第04讲 平面轴对称空间问题-10_434705882
高中 平面解析几何 对称问题 练习 含答案
训练目标会利用点关于直线对称，直线关于点对称，直线关于直线对称的性质求对称“元素”.训练题型(1)求对称点、对称直线，圆关于直线对称的圆；(2)利用对称求最值.解题策略(1)根据对称的几何性质列方程求解；(2)关于特殊“元素”的对称，可按相应公式代入即得(如关于原点、坐标轴、直线x＝a，y＝x，y＝－x等)；(3)数形结合，利用几何性质解决最值问题.2．直线ax＋3y－9＝0与直线x－3y＋b＝0关于直线x＋y＝0对称，则a与b的值分别为________．3．设△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠B，∠C的平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________．4．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0 (a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.5．直线2x＋3y－6＝0分别交x，y轴于A，B两点，P是直线y＝－x上的一点，要使P A＋PB最小，则点P的坐标是________．6．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．7．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与直线l：y＝x＋2相切，且圆D与圆C关于直线l对称，则圆D的方程是________________．8．若直线ax－y＋2＝0与直线3x－y－b＝0关于直线y＝x对称，则a＝________，b＝________. 9．若圆C：x2＋y2－ax＋2y＋1＝0和圆x2＋y2＝1关于直线l1：x－y－1＝0对称，动圆P与圆C相外切且与直线l2：x＝－1相切，则动圆P的圆心的轨迹方程是________________．10．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．答案解析1．x ＋2y －3＝0解析 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3， 即x ＋2y －3＝0.2．－9,3解析 在直线ax ＋3y －9＝0上取一点(0,3)，点(0,3)关于x ＋y ＝0的对称点(－3,0)在直线x －3y ＋b ＝0上，所以b ＝3，同理在直线x －3y ＋b ＝0上取一点(0,1)，它关于x ＋y ＝0的对称点(－1,0)在直线ax ＋3y －9＝0上，∴a ＝－9.3．y ＝2x ＋5解析 点A (3，－1)关于直线x ＝0，y ＝x 的对称点分别为A ′(－3，－1)，A ″(－1,3)，且都在直线BC 上，故得直线BC 的方程为：y ＝2x ＋5.4．－2解析 由已知得，直线x －y ＋2＝0经过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2， 所以－1＋a 2＋2＝0，从而有a ＝－2. 5．(0,0)解析 2x ＋3y －6＝0分别交x 、y 轴于A 、B 两点，则A (3,0)、B (0,2)．B 关于y ＝－x 的对称点为B ′(－2,0)．AB ′交直线y ＝－x 于点(0,0)，则P (0,0)即为所求．6．x －y ＝0解析 由题意知，k PQ ＝－1，故直线l 的斜率k ＝1，又直线l 过线段PQ 的中点M (a ＋b 2，a ＋b 2)，故直线l 的方程为y －a ＋b 2＝x －a ＋b 2， 即x －y ＝0.7．x 2＋(y －1)2＝12解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，由于圆C 与直线l 相切，故圆心C (－1,2)到l 的距离等于半径，即|－1－2＋2|2＝5－m ，解得m ＝92. 故5－m ＝12，又圆心C (－1,2)关于直线l ：y ＝x ＋2的对称点为D (0,1)， 所以圆D 的方程为x 2＋(y －1)2＝12. 8.136 解析 因为直线ax －y ＋2＝0关于直线y ＝x 对称的直线是ay －x ＋2＝0，即x －ay －2＝0，所以直线x －ay －2＝0与直线3x －y －b ＝0重合，所以13＝－a －1＝－2－b， 即a ＝13，b ＝6. 9．y 2－6x ＋2y －2＝0解析由题意知，圆C 的圆心为C ⎝⎛⎭⎫a 2，－1，圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0,0)，由两圆关于直线l 1对称，易得点(0,0)关于直线l 1：x －y －1＝0对称的点(1，－1)即为点C ，故a ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，其半径为1.设动圆P 的圆心为P (x 0，y 0)，半径为r ，由动圆P 与圆C 相外切可得：PC ＝r ＋1，由图可知，圆心P 一定在直线x ＝－1的右侧，所以由动圆P 与直线l 2：x ＝－1相切可得r ＝x 0－(－1)＝x 0＋1.代入PC ＝r ＋1，得：(x 0－1)2＋(y 0＋1)2＝x 0＋1＋1＝x 0＋2，整理得：y 20－6x 0＋2y 0－2＝0.即圆心P 的轨迹方程为y 2－6x ＋2y －2＝0.10．解 (1)B 关于l 的对称点B ′(3,3)，l AB ′：2x ＋y －9＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －9＝0，3x －y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，得P (2,5)．(2)C 关于l 的对称点C ′(35，245)， 由图象可知P A ＋PC ≥AC ′，当P 是AC ′与l 的交点P (117，267)时，等号成立， 所以P (117，267)．。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
4.3 坐标平面内的图形的轴对称和平移(答案版)
坐标平面内的图形的轴对称和平移知识提要1.关于坐标轴对称的两个点的坐标关系在直角坐标系中，若点A与点A1关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；若点A与点A2关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数．即点(a，b)关于x轴的对称点的坐标为(a，－b)，关于y轴的对称点的坐标为(－a，b)．2.坐标平面内图形的轴对称坐标平面内图形的轴对称是借助平面直角坐标系进行的一种图形的基本变换．(1)如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形的对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数．(2)如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形的对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．(3)如果两个图形关于原点对称，那么这两个图形的对应点的横、纵坐标分别互为相反数．3.坐标平面内图形平移时对应点之间的坐标关系(1)原图形上的点(a，b)向左平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a－n，b)；(2)原图形上的点(a，b)向右平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a＋n，b)；(3)原图形上的点(a，b)向上平移n(n>0)个单位，平移后对应的点坐标为(a，b＋n)；(4)原图形上的点(a，b)向下平移n(n>0)个单位，平移后对应点的坐标为(a，b－n)．(5)点的坐标平移口诀：右加左减，上加下减．练习一、选择题1．在平面直角坐标系中，点A(－1，2)关于x轴的对称点B的坐标为( D )A. (－1，2)B. (1，2)C. (1，－2)D. (－1，－2)2．点A(－4，0)与点B(4，0)的位置关系是( B )A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 不能确定3．(福州中考)如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A, B, C, D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是( B )A.点AB. 点BC. 点CD. 点D4．(贵港中考)在平面直角坐标系中，若点P(m，m－n)与点Q(－2，3)关于原点对称，则点M(m，n)在( A )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【解】由题意，得m＝2，m－n＝－3，∴n＝5.∴点M(m，n)在第一象限．5．将下列图形画在平面直角坐标系中：①圆心在原点的圆；②与y轴垂直的一条直线；③与y轴平行的一条直线；④一个等边三角形的一个顶点与原点重合，且一条边在x轴的正半轴上．若图形上各点的横坐标均乘－1，纵坐标不变，则图形不发生变化的是( C )A.①④B.②④C.①②D.②③【解】图形上各点的横坐标乘－1，纵坐标不变，即将图形作一次关于y轴的轴对称变换，不发生变化的只有①②.6．已知点P(1，2)与点Q(x，y)在同一条平行于x轴的直线上，且点Q到y轴的距离等于2，则点Q的坐标是( C )A. (2，2)B. (－2，2)C. (－2，2)或(2，2)D. (－2,－2)或(2，－2)7．在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(－4，－1)，B(1，1)，将线段AB平移后得到线段A′B′.若点A′的坐标为(－2，2)，则点B′的坐标为( B)A. (4，3)B. (3，4)C. (－1，－2)D. (－2，－1)【解】由点A(－4，－1)平移到点A′(－2，2)，可知点A向右平移了2个单位，向上平移了3个单位．∴点B (1，1)也按此规律平移，平移后的点B ′的坐标为(3，4)．8．已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是( A )【解】∵点M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点(1－2m ，1－m )在第一象限，∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m <1.故选A. 9. 点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac2，b a 在第二象限，点Q(a ，b)关于y 轴对称的点在( D ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】D 第二象限点的横坐标为负，纵坐标为正，即ac2<0且b a >0，∴a<0，b<0，∴Q(a ，b)在第三象限，∴点Q 关于y 轴的对称点在第四象限．二、填空题1. 在平面直角坐标系中，把点P (a ，b )先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，再把所得的点以x 轴为对称轴作轴对称变换，最后所得的像的坐标为(－4，6)，则a ＝__－3__，b ＝__－8__．【解】用逆推法先求出(－4，6)关于x 轴的对称点是(－4，－6)，再把(－4，－6)向右平移1个单位，向下平移2个单位得点(－3，－8)， 即点P (a ，b )．2.已知点P(a ＋1，2a －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则|a ＋2|－|1－a|＝2a ＋1．3．把以(－3，6)和(－3，－2)为端点的线段向左平移4个单位，所得的像上任意一点的坐标可表示为(－7，y )，其中－2≤y ≤6．【解】 原线段向左平移4个单位后的端点分别为(－7，6)，(－7，－2)，此线段与y 轴平行，横坐标都为－7，纵坐标y 的取值范围是－2≤y ≤6.4．如图，在平面直角坐标系中，右边的图案是左边的图案经过平移得到的，左边的图案中，左、右两只眼睛的坐标分别是(－4，2)，(－2，2)，右边的图案中左眼的坐标是(3，4)，则右边的图案中右眼的坐标是(5，4)．5．已知平面直角坐标系中一点P (2x －y ，3x ＋2y )，先将它关于x 轴作一次轴对称变换，再关于y 轴作一次轴对称变换，最终得到点(－3，－8)，则点Q (x ，y )的坐标为 ．【解】 由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1.∴点Q 的坐标为(2，1)．6. 如图，把∴ABC 经过一定的变换得到∴A′B′C′，如果∴ABC 上点P 的坐标为(a ，b)，那么这个点在∴A′B′C′中的对应点P′的坐标为________.【解析】由题意可知，图形是向右平移3个单位，向上平移2个单位， 从而可知点P′的坐标为(a ＋3，b ＋2)．答案：(a ＋3，b ＋2)7.如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿箭头方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是_(8，3)________，点P2 020的坐标是(5，0)_________．【解析】如答图，当点P第6次碰到矩形的边时，点P回到出发点(0，3)，当点P第3次碰到矩形的边时，点P3的坐标是(8，3)．∴2 020÷6＝336……4，∴当点P第2 020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，∴点P2 020的坐标是(5，0)．三、解答题1．已知点A(－4，3)，它与点B(a，b)在同一条平行于y轴的直线上，且AB＝6，求点B的坐标．【解】∵点A(－4，3)，AB∥y轴，∴点B的横坐标为－4.当点B在点A的上边时，点B的纵坐标为3＋6＝9；当点B在点A的下边时，点B的纵坐标为3－6＝－3，∴点B的坐标为(－4，9)或(－4，－3)．2．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a＋1，3a－1)．将点P向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q，若点Q在第一象限，求a的取值范围．【解】∵将点P(a ＋1，3a －1)向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点Q ，∴点Q 的坐标为(a ，3a －3)．∵点Q 在第一象限，∴⎩⎨⎧a ＞0，3a －3＞0，解得a ＞1.3．如图点P 的坐标为(4，3)，把点P 绕坐标原点O 逆时针旋转90°后得到点Q .(1)点Q 的坐标为(－3，4)．(2)若把点Q 向右平移m 个单位，向下平移2m 个单位后，得到的点Q ′恰好在第三象限，求m 的取值范围．【解】 (2)把点Q(－3，4)向右平移m 个单位，向下平移2m 个单位后， 得到的点Q′的坐标为(－3＋m ，4－2m)．∵点Q′在第三象限，∴⎩⎨⎧－3＋m<0，4－2m<0，解得2<m<3.4.△ABO如图所示．(1)写出△ABO各顶点的坐标，以及它们关于y轴的对称点的坐标，描出这些对称点并将它们连结起来．(2)写出△ABO各顶点关于x轴的对称点的坐标，描出这些对称点并将它们连结起来．并说明这三个三角形之间的关系．【解】(1)点A(2，3)，B(3，1)，O(0，0)；它们关于y轴的对称点的坐标分别是A′(－2，3)，B′(－3，1)，O′(0，0)，如图所示．(2)点A，B，O关于x轴的对称点的坐标分别是A″(2，－3)，B″(3，－1)，O″(0，0)，如图所示．关系：△ABO≌△A′B′O′≌△A″B″O″，△A′O′B′与△AOB关于y轴对称，△A″O″B″与△AOB关于x轴对称，△A′O′B′与△A″O″B″关于原点对称．5.如图，某公路(可视为x轴)的同一侧有A，B，C三个村庄，要在公路边建一货仓D，向A，B，C三个村庄送农用物资，路线是D→A→B→C→D.(1)试问：在公路边是否存在一点D，使送货路程最短？(2)求出点D的坐标．【解】 (1)存在．(2)∵路程为DA ＋AB ＋BC ＋CD ，AB ＋BC 的长度固定，∴要使路程最短，只需DA ＋CD 最短即可．作点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－2)，连结A ′C ，则A ′C 与x 轴的交点即为所求的点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，则点E (5，0)，易得△OA ′D ≌△ECD ，得OD ＝ED ，∴点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.6．如图，已知点P(3，4)，MN 是第一、三象限夹角平分线，求点P 关于直线MN 的对称点P 1的坐标．【解】 如解图，过点P 作PE ⊥MN 于点E ，延长PE 至点P 1 ，使PE ＝P 1E ，则点P 1就是点P 关于直线MN 的对称点．连结OP ，OP 1，则有OP ＝OP 1，∠POE ＝∠P 1OE.过点P 作PD ⊥y 轴于点D ，过点P 1作P 1H ⊥x 轴于点H.∵MN 是第一、三象限夹角平分线，∴∠DOE ＝∠HOE ＝45°，∴∠1＝∠2.在Rt △PDO 和Rt △P 1HO 中，∵⎩⎨⎧∠1＝∠2，∠PDO ＝∠P 1HO ，OP ＝OP 1，∴Rt △PDO ≌Rt △P 1HO(AAS)，∴PD ＝P 1H ＝3，OD ＝OH ＝4，∴点P 1的坐标为(4，3).7．如图①，在6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换．将图形F 沿x 轴向右平移1格得到图形F 1，称为作1次P 变换；将图形F 沿y 轴翻折得到图形F 2，称为作1次Q 变换；将图形F 绕坐标原点顺时针旋转90°得到图形F 3，称为作1次R 变换．规定：PQ 变换表示先作1次Q 变换，再作1次P 变换；QP 变换表示先作1次P 变换，再作1次Q 变换；R n 变换表示作n 次R 变换，解答下列问题：(1)作R 4变换相当于至少作__2__次Q 变换．(2)请在图②中画出图形F 作R 2017变换后得到的图形F 4.(3)PQ 变换与QP 变换是否是相同的变换？请在图③中画出PQ 变换后得到的图形F 5，在图④中画出QP 变换后得到的图形F 6.【解】(1)根据操作，观察发现：每作4次R变换便与图形F重合．因此R4变换相当于作2n次Q变换(n为正整数)．(2)由于2017＝4×504＋1，故R2017变换即为R1变换，其图象如解图①.(3)PQ变换与QP变换不是相同的变换．正确画出图形F5，F6，如解图②③.。
《4.3坐标平面内的图形的轴对称和平移》课件(共12张PPT)
y
如图:将点A(-3,3)、B（4，5） 分别作以下平移变换，作出 相应的点，并写出点的坐标：
(-3,5) •(-1,•5４５)
(-3A,3)•
３ ２
１
B•(4,5) •(2,3)
A(-3,3) 向右平移５个单位(2,3) B (4,5) 向左平移５个单位 (-1,5)
例3、如图：（1）分别求 出点A，A’的坐标；点B，
y
7 6
B’的坐标，并比较A与A’， B与B’之间的坐标变化； （2）从图甲到图乙可以 看做经过怎样的图形变换？
5
A'
4
B'
乙3 2
１
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2-１ 0 １ 2
A
B -１
3
45
6x
-2
从图甲到图乙可以看做只经 甲
-3
过一次平移变换吗?请描述
-4
这个平移变换.
可以看做沿AA’的方向,移动距离为 50 的平移
解(1)点A,A’的坐标分别为(-8,-1),A ’(-3,4);点B,B’的 坐标分别为B(-3,-1),B’(2,4),由A到A’横坐标增加5,纵 坐标增加5;由B到B’,横坐标增加5,纵坐标增加5;
(2)由第(1)题知,A,B都向右平移5个单位,向上平移5个单位,从 图甲到图乙,经过两次平移变换:一次是向右平移5个单位, 另一次是向上平移5个单位.
4
D'
D
3
2 A'
B'
1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6
C' -1 A C
B
-2
(1)怎样表示线段CD上任 意一点的坐标？
数学八年级-轴对称;最短路径问题
三角形第3节多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。
所以最短路径问题，需要考虑轴对称。
典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC ′＝B′C′.∴ AC ＋BC ＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC ′＋BC′＝ AC′＋B′C′.在△AB′C′中，AB ′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC ＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+【诊断自测】1、如图，直线l 是一条河，A 、B 两地相距5km ，A 、B 两地到l 的距离分别为3km 、6km ，欲在l 上的某点M 处修建一个水泵站，向A 、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A ．B ．C ．D ．2、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为3，点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点D 在OA 上，且D 的坐标为（1，0），P 是OB 上的一动点，则“求PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ）A ．“两点之间，线段最短”B．“轴对称的性质”C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D．以上答案都不正确3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）A．B．C．D．【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为．答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；（2）若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.答案：见解析解析：（1）∵M与P关于OA对称∴OA垂直平分MP.∴EM=EP.又∵N与P关于OB对称∴OB垂直平分PN.∴FP=FN.∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，∵OA垂直平分MP，∴OM=OP.又∵OB垂直平分PN，∴ON=OP.∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.∴∠MON=2∠AOB=70°∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．2B． C．20 D．2答案：A解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′==2．故选：A．例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C=50°，∴∠DAB=130°，∴∠HAA′=50°，∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF=50°，∴∠EAF=130°﹣50°=80°，故选：D．例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2 B．2 C．4 D．4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．故所求最小值为2．故选B．例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。
4.3坐标平面内图形的轴对称和平移
例2.如图，在直角坐标系中，平行于x轴的线段AB 上所有点的纵坐标都是-1，横坐标x的取值范围是 1≤x≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用（x，1）（ 1≤x≤5）表示，按照类似这样的规定，回答 y 下面的问题： D ′4 D 3 （3）把线段CD向左平移3个单位， 2 作出所得的线段C ′D′，线段C ′D′ 1 上任意一点的坐标怎样表示？ -2 -1 1 2 3 4 5 6 x C ′-1 A C B 解析：线段C ′D ′平行于y轴， 线段C ′D ′上所有点的横坐标都是-1，纵 坐标的取值范围是-1≤y≤3.
x
解：（2）点A′，O′，B′，C′，D′，E′， F′及其连线如图所示.
坐标平面内图形的轴对称：
图形的轴对称与在平面直角坐标系中点的轴对称 一致，它是借助平面直角坐标系进行的一种图形的基 本变换. （1）图形沿x轴翻折后得到的新图形的各对应 点的横坐标不变，纵坐标互为相反数； （2）图形沿y轴翻折后得到的新图形的各对应 点的纵坐标不变，横坐标互为相反数； （3）如果两个图形关于坐标原点对称，那么这两 个图形的对应点的横、纵坐标分别互为相反数.
y 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 x
分析：根据坐标变化在坐标系中描点作图. 纵坐标保持不变，横坐标分别加3，也就是 把各点向右平移3个单位. 解：（1）所得图案如图所示，与原图案相比， 整个图案向右平移了3个单位.
（1）横坐标保持不变，纵 坐标分别减4呢？ 分析：根据坐标变化在 坐标系中描点作图. 横坐标保持不变，纵坐 标分别减4，也就是把各 点向下平移4个单位.
为了便于记忆对称点的坐标特征，可画出如图所 示的草图，借助图形帮助记忆，这正体现了数形结合 的数学思想方法的优势. （-a，b） O （-a，-b） 在直角坐标系中， 点（a，b）关于x轴的对称点的坐标为（a，-b）， （a，-b）