余角与补角的概念及性质
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质(教案)
-重点二：余角、补角的性质掌握。学生需要熟练掌握互为余角、补角的两个角之间的数量关系，并能运用这些关系进行计算。
-举例：如果∠A和∠B互为余角，且∠A=40°，求∠B的度数。
-重点三：运用余角、补角解决实际问题。培养学生将余角、补角知识应用于实际问题的能力，如平面几何图形的角的求解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调余角和补角的概念以及它们之间的数量关系。对于难点部分，比如两个角的和的关系，我会通过举例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与余角、补角相关的实际问题，如直角三角形中的角度关系。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过剪纸或使用量角器，学生可以直观地观察到余角和补角的形成。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解余角和补角的基本概念。余角是指两个角的和等于90°的两个角，补角是指两个角的和等于180°的两个角。它们在几何图形的求解和平面角度的计算中非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。在一个等腰直角三角形中，底角的度数如何求解？通过余角的概念，我们可以轻松找到答案。
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质（教案）
一、教学内容
人教版数学七年级上册4.3.3余角、补角的概念和性质。本节课我们将学习以下内容：
1.余角的概念：两个角的和等于90°时，这两个角互为余角。
2.补角的概念：两个角的和等于180°时，这两个角互为补角。
3.余角、补角的性质：
a.互为余角的两个角的和为90°；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
余角与补角
探究
同角的补角相等吗？
1
2
3
同角的补角相等
探究
等角的补角相等吗？
4 3
2
1
等角的补角相等
补角性质：
同角（等角） 的补角相等。
因为∠1+∠2=180° ∠1+∠3=180° 所以∠2=∠3
因为∠1+∠2=180° ∠3+∠4=180° 又 ∠1=∠3 所以∠2=∠4
例3
如图，点A,O,B在同一条直线 上,射线OD和射线OE分别平分 ∠AOC和∠BOC
10o
30o
60
o
80o
100o 120o 150o
170o
填一填
∠α
2° 45° 62°23′ x°
∠α的余角
∠α的补角
88° 178° 135° 45° 27°37′ 117°37′ (90 –x) ° (180-x) °
同一锐角的补角一定比这个角的余角大90°。
3 2
1
同角的余角相等
等角的余角相等
练一练
(1)∠1+∠2=90°则∠1是余角.( 错 ) (2) ∠1 +∠2+ ∠3=90°,则∠1 、∠2、 ∠3、 互为余角.( 错 ) (3)钝角没有余角，但一定有补角.( 对
)
(4)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝
角.( 错 ) (5)互补的两个角不可能相等.( 错
)
算一算： 65° 4、∠A=25°,则它的余角为_______,
155° 它的补角为________.
40 ° 5、已知∠A=50°,则∠A的余角是____， 130° 90° 补角是____ ，补角与余角的差是_____.
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称; 对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
余角和补角
一个浪打上礁石，海鸟惊逃，以为 是一次谋杀；一个浪扑上海滩，孩 子欢喜，以为是大海开出了鲜花。
同样的事物，有不同的感受。所以 世界是什么样子并不重要，重要的 是你的心灵是什么样子。
知识目标：
1.什么是互为余角 2.余角的性质 3.什么是互为补角 4.补角的性质
一、互为余角定义
拓展训练
已知∠ ACB 和∠ CDB是直角
那么图中有几对余角？
C
1 2
A D
B
如图：在田字格中，求 ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3的和
A 1 2 D 3 B F C
走进中考
如图，已知AOB是一直线，OC是 ∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直 角，图中相等角有几对？互余的 角有几对？互补的角有几对？
180°－X
归纳：一个角的补角比它的余角 大 90°。
必会题 范例讲解 已知一个角的补角是它的余角 的4倍，求这个角的度数。
下图是一副三角板
图（1）中有几对互余的角?
能力提升
图（2）中有几对互补的角?
（1）
（2）
今天我们学了什么？
余角、补角的定义： （1） 和为90°的两个角称互为余角； （2） 和为180°的两个角称互为补角； 余角、补角的性质： （1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等；
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30
o
60
o
80o
(1)
(2)
(3)
(4)
100o 120
o
150
o
170o
(5)
同角或等角的补角相等
知识的运用
∠
15° 62°20 ′
余角与补角的概念与性质
4.3.3 余角和补角学习目标:1、认识一个角的余角与补角，并能熟练求出一个角的余角和补角。
2、经历探究余角和补角的性质，并会用其性质解决一些简单的问题。
学习重点：互余、互补定义及它们的性质。
学习难点：余角与补角的性质及其运用。
学习过程： 一、自主学习1、 在一副三角板中同一块三角板的两个锐角和等于 度。
2、若∠1=60.5°,∠2=29.5°，则∠1+∠2= 。
3、如上左图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠COD=90°，那么∠1+∠2= 。
4、若∠1=115°，∠2=65°,则∠1+∠2=5、如上右图，已知点A 、O 、B 在一直线上 ，∠AOC=150°，那么∠BOC= . 二、探究新知 归纳: 1、余角的定义如果 个角的和等于 ，就说这 个角 余角，简称 。
其中一个角是另一个角的 。
即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。
反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= . 2、补角的定义如果 个角的和等于 ，就说这 个角 补角，简称 。
其中一个角是另一个角的 。
即 如果∠α+∠β= ，那么∠α和∠β互为 。
反之：如果∠α与∠β互为 角，那么∠α+∠β= .90° D COAB12BOAC三、 应用新知 例1 完成下表：α∠045 03640'）（ 900<<x x )9010(1 <∠<∠的余角α∠05306.15的补角α∠03950' 072想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系？例2 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数。
四、发现总结1、若∠1+∠2=090，∠2 +∠3= 90，那么∠1____∠3;如果∠1+∠2= 90，∠3+∠4= 90，且∠1=∠3，那么∠2___∠4;同理，若∠1+∠2= 180，∠2+∠3= 180，那么∠1____∠3;如果∠1+∠2= 180，∠3+∠4= 180，且∠1=∠3，那么∠2_____∠4.总结：等角（或同角）的余角________,等角（或同角）的补角________________. 2、同一个角的余角比它的补角小 。
余角和补角的定义和性质
余角和补角的定义和性质
什么是余角和补角：
余角和补角是两个平行四边形中两个角间的性质，在一条平行四边形中，所有相邻的两个角相加总和为360°，其中有一个角称为余角，另外一个角称为补角。
余角的性质：
余角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，余出的那个角，余角小于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角都是余角。
补角的性质：
补角是平行四边形中所有相邻的两个角相加，补到360°的那个角，补角大于180°，在正六边形、正八边形、正十边形等多边形中，所有的角有一个是补角。
余角和补角的关系：
余角与补角是平行四边形中一种互补的关系，它们的总和总是等于360°。
例如，如果一个角为100°，它的余角是100°，它的补角就是260°；如果一个角是240°，它的补角就是240°，它的余角就是120°。
余角和补角是平行四边形中两个相邻角之间的性质，它们的总和等于360°，其中一个角被称为余角，另一个角被称为补角，余角小于180°，而补角大于180°，它们之间有着一种互补的关系。
余角和补角(57张PPT)数学
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9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
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解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
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4
5
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7
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9
10
11
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∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
余角、补角、对顶角的概念和习题答案
余角和补角和对顶角令狐采学余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。
∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A 的补角=180°-∠A对顶角：一个角的两边分别是另一个角的反向延长线，这两个角是对顶角。
两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交,构成两对对顶角。
对顶角相等.对顶角与对顶角相等.对顶角是对两个具有特殊位置的角的名称;对顶角相等反映的是两个角间的大小关系。
补角的性质：同角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。
等角的补角相等。
比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
余角的性质：同角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。
等角的余角相等。
比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。
注意：①钝角没有余角；②互为余角、补角是两个角之间的关系。
如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角；③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。
只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。
余角与补角概念认识提示：（1）定义中的“互为”一词如何理解？如果∠1与∠2互余，那么∠1的余角是∠2 ，同样∠2的余角是∠1 ；如果∠1与∠2互补，那么∠1的补角是∠2 ，同样∠2的补角是∠1。
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M
N
O
BD
O
C
1、如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数， 但人不能进围墙，如何测量？
A B
O
2、你知道一副三角板中每一个内角的度数吗？
A
请同学们，任取两个角来求和？哪两个角的和很特殊？
∠C=90 °
∠A=∠B=45 °
C
B
D
∠F=90 ° ∠D= 60 ° ∠E=30 °
F
E
∠A+∠B=90 ° 和是一个直角 ∠D+∠E=90 ° 和是一个直角 ∠C+∠F=180 ° 和是一个平角
什么？请尝试用简单的几何语言
来说理。
A
C
B 1
2
1 2 O
D
理由：
①用一句话概括结论。
同角的余角相等
2、如图，∠3和∠AOB互为补角， ∠4和∠AOB也互为补角，请问 ∠3 和∠4有什么数量关系？为什么？ 请尝试用简单的几何语言来
说理。
3 4
理由：
3与AOB互为补角 4与AOB互为补角
180 x
想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的 数量关系？ 的余角+ 90º = 的补角
4、问题回放 如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但 人不能进围墙，如何测量？
A
C
O
B
D
1、如图，∠1和∠AOB互为余角，
∠2和∠AOB也互为余角，请问∠1
和∠2有什么数量关系？为
3 AOB 90
4 AOB 90 3 4
①用一句话概括结论。
同角的补角相等
3、如图，如果∠1与∠2互为余角， ∠3与∠4互为余角，且∠1=∠4， 那么∠2与∠3相等吗？为什么？请 尝试用几何语言来说理
4、如图，如果∠A与∠B互为补角， ∠C与∠D互为补角，且∠A=∠C， 那么∠B与∠D相等吗？为什么？请 尝试用几何语言来说理
∵∠3+∠4 =180° 或 ∴∠3与∠4互为补角
∵∠3与∠4互为补角 ∴∠3+∠4=180°
3、练一练：
的度数 20
的余角 的补角
70 160
45
75
x 5020
(0 x 90)
45
15 3940
90 x
135 105 12940
2 3
理由：3与1与4互2互为为余余角角
1 2 90
4 3 90
1 4
2 3 ①用一句话概括结论。
等角的余角相等
B D
理由：
①用一句话概括结论。
等角的补角相等
余角的性质结论：
同角的余角相等 等角的余角相等
补角的性质结论：
同角的补角相等 等角的补角相等
∠A=∠1 （同角的余角相等）
如图，A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°。 （1）图中与∠2互为余角的角有∠1和∠3 ；
与∠1互为余角的角有∠2和∠4 。 ∠1和∠3
（2）请写出图中相等的锐角，并说明理由； ∠2和∠4
（3）∠1的补角是什么角？∠2有补角吗？
∠1+∠COB=180°
∵∠4+∠AOE=180°
∴∠2+∠AOE=180°
本节课学习了余角和补角，并通过简单的推理，得到出了余角和补角的性质。
互余
互补
数量 ∠1+∠2=90°
关系
对应１源自图２形∠1+∠2=180°
１２
性 质 同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等．
1、课本第153页：7 、 8题。
总结成一句话：
同角或等角的余角相等； 同角或等角的补角相等。
1、在△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB，垂足为D。
（1）图中有哪几对互余的角？
C
∠A+∠B=90°
2
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
A
DB
（2）图中哪几对角是相等的(直角除外)？为什么？
∠B=∠2 （同角的余角相等）
1、 余角的定义：如果两个角的和等于90（0 直角），就 说这两个角互为余角．简称互余。
D
1
2
F
E
几何语言表示为：
∵∠1+∠2 =90° ∴∠1与∠2互为余角
或
∵∠1与∠2互为余角
∴∠1+∠2=90°
2、 补角定义：如果两个角的和等于180（0 平角），就说 这两个角互为补角．简称互补。
3
4
几何语言表示为：