23力的合成与分解解读

第2课时力的合成与分解考纲解读 1.会用平行四边形定则、三角形定则进行力的合成与分解.2.会用正交分解法进行力的合成与分解．考点一共点力的合成1．合成的方法(1)作图法(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法．2．运算法则(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以用表示F1、F2的有向线段为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线就表示合力的大小和方向，如图1甲所示．(2)三角形定则：求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的线段首尾顺次相接地画出，把F1、F2的另外两端连接起来，则此连线就表示合力的大小和方向，如图乙所示．图13．重要结论(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小．(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大．(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力．例1一物体受到三个共面共点力F 1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图2所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是()图2A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向D．由题给条件无法求出合力大小解析根据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，在水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同．根据正交分解法求合力的思想知，3个力的合力为12个单位，与F3的方向相同，大小是F3的3倍，即F合＝3F3.选项B正确．答案B变式题组1．[二力的合成](2013·上海·18)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则() A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 NC．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大答案AD解析F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，选项A正确．F1、F2同时增加10 N，F不一定增加10 N，选项B错误．F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，选项C错误．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大，选项D正确．2．[三力的合成]三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是()A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零答案C合力大小的范围(1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小．当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两力同向时，合力最大，为F1＋F2.(2)三个共点力的合成①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小力的和的绝对值．考点二力分解的两种常用方法1．力的效果分解法：(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向；(2)再根据两个实际分力的方向画出平行四边形；(3)最后由平行四边形和数学知识求出两分力的大小．2．正交分解法(1)定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法．(2)建立坐标轴的原则：以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)．例2如图3所示，A、B两物体叠放在水平地面上，已知A、B的质量分别为m A＝10 kg，m B＝20 kg，A、B之间、B与地面之间的动摩擦因数均为μ＝0.5.一轻绳一端系住物体A，另一端系于墙上，绳与竖直方向的夹角为37°，现欲用外力将物体B匀速向右拉出，求所加水平力F的大小，并画出A、B的受力分析图．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图3解析A、B的受力分析如图所示．对A应用平衡条件得F T sin 37°＝F f1＝μF N1①F T cos 37°＋F N1＝m A g②联立①、②两式可得：F N1＝3m A g 4μ＋3＝60 N F f1＝μF N1＝30 N对B 应用平衡条件得F ＝F f1′＋F f2＝F f1′＋μF N2＝F f1＋μ(F N1＋m B g )＝2F f1＋μm B g ＝160 N.答案 160 N 受力分析图见解析图递进题组3．[力的效果分解法]如图4所示，起重机将重为G 的重物匀速吊起，此时四条钢索与竖直方向的夹角均为60°，则每根钢索中弹力的大小为( )图4A.G 4B.3G 6C.3G 4D.G 2答案 D解析 设每根钢索中弹力的大小为F T ，将重力分解如图所示，由平衡条件知，F T ＝14G cos 60°＝G 2，故D 正确． 4．[力的正交分解法]如图5所示，质量为M 的正方形空木箱放置在粗糙水平面上，沿空木箱对角线有一光滑细轨道，轨道与水平方向间的夹角为45°.轨道上有一质量为m 的物体沿轨道自由下滑，木箱始终静止在水平面上，求物体下滑的过程中，图5(1)轨道对物体的弹力的大小；(2)地面对木箱的摩擦力的大小和方向．答案(1)22mg(2)12mg，方向水平向左解析(1)以物体为研究对象，垂直轨道方向有F N＝mg cos 45°解得轨道对物体的弹力的大小为F N＝22mg(2)以木箱为研究对象，受力如图所示．由牛顿第三定律有F N′＝F N在水平方向上有F f＝F N′sin 45°解得F f＝12mg，方向水平向左．力的合成与分解方法的选择技巧力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法．一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定．考点三力的合成与分解方法在实际问题中的应用把力按实际效果分解的一般思路：例3某压榨机的结构示意图如图6所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为()图6 A．4 B．5C．10 D．1解析按力F的作用效果沿AC、AB杆方向分解为图甲所示的F1、F2，则F1＝F2＝F2cos θ，由几何知识得tan θ＝ab＝10，再按F1的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下分解为图乙所示的F3、F4，则F4＝F1sin θ，联立得F4＝5F，即物体D所受压力的大小与力F的比值为5，B对．甲乙答案B递进题组5．[实际问题分析]假期里，一位同学在厨房里帮助妈妈做菜，对菜刀发生了兴趣．他发现菜刀的刀刃前部和后部的厚薄不一样，刀刃前部的顶角小，后部的顶角大，如图7所示，他先后作出过几个猜想，其中合理的是()图7A．刀刃前部和后部厚薄不匀，仅是为了打造方便，外形美观，跟使用功能无关B．在刀背上加上同样的压力时，分开其他物体的力跟刀刃厚薄无关C．在刀背上加上同样的压力时，顶角越大，分开其他物体的力越大D．在刀背上加上同样的压力时，顶角越小，分开其他物体的力越大答案D解析把刀刃部分抽象后，可简化成一个等腰三角形劈，设顶角为2θ，背宽为d，侧面长为l，如图所示．当在刀背施加压力F后，产生垂直侧面的两个分力F1、F2，使用中依靠着这两个分力分开被加工的其他物体．由对称性知，这两个分力大小相等(F1＝F2)，因此画出力分解的平行四边形，实为菱形，如图所示，在这个力的平行四边形中，取其四分之一考虑(图中阴影部分)．根据它跟半个劈的直角三角形的相似关系，有关系式F1F2＝ld2＝1sin θ，得F1＝F2＝F2sin θ.由此可见，刀背上加上一定的压力F时，侧面分开其他物体的力跟顶角的大小有关，顶角越小，sin θ的值越小，F1和F2的值越大，故D正确．6．[实际问题分析]图8为庆祝新年时某教室里悬挂灯笼的一种方式，三段轻绳ac、cd、bd 长度相等，a、b两点等高，c、d为结点且两点等高，三段轻绳的拉力大小分别为F ac、F cd、F bd，两灯笼受到的重力分别为G c和G d，下列表述正确的是()图8A．F ac与F bd大小一定相等B．F ac一定小于F cdC．G c和G d一定相等D．F ac与F bd的大小之和等于G c与G d的大小之和答案AC解析根据题述的对称性，F ac与F bd大小一定相等，G c和G d一定相等，选项A、C正确；因F ac>G c，F bd>G d，故F ac与F bd的大小之和一定大于G c与G d的大小之和，选项D错误；又F ac的水平分力与F cd大小相等，故F ac一定大于F cd，B错误．7．[利用对称性分析实际问题]电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图9所示，将相距为L的两根固定支柱A、B(图中的小圆圈表示支柱的横截面)垂直于金属绳水平放置，在A、B的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C竖直向下的作用力为F.(1)试用L、d、F表示这时金属绳中的张力F T；(2)如果偏移量d ＝10 mm ，作用力F ＝400 N ，L ＝250 mm ，计算金属绳中张力的大小．图9答案 (1)FL 4d(2)2.5×103 N 解析 (1)设C ′点受两边金属绳的张力分别为F T1和F T2，BC 与BC ′的夹角为θ，如图所示．依对称性有：F T1＝F T2＝F T由力的合成有：F ＝2F T sin θ根据几何关系有sin θ＝d d 2＋L 24联立上述二式解得F T ＝F 2d d 2＋L 24因d ≪L ，故F T ＝FL 4d. (2)将d ＝10 mm ，F ＝400 N ，L ＝250 mm 代入F T ＝FL 4d解得F T ＝2.5×103 N ，即金属绳中的张力为2.5×103 N.高考模拟 明确考向1．(2014·海南·5)如图10，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O 点，右端跨过位于O ′点的固定光滑轴悬挂一质量为M 的物体；OO ′段水平，长度为L ；绳上套一可沿绳滑动的轻环．现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L .则钩码的质量为( )图10A.22MB.32M C.2M D.3M答案 D解析 假设平衡后轻环的位置为P ，平衡后，物体上升L ，说明此时POO ′恰好构成一个边长为L的正三角形，绳中张力处处相等，均为Mg，故钩码的重力恰好与绳PO′段、PO段拉力的合力等大反向，由三角函数关系可知，钩码的重力为3Mg，故其质量为3M，选D.2．(2013·重庆·1)如图11所示，某人静躺在椅子上，椅子的靠背与水平面之间有固定倾斜角θ.若此人所受重力为G，则椅子各部分对他的作用力的合力大小为()图11A．G B．G sin θC．G cos θD．G tan θ答案A解析椅子各部分对人的作用力的合力与重力G是平衡力，因此选项A正确．3．(2012·上海·6)已知两个共点力的合力的大小为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则()A．F1的大小是唯一的B．F2的方向是唯一的C．F2有两个可能的方向D．F2可取任意方向答案C解析由F1、F2和F的矢量三角形图可以看出：当F2＝F20＝25 N时，F1的大小才是唯一的，F2的方向也是唯一的．因F2＝30 N>F20＝25 N，所以F1的大小有两个，即F1′和F1″，F2的方向有两个，即F2′的方向和F2″的方向，故选项A、B、D错误，选项C正确．4．风洞是进行空气动力学实验的一种重要设备．一次检验飞机性能的风洞实验示意图如图12所示，AB代表飞机模型的截面，OL是拉住飞机模型的绳．已知飞机模型重为G，当飞机模型静止在空中时，绳恰好水平，此时飞机模型截面与水平面的夹角为θ，则作用于飞机模型上的风力大小为()图12A.Gcos θB．G cos θC.Gsin θD．G sin θ答案A解析作用于飞机模型上的风力F垂直于AB向上，风力F的竖直分力等于飞机模型的重力，即F cos θ＝G，解得F＝Gcos θ，A正确．。