幻方
幻 方三帆中学 陈立雪一、幻方的古老传说据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。
图上有九个数字。
大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
它由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。
这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。
后来，人们称它为“幻方”。
因为它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
二、幻方问题幻方是数学的重要分支——组合学研究的一个问题：将1~2n 的自然数填入n n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角线上的n 个数之和相等（称为幻和），这个方阵称为n 阶幻方。
根据阶数不同，常把幻方分为奇阶幻方、偶阶幻方、双偶幻方（阶数为4的倍数的幻方）、单偶幻方（阶数为不是4的倍数的偶数）；另外，随着人们的研究深入，又出现了同心幻方、完美幻方、平方幻方、幻立方、幻圆等更加奇妙的幻方。
三、三阶幻方的构造：字母推理法由连续自然数构成的三阶幻方只有一种构造方法。
以1~9九个自然数构成的三阶幻方为例，设图中填入的九个数字分别为i h g f e d c b a ,,,,,,,,（如图）。
a b c d e f g h i首先，由幻方每行、每列、以及每条对角线上的三个数字之和是一个常数，则可得：154531)987654321(31)(31=⨯=++++++++=++++++++=++=++=++i h g f e d c b a ih g f e d c b a 即幻和为15。
其次，由图可知：()()()()ei h g f e d c b a d e fg e c h e b i e a 3)(+++++++++=+++++++++++所以有：e 345415+=⨯，因而可得：5=e 。
最后，由于幻和15是一个奇数，中心数字5也是奇数，故对角数字应具有相同的奇偶性，即a 和i 、c 和g 的奇偶性相同。
由于剩下的数字只有四奇四偶，易排除四角数字全奇或两奇两偶的情况，故四角分别为2、4、6、8四个偶数，且2与8相对，4与6相对（此时四个数字的具体方位可随意确定）。
到此幻方剩下的部分便容易完成了。
注：（1）此三阶幻方周围八个数字的填法并不唯一，但不同填法可通过旋转、转置等变换进行转化，故视为有唯一解法。
（2）这种解法可以推广到连续整数、连续奇数（偶数）、等差数列构成的三阶幻方。
四、其它构造幻方的方法 1． 对易法我国南宋数学家杨辉在他所著的《续古摘奇算法》一书中提出了一种方法，可用于填写连续自然数构成的三阶幻方，称为“对易法”：笔者发现，在运用对易法填写幻方的过程中，可以充分利用九宫格，将对易法缩减为前三句：九子斜排，上下对易，左右相更（如下图）。
即将九宫格外的数字1直接对易至九宫格下部的空格中（5的下方），其他数字3、7、9类似。
这种改进方法可以方便地用于构造其它奇阶幻方，如下图为用对易法构造的5阶幻方和7阶幻方。
用“对易法”构造三阶以上的奇数阶幻方时，笔者认为可以对“上下对易，左右相更”两句作两种理解：一是理解为将上下左右超出幻方范围的数字向相反的方向平移n 格（n 即该幻方的阶数），比如在上图的5阶幻方中，将上方数字1向下平移5格到19的上方；二是理解为将上下左右超出幻方范围的数阵作为一个整体，平移至幻方相反方位的空格处，比如在上图的7阶幻方中，将上方的数阵1-8-2-15-9-3整体平移至幻方下部的阴影处。
（两种理解所得的结果一致） 2． 罗伯法法国人罗伯总结出了构造奇阶连续自然数幻方的简易方法。
算法如下： （1）将第一个数字放在第一行的中间；（2）将第n+1个数字放在第n 个数字的右上方。
若超出了最上行，则放在同列的最下格；若超出了最右列，则放在同行的最左格；若同时超出了最上行和最右列，或该格已有数字，则放在第n 个数字的正下方。
以1~25构成的5阶幻方为例，使用“罗伯法”填写如下：416 17 23 4 10用对易法、罗伯法构造幻方，亦可推广到等差数列构成的奇阶幻方。
除此之外，构造奇阶幻方的类似方法有很多，“马步法”是其中比较有趣的一种，它构造出的幻方还具有其它特性，是完美幻方（又称魔鬼幻方）。
3． 四阶幻方偶阶幻方的构造比奇数阶麻烦，双偶幻方与单偶幻方又有区别，故不再详述，仅介绍一下构造4阶幻方的对称交换法。
通过计算可知4阶幻方的幻和为34：（1）将1~16依次填在图中（如下图（1）），此时对角线上的和即为34（因此后面的对换不需移动对角线上的数，图中用阴影固定）；（2）将每行中无阴影的数字对换（如下图（2）），此时各列之和也为34（因此最后的对换均在同列中进行，保持列和不变）；（3）将每列中无阴影的数字对换（如下图（3）），此时各行、各列、对角线之和均为34，幻方完成。
（1）五、教学建议《填幻方》是教材中“实验与探究”的选学内容。
将这个内容放在有理数的加法之后，是因为学生已经可以利用加法法则解决有理数的3阶幻方问题。
适当运用这部分选学内容，可以开阔他们的眼界，增长他们的见识，对于兴趣浓厚、数学功底扎实的学生，教师可以给予一定的指导，铺设台阶引导他们去尝试“做数学”。
针对幻方的教学，提出以下几点建议： 1． 重思路，让学生“知其然并知其所以然”。
初识三阶幻方时，不宜直接介绍对易法等填写“捷径”，应通过计算逐步确定幻和与中心重复数，再通过奇偶性分析确定其余8个数字的摆放规律。
这个过程中包含的方程思想、整体代换思想等都是分析和解决数学问题的重要思想方法，也是解决同类问题的主要思路。
例1：图中九宫格中，每行每列以及每条对角线上的三个数之和都相等。
若已知其中的两个数分别是13和19，请问x 的值是多少？若图中已知的两个数分别为m 、n ，试写出x 与m 、n 间的关系。
例2：在图中空格处填上适当的数，构成一个三阶幻方。
例3：（西城2007年七上期末33题）如图是一个三阶幻方，由9个数组成，并且每一横行、每一竖列及两条对角线上的数字的和都相等，请将表格中的空白处填写完整。
例4：（2007河北，8）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等。
下图给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（）。
A B C DP 2．将幻方与找规律相结合，培养学生不完全归纳的能力，也为字母代数作铺垫。
例5：如下图（1），是传说中《洛书》上记载的3阶幻方。
（1）对照图（1），完成图（2）、图（3）、图（4）的幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和是一个常数。
（2）观察各图，中心数字与其它八个数有什么关系？（1）－7－1（2）5－1（3）13－1（4）例6：下图为2008年9月的日历，任意圈出同列上相邻的三个数字，如（12，19，26）。
2008年9月SUN MON TUE WED THU FRI SAT1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 1314 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 2728 29 30（1）观察这样的三个数之和，你有什么发现？（2）下列四个选项中，不可能是这样的三个数之和的是（）。
A．24 B．54 C．41 D．60（3）若要圈出满足题意的三个数，使它们之和为42，则这三个数是_____________。
3．设计探究性问题，引导学生探索数学的规律和方法，发现数学的美。
幻方是一个古老而充满魅力的数学问题，其中蕴涵着丰富的数学思想，但解决幻方问题所需要的数学知识并不高深，已经有前人在幻方的研究上取得了丰富的成果。
所以，我们可以利用这些成果设计问题，引导一些学生进行方法和规律的探究，让他们感受数学的魅力和成功的喜悦，并逐步培养他们研究问题的习惯和方法。
比如，4阶幻方的构造看似不如3阶幻方严谨，但需要细心分析和灵活决策，同时也需要凭数感进行一些大胆的尝试，对训练学生灵活思维很有帮助。
例7：如图，1~16共十六个自然数构成了一个4×4数阵，请对其中的数字进行适当调整，使每行、每列、每条对角线上的四个数字之和都相等，构成一个4阶幻方。
（备用图）（备用图）（备用图）又如，可以利用一些名幻方设计问题，让学生探索其中的特征和规律，培养学生的观察能力。
例8：如下图所示是一个古老的4阶幻方，它被刻在印度哈周拉合市的耆那教寺庙门前一块石牌上，是12~13世纪的产物。
它被称为完美幻方。
观察填空：（1）这个4阶幻方每行、每列、每条对角线上的四个数字之和都是___________；（2）请在图中画出四个相邻数字（不能四个数在同一行、同一列、或同一对角线上），使它们之和等于幻和；（3）你发现这个幻方有什么独特的性质？此外，从方法论的角度来看，以“罗伯法”为代表的一些方法是能够解决一类问题的通法，学生会从中感受到，这种“通法”对解决数学问题具有重大意义，而它们往往以算法或法则的形式表述出来。
在此基础上，介绍了用“对易法”填写3阶幻方后，可以给学生留下一个问题：能否用类似的方法完成更高阶的奇阶幻方呢？可以让学生先用5阶幻方进行尝试，由于5阶幻方中需要对易的数字不多，较容易在观察和尝试中完成幻方，故可从中挖掘一般规律，然后在更高阶幻方中验证发现，完成对“对易法”的推广完善。
例9：“马步法”是一种用于构造奇数阶连续自然数幻方的算法，它的算法规则如下： （1）在任意一格内放入第1个数；（2）向右走1步，再向下走2步，放入下一个数，直到第n 个数（n 为阶数）； （3）第n+1个数放在第n 个数的下面一格；向右走1步，再向下走2步，放入下一个数，直到第2n 个数；（4）第2n+1个数放在第2n 个数的下面一格；……（5）依此类推，直到放完最后一个数。
如果记步时超出了最右列则回数至最左列，如果超出了最下行则回数到最上行。
下图是一个5阶幻方，由1~25组成，前6个数字已经填入，请根据上面的算法完成这个幻方。
参考答案： 例1：2;2x m nx =+=例例例4： （C ）例6： （1）三数之和是中间数的3倍； （2）C ；（3）7，14，21．例例8： （1）34； （2）任意2×2方格； （3）任意2×2方格内的4个数之和等于幻和；任意泛对角线上4个数之和等于幻和。
填幻方的方法
填幻方的方法幻方是一种数学游戏，它是由一组数字排列在一个方阵中，使得每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
填幻方的方法有很多种，下面我将介绍几种常见的方法。
1. 基本方法填幻方的基本方法是从方阵的中间开始，将数字1放在第一行中间的列，然后从数字2开始按照规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果当前位置的右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
2. 四个角的方法四个角的方法是指将数字1放在方阵的四个角上，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
3. 阶梯法阶梯法是指将数字1放在方阵的左上角，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
4. 中心对称法中心对称法是指将数字1放在方阵的中心位置，然后按照一定规则填充其他数字。
具体规则是：如果当前位置的右上方没有数字，则将下一个数字放在右上方；如果右上方有数字，则将下一个数字放在当前位置的正下方。
当数字超过方阵的范围时，需要将该数字放在相应位置的对角线上。
这样一直填充到方阵被填满为止。
填幻方的方法有很多种，每种方法都有其特点和应用场景。
无论采用哪种方法，都需要遵循相应的规则，确保幻方的每行、每列和对角线上的数字之和相等。
填幻方不仅是一种数学游戏，也是一种锻炼思维和逻辑能力的好方法。
通过填幻方，我们可以锻炼自己的观察力、分析能力和解决问题的能力。
《幻方》教学课件
反射对称法
将奇数阶幻方反射后得到 偶数阶幻方。
递推构造法
通过已知的低阶幻方推导 出高阶幻方，常用的递推 关系有菲波那契数列等。
运用编程语言实现幻方构造
Python实现
使用Python的列表操作 和循环语句实现幻方的构 造。
Java实现
使用Java的数组和循环语 句实现幻方的构造。
C实现
使用C的数组和循环语句 实现幻方的构造。
幻方学习的重要性
幻方是一种具有独特魅力的数学游戏，通过学习可以帮助学生 提高数学兴趣和思维能力。
学习内容回顾
在幻方的学习过程中，学生需要掌握基本的数学原理和方法，如 对称性、组合数学等。
学习收获
通过幻方学习，学生可以提高观察力、逻辑思维和空间想象力等 多方面的能力。
对于幻方研究的展望与建议
深入探究
伪代码描述
给出算法的伪代码描述，以清晰简洁地表达算法 的实现细节。
算法复杂度分析
对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，说 明算法的效率及可行性。
优化与改进
算法优化
针对现有算法的不足之处，提出相应的优化策略和改进方案，提 高算法的效率和性能。
优化实例
通过具体实例，演示优化后的算法相比原算法的优势和特点。
《幻方》教学课件
2023-11-02
目录
• 幻方简介 • 幻方的基本构造方法 • 幻方的数学原理 • 幻方的计算机实现 • 幻方在实践中的应用 • 总结与展望
01 幻方简介
幻方的定义
幻方是一种将n×n个数字排列成一个正方形，使每行、每列 和对角线上的数字之和均相等，具有神秘色彩的组合图形。
幻方最初由古希腊数学家费尔南德斯发现，被认为是数学与 艺术的完美结合。
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
幻方
分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好，最后做如下交换：
○1 B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换
○2 D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素 交换
○3 交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)
心得与体会
生活经验
学习经验与体会
这次研究让我们意识到，在生活 中，要有不怕困难，迎难而上的 心理。只要肯探索肯定会成功。
完成了本次的综合实践活动，我体会 到了团队合作的的重要性。若这次活 动没有团队成员的贡献，我想，如果 只有我一个人也许不会很快就解决问 题的。
*（^-^） *
幻方
——课题研究报告
一、幻方的历史
二、幻方的定义
三、研究幻方
三阶
四阶
四、得出结论：幻方的构五造阶方法 五、研究成果展示
六、心得与体会
目录
幻方的历史
幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。宋代 数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2,这n2个自 然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种巧 妙的性质：在各种几何形状的表上排列适当的数字，对这些数字 进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或 积都是完全相同的。
2. 偶数阶
n=4×m+2, m为自然数
1) 将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列： B C D A
∵n×n=4×(2×m+1) ×(2×m+1), ∴u= n=2×m+1,分为 1~u×u2,u×u+1~2×u×u,2×u×u+1~3×u×u,3×u×u+1~4×u×u
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
幻方
二、单偶幻方的解法将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。
将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A CD BA 用1至()221m +填写成2m+1阶幻方；B 用()2211m ++至2*()221m +填写成2m+1阶幻方；C 用2*()221m ++1至3*()221m +填写成2m+1阶幻方；D 用3*()221m ++1至4*()221m +填写成2m+1阶幻方；在A 每行取m 个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），也就是说在A 中间一行取包括中心格在内的m 个小格，其他行左侧边缘取m 个小格，将其与D 相应方格内交换；B 与C 任取m-1列相互交换。
6阶幻方就是4*1+2，那么m 就是1。
在A 中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D 相应方格内交换；B 与C 接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0，则不用互换）。
如下图用Strachey 法生成的6阶幻方：也就是A用1至25填写成5阶幻方；B用26至50填写成5阶幻方；C用51至75填写成5阶幻方；D用76至100填写成5阶幻方。
（5阶幻方的填法你会的话）第二步，在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），简单地说，就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取m-1列相互交换。
10阶幻方就是4*2+2，那么m就是2。
在A中间一行取包括中心格在内的2个小格，其他行左侧边缘取2个小格，将其与D相应方格内交换；B与C在最右侧取1列相互交换。
幻 方
幻方一、基本概念：1.幻方：如果一个n×n的方阵中，每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数的和相等，那么这个方阵称为n阶方阵，或n阶幻方。
2.幻和：在n阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和就称为幻和。
3.中心数：对于n阶幻方，当n分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数幻方有一个中心格，在中心格中的数叫做中心数。
中心数＝幻和÷n。
二、3阶幻方的认识：三、3阶幻方的性质：性质一：幻和值＝3×中心数；即幻和值＝3e性质二：2×角格数＝非相邻的2个边格数之和。
即：2a＝f+h或a=（f+h）÷2；2i=b+d或i=（b+d）÷2；2g＝b+f或g=（b+f）÷2：2c=d+h或c=（d+h）÷2。
性质三：以中心格对称的2个数相加的和相等，这2个数的和等于中心数的2倍。
即：e=（b+h）÷2=（d+f）÷2=（a+i）÷2=（g+c）÷2。
性质四：幻方中的每个数乘以b，再加上c，幻方仍成立。
例如：是3阶幻方，则也是3阶幻方。
推论一：以中心格对称的2个数同为奇数或者同为偶数；推论二：4个边格中的数同为奇数或者同为偶数。
四、3阶幻方的填法：1.3阶幻方的填法很多，最常用的是罗伯特法。
2.罗伯特法：（前提条件：将一列数按照从小到大的顺序排列）（1）把1（或最小数）防在第一行正中间；（2）每一个数放在前一个数的右上一格内；（3）如果这个数所要放的格已经超出了顶行，就把它放在底行，仍是右一列；（4）如果这个数所要放的格已经超出了最右行，那么就将它放在最左列的上一行；（5）超出顶行且最右列，前一数的下一行同一列；（6）若果这个数要放的格已有数，处理同（5）（下一行同一列）。
五、随堂练习：1.3×3的正方形中，在每个方格里分别填入2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数，要求每行每列以及对角线上的三个数字之和相等，求幻和是多少？2.如图所示，9个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及每条对角线上的三个数字之和相等，现在29和75两个数已经给出，那么x=( )3.图中有9个方格，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列以及对角线上的三个数字之和相等。
幻方
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幻方 幻方的历史 幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
所谓纵横图，它是由 １ 到 ｎ 这 ｎ 个自然数按照一珲的规律排列成 Ｎ 行、Ｎ 列的一个方 阵。
它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行 简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上驮着一幅图， 人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」． 他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，这就是我们 现在所称的幻方．也有人认为＂洛书＂是外星人遗物；而＂河图＂则是描述了宇宙生物（包括外星 人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍．另外前几年在上海浦东陆家嘴地区 挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着： 万物非主，惟有真宰，默罕 “ 默德，为其使，而玉挂的另一面就是一个四阶幻方． 关于幻方的起源， 我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期， 伏羲氏取得天下， 把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼 物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后 来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛 书”所画的图中共有黑、白圆圈 ４５ 个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图， 人们把由九个数 ３ 行 ３ 列的幻方称为 ３ 阶幻方， 除此之外， 还有 ４ 阶、５ 阶… 后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和 的公式为： Ｓ＝ｎ （ｎ ＋１） ／２ 其中 ｎ 为幻方的阶数，所求的数为 Ｓ． 幻方最早记载于我国公元前 ５００ 年的春秋时期 《大戴礼》 中， 这说明我国人民早在 ２５００ 年前就已经知道了幻方的排列规律。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
幻方的填法
幻方的填法幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，……n*n排列成一个n*n方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1)，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。
n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。
填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。