分段函数课件
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高数数学必修一《3.1.2.2分段函数念》教学课件
跟踪训练2
(1)函数f(x)＝x＋
x x
的图象是(
)
答案：B
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，在区间[0，4]上是抛物线的一段， 求f(x)的解析式．
题型 3 分段函数的实际应用 例3 “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特
点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每 尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)表示为养殖密度x(单位：尾/立 方米)的函数．当0<x≤4时，v的值为2；当4<x≤20时，v是关于x的一 次函数．当x＝20时，因缺氧等原因，v的值为0.
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分段函数由几个函数构成．( × )
(2)分段函数有多个定义域．( × )
(3)函数f(x)＝ቊ−xx，，xx
≤ ≥
00，是分段函数．(
×
)
2．已知f(x)＝ቊ−x2x，，xx
≤ >
00，则f(－3)＝(
A．－3
B．3
C．－9
答案：B
第2课时 分段函数
预学案
共学案
预学案
分段函数❶ 1．分段函数的定义 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应 关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．分段函数的定义域、值域 分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、 值域的___并_集____；各段函数的定义域的交集是___空_集____． 3．分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系 中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的 端点是空心点还是实心点，将每段图象组合到一起就得到整个分段函 数的图象．
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
2025年高考数学必修课-第二章-2.2.2-分段函数【课件】
第2课时
分段函数
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同
的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐
标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要
注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合
x 的值并验证.
1
2
;
解:(1)f -
1
2
1
1
3
=- +2= ,
2
2
∴f - 2 =f
1
∴f - 2
3
2
=
=f
3 2
2
9
4
9
= ,
4
1
9
9
= × = .
2
4
8
(2)当 f(x)=x+2=2 时,x=0,不符合 x<0.
当 f(x)=x2=2 时,x=± 2,其中 x= 2符合 0≤x<2.
1
当 f(x)= x=2 时,x=4,符合 x≥2.
2
综上,x 的值是 2或 4.
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
解:∵f(x)>0,∴
或 2
或 1
> 0.
+2 > 0
>0
2
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.
∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
-1,x < 0,
分段函数
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同
的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐
标系中,根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象,要
注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合
x 的值并验证.
1
2
;
解:(1)f -
1
2
1
1
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=- +2= ,
2
2
∴f - 2 =f
1
∴f - 2
3
2
=
=f
3 2
2
9
4
9
= ,
4
1
9
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= × = .
2
4
8
(2)当 f(x)=x+2=2 时,x=0,不符合 x<0.
当 f(x)=x2=2 时,x=± 2,其中 x= 2符合 0≤x<2.
1
当 f(x)= x=2 时,x=4,符合 x≥2.
2
综上,x 的值是 2或 4.
延伸探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
解:∵f(x)>0,∴
或 2
或 1
> 0.
+2 > 0
>0
2
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2.
∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
-1,x < 0,
分段函数(共9张PPT)
（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用 水量超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判 断它们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月 份的水费。
生活中的数学
【例 3】某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时
发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含
药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示 ，当成年人按规定剂量服药后。
Y（元） 跑步速度 y与时间 x的函数关系式是
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间 x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象. （2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水费。
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
解:依题意得 { 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
s=10+6(x-5) (5<x≤10) x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象.
化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
1 例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？
（2）当x≥100时求y与x之间的函数关系式； Y= x+20 ３．写出每一段的函数解析式 5 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
（2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月 份的水费。
生活中的数学
【例 3】某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时
发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含
药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示 ，当成年人按规定剂量服药后。
Y（元） 跑步速度 y与时间 x的函数关系式是
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间 x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象. （2）已知某户5月份的用水量为米3，求该用户5月份的水费。
例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
解:依题意得 { 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
s=10+6(x-5) (5<x≤10) x(分)变化的函数关系式,并画出函数图象.
化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后。
1 例２、某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电x（度）与相应电费y（元）之间的函数的 图象如图所示。
（3）月用电量为260度时，应交电费多少元？
（2）当x≥100时求y与x之间的函数关系式； Y= x+20 ３．写出每一段的函数解析式 5 例1 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分钟,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分钟, 试写出这段时间里她的跑步速度y(米/分)随跑步时间
新教材人教B版必修第一册 3.1.1 第3课时 分段函数 课件(32张)
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第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
思路探究：对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围，代 入相应的解析式求解．
解析：(1)因为f12＝12－1－2＝－32， 所以ff12＝f－32＝1＋1322＝143.
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第三章 函数
(2)f(a)＝13，若|a|≤1，则|a－1|－2＝13， 得a＝130或a＝－43. 因为|a|≤1，所以a的值不存在； 若|a|＞1，则1＋1a2＝13，得a＝± 2，符合|a|＞1. 所以若f(a)＝13，a的值为± 2.
验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先 假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义
域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
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第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
对点训练
1．(1)已知函数f(x)＝
2x，x＞0， x＋1，x≤0，
若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值
y＝c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直
线．
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第三章 函数
基础自测
1．已知f(x)＝xπ＋1x≤x0> 0 ，则f[f(－3)]＝( D )
A．－2
B．π
C．π－3
D．π＋1
解析：∵f(x)＝xπ＋1x≤x0> 0 ，
∴f(－3)＝π，
∴f[f(－3)]＝f(π)＝π＋1.
第三章
函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
素
养
课程标准
学法解读
第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
思路探究：对于分段函数求值应先看清自变量的值所在的范围，代 入相应的解析式求解．
解析：(1)因为f12＝12－1－2＝－32， 所以ff12＝f－32＝1＋1322＝143.
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第三章 函数
(2)f(a)＝13，若|a|≤1，则|a－1|－2＝13， 得a＝130或a＝－43. 因为|a|≤1，所以a的值不存在； 若|a|＞1，则1＋1a2＝13，得a＝± 2，符合|a|＞1. 所以若f(a)＝13，a的值为± 2.
验．
(3)在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先 假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义
域上自变量的取值范围，再求它们的并集即可．
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第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
对点训练
1．(1)已知函数f(x)＝
2x，x＞0， x＋1，x≤0，
若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值
y＝c，c为常数，定义域为R，值域为{c}，图像为垂直于y轴的直
线．
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第三章 函数
基础自测
1．已知f(x)＝xπ＋1x≤x0> 0 ，则f[f(－3)]＝( D )
A．－2
B．π
C．π－3
D．π＋1
解析：∵f(x)＝xπ＋1x≤x0> 0 ，
∴f(－3)＝π，
∴f[f(－3)]＝f(π)＝π＋1.
第三章
函数
3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第三章 函数
数学[必修 · 第一册 RJB]
素
养
课程标准
学法解读
分段函数 课件
知识点应用
已知
(1) 画出f(x)的图象；
(2) 求f(x)的定义域和值域。
解： 由条件知，函数 () 的定义域为R。
由图象知，当－1≤≤1时，() = 2 的值域为[0,1]；
当＞1或＜－1时，() ＝1，所以 () 的值域为[0,1]。
知识点应用——分段函数求值
已知函数() = ൝
分 段 函 数
课程安排
1
情景导入
4
知识点应用
2
例题探析
5
教学效果检查
3
知识点汇总
6
教学效果评价
情景导入
为了出行方便，我们经常会选择乘坐出租车。
假如本地出租车起步价是8元（不足三公里都按
照起步价收费）；超出三公里的路程，每超出1
公里，加收1.5元。
假设打车行驶路程为x,车费为y ,请写出y与x
之间的函数关系。
例题探析
由题意，3公里是打车付费的界限值，所以函数关系式应该
分成两种情况。
假设打车行驶路程为,车费为 ,则
8,
=ቊ
1.5 + 3.5,
∈ (0,3]
∈ (3, +∞)
问：打车行驶2公里，需付车费多少元？打车8公里需付车费
多少元？
知识点清单梳理
一个函数
自变量各
该点的
因变量在
的分段形
知识点检验
解：设里程为x公里，票价为y元，则根据题意，如果某空调汽车运行路线中
设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是
（0，20].由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式：
知识点检验
图像如下：
知识点应用
分段函数 ppt课件
分段函数
作业：
x+2, (x≤－1)
1 已知函数 f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是(
)
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3
,
3 2
D. 3
2 教材24页A组第分7段函题数
分段函数
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，自变量x的 取值范围是（0，20] 由公交车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5 3, 5< x ≤ 10 y= 4, 10<x ≤ 15 5, 15<x ≤ 20
分段函数
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y
5
○
4
○
3○
2○
1
0 5 10 15 20
由绝对值的概念我们分段函数是一个函数丌要把它误认为是几个函数分段函数的定义域是各个部分定义域的并集值域也是各个部分值域的并定义
分段函数
陈锦云 分段函数
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
对应法则的函数称为分段函数。
注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它误 认为是“几个函数”;
2. 分段函数的定义域是各个部分定义 域的并集，值域也是各个部分值域的并 集。
分段函数
例6 某市公交车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增
加1元（不足5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根 据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析 式，并画出函数的图象。
作业：
x+2, (x≤－1)
1 已知函数 f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是(
)
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3
,
3 2
D. 3
2 教材24页A组第分7段函题数
分段函数
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，自变量x的 取值范围是（0，20] 由公交车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2, 0<x ≤ 5 3, 5< x ≤ 10 y= 4, 10<x ≤ 15 5, 15<x ≤ 20
分段函数
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y
5
○
4
○
3○
2○
1
0 5 10 15 20
由绝对值的概念我们分段函数是一个函数丌要把它误认为是几个函数分段函数的定义域是各个部分定义域的并集值域也是各个部分值域的并定义
分段函数
陈锦云 分段函数
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
对应法则的函数称为分段函数。
注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它误 认为是“几个函数”;
2. 分段函数的定义域是各个部分定义 域的并集，值域也是各个部分值域的并 集。
分段函数
例6 某市公交车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增
加1元（不足5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根 据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析 式，并画出函数的图象。
湘教版高中数学《简单的分段函数》同步课件
8.函数f(x)与g(x)的定义域均为［m，n］，它们的图象如下图所示，则不等式
f(x)＞g(x)的解集是（
）
(A)［m，a)∪(b，e) (B)(a，c)∪(e，n］
(C) (b，c)∪［m，a］ (D)(a，b)∪(c，e)
（第8题）
二
习题3.1
9.某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿 市场售价与上市时间的关系可用如上图所示的一条折线表示，写出市场售价与时 间的函数解析式P＝ f(t)．
若f(27)=1，求 f 3 的值.
14.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0，4)，
(2，0)，(6，4)，求f(f(f(2)))的值.
（第14题）
二
习题3.1
15.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，一个动点P从A点出发，沿着边 AB→BC→CD→DA运动，返回到点A后停止运动，设点P走过的路程为x.
(2)探索利用函数sign(x)把分段函数写成一个解析表达式的方法，并具体尝试 用一个表达式来写出上面第9题中的函数.
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结束
一 简单的分段函数
练习 3. 一个质点沿直线运动.质点由静止匀加速T s后速度达到8m/s；然后质点以
恒定速度8m/s运动了5T s；之后质点在40s内匀减速到完全停下. (1)画出质点运动的速度时间图象； (2)已知质点总共运动的位移是600m，求T的值； (3)画出质点运动的加速度时间图象.
二
一 简单的分段函数
练习
1.作出下列函数的图象，并写出函数的值域：
(1)y＝|x＋3|；
(2)y＝|x－2|－|x＋2|.
x ， x 2，
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3、处理分段函数问题时，首先要确定自 变量的数值属于哪个区间段从而选取相应 的对应法则。
作业：
x+2, (x≤－1)
1 已知函数 f (x)= x2, (－1＜x＜2)
2x, ( x≥2 )
若f(x)=3, 则x的值是(
)
A. 1
B.
1或
3 2
C. 1,
3
,
3 2
D. 3
2 教材24页A组第7题
2, 0<x ≤ 5 3, 5< x ≤ 10 y= 4, 10<x ≤ 15 5, 15<x ≤ 20
根据函数解析式，可画出函数图象，如下图
y
5
○
4
○
3○
2○
1
0 5 10 15 20
x
已知函数f (x)= 求(1)求f(－2);
2x+3, x＜－1, x2, －1≤x＜1, x－1, x≥1 .
例6 某市公交车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增
加1元（不足5公里的按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根 据题意，写出票价y与里程x之间的函数解析 式，并画出函数的图象。
解：设票价为y，里程为x，则根据题意，自变量x的 取值范围是（0，20] 由公交车票价的规定，可得到以下函数解析式：
2x+3, x＜－1, 已知函数f (x)= x2, －1≤x＜1,
x－1, x≥1 .
当f (x)=－7时,求x 。
解：若x＜－1 , 2x+3 ＜1， 与f (x)=－7相符， 由2x+3 =－7得x=－5 易知其他二段均不符合f (x)=－7 。 故 x=－5
1、定义：在定义域的不同部分，有不 同 的对应法则的函数称为分段函数。 2、分段函数是一个函数，分段函数的定 义域是各个部分定义域的并集，值域也 是各个部分值域的并集。
(2) 求 f{f[f(－2)]} 。
解： (1) f (2) 2 (2) 3 1
（2） f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f{1} =0
小结：（1）求分段函数的函数值时，一般先
确定自变量的数值属于哪个区间段，然后选取相 应的对应法则来求函数值.
（2）解决此类问题应自内向外依次求值.
的概念，x<0
所以函数图像如图示
o
x
画出y＝|x－2|的图像
解：由绝对值 y
的概念，我们
有
x－2 x≥2
y=
－x+2 x<2
o
2
x
定义：在定义域的不同部分，有不同的
对应法则的函数称为分段函数。
注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它误 认为是“几个函数”;
2. 分段函数的定义域是各个部分定义域 的并集，值域也是各个部分值域的并集。
陈锦云
1、函数的定义：
设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合 B中都有确定的数f(x)和它相对应，那么f : A→B为从集合A到B的一个函数，记作： y=f(x),x∈A。
2、函数的表示法：
解析法、图像法、列表法
例5 画出函数y= x 的图像。
解：由绝对值