高考数学一轮复习 计数原理【导学案】第十章 章末检测

第十章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5 C．6 D．72．(2011·威海模拟)下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是()A．56分B．57分C．58分D．59分3．(2010·广州一模)商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为()A．6万元B．8万元C．10万元D．12万元4．(2011·烟台模拟)从2 010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 010人中，每人入选的概率()A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为5201D．都相等，且为1 405.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为()A ．0.9,35B ．0.9,45C ．0.1,35D ．0.1,45 6．(2011·广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.34 7.如图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字．从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6 8．(2011·广州联考)为了了解高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80,100)之间的学生人数是( )A ．32B ．27C ．24D ．339．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．410．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.12711．掷一枚硬币，若出现正面记1分，出现反面记2分，则恰好得3分的概率为( ) A.58 B.18 C.14 D.12 12．(2010·安徽)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．14．如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD，它的阴影部分是由函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象和直线y＝1围成的图形．某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是________．15．(2011·广东五校联考)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.对此，四名同学作出了以下的判断：p：有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)①p∧綈q②綈p∧q③(綈p∧綈q)∧(r∨s)④(p∨綈r)∧(綈q∨s)16．(2011·江苏通州调研)将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(2011·福建龙岩一中模拟)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数之和为5的概率；(2)两数中至少有一个为奇数的概率；(3)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部的概率．18．(12分)为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)，解答下列问题：分组频数频率50.5～60.540.0860.5～70.50.1670.5～80.51080.5～90.5160.3290.5～100.5合计50(1)填充频率分布表中的空格；(2)补全频率分布直方图；(3)若成绩在80.5～90.5分的学生可以获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？19．(12分)(2011·安庆模拟)对某班学生是爱好体育还是爱好文娱进行调查，根据调查得到的数据，所绘制的二维条形图如下图.(1)根据图中数据，制作2×2列联表；(2)若要从更爱好文娱和从更爱好体育的学生中各选一人分别做文体活动协调人，求选出的两人恰好是一男一女的概率；(3)是否可以认为性别与是否爱好体育有关系？参考数据：P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．(12分)(2010·天津)有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率． (2)从一等品零件中，随机抽取2个：①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率．21．(12分)(2011·苍山期末)已知关于x 的一元二次函数，f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．22．(12分)从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)；第二组[160,165)；…；第八组[190,195]，上图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180 cm 以上(含180 cm)的人数； (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x 、y ，求满足|x －y |≤5的事件概率．第十章 章末检测1．C [抽样比k ＝2040＋10＋30＋20＝20100＝15，∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×15＋20×15＝2＋4＝6.]2．B [由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.]3．C [由0.40.1＝x2.5，得x ＝10(万元)．]4．C [从2 010名学生中选取50名学生，不论采用何种抽样方法，每名学生被抽到的可能性均相同，谁被剔除或被选中都是机会均等的．所以每人入选的概率都相等，且为502 010＝5201.] 5．A [x ＝0.02＋0.18＋0.34＋0.36＝0.9； y ＝(0.36＋0.34)×50＝35.]6．D [甲队若要获得冠军，有两种情况，可以直接胜一局，获得冠军，概率为12，也可以乙队先胜一局，甲队再胜一局，概率为12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为14＋12＝34.]7．B [x ＝291×2＋295＋298＋302＋306＋310＋312＋314＋31710＝303.6.]8．D [80～100间两个长方形高占总体的比例： 5＋62＋3＋5＋6＋3＋1＝1120即为频数之比．∴x 60＝1120.∴x ＝33.] 9．D [∵x ＋y ＋10＋11＋95＝10，∴x ＋y ＝20.∵(x －10)2＋(y －10)2＋0＋1＋15＝2，∴(x －10)2＋(y －10)2＝8， ∴x 2＋y 2－20(x ＋y)＋200＝8， ∴x 2＋y 2－200＝8，∴x 2＋y 2＝208.由x ＋y ＝20知(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＝400， ∴2xy ＝192，∴|x －y|2＝x 2＋y 2－2xy ＝208－192＝16，∴|x －y|＝4.]10．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．同理，第一次取黄球、绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3种情况，故颜色全相同的概率为327＝19.]11．A [有三种可能的情况：①连续3次都掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫123；②第1次掷得正面，第2次掷得反面，其概率为⎝⎛⎭⎫122； ③第1次掷得反面，第2次掷得正面，其概率为⎝⎛⎭⎫122， 因此恰好得3分的概率为 ⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝58.] 12．C [甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴P ＝1036＝518.] 13．0.030 3解析 ∵小矩形的面积等于频率，∴除[120,130)外的频率和为0.700，∴a ＝1－0.70010＝0.030.由题意知，身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]的学生分别为30人，20人，10人，∴由分层抽样可知抽样比为1860＝310，∴在[140,150]中选取的学生应为3人． 14.12解析 方法一 由余弦函数图象的对称性知，阴影部分的面积为矩形ABCD 的面积的一半，故所求概率为12.方法二 也可用积分求阴影部分的面积：∫2π0(1－cos x)d x ＝(x －sin x)|2π0＝2π.∴P ＝2π4π＝12.15．①④解析 本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得K 2≈3.918，P(K 2≥3.841)≈0.05，所以，只有第一位同学的判断正确，即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知①④为真命题．16.112解析 基本事件有6×6×6＝216(个)，点数依次成等差数列的有：(1)当公差d ＝0时，1,1,1及2,2,2，…，共6个．(2)当公差d ＝±1时，1,2,3及2,3,4；3,4,5；4,5,6，共4×2个．(3)当公差d ＝±2时，1,3,5；2,4,6，共2×2个． ∴P ＝6＋4×2＋2×26×6×6＝112.17．解 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． (1)记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P(A)＝436＝19. 答 两数之和为5的概率为19.(3分)(2)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B ，则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－936＝34.答 两数中至少有一个为奇数的概率为34.(6分)(3)基本事件总数为36，点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部记为事件C ，则C 包含8个事件，所以P(C)＝836＝29.答 点(x ，y)在圆x 2＋y 2＝15的内部的概率为29.(10分)18．解 (1)(4分)(2)频率分布直方图如图所示：(8分)(3)因为成绩在80.5～90.5分的学生的频率为0.32且有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.32×900＝288(人)．(12分) 19．解 (1)更爱好体育更爱好文娱合计 男生 15 10 25 女生 5 10 15 合计202040(3分)(2)恰好是一男一女的概率是： 15×10＋5×1020×20＝12.(6分) (3)K 2＝n (ac －bd )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝40×(15×10－5×10)220×20×25×15＝83≈2.666 7…<2.706，(9分) ∴我们没有足够的把握认为性别与是否更喜欢体育有关系．(12分)20．解 (1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P(A)＝610＝35.(4分)(2)①一等品零件的编号为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共有15种．(8分)②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：(A 1，A 4)，(A 1，A 6)，(A 4，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 5)，(A 3，A 5)，共有6种，所以P(B)＝615＝25.(12分) 21．解 (1)∵函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba，∴要使f(x)＝ax 2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，则a>0且2ba≤1，即2b ≤a.(3分)若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1； 若a ＝3，则b ＝－1,1.∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.(5分) 又∵总事件数为15，∴所求事件的概率为515＝13.(6分)(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a>0时，函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )|⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8≤0a>0b>0.如图所示．构成所求事件的区域为阴影部分．(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为⎝⎛⎭⎫163，83.(10分) ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.(12分)22．解 (1)由频率分布直方图知，前五组频率为 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 后三组频率为1－0.82＝0.18， 人数为0.18×50＝9(人)，(2分)这所学校高三男生身高在180 cm 以上(含180 cm )的人数为800×0.18＝144(人)．(4分) (2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)， 设第六组人数为m ，则第七组人数为9－2－m ＝7－m ，又m ＋2＝2(7－m)，所以m ＝4， 即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08,0.06.(6分) 频率除以组距分别等于0.016,0.012，见图．(9分)(3)由(2)知身高在[180,185)内的人数为4人，设为a，b，c，d.身高在[190,195]的人数为2人，设为A，B.若x，y∈[180,185)时，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况．若x，y∈[190,195]时，有AB共1种情况．若x，y分别在[180,185)，[190,195]内时，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况．所以基本事件的总数为6＋8＋1＝15(种)．(11分)事件|x－y|≤5所包含的基本事件个数有6＋1＝7(种)，故P(|x－y|≤5)＝715.(12分)。