(－2，y 1)，(5，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.上述4个判断中，正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④6．(2014·安顺)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C ，在下面五个结论中：①2a－b ＝0；②a＋b ＋c>0；③c＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 值可以有四个．其中正确的结论是________．(只填序号)类型2 二次函数与一次函数的综合运用(2013·贵阳)已知：直线y ＝ax ＋b 过抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的顶点P ，如图所示．(1)顶点P 的坐标是______；(2)若直线y ＝ax ＋b 经过另一点A(0，11)，求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一直线y ＝mx ＋n 与直线y ＝ax ＋b 关于x 轴成轴对称，求直线y ＝mx ＋n 与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标．【思路点拨】 (3)求出直线y ＝ax ＋b 与x 轴的交点坐标和点A 关于x 轴的对称点的坐标，求出y ＝mx ＋n 的解析式，再与y ＝－x 2－2x ＋3组成方程组，求出交点坐标． 【解答】 (1) ∵a＝－1，b ＝－2，c ＝3， ∴－b 2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac －b 24a ＝4×（－1）×3－（－2）24×（－1）＝－12－4－4＝4. ∴顶点坐标为P(－1，4)．(2) ∵直线y ＝ax ＋b 经过顶点P(－1，4)和A(0，11)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝－a ＋b ，11＝a×0＋b. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝11. ∴直线y ＝ax ＋b 表达式为y ＝7x ＋11.(3)∵直线y ＝7x ＋11与x 轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, 11)，∴与x 轴成轴对称的直线y ＝mx ＋n 与x轴，y 轴交点坐标分别为(－117，0)，(0, －11)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－117m ＋n ，－11＝m×0＋n. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－7，n ＝－11.∴直线y ＝mx ＋n 表达式为y ＝－7x －11.∵直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3相交，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－7x －11，y ＝－x 2－2x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝7，y 1＝－60. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝3. ∴直线y ＝－7x －11与抛物线y ＝－x 2－2x ＋3的交点坐标为(7，－60)，(－2, 3)．二次函数与一次函数的综合运用中，常常需要求出两函数图象的交点坐标，只需联立两函数的解析式，即可求得结果；同时，二次函数图象中几个特殊点的坐标，往往是函数综合题中考查的重点内容．1．(2014·遵义)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )2．(2015·安徽)如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P 、Q 两点，则函数y ＝ax 2＋(b －1)x ＋c 的图象可能是( )3．(2015·泰州)已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点P(－3，1)，对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线．(1)求m 、n 的值；(2)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ∶PB ＝1∶5，求一次函数的表达式．类型3 利用二次函数求最值(2015·毕节)某商场A 、B 两种商品，若买2件A 商品和1件B 商品，共需80元；若买3件A 商品和2件B 商品，共需135元，(1)设A 、B 两种商品每件售价分别为a 元、b 元，求a ，b 的值；(2)B 商品的成本是20元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该商场每天销售B 商品100件；若按销售单价每上涨1元，B 商品每天的销售量就减少5件，①求每天B 商品的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式？ ②求销售单价为多少元时，B 商品的销售利润最大，最大利润是多少？【思路点拨】 (1)由2件A 商品和1件B 商品需要80元，3件A 商品和2件B 商品需要135元，列二元一次方程组求解．(2)①根据利润＝(售价－成本)×销量列出y 关于x 的函数关系式；②利用二次函数最值确定最大利润． 【解答】 (1)根据题意，列方程得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝80，3a ＋2b ＝135，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝30.答：a 、b 的值分别为25，30. (2)①∵销售单价为x 元，∴销售量为100－5(x －30)件，根据题意得y ＝(x －20)[100－5(x －30)]＝－5x 2＋350x －5 000，即y 关于x 的函数关系式为y ＝－5x 2＋350x －5 000(30≤x≤50)． ②由抛物线对称轴为x ＝－3502×（－5）＝35，可知当售价为35元时，B 商品每天的销售利润最大，最大利润为y ＝－5×352＋350×35－5 000＝1 125(元).答：当B 商品定价为35元时，B 商品每天的利润最大，最大利润为1 125元．此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求最大值，准确分析题意，列出y 与x 之间的二次函数关系式是解题关键．1．(2015·黔南)为了解都匀市交通拥堵情况，经统计分析，都匀彩虹桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度为20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流速度密度x的一次函数．(1)求彩虹桥上车流密度为100辆/小时的车流速度；(2)在交通高峰时段，为使彩虹桥上的车流速度大小40千米/小时且小于60千米/小时，应控制彩虹桥上的车流密度在什么范围内？(3)当车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．当20≤x≤220时，求彩虹桥上车流量y的最大值．2．(2015·贵阳模拟)乐乐童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利多少元？(2)如果童装店想每天销售这种童装盈利1 200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？(3)每件童装降价多少元童装店可获得最大利润，最大利润是多少元？3．(2015·黔西南模拟)某服装经销商发现某款新型运动服市场需求量较大，经过市场调查发现年销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在如图所示的一次函数关系，而该服装的进价z(元)与销售量y(件)之间的关系如下表所示．已知每年支付员工工资和场地租金等费用总计2万元．销售数量y(件) …300 400 500 600 …进货价格z(元) …340 320 300 280 …(1)求y关于x的函数关系式．(2)写出该经销商经销这种服装的年获利w(元)关于销售单价x(元)的函数关系式．当销售单价x 为何值时，年获利最大？并求出这个最大值．(3)若经销商希望该服装一年的销售获利不低于2.2万元，请你根据图象帮助确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？参考答案类型1 1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.③④ 类型2 1.D 2.A3．(1)∵二次函数对称轴是经过(－1，0)且平行于y 轴的直线， ∴－m2＝－1，解得m ＝2.∵二次函数过点P(－3，1)， ∴1＝9－6＋n ， 解得n ＝－2.(2)二次函数解析式为y ＝x 2＋2x －2.过P 作PC⊥x 轴于点C ，过B 作BD⊥x 轴于点D ，PC ∥BD ，∴△APC ∽△ABD. 又∵PA∶PB＝1∶5， ∴PC BD ＝PA AB ＝PA PA ＋PB ＝16. ∵PC ＝1， ∴BD ＝6. ∴y B ＝6.∵B 在二次函数上，设B 点横坐标为x ， ∴x 2＋2x －2＝6，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去)．∴B 点坐标为(2，6)，将B 、P 点代入一次函数得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝6，－3k ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝4.∴一次函数的表达式是y ＝x ＋4.类型3 1.(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x≤220时，v ＝－25x ＋88.当x ＝100时，v ＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60.解得70<x<120.∴应控制大桥上的车流密度在7<x<120范围内．(3)设车流量为y 与x 之间的关系式为y ＝vx ，当20≤x≤220时，y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4 840，∴当x ＝110时，y 最大＝4 840.∴当车流密度是110辆/千米时，车流量y 取得最大值是4 840辆/小时． 2．(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利：(100－60)×20＝800(元)． (2)设每件童装降价x 元，根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x 1＝10，x 2＝20.∵要使顾客得到较多的实惠， ∴x ＝20.答：童装店应该降价20元. (3)设每件童装降价x 元，可获利y 元，根据题意，得y ＝(100－60－x)(20＋2x)＝－2x 2＋60x ＋800＝－2(x －15)2＋1 250. ∴当x ＝15时，y 最大＝1 250.答：每件童装降价15元童装店可获得最大利润，最大利润是1 250元．3．(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧500＝300k ＋b ，400＝400k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝800. ∴y ＝－x ＋800.(2)设z 关于y 的函数关系式为z ＝k 1y ＋b 1，则⎩⎪⎨⎪⎧340＝300k 1＋b 1，320＝400k 1＋b 1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－15，b 1＝400.∴z ＝－15y ＋400.则z 关于x 的函数关系式为z ＝－15(－x ＋800)＋400＝15x ＋240.年获利w 关于销售单价x 的函数关系式为：w ＝(x －z)y －20 000＝(x －15x －240)(－x ＋800)－20 000＝－45x 2＋880x －212 000＝－45(x －550)2＋30 000.当x ＝550时，w 最大＝30 000，最大获利3万元．(3)由图象可知，要使年获利不低于2.2万元，销售单价应在450元到650元之间，又由于销售单价越低，销售量越大，所以销售单价应定为450元．。
火线100天(广西专版)中考数学复习集训 题型专项七 实际应用题
实际应用题实际应用型问题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的知识技能和方法，寻求解决问题的方法或方案．此类题在中考中出现较多，通常以解答题的形式出现，难度适中．解答此类问题的关键是根据已知条件列方程(组)、不等式或建立函数关系式，并综合运用函数的性质加以分析从而解决问题．类型1 方程(组)、不等式的实际应用1(1)已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a，b的值；(2)六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？2．(2015·成都)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件？(2)若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其他因素)，那么每件衬衫的标价至少是多少元？3．(2014·柳州模拟)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2011年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2013年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．(1)求2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率；(2)为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2015年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2014年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．类型2 方程(组)、不等式、一次函数的实际应用1．(2015·德州)某商店以40元/千克的单价新进一批茶叶，经调查发现，在一段时间内，销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．(1)根据图象，求y与x的函数关系式；(2)商店想在销售成本不超过3 000元的情况下，使销售利润达到2 400元，销售单价应定为多少？2．(2015·钦州)某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球(每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同)．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．(1)每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？(2)该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3 200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？3．(2015·南宁)如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的甬道，设甬道宽为a米．(1)用含a的式子表示花圃的面积；(2)如果甬道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时甬道的宽；(3)已知某园林公司修建甬道、花圃的造价y 1(元)、y 2(元)与修建面积x(m 2)之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的甬道的宽度不少于2米且不超过10米，那么甬道宽为多少时，修建的甬道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元．类型3 方案设计1．(2015·桂林改编)“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1 520元，20本文学名著比20本动漫书多440元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．(1)求每本文学名著和动漫书各多少元；(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，且文学名著不低于26本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．2．(2013·桂林)在“美丽广西，清洁乡村”活动中，李家村村长提出了两种购买垃圾桶方案．方案1：买分类垃圾桶，需要费用3 000元，以后每月的垃圾处理费用250元；方案2：买不分类垃圾桶，需要费用1 000元，以后每月的垃圾处理费用500元．设方案1的购买费和每月垃圾处理费共为y1元，交费时间为x个月；方案2的购买费和每月垃圾处理费共为y2元，交费时间为x个月．(1)直接写出y1、y2与x的函数关系式；(2)在同一坐标系内，画出函数y1、y2的图象；(3)在垃圾桶使用寿命相同的情况下，哪种方案省钱？3．(2014·北海)某经销商从市场得知如下信息：A品牌手表B品牌手表进价(元/块) 700 100售价(元/块) 900 160他计划用4万元资金一次性购进这两种品牌手表共100块．设该经销商购进A品牌手表x块，这两种品牌手表全部销售完后获得的利润为y元．(1)试写出y与x之间的函数关系式；(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26万元，该经销商有哪几种进货方案？(3)选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？类型11．(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋（286－200）b ＝178.76，200a ＋（316－200）b ＝198.56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.61，b ＝0.66.答：表格中a ，b 的值分别为0.61、0.66.(2)设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意，得200×0.61＋200×0.66＋0.92(x －400)≤300，解得x≤450.答：李叔家六月份最多可用电450度．2.(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2x 件．由题意可得28 8002x －13 200x ＝10.解得x＝120，经检验x ＝120是原方程的解．(2)设每件衬衫的标价至少是a 元．由(1)得第一批的进价为：13200÷120＝110(元/件)，第二批的进价为：120元/件．由题意可得：120×(a－110)＋(240－50)×(a－120)＋50×(0.8a－120)≥25%×42 000.解得a≥150.答：每件衬衫的标价至少是150元．3.(1)设2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得75(1＋x)2＝108.解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：2011年底至2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%.(2)设从2014年初起每年新增汽车数量为y 万辆，由题意，得(108×0.9＋y)×0.9＋y≤125.48.解得y≤20.答：从2014年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆． 类型21．(1)设y 与x 函数关系式y ＝kx ＋b ，把点(40，160)，(120，0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧40k ＋b ＝160，120k ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝240.∴y 与x 函数关系式为y ＝－2x ＋240(40≤x≤120)．(2)由题意，销售成本不超过3 000元，得40(－2x ＋240)≤3 000.解不等式得x≥82.5，∴82.5≤x ≤120.根据题意列方程，得(x －40)(－2x ＋240)＝2 400.即x 2－160x ＋6 000＝0，解得x 1＝60，x 2＝100.∵60<82.5，故舍去．∴销售单价应该定为100元．2.(1)设每个气排球的价格为x 元、每个篮球的价格为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝210，2x ＋3y ＝340.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝80.答：每个气排球的价格为50元，每个篮球的价格为80元．(2)设购买气排球a 个，则购买篮球为(50－a)个，总费用为w 元．则w ＝50a ＋80(50－a)＝－30a ＋4 000.根据题意，得50a ＋80(50－a)≤3 200，解这个不等式，得a≥2623.∵购买气排球的个数少于30个，∴2623≤a ＜30.∵a 为正整数，∴a ＝27，28，29.∵w ＝－30a ＋4 000是a 的一次函数，k ＝－30<0，∴w 随a 的增大而减小．∴当a ＝29时，购买总费用最低，此时50－29＝21(个)．w ＝－30×29＋4 000＝3 130(元)．答：当购买气排球29个，篮球21个时，总费用最低，最低费用是3 130元．3.(1)花圃的面积为：(60－2a)(40－2a)或4a 2－200a ＋2 400.(2)(60－2a)(40－2a)＝60×40×(1－38)，即a 2－50a ＋225＝0，解得a 1＝5，a 2＝45(不合题意，舍去)．∴此时甬道的宽为5米．(3)∵2≤a≤10，花圃面积随着甬道宽的增大而减小，∴800≤x 花圃≤2 016.由图象可知，当x≥800时，设y 2＝k 2x ＋b ，∵直线y 2＝k 2x ＋b 经过点(800，48 000)与(1 200，62 000)，∴⎩⎪⎨⎪⎧800k 2＋b ＝48 000，1 200k 2＋b ＝62 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝35，b ＝20 000.∴y 2＝35x ＋20 000.当x≥0时，设y 1＝k 1x ，∵直线y 1＝k 1x 经过点(1 200，48 000)，∴1 200k 1＝48 000.解得k 1＝40.∴y 1＝40x.设修建甬道、花圃的总造价为y 元，依题意，得y ＝y 通道＋y 花圃＝40(60×40－x 花圃)＋35x花圃＋20 000＝40(2 400－4a 2＋200a －2 400)＋35(4a 2－200a ＋2 400)＋20 000＝－20a 2＋1 000a ＋104 000＝－20(a －25)2＋116 500.∵－20<0，∴当a<25时，y 随a 的增大而增大．而2≤a≤10，∴当a ＝2时，y 最小＝105 920.∴当甬道的宽为2米时，修建甬道，花圃的总造价最低，最低为105 920元．1．(1)设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ＝1 520，20x －20y ＝440.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40，y ＝18.答：每本文学名著和动漫书各是40元和18元．(2)设买文学名著m 本，依题意得m≥26，且40m ＋18(m ＋20)≤2 000，所以26≤m≤82029.∵m 为正整数，∴m 的值是26，27，28.方案1，购买文学名著26本，动漫书46本；方案2，购买文学名著27本，动漫书47本；方案3，购买文学名著28本，动漫书48本．2.(1)由题意，得y 1＝250x ＋3 000，y 2＝500x ＋1 000.(2)如图所示．(3)由图象可知：①当使用时间大于8个月时，直线y 1落在直线y 2的下方，y 1＜y 2，即方案1省钱；②当使用时间小于8个月时，直线y 2落在直线y 1的下方，y 2＜y 1，即方案2省钱；③当使用时间等于8个月时，y 1＝y 2，即方案1与方案2一样省钱．3.(1)y ＝140x ＋6 000(x≤50)．(2)令y≥12 600，则140x ＋6 000≥12 600，∴x ≥4717.又∵x≤50，∴经销商有以下三种进货方案：(3)∵140＞0，∴y 随x 6 000＝13 000，∴选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13 000元．。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
确的是
( A)
800 600 A.x＋50＝ x
800 600 800 600 B.x－50＝ x C. x ＝x＋50
800 600 D. x ＝x－50
6．(2013·天水第 15 题 4 分)有两块面积相同的小麦试验田，分别收获
小麦 9 000 kg 和 15 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块
3．(RJ 八上 P155 习题 T4 改编)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小 时多检测 20 个，甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%.若设甲 每小时检测 x 个，则根据题意，可列出方程为__3x00＝x2－＝0200××((11－－1100%%))__．
4．(RJ 八上 P151 例 2 改编)解方程：
第三节 分式方程及其应 用
1．已知关于 x 的分式方程mx－－31＝1. (1)若此分式方程的解为 x＝2，则 m 的值为 4 4； (2)若此分式方程有增根，则 m 的值是 3 3 ； (3)若此分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是 m>m2>且2且m ≠3.
m≠3
2．(RJ 八上 P153 例 4 改编)甲、乙两地相距 1 000 km，如果乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 3 h，已知高铁列车的平均速度是特快列 车的 1.6 倍．若设特快列车的平均速度为 x km/h，则根据题意，可列方 程为 －1 3x0＝00－3＝11.060x0 .
命题点 2：由分式方程解的情况求字母的取值范围(省卷近 5 年未考查，
兰州近 5 年考查 1 次)
2x＋a 3．(2018·兰州第 10 题 4 分)关于 x 的分式方程 x＋1 ＝1 的解为负数，
则 a 的取值范围为
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- 1 - 滚动小专题（二） 方程(组)、不等式(组)的解法及应用 本专题主要考查方程(组)、不等式(组)的解法以及方程(组)和不等式的应用，在中考中往往以解答题的形式出现，属中档题.复习时要熟练掌握方程(组)与不等式(组)的解法以及它们的应用，并会检验解答结果的正确与否. 类型1 方程(组)的解法
1.(2013·梧州)解方程：12x+2·(54x+1)=8+x.
2.(2014·遂宁)解方程：x2+2x-3=0. 3.(2014·淄博)解方程：3x-71x=0. 4.(2014·甘孜)解方程组：31,26.xyxy①② 5.(2013·桂林)解二元一次方程组：3219,21.xyxy①② 类型2 不等式(组)的解法 1.(2013·绍兴)解不等式：12x+13x≤1.
2.(2014·南京)解不等式组：32,424.xxxx①② - 2 -
3.(2013·广元)解不等式组：3241214xxxx，①，②并把解集在数轴上表示出来. 4.( 2014·毕节改编)解不等式组：124323622731.xxxxx，①②并指出它的所有的非负整数解.
类型3 方程(组)的应用 1.(2014·菏泽)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A，B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克.已知270克该添加剂恰好生产了A，B两种饮料共100瓶，问A，B两种饮料各生产了多少瓶？
2.(2014·云南)“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花，已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元，求第一批盒装花每盒的进价是多少元？
3.(2014·咸宁)随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降.咸宁市2011年销售烟花爆竹20万箱，到2013年烟花爆竹销售量为9.8万箱.求咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率. - 3 -
4.(2014·扬州)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务.原来每天制作多少件？
5.(2014·株洲)家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩,据以往的经验，他获得如下信息： (1)他下山时的速度比上山时的速度每小时快1千米； (2)他上山2小时到达的位置，离山顶还有1千米； (3)抄近路下山，下山路程比上山路程近2千米； (4)下山用1个小时； 根据上面信息，他作出如下计划： 在山顶游览1个小时； 中午12：00回到家吃中餐. 若依据以上信息和计划登山游玩，请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
6.(2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电数(度) 执行电价(元/度) 第一档 小于等于200 0.55 第二档 大于200小于400 0.6 第三档 大于等于400 0.85
例如：一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85=357(元). 某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元.已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度.问该户居民五、六月份各用电多少度？
类型4 不等式的应用 1.(2013·台州)某校班际篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得3分,负1场得1分.如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分,那么这个班至少要胜多少场？ - 4 -
2.(2014·长沙)为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行.某施工队计划购买甲乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元. (1)若购买两种树苗的总金额为90 000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？ (2)若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
3.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同)，若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元. (1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元？ (2)根据同庆中学实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5 720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
参考答案 类型1 方程(组)的解法 1.去括号，得12x+52x+2=8+x，
移项，得12x+52x-x=8-2， 合并同类项，得2x=6， 系数化为1，得x=3. 2.∵a=1，b=2，c=-3， b2-4ac=22-4×1×(-3)=16>0，
∴x=2162=242. ∴x1=1，x2=-3. 3.3(x+1)-7x=0. - 5 -
x=34. 经检验，x=34是原方程的解. 4.②-①，得y＝1. 把y＝1代入①，得x＝4.
∴原方程组的解为4,1.xy 5.解法1(代入法)：由②，得y=2x-1，③ 把③代入①，得3x+4x-2=19，解得x=3. 把x=3代入③，得y=5.
所以原方程组的解为3,5.xy 解法2(加减法)：②×2，得4x-2y=2，③ ①+③，得7x=21，解得x=3. 把x=3代入②，得6-y=1，解得y=5.
所以原方程组的解为3,5.xy 类型2 不等式(组)的解法 1.不等式两边同时乘以6，得 3(x+1)+2(x-1)≤6, 化简，得3x+3+2x-2≤6, ∴x≤1. 2.解不等式①，得x≥1. 解不等式②，得x＜2. 所以不等式组的解集是1≤x＜2. 3.解不等式①得x≥1.
解不等式②得x<32.
∴此不等式组的解集是1≤x<32. 不等式组的解集在数轴上表示为：
4.解不等式①，得x≤1. 解不等式②，得x≥-4. ∴不等式组的解集为-4≤x≤1. ∴不等式组的所有的非负整数解为0，1.
类型3 方程(组)的应用 - 6 -
1.方法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了(100-x)瓶.根据题意，得 2x+3(100-x)＝270.解得x＝30. 100-x＝70. 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶. 方法二：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了y瓶.根据题意，得
100,23y270.xyx解得30,70.xy
答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶. 2.设第一批盒装花每盒的进价是x元，由题意，得
2×3000x=50005x.解得x=30. 经检验，x=30是方程的解. 答：第一批盒装花每盒的进价是30元. 3.设咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意，得 20(1-x)2=9.8. 解得x1=0.3=30%， x2=1.7=170%(不符合题意，舍去). 答:咸宁市2011年到2013年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%. 4.设原来每天制作x件，由题意得
480x-10=480150%x.解得x=16.
经检验，x=16是原分式方程的解. 答：原来每天制作16件. 5.设上山路程x千米，则下山路程为(x-2)千米，由题意，得
(21x-1)×2=x-1.解得x=5. ∴上山时间：2.5小时；中间游览1小时；下山时间1小时； 要在12:00回到家吃中餐，需要12-2.5-1-1=7.5(小时），即7:30分从家里出发. 6.因为两个月用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户五月、六月每月用电均超过200度，此时的电费共计：500×0.6=300(元)，而300>290.5，不符合题意，又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档. 设五月份用电x度，六月份用电y度，根据题意，得
0.550.6290.5500.xyxy，解得190310.xy，
答：该户居民五、六月份各用电190度、310度. 类型4 不等式的应用 1.设这个班要胜x场,则负(28-x)场，由题意，得 3x+(28-x)≥43.解得x≥7.5. 因为场次x为非负整数,故x≥8. 答：这个班至少要胜8场. - 7 -
2.(1)设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗(400-x)棵，依题意，得 200x+300(400-x)=90 000.解得x=300. ∴400-x=100. 答：需购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵. (2)设应购买甲种树苗y棵，由题意，得 200y≥300(400-y).解得y≥240. 答：至少要购买甲种树苗240棵. 3.(1)设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，由题意，得
32310,25500.xyxy解得50,80.xy
答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元. (2)设购买a个篮球，则购买(96-a)个足球，则根据题意，得
80a+50(96-a)≤5 720，解得a≤3023. ∵a为非负整数，∴a最多是30. 答：这所中学最多可以购买30个篮球.