完整版二面角练习题
高考数学试卷二面角
一、选择题1. 下列关于二面角的叙述中，正确的是（）A. 二面角是由两个平面相交形成的角B. 二面角是由两个平面相交形成的两条线段所夹的角C. 二面角是由两个平面相交形成的两条射线所夹的角D. 二面角是由两个平面相交形成的两条直线所夹的角答案：C2. 在二面角中，一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的度数是（）A. α + βB. α - βC. |α - β|D. 90°答案：C3. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是（）A. 0° < θ < 90°B. 0° ≤ θ ≤ 180°C. 0° < θ ≤ 180°D. 90° < θ ≤ 180°答案：C4. 下列图形中，能表示二面角的是（）A. 一个等腰三角形B. 一个等边三角形C. 一个矩形D. 一个正方形答案：C5. 若二面角的平面角为60°，则其补角的度数是（）A. 60°B. 120°C. 180°D. 240°答案：B二、填空题6. 在二面角中，若一个平面内两条相交直线与另一个平面所成的角分别为α和β，则二面角的平面角为______。
答案：|α - β|7. 若二面角的平面角为θ，那么这个二面角的度数范围是______。
答案：0° < θ ≤ 180°8. 若一个二面角的平面角为45°，则其补角的度数是______。
答案：135°三、解答题9. 已知二面角的平面角为60°，求这个二面角的补角的度数。
解答过程：根据题意，设二面角的平面角为θ，则有：θ = 60°由补角的定义可知，二面角的补角为180° - θ，因此：补角= 180° - 60° = 120°所以，这个二面角的补角的度数是120°。
二面角专题练习
1、如图所示，AF 、DE 分别世O 、1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的直径，6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.2、如图5，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为，120AOP ∠=︒． （1）求证：AG BD ⊥；（2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．3、如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，3=PA 。
（I ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ； （II ）求二面角A —BE —P 的大小。
A FD OQ DBCAG P ．PBCED4正视图侧视图34、一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N（1）求证：111MN AB MN BCC B⊥，平面；（2）求二面角1A BC C--的余弦值．5、如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形．已知3AB=，2AD=，2PA=，PD=60PAB=∠．（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P BD A--的大小． AB CDPABCD⋅O⋅F图5A BCD⋅O⋅F 图6αβ⇒6、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD ，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。
(1)求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角； （3）求截面ADMN 的面积。
7．如图5，O ⊙的直径4AB =，点C 、D 为O ⊙上两点，且=45CAB ∠，DAB ∠60=，F 为BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图6）．（1）求证：//OF 平面ACD ； （2）求二面角C -AD -B 的余弦值；（3）在BD 上是否存在点G ，使得FG //平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置， 并求直线AG 与平面ACD 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．。
二面角专题
1
二面角专题
题1: 设P 是二面角α－l －β内一点，P 到面α、β的距离PA 、PB 分别为8和5，且AB ＝7，求 这个二面角的大小。
题2. 在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55.
（Ⅰ）证明：SC ⊥BC ；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小；
题3.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。
（1）求证AM //平面BDE ；
（2）求二面角A -DF -B 的大小；
A
D
E
F
M
B
C
题4.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=2
2，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1。
（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。
题 5. 如图所示，∆ADB和∆CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，∠=∠=︒=
ADB CBD AD a
90,
（I）求异面直线AD、BC所成的角。
（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,∆PCD与∆BCD所在平面成45︒的二面角?；
A
P
B
D
C
题 6.四棱锥A BCDE
-中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，2
BC=，2
CD=，AB AC
=．
（Ⅰ）证明：AD CE
⊥；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45 ，求二面角C AD E
--的大小的余弦值．
C D E
A
B
2。
(完整版)二面角练习题
1、如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，AC⊥BC，PB=BC=AC,点E、F分别是PC、PA的中点．(Ⅰ）求证：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角A-EB-F的大小．（直接证明）2、如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是AC、BD的交点,E,F分别是AB与AD的中点．（1)求证:直线OD1与直线A1C1垂直；（2）求异面直线EF与A1C1所成角的大小；（3）求二面角B-AC-D1的大小．（三垂线定理）如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为菱形,∠BCD=60°，PD⊥AD．点E是BC边上的中点．（1）求证:AD⊥面PDE；（2）若二面角P-AD—C的大小等于60°，且AB=4，PD=338；①求V P—ABED；②求二面角P—AB—C大小．（垂面法）已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC;（Ⅱ)求PC与平面ABCD所成角的大小；(Ⅲ）求二面角P一EC一D的大小．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，M、N分别为PA、BC的中点，PD⊥平面ABCD,且PD=AD=2,CD=1．（1）证明:MN∥平面PCD；(2）证明：MC⊥BD；（3）求二面角A-PB-D的余弦值．如图,在三棱锥P—ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°,AB=BC=2，∠PAB=45°，点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．(I）求证：EF⊥PD；（Ⅱ）求三棱锥D-PEF的体积；（Ⅲ)求二面角E—PF-B的正切值．。
二面角专项训练(人教A版)(含答案)
二面角专项训练（人教A版）一、单选题(共7道，每道10分)1.等于90°的二面角内有一点P，过P有PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，如果PA=PB=a，则P 到交线的距离为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：与二面角有关的点、线、面间的距离计算2.如图，在三棱锥F-ABC中，FC⊥底面ABC，CA=CB=CF，∠ACB=120°，则二面角F-AB-C的正切值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法3.如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是腰长为的等腰三角形，则二面角V-AB-C的平面角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法4.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AB=2，AC=1，则二面角A-PC-B的正弦值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法5.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，∠ACB=90°，D是棱AA1的中点，则二面角B-DC1-C的余弦值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD，则二面角A1-BD-C1的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥A1C，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点，则二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：二面角的平面角及求法。
二面角练习题
二面角练习题二面角是几何学中一个重要的概念，它与我们日常生活息息相关。
在几何学中，二面角是指两个平面的交线所形成的角度。
它不仅仅是一个数学概念，更是我们在空间中观察和测量角度的基本工具。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用二面角的概念。
练习题一：已知一平面上有一条直线AB，另一平面上有一条直线CD，两平面相交于O点，求∠AOC和∠BOD的关系。
解析：根据二面角的定义，我们可以知道∠AOC和∠BOD的和为180度。
这是因为当两个平面相交时，它们所形成的二面角的度数之和为180度。
所以，∠AOC和∠BOD是互补角。
练习题二：在空间直角坐标系中，已知直线l1的方程为x+y+z=1，直线l2的方程为x-y+z=3，求直线l1和直线l2的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们需要先找到直线l1和直线l2的方向向量。
直线l1的方向向量可以通过求解方程组x+y+z=1得到，即(1,1,1)。
同样地，直线l2的方向向量可以通过求解方程组x-y+z=3得到，即(1,-1,1)。
然后，我们可以通过计算这两个向量的夹角来求解二面角。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (1,1,1)·(1,-1,1) / |(1,1,1)||(1,-1,1)| = 1/√3。
因此，θ = arccos(1/√3)。
这就是直线l1和直线l2的二面角。
练习题三：在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为2x+y+z=4，平面P的方程为x-2y+3z=6，求直线l和平面P的二面角。
解析：为了求解这个问题，我们首先需要找到直线l的方向向量。
由于直线l的方程为2x+y+z=4，我们可以得到方向向量为(2,1,1)。
然后，我们可以通过计算这个方向向量与平面P的法向量的夹角来求解二面角。
平面P的法向量可以通过平面的方程x-2y+3z=6得到，即(1,-2,3)。
使用向量的点积公式可以得到cosθ = (2,1,1)·(1,-2,3) / |(2,1,1)||(1,-2,3)| = 9/√30。
二面角典型习题
二面角1.二面角的计算：1）定义法；2）三垂线定理法；3）垂面法；4）面积射影法；例1、已知P 是二面角棱上一点，过P 分别在内引射线PM ，PN ，且AB αβ--αβ、，求此二面角的度数。
45,60BPM BPN MPN ∠=∠=︒∠=︒例2、已知P 为锐二面角棱上的点，，则二l αβ--,4530PQ PQ l αβ⊂︒︒与成，与成面角的度数是多少。
l αβ--例3、已知二面角的度数为，在面内有一条射线AB 与棱l 成锐角，与面l αβ--θαδ，则必有（ ）βγ成角（A ） （B ）sin sin sin θδγ=sin sin cos θδγ=（C ） （D ）cos cos sin θδγ=cos cos cos θδγ=例4、在的二面角的面、内分别有A 、B 两点，且A 、B 到棱l 的距离120︒l αβ--αβAC 、BD 分别长2、4，AB=10，求：（1）直线AB 与棱l 所成角的正弦值。
（2）直线AB 与平面所成角的正弦值。
β例5、已知二面角为，上的射影，且C 在棱MN αβ--60︒,,A B BC AB αββ∈∈为在MN 上，AB 与所成角为，且，求线段AB 的长。
β60︒45AC MCB =∠=︒例6、已知二面角的度数为，的面积为S ，且DC=m ，DC αβ--θ,,A B ADC αβ∈∈∆，AB 与平面成角，当变化时，求面积最大值。
AB DC ⊥β30︒θDBC ∆in例7、已知C是以AB为直径的圆周上的一点，，30ABC∠=︒，求二面角A-45PA ABC PBA⊥∠=︒面，PB-C的正弦值。
例8、在正方体中，利用解下列各题1111ABCD A B C D-cosSSθ=射影1）P、Q分别为的中点，求平面与底面ABCD所成角的余弦值1,A A AB1C PQ2）求二面角的大小；11C BD C--3）M是棱BC的中点，求二面角的余弦值。
111D B M C--例9、已知D 、E 分别是边长为a 的等边三角形ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，现沿DE 将三角形ADE 折起，是二面角A-DE-B 成60度角，当DE 在什么位置时，使折起后的顶点A 到BC 边距离最短？最短是多少？例10、等腰Rt 和Rt 有公共边AC ，，ADC ∆BCA ∆90,60ADC BCA ABC ∠=∠=︒∠=︒以AC 为棱折起多少度的二面角时，有BD=BC ？两个平面垂直1、两个平面垂直的证明1）定义2）判定定理2、两个平面垂直的性质例1、已知ABCD 为矩形，E 为半圆CED 上一点，且平面ABCD 平面CDE ⊥1）求证DE 是AD 与BE 的公垂线2）若AD=DE=AB ，求AD 与BE 所成角的大小。
五种方法求二面角及练习题
- - 优质资料五种方法求二面角及练习题一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D --2.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60，M 在侧棱SC 的中点（1）求二面角S AM B --的余弦值。
二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
1. 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
（1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1；（2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
E ABCFE 1A B 1C 1DDABCD A D C B- - 优质资料2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
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周练六
1.如图，已知在三棱柱ABC ABQ,中，三个
侧棱都是矩形，点D为AB的中点+
AC 3,BC 4, AB 5,AA, 4 ,
(I)求证AC BC i;
(n )求证AC1 P平面CDB1;
(川)求异面直线AC i与B i C所成角的余弦值+
2 .如图，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面成60°的二面角,
所成角的正弦值。
求直线BD与平面ABEF A —"D
F
3.如图，在棱长为a的正方体ABC—ABCD中，求:
(1 )面AABB与面ABCD所成角的大小；
(2)二面角C-BD-C的正切值
(3)二面角B1 BC1 D
P
4•过正方形ABCD的顶点A作PA A平面ABCD ,
设PA=AB=a , (1)求二面角B- PC- D的大小；
(2)求二面角C-PD-A
B C
5.如图所示，四棱锥P —ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°, E是CD
的中点，PA丄底面ABCD , PA= .3
•⑴证明：BE丄平面PAB;
⑵求二面角A—BE—P的大小
(3) PB与面PAC的角
6如图，在底面为直角梯形的四棱锥
P ABCD 中,AD//BC, ABC 90 ,
PA 平面ABCD PA 3, AD 2, AB ^3 BC=6
(1)求证：BD平面PAC；
⑵求二面角P BD A的大小.
(3)求二面角B-PC-A的大小
7.如图，直二面角D —AB —E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F为CE 上的点，且BF丄平面ACE.
(I)求证AE丄平面BCE;
(H)求二面角B—AC —E的大小; (川)求点D到平面ACE的距离.
8•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形•已知AB 3 , AD 2 ,
PA 2 , PD 2近,/ PAB 60°.
(I)证明AD 平面PAB ；
(n)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(川)求二面角P BD A的正切值.。