行星运动、万有力定律

行星运动、万有力定律————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一讲 行星的运动 万有引力定律课时1行星的运动【知识要点】一、地心说与日心说古希腊天文学家托勒密在公元2世纪，提出了地心说宇宙体系。

在这个体系里，地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。

5世纪，以波兰天文学家哥白尼为代表的日心说学派则认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

二、行星的运行轨道1、第谷的匀速圆周运动模型丹麦天文学家第谷通过长期天文观测，提出太阳系中所有行星绕太阳的运动是匀速圆周运动。

2、开普勒的计算德国天文学家开普勒仔细整理了丹麦天文学家第谷留下的长期观测资料，并在匀速圆周运动模型下进行了计算，发现计算结果与第谷的观测数据间有8’差异，他摒弃了行星做匀速圆周运动的假设，提出了行星的运动轨道是椭圆的新观点。

经过10多年的悉心研究，终于发现了后来以他的名字命名的行星运动定律：3、开普勒三大定律（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（2）开普勒第二定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

表达式：32a k T=（比值k 是一个与行星无关，仅与中心天体——太阳的质量有关的常数）。

【典例剖析】【例1】木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍。

那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道半长轴的多少倍？【解析】设木星、地球绕太阳运动的周期分别为T 1、T 2，它们椭圆轨道的半长轴分别为a 1、a 2，根据开普勒第三定律有22322131T a T a =，则23211322212 5.24a T a T ==≈。

可见，木星绕太阳运动轨道的半长轴约为地球绕太阳运动轨道半长轴的5.24倍。

【例2】天文学家观测到哈雷彗星绕太阳运转的周期是76年，彗星离太阳最近的距离是8.9×1010m ，但它离太阳最远的距离不能测出。

试根据开普勒定律计算这个最远距离。

（太阳aF F太阳 地球系的开普勒恒量k=3.354×1018m 3/s 2）【解析】设彗星离太阳的最近距离为R 1，最远距离为R 2，则轨道半长轴为221l l a +=。

根据开普勒第三定律，有：k Ta =23所以彗星离太阳最远的距离是32218l kT l =-m10225.5m 109.8m )36002436576(10354.3812103218⨯=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=。

【例3】飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T 。

如果飞船要返回地面，可在轨道上某点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图7－1所示。

如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。

【解析】设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’，椭圆轨道的半长轴为2R R +，根据开普勒第三定律，有： 230232TR R T R '⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 解得：RR R R T R R R R R T T 22)(20030++=⎪⎭⎫⎝⎛+=' 所以，飞船由A 点到B 点所需要的时间为：RR R RT R R T t 24)(200++='=【例4】月球环绕地球运动的半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天。

试用开普勒定律计算出：在赤道平面内离地面多大高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在空中一样？（地球半径约为6.4×103km ） 【解析】设人造地球卫星和月球的轨道半径分别为R 1、R 2，周期分别为T 1、T 2，根据开普勒第三定律有22322131T R T R =，解得：22234113331222222(243600)6060 6.410km 4.2710km (27243600)T T R R R T T ⨯==⋅=⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯地。

AR R 0B所以，人造地球卫星离地面的高度为4341 4.2710km 6.410km 3.6310km H R R =-=⨯-⨯=⨯地。

【例5】某行星绕太阳沿椭圆轨道运行，它的近日点A 到太阳的距离为r ，远日点B 到太阳的距离为R 。

若行星经过近日点时的速度为v A ，求该行星经过远日点时的速度v B 的大小。

【解析】根据开普勒第二定律，行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，它和太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

如图所示，分别以近日点A 和远日点B 为中心，取一个很短的时间△t ，在该时间内扫过的面积如图中的两个曲边三角形所示。

由于时间极短，可把这段时间内的运动看成匀速率运动，则1122A B rv t Rv t ∆=∆。

所以，该行星经过远日点时的速度大小为B A rv v R=。

课时2 太阳对行星的引力 万有引力定律【知识要点】一、太阳对行星的引力为简单起见，我们可以建立如下的简化模型：把行星轨道当作圆来处理。

太阳对行星的引力可以由开普勒运动定律和牛顿第二定律推得：根据开普勒行星运动第一、第二定律，在行星轨道为圆的简化模型下，行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。

设行星的质量为m ，速度为v ，行星到太阳的距离为r ，公转周期为T ，根据牛顿第二定律可得：太阳对行星的引力为：2222214v r mrF m m r T r T ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭将开普勒行星运动第三定律k Tr =23变形为k r T 32=，代入上式可得：2224m mF k r rπ=⋅∝ 二、“月—地”检验牛顿进行了著名的月—地检验，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

假设地面的重力21G R ∝，月球受到的引力21F r ∝A BRv Av B因为22,,r R g a ma F mg G === 又因为月心到地心的距离是地球半径的60倍，即60r R =，所以23219.8,m /s 2.710m /s 360036003600a g a g -===≈⨯。

月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度2224a r r Tπω==经天文观察月球绕地球运动的周期27.336002427.3s T ==⨯⨯天，66060 6.410m r R ==⨯⨯。

所以，2623224 3.1460 6.410m /s 2.710m /s (36002427.3)a -⨯=⨯⨯⨯≈⨯⨯⨯。

两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力。

三、万有引力定律1、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

表达式：122m mF G r=（式中11226.6710N m /kg G -=⨯g ）2、适用条件：两个质点或两个质量均匀分布的球体，对于均匀球体，r 是指两球心间的距离。

3、引力常量的测定——放大法四、万有引力和重力 （1）对地球表面物体来说，重力是万有引力的一个分力，若忽略地球自转，则万有引力近似等于重力；物体离开地球后，万有引力通常也叫重力．（2）地球表面的重力加速度随纬度的增大而增大；随高度的增大而减小． （3）区别重力加速度和向心加速度。

五、天体运动的动力学方程把天体的运动看成绕中心天体做匀速圆周运动，所需的向心力由万引力提供．22222224Mm v G m mr mr mr f ma r r Tπωπ=====若忽略地球自转，则222()::h R g GmMmG mg g R R g R h ⎧⎪⎨⎪⎩='=+替换地球表面高度处 【典例剖析】【例1】设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，光源 平面镜﹡ 标尺 mm M MFF地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比A ．地球与月球间的万有引力将变大B ．地球与月球间的万有引力将变小C ．月球绕地球运动的周期将变长D ．月球绕地球运动的周期将变短【解析】（1）设地球与月球的质量分别为M 和m ，从月球上搬运矿藏的质量为△m ，则开采前后地球与月球间的引力分别为2Mm F Gr =，2()()M m m m F G r+∆-∆'= 因M ＞m ，故22()()Mm M m m m F F G G rr+∆-∆'-=- [])()()(222m m M rm G m m m M Mm Mm r G ∆+-∆=∆+∆-+-=＞0 即F ＞F’，地球与月球间的引力将减小。

（2）由222Mm G m r r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭可得：32r T GM π= 可知，若M 变大，则月球绕地球运动的周期T 将变短。

【答案】BD【例2】如图所示，在半径为R 的铅球中挖出一个球形空穴，空穴与球相切，并通过铅球的球心。

在未挖去空穴前铅球质量为M 。

求挖出空穴后铅球与至铅球球心距离为d 、质量为m 的小球间的引力。

【解析】（1）设挖出空穴前铅球与小球的引力为F 1，挖出的球形实体与小球的引力为F 2，铅球剩余部分与小球的引力为F ，则 F 1=F ＋F 2。

（2）由球的体积公式3343V R R π=∝可知，挖出的球形实体的质量为8M M '= 根据万有引力定律，有：12MmF Gd =，2282Mm F G R d =⎛⎫- ⎪⎝⎭ 挖出空穴后铅球与小球间的引力为：22122222(782)8822Mm Mm GMm d dR R F F F G G d R R d d d -+=-=-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

dR O【例3】1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km 。

若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球相同。

已知地球半径R =6400km ，地球表面重力加速度为g 。

这个小行星表面的重力加速度为A ．400gB ．1400g C ．20g D ．120g 【解析】（1）对于地球表面物体m ，有：2MmGmg R = 对于小行星表面物体m'，有：2M m G m g R ''''=' 所以，22g M R g M R ''=⨯'（2）根据343M R ρπ=，有33M MR R '=' 综合以上两式可得：232232g M R R R R g M R R R R''''=⨯=⨯=''所以，1616400400R g g g g R ''=== 【答案】B【例4】某球形行星“一昼夜”时间为T =6h ，在该行星上用弹簧秤称同一物体的重量，发现在其“赤道”上的读数比其“南极”处小9﹪；若设想该行星自转速度加快，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，这时，该行星的自转周期为多少?【解析】设物体的质量为m ，球形行星的质量为M 、半径为R ，其“赤道”处的重力加速度为g ，由题意可得2222491Mm Mm GmRGRTRπ-=⨯%当行星的自转周期为T ′时，在其“赤道”上的物体会自动“漂浮”起来，则2224Mm GmR R T π='联立以上两式解得： 1.8h T '=【例5】某一物体在地球表面用弹簧测力计称得160N 。