余角和补角的命名
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4.6.3余角和补角
∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
余角的性质2 等角的余角相等
2
1
4
3
∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90° ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
探究二
2、画出∠COB的两个补角,并
C
判断它们有什么关系?
1
A
O
B
2
D
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 °
A
C
O
B
∠AOB= 180°－∠AOC
探究一
1、 画出∠COB的两个余角,并判断这两个余
角有什么关系?
A
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
C
∠2+ ∠BOC = 90 °
∴ ∠1= 90 °－ ∠BOC
1
∠2= 90 °－ ∠BOC
∴∠1 = ∠2
O
2
B
同角的余角相等
D
A
1
O
2
余角的性质1
1
2
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 180°，
∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1，
∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
4 3
等角的补角相等
补角的性质2
1
2
∵ ∠1﹢∠2 = 180°，
∠3﹢∠4 = 180° ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
4 3
60° (180-x)°
３.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求 这个角的度数。
解：设这个角为x°， 那么它的补角为(180-x) °， 它的余角为(90-x) °，则
余角的性质2 等角的余角相等
2
1
4
3
∵ ∠1﹢∠2 = 90°， ∠3﹢∠4 = 90° ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
探究二
2、画出∠COB的两个补角,并
C
判断它们有什么关系?
1
A
O
B
2
D
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 180 ° ∠2+ ∠BOC = 180 °
A
C
O
B
∠AOB= 180°－∠AOC
探究一
1、 画出∠COB的两个余角,并判断这两个余
角有什么关系?
A
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 °
C
∠2+ ∠BOC = 90 °
∴ ∠1= 90 °－ ∠BOC
1
∠2= 90 °－ ∠BOC
∴∠1 = ∠2
O
2
B
同角的余角相等
D
A
1
O
2
余角的性质1
1
2
解： ∠2与∠4相等 ∵ ∠1﹢∠2 = 180°，
∠3﹢∠4 = 180° ∴ ∠2 = 180°─∠1，
∠4 = 180°─∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
4 3
等角的补角相等
补角的性质2
1
2
∵ ∠1﹢∠2 = 180°，
∠3﹢∠4 = 180° ∠1 =∠3 ∴ ∠2 =∠4
4 3
60° (180-x)°
３.已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求 这个角的度数。
解：设这个角为x°， 那么它的补角为(180-x) °， 它的余角为(90-x) °，则
余角和补角
你的点滴收获
本节课你学到了哪些知识？请你说一说. 1、互余和互补
互 数量关系 余 互 补
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
对应 图形
性质
2
1
4 3
等角的补角相等
等角的余角相等
看图回答：
D
C
O
A
B
∠AOD 与_________. ⑴图中互余的角是_________ ∠DOC ⑵图中互补的角是__ ∠AOD ___与___ ∠BOD __; ∠ AOC __与__ ∠BOC __. ___ ∠AOC 与________. ∠BOC ⑶图中相等的角是________
D C E 1 A 2 3 4 O
B
已知，点A,O,B在同一直线上，OE,OF分别为 ∠AOC和∠BOC的角平分线，找图中互余和 C 互补的角。 F
E
A
O
B
注意点
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。 互余、互补概念中的角是成对出现的。
角 的余角是 90 ，补角是180 ,
3
4
解：∵∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90° ∴∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3 ∵∠1 =∠3 （等量减等量，差相等） ∴90°－∠1= 90°－∠3 即：∠2 =∠4
例3 探究:补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如 果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
90°
练习:
解答题:
1、一个角的补角是它的3倍,这个 角是多少度?
解: 设这个角为x°, 则它的补角为 (180°- x°), 得: 180 – x = 3 x 解之得: x = 45
余角与补角的概念及性质
理由：
D O
3 4
理由：
3与AOB互为补角 4与AOB互为补角
3 AOB 90
4 AOB 90 3 4
①用一句话概括结论。
①用一句话概括结论。
同角的余角相等
同角的补角相等
3、如图，如果∠1与∠2互为余角， ∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？请 尝试用几何语言来说理
①用一句话概括结论。
①用一句话概括结论。
等角的余角相等
等角的补角相等
余角的性质结论：
补角的性质结论：
同角的余角相等
同角的补角相等 等角的补角相等
等角的余角相等
总结成一句话：
同角或等角的余角相等；
同角或等角的补角相等。
1、在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，垂足为D。
（1）图中有哪几对互余的角？
∠的补角是（180 °—∠ ）
例1
若一个角的补角等于它的余角的
4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。 根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 互补定义) 则∠1 + ∠2 =180 .( 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 互余定义) 则 ∠3 + ∠4 =90 .(
1、如图，∠1和∠AOB互为余角， ∠2和∠AOB也互为余角，请问 ∠1 和∠2有什么数量关系？为 什么？请尝试用简单的几何语言 来说理。 A
D O
3 4
理由：
3与AOB互为补角 4与AOB互为补角
3 AOB 90
4 AOB 90 3 4
①用一句话概括结论。
①用一句话概括结论。
同角的余角相等
同角的补角相等
3、如图，如果∠1与∠2互为余角， ∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？请 尝试用几何语言来说理
①用一句话概括结论。
①用一句话概括结论。
等角的余角相等
等角的补角相等
余角的性质结论：
补角的性质结论：
同角的余角相等
同角的补角相等 等角的补角相等
等角的余角相等
总结成一句话：
同角或等角的余角相等；
同角或等角的补角相等。
1、在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，垂足为D。
（1）图中有哪几对互余的角？
∠的补角是（180 °—∠ ）
例1
若一个角的补角等于它的余角的
4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。 根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, ° 互补定义) 则∠1 + ∠2 =180 .( 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余 .( 互余定义) 若∠3和∠4互余, ° 互余定义) 则 ∠3 + ∠4 =90 .(
1、如图，∠1和∠AOB互为余角， ∠2和∠AOB也互为余角，请问 ∠1 和∠2有什么数量关系？为 什么？请尝试用简单的几何语言 来说理。 A
余角和补角的定义和性质ppt课件
37
38
你知道方位角吗？
北
西北
东北
西
东
西南 南
东南
39
探究：方位角 （1）正北，正南，正西，正东，
E
西 B
F
北 D 45° 45°
O
C南
射线OD OC OB OA H（2）西北方向:_射__线__O_E___
西南方向:_射__线__O_F____ 东
A
东南方向:_射__线__O_G____ G 东北方向:_射__线__O_H____
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
13
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余.( 互余定义) 若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
（２）北偏西６００
北 A
60°300
西
东
25° 南
42
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
北
西O
60 °
南
B
北 D
40
北
观 测 点
甲地
乙地
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你知道方位角吗？
北
西北
东北
西
东
西南 南
东南
39
探究：方位角 （1）正北，正南，正西，正东，
E
西 B
F
北 D 45° 45°
O
C南
射线OD OC OB OA H（2）西北方向:_射__线__O_E___
西南方向:_射__线__O_F____ 东
A
东南方向:_射__线__O_G____ G 东北方向:_射__线__O_H____
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得： （180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
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4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 ) 若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, 则 ∠3和∠4互余.( 互余定义) 若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
（２）北偏西６００
北 A
60°300
西
东
25° 南
42
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在
南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南 偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮 C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客 轮B、货轮C和海岛D的射线。
北
西O
60 °
南
B
北 D
40
北
观 测 点
甲地
乙地
余角和补角ppt
148°
45°
45°
135°
77°
13°
103°
62°23′ 27°37′ 117°37′
x
90° x
180°- x
同一个锐角的补角比它的余角大 90°。
互余和互补是两个角的数量关系，
与它们的位置无关。
练习
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 °。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角 是 90°- ∠ ，它的补角 是 180°- ∠ 。
甲地对乙地的方位角
乙地
甲地
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
甲地对乙地的方位角
乙地
甲地
2. 把中心点和目的地用线连接起來
甲地对乙地的方位角 乙地
南
甲地
3.度量向南的射线和绿色线之间的角度
说出B在A的 北偏东40° 那么A在B的 南偏西40°
B
西●
●
B
北
●●BB
44007°°0°
●
A
65°
东
12
3
4
解：∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°
∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3
∵ ∠1 =∠3 ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3
余角即性：质∠：2 =∠4
同角或等角的余角相等
A
D
1 O2
如图 ∠AOB = 90 ° ∠COD = 90 °
B 则∠1与∠2是什么关系？
北
（3）南偏西25°
B
70°
射线OA
西 O
东 北偏西70°
60°
C
25°
射线OB
七年级数学上册6.3余角、补角、对顶角什么叫余角、补角？它们的性质是什么？素材苏科版解析
什么叫余角、补角？它们的性质是什么？
难易度：★★★★
关键词：角
答案：
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。
即其中一个角是另一个角的余角。
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。
即其中一个角是另一个角的补角。
（3）性质：等角的补角相等。
等角的余角相
等。
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联。
注意：余角（补
角）与这两个角的位置没有关系。
不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系。
【举一反三】
典例：已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．
思路引导：主要考查了余角和补角的概念以及运用．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角之和为180度．解此题的关键是能准确的从图中找出角之间的数量关系，从而计算出结果．利用题中“一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°”作为相等关系列方程求解即可．设这个角是x，则（180°-x）-3（90°-x）=10°，解得x=50°．故答案为50°．
标准答案：50°
1。
余角与补角
想一想:1、钝角有余角吗？ 没有
2、直角有余角吗？
没有
3、同一个角的补角比它的余角大多少度？
90°
例1、如图，∠AOC=∠BOD= ∠AOB=90°，
问有哪两个锐角相等？
D
C
B
解：∠AOB=90°-∠COB， ∠DOC=90°-∠COB， ∴∠AOB=∠COD
O
A
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4 x 8) ,
1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。 （ 3、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（
）
4、互补的两个角不可能相等。
（
5、钝角没有余角，但一定有补角。（
） ）
6、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ）
7、若∠1+∠2+∠3=90°，那么∠1、∠2、∠3 互为余角. （ ）
补角的概念
如果两个锐角的和是一个平角,就称这两 个角互为补角,简称互补.也可以说其中一个角 是另一个角的补角.
∠A+∠B= 180°
∠B的补角是∠A
∠A与∠B互补
∠A与∠B互补
∠A的补角是∠B
2、补角的性质。 ∠
的补角=180°- ∠
若∠
∠ 的余角=180°- ∠
则180°- ∠ =180°- ∠ 即∠
则1 _____, 2 _____.
解： 1与2互余
(6 x 8) (4 x 8) 90 x9
1=6 9+8=62
2=4 9 8=28
已知：一个角的补角是它的余角的4倍。 求：这个角是多少度。
分析：可设这个角为x°，则它的补角可表示为 180 x ， 它的余角可表示为 90 x ，它们之间有怎么样的等量关系？
余角和补角ppt
甲地对乙地的方位角
乙地
甲地
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
甲地对乙地的方位角
乙地
甲地
2. 把中心点和目的地用线连接起來
甲地对乙地的方位角 乙地
南
甲地
3.度量向南的射线和绿色线之间的角度
说出B在A的 北偏东40° 那么A在B的 南偏西40°
B
西●
●
B
北
●●BB
44007°°0°
●
A
65°
东
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ）
∠的补角是（180 °—∠ ）
例1:若一个角的补角等于它的余角的 4倍，求这个角的度数。
解：设这个角是x °，则它的补角是 (180°－x°),
余角是(90°－x°) ,根据题意得： （180－x）= 4 (90－x)
●B
南
例2:如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A
在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏
东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客轮B,
货轮C和海岛D.仿照表示
北
灯塔方位的方法画出 ● D
●B
表示客轮B,货轮C和
45°40°
海岛D方向的射线. 西
O
●
东
射射射∴线线线射OOO线BCD的的的OA方方方的向向向方就就就向是是是就 北南北是偏偏偏南东西西偏414东005°°°60，，，°即即即，客货海即 轮轮岛灯BCD塔所所所A在在在所的的的在方方方的向向向方。。。向。
12
3
4
解：∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°
∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3