《工程数学(本)》作业解答(五)

工程数学（本）作业解答（五）

（一）单项选择题(每小题2分，共6分)

⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则（ ）是统计量． A. x 1 B. x 1+μ C. x 1

22

σ

D. μx 1

答案：A

⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2（μσ,2均未知）的样本，则统计量（ ）不是μ的无偏估计．

A. max{,,}x x x 123

B.

12

12()x x +

C. 212x x -

D. x x x 123-- 答案：D

3.对正态总体方差的检验用的是（ ）．

A ． U 检验法

B ． T 检验法

C ． 2χ检验法

D ． F 检验法 答案：C

（二）填空题(每小题2分，共14分) 1．统计量就是 ． 答案：不含未知参数的样本的函数

2．参数估计的两种方法是 和 ．常用的参数点估计有 和 两种方法．

答案：点估计和区间估计, 矩估计法和最大似然估计法

3．比较估计量好坏的两个重要标准是 ， ． 答案：无偏性，有效性

4．设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2

（σ2已知）的样本值，按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠，需选取统计量 ． 答案：

U =

5．假设检验中的显著性水平α为 发生的概率． 答案：弃真错误, 即事件{当0H 为真时拒绝0H }

6．当方差2σ已知时，检验0

100μμμμ≠=:,:H H 所用的检验量是 。 答案：U 检验量

7．若参数θ的估计量),,,(21n x x x ?满足 ，则),,,(21n x x x ?称

为θ的无偏估计。

答案：12[(,,,)]n E x x x ?θ=

（三）解答题(每小题10分，共80分)

1．设对总体X 得到一个容量为10的样本值

4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,

5.0, 3.5, 4.0

试分别计算样本均值x 和样本方差s 2． 解： 3.6x =, 10

2

2

1

1

( 3.6) 2.8329

k

k s x ==

-=∑ ．

2．在测量物体的长度时，得到三个测量值：

3.00 2.85 3.15

若测量值X N ~(,)μσ2

，试求μσ,2的最大似然估计值．

解：2

2

222

1??3,(0.150.15)0.152

x s μ

σ

====+= ．

3．设总体X 的概率密度函数为

f x x x (;)(),,

θθθ=+<

?101

0其它 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ．

解：1

1()(1)2E X x x dx θ

θθθ+=+=+?, 令?1?2X θθ+=+, 得θ的矩估计量为12?1X X θ-=- ; 似然函数121

()(1)(1)()n

n i

n i L x

x x x θ

θ

θθθ==

+=+∏ , 1

ln ()ln (1)ln n

i i L n x θθθ==++∑, 令

1

ln ()ln 01

n

i i d L n

x d θθ

θ==

+

=+∑

, 得θ最大似然估计量为1

?1ln n

i

i n

x

θ==--

∑ ．

4．测两点之间的直线距离5次，测得距离的值为（单位：m ）：

108.5 109.0 110.0 110.5 112.0

测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的，求μ与σ2的估计值．并在⑴σ2

25=.；

⑵σ2

未知的情况下，分别求μ的置信度为0.95的置信区间．

解：?110x μ

==, 5

2

2

2

1

1

?(110) 1.8754

k

k s x

σ===-=∑ ．

⑴ 当σ

2

25=.时, μ的置信度为0.95的置信区间为

:

0.975110 1.96110 1.386x z ±

=±

=±；

⑵当σ2

未知的情况下，μ的置信度为0.95的置信区间为

:

0.025(4)110 2.7764110 1.7x ±

=±

=±．

5．测试某种材料的抗拉强度，任意抽取10根，计算所测数值的均值，得

∑===10

1

20

10

1i i

x

x

∑==--=

10

1

2

2

5

21

101

i i

x x

s .)(

假设抗拉强度,试以95％的可靠性估计这批材料的抗拉强度的置信区间。

解：所求置信区间为

0.025(9)20 2.262220 1.1311x ±

=±

=± ．

6．设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2，从历史资料已知σ=4，抽查10个样品，求得均值为17，取显著性水平α=005.，问原假设H 020:μ=是否成立．

解：取检验统计量20

~(0,1)

X U N -=

，0.975||3 1.96U z =

=>=, 故拒绝0H ．

7．某零件长度服从正态分布，过去的均值为20.0，现换了新材料，从产品中随机抽取8个样品，测得的长度为（单位：cm ）：

20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5

问用新材料做的零件平均长度是否起了变化（α=005.）．

解：设2

0:20,20.05,0.67H x s μ=== ,取检验统计量~(7)t t =

, 则

0.025||0.173 2.3646(7)t t =

=<=,

故接受0H , 认为用新材料做的零件平均长度没有起变化．

8．从一批袋装食盐中随机抽取5袋称重，重量分别为（单位：g ）

1000，1001，999，994，998

假设这批食盐的重量服从正态分布，试问这批食盐重量的均值可否认为是1000g?( 05.0=α).

解：设2

0:100,999.88,10.038H x s μ=== ,取检验统计量~(4)t t =

, 则

0.0250.12||0.083 2.7764(4)1.44

t t =

==<=,

故接受0H , 认为这批食盐重量的平均值为1000g ．