初高中数学衔接基础知识点专题讲课稿

初高中数学衔接基础知识点专题初高中数学衔接知识点专题临洮二中数学组董学峰★专题一数与式的运算【要点回顾】1．绝对值[1]绝对值的代数意义：．即．[2]绝对值的几何意义：的距离．[3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示的距离．[4]两个绝对值不等式:；．2．乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3] (立方差公式)说明:上述公式均称为“乘法公式”．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性质如下：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ．[2]平方根与算术平方根的概念：叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，记为4．分式[1]分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：（1）；（2）．[2]繁分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如，说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．[3]分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲】例1 解下列不等式：（1）（2）＞4．例2 计算：（1）（2）（3）（4）例3 已知，求的值．例4 已知，求的值．例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）（2）（3）（4）例6 设，求的值．例7 化简：（1）（2）（1）解法一：原式=解法二：原式=（2）解：原式=说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．【巩固练习】1．解不等式2．设，求代数式的值．3．当，求的值．4．设，求的值．5．计算6．化简或计算：(1) (2)(3) (4)★专题二因式分解【要点回顾】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6] (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解．2．分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式（2）分组后能直接运用公式3．十字相乘法（1）型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．∵，∴运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．（2）一般二次三项式型的因式分解由我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：（1）配方法（2）拆、添项法【例题选讲】例1 （公式法）分解因式：(1) ；(2)例2 （分组分解法）分解因式：（1）（2）例3 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) (2)(3) (4)解：（1）（2）（3）分析：把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．解：(4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．解：例4 （十字相乘法）把下列各式因式分解：(1) ；(2)解：(1)(2)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．例5 （拆项法）分解因式【巩固练习】1．把下列各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．已知，求代数式的值．3．现给出三个多项式，，，，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解.4．已知，求证：．★专题三一元二次方程根与系数的关系【要点回顾】1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有[1]当Δ 0时，方程有两个不相等的实数根：；[2]当Δ 0时，方程有两个相等的实数根：；[3]当Δ 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，即p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．【例题选讲】例1 已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根（3）方程有实数根；（4）方程无实数根．例2 已知实数、满足，试求、的值．例3 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．例4 已知是一元二次方程的两个实数根．(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．(2) 求使的值为整数的实数的整数值．解：(1) 假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根，∴，又是一元二次方程的两个实数根，∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2) ∵∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．【巩固练习】1．若是方程的两个根，则的值为( )A．B．C．D．2．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A．B．C．D．大小关系不能确定3．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= ___ __ ，= _ ____ ．4．已知实数满足，则= ___ __ ，= _____ ，= _____ ．5．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11，求证：关于的方程有实数根．6．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值．★专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【要点回顾】1．平面直角坐标系[1]组成平面直角坐标系。

叫做轴或横轴，叫做轴或纵轴，轴与轴统称坐标轴，他们的公共原点称为直角坐标系的原点。

[2] 平面直角坐标系内的对称点：2．函数图象[1]一次函数：称是的一次函数，记为：(k、b是常数，k≠0)特别的，当=0时，称是的正比例函数。

[2] 正比例函数的图象与性质：函数y=kx(k是常数，k≠0)的图象是的一条直线，当时，图象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而；当时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而．[3]一次函数的图象与性质：函数(k、b是常数，k≠0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的一条直线.设(k≠0)，则当时，y随x的增大而；当时，y随x的增大而．[4]反比例函数的图象与性质：函数(k≠0)是双曲线，当时，图象在第一、第三象限，在每个象限中，y随x的增大而；当时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而．双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与；又是中心对称图形，对称中心是原点．【例题选讲】例1 已知、，根据下列条件，求出、点坐标．(1) 、关于x轴对称；(2) 、关于y轴对称；(3) 、关于原点对称．例2已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于、两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。

例3如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．解：（1）在的图象上，，又在的图象上，，即，解得：，，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，（2）从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。

【巩固练习】1．函数与在同一坐标系内的图象可以是（）2．如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知，，求点的坐标．3．如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．（1）求的值；（2）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．★专题五二次函数【要点回顾】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题[1] 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？问题[2] 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：由于y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－，所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：[1]当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最小值．[2]当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口方向；顶点坐标为，对称轴为直线；当时，y随着x的增大而；当时，y随着x的增大而；当时，函数取最大值．上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．2．二次函数的三种表示方式[1]二次函数的三种表示方式：（1）．一般式：；（2）．顶点式：；（3）．交点式：．说明：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：①给出三点坐标可利用一般式来求；②给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求．③给出三点，其中两点为与x轴的两个交点.时可利用交点式来求．3．分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．【例题选讲】例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系多少元？此时每天的销售利润是多少？例3 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1）；（2）已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2；（3）已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为由上述的函数解析式，可以得到其图象如图所示．【巩固练习】1．选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）（2）函数y＝－x2＋4x＋6的最值情况是（）（A）有最大值6 （B）有最小值6（C）有最大值10 （D）有最大值2（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）（A）－3≤y≤1 （B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11 （D）－7≤y＜112．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A（0，），B（1，0），C（，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，），且与y轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x轴交于点M（，0），（5，0），且与y轴交于点（0，）；（4）已知抛物线的顶点为（3，），且与x轴两交点间的距离为4．4．如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡．已知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大？5．如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．（1）求函数y的解析式；（2）画出函数y的图像；（3）求函数y的取值范围．★专题六二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数的最值．二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当时，函数在处取得最小值，无最大值；当时，函数在处取得最大值，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：在（其中）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：[1]若时求最小值或时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于即，即对称轴在的左侧；②对称轴，即对称轴在的内部；③对称轴大于即，即对称轴在的右侧。