流体力学(中)(第六章 粘性流体动力学)
流体力学
第六章 粘性流体动力学
1.粘性流体的流动简介
2.牛顿流体运动的基本方程及解法
3.粘性流体动力学的相似律
4.不可压牛顿流体的解析解
5.极慢运动
6.边界层理论
7.湍流概论
2020/7/25
2
§6.1 粘性流体的流动简介
一、真实流体与理想流体
理想流体：无粘性、无导热性、无质量扩散性 真实流体：有粘性、有导热性、有质量扩散性
V V V f 1 p 1 V 1 2S
t
Vi t
Vj
Vi x j
fi
1
p xi
1
xi
V j x j
1
x j
Vi x j
V j xi
V V V f 1 p 2V 不可压缩牛顿流体
t
Vi t
Vj
Vi x j
fi
1
p xi
2Vi x j x j
2020/7/25
2020/7/25
为何在低雷诺数情况下， 流动呈现可逆特性？而在 高雷诺数情况下不具有可 逆性？
8
第六章 粘性流体动力学
1.粘性流体的流动简介
2.牛顿流体运动的基本方程及解法
3.粘性流体动力学的相似律
4.不可压牛顿流体的解析解
5.极慢运动
6.边界层理论
7.湍流概论
2020/7/25
9
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
12
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
三、牛顿流体的能量方程
D
Dt
e
1 2
V
2
f V 1 VTQ
V
DV Dt
f
1
T
D
Dt
1 2
V2
Vf 1 VT
De Dt
1
V
T
V
T
Q
VT
Viei Tkjeke j
ek
xk
ViTije j
x j
ViTij
Vi
Tij x j
Tij
Vi x j
V T V e j
x j
Tkiek ei
Vkek
Tji x j
ei
Vi
Tji x j
Vi
Tij x j
2020/7/25
13
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
De Dt
1
Tij Sij
Q
Tij
p
2 3
V
ij
2 Sij
TijSij
Osborne Reynolds （1842－1912）
2020/7/25
4
§6.1 粘性流体的流动简介
层流 Laminar Flow
湍流 Turbulent Flow
湍流中的涡结构 Eddy Structure
2020/7/25
5
§6.1 粘性流体的流动简介
• 流体的运动存在两种截然不同的状态：层流和湍流 在某些条件下，流动可以从层流转变为湍流，从层流向 湍流的过渡称为转捩（Transition）。
De p V Q
Dt
De Dt
p
D Dt
1
Q
de
pd
1
Tds
D V
Dt
1
V
1
2
D
Dt
D Dt
1
T Ds Q Dt
2020/7/25
Di 1 Dp Q
Dt Dt
15
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
四、不可压缩牛Βιβλιοθήκη 型流体的封闭方程组V 0• 控制流动状态的参数为雷诺数 Re UmD / • 雷诺数存在上下两个临界值
下临界雷诺数 Rec1 ： 层流 Re Rec1 上临界雷诺数 Rec2 ： 湍流 Re Rec2
雷诺测得：Rec1 2020 Rec2 12830
近代实验：1760 Rec1 2300 Rec2 ~ 105
小雷诺数问题：略去非线性项 大雷诺数问题：边界层理论 – 数值解：计算流体动力学（CFD）
2020/7/25
18
第六章 粘性流体动力学
p
2 3
V
ij
Sij
2Sij Sij
pSii
2 3
Sii
2
2
Sij
2
De
Dt
p
Sii
1
2 3
Sii
2
2
Sij
2
Q
e V e p V Q
t
1
2 3
V 2
2
Sij
2
0
耗散函数
Q
1
xi
T xi
qR
q
2020/7/25
14
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
2020/7/25
6
§6.1 粘性流体的流动简介
四、雷诺数及其物理意义
定义： Re UL UL
U ：流动的特征速度
L ：流动的特征长度
物理意义：作用在物体上的惯性力与粘性力的量级之比
Re 1 ：忽略粘性，采用理想流体模型 Re 1 ：忽略惯性
2020/7/25
7
思考？
思考并解释如下视频中的现象？
五、粘性流体运动的基本特征
1. 粘性流体运动的有旋性 不可压、理想流体无旋流动的解也满足N-S方程，但不 满足边界条件
2. 粘性流体运动的耗散性 耗散函数总是使熵增加
3. 粘性流体运动的扩散性
2020/7/25
17
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
六、关于N-S 方程组的求解问题
– 解析解：简单流动 – 近似解：
--- 分子输运性
二、粘性流体动力学的研究内容
研究分子输运特性在流动中起重要作用的流动问题
例如：运动物体的阻力
（动量）
热交换
（能量）
化工、环境工程中的混合过程 （质量）
湍流
2020/7/25
3
§6.1 粘性流体的流动简介
三、层流与湍流
雷诺圆管实验 1883年，英国科学家雷诺（O. Reynolds）
V V V f 1 p 2V
t
CV
DT Dt
Q
初始条件： t 0 : V V0 p p0 边界条件：
固壁无滑移条件： V Vb 固壁温度的热平衡条件： Tw Tb
T T0
界面条件（不计表面张力）： V V p p T T
2020/7/25
16
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
微分型基本方程
V V
t
V V V f 1 T
t
t
(e
1 2
V
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
未知量：共12个标量 方程：共5个标量方程
不封闭！
2020/7/25
10
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
一、牛顿流体的本构方程
• 流体的本构方程是流体的应力张量和变形率张量之间的 关系式，它与物质的结构有关，是用来描述物质的力学 响应关系的方程
• 牛顿流体的假设
– 运动流体中应力张量在运动停止后应趋于静止流体中 应力张量；
– 流体是各向同性的；
– 偏应力张量和变形率张量之间具有线性关系。
• 牛顿流体的本构方程
Tij
p
2 3
V
ij
2 Sij
第二粘性系数
2 3
体膨胀系数
2020/7/25
11
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
二、牛顿流体的运动方程 – Navier-Stokes 方程
第六章 粘性流体动力学
1.粘性流体的流动简介
2.牛顿流体运动的基本方程及解法
3.粘性流体动力学的相似律
4.不可压牛顿流体的解析解
5.极慢运动
6.边界层理论
7.湍流概论
2020/7/25
2
§6.1 粘性流体的流动简介
一、真实流体与理想流体
理想流体：无粘性、无导热性、无质量扩散性 真实流体：有粘性、有导热性、有质量扩散性
V V V f 1 p 1 V 1 2S
t
Vi t
Vj
Vi x j
fi
1
p xi
1
xi
V j x j
1
x j
Vi x j
V j xi
V V V f 1 p 2V 不可压缩牛顿流体
t
Vi t
Vj
Vi x j
fi
1
p xi
2Vi x j x j
2020/7/25
2020/7/25
为何在低雷诺数情况下， 流动呈现可逆特性？而在 高雷诺数情况下不具有可 逆性？
8
第六章 粘性流体动力学
1.粘性流体的流动简介
2.牛顿流体运动的基本方程及解法
3.粘性流体动力学的相似律
4.不可压牛顿流体的解析解
5.极慢运动
6.边界层理论
7.湍流概论
2020/7/25
9
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
12
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
三、牛顿流体的能量方程
D
Dt
e
1 2
V
2
f V 1 VTQ
V
DV Dt
f
1
T
D
Dt
1 2
V2
Vf 1 VT
De Dt
1
V
T
V
T
Q
VT
Viei Tkjeke j
ek
xk
ViTije j
x j
ViTij
Vi
Tij x j
Tij
Vi x j
V T V e j
x j
Tkiek ei
Vkek
Tji x j
ei
Vi
Tji x j
Vi
Tij x j
2020/7/25
13
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
De Dt
1
Tij Sij
Q
Tij
p
2 3
V
ij
2 Sij
TijSij
Osborne Reynolds （1842－1912）
2020/7/25
4
§6.1 粘性流体的流动简介
层流 Laminar Flow
湍流 Turbulent Flow
湍流中的涡结构 Eddy Structure
2020/7/25
5
§6.1 粘性流体的流动简介
• 流体的运动存在两种截然不同的状态：层流和湍流 在某些条件下，流动可以从层流转变为湍流，从层流向 湍流的过渡称为转捩（Transition）。
De p V Q
Dt
De Dt
p
D Dt
1
Q
de
pd
1
Tds
D V
Dt
1
V
1
2
D
Dt
D Dt
1
T Ds Q Dt
2020/7/25
Di 1 Dp Q
Dt Dt
15
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
四、不可压缩牛Βιβλιοθήκη 型流体的封闭方程组V 0• 控制流动状态的参数为雷诺数 Re UmD / • 雷诺数存在上下两个临界值
下临界雷诺数 Rec1 ： 层流 Re Rec1 上临界雷诺数 Rec2 ： 湍流 Re Rec2
雷诺测得：Rec1 2020 Rec2 12830
近代实验：1760 Rec1 2300 Rec2 ~ 105
小雷诺数问题：略去非线性项 大雷诺数问题：边界层理论 – 数值解：计算流体动力学（CFD）
2020/7/25
18
第六章 粘性流体动力学
p
2 3
V
ij
Sij
2Sij Sij
pSii
2 3
Sii
2
2
Sij
2
De
Dt
p
Sii
1
2 3
Sii
2
2
Sij
2
Q
e V e p V Q
t
1
2 3
V 2
2
Sij
2
0
耗散函数
Q
1
xi
T xi
qR
q
2020/7/25
14
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
2020/7/25
6
§6.1 粘性流体的流动简介
四、雷诺数及其物理意义
定义： Re UL UL
U ：流动的特征速度
L ：流动的特征长度
物理意义：作用在物体上的惯性力与粘性力的量级之比
Re 1 ：忽略粘性，采用理想流体模型 Re 1 ：忽略惯性
2020/7/25
7
思考？
思考并解释如下视频中的现象？
五、粘性流体运动的基本特征
1. 粘性流体运动的有旋性 不可压、理想流体无旋流动的解也满足N-S方程，但不 满足边界条件
2. 粘性流体运动的耗散性 耗散函数总是使熵增加
3. 粘性流体运动的扩散性
2020/7/25
17
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
六、关于N-S 方程组的求解问题
– 解析解：简单流动 – 近似解：
--- 分子输运性
二、粘性流体动力学的研究内容
研究分子输运特性在流动中起重要作用的流动问题
例如：运动物体的阻力
（动量）
热交换
（能量）
化工、环境工程中的混合过程 （质量）
湍流
2020/7/25
3
§6.1 粘性流体的流动简介
三、层流与湍流
雷诺圆管实验 1883年，英国科学家雷诺（O. Reynolds）
V V V f 1 p 2V
t
CV
DT Dt
Q
初始条件： t 0 : V V0 p p0 边界条件：
固壁无滑移条件： V Vb 固壁温度的热平衡条件： Tw Tb
T T0
界面条件（不计表面张力）： V V p p T T
2020/7/25
16
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
微分型基本方程
V V
t
V V V f 1 T
t
t
(e
1 2
V
2 ) V (e
1 2
V
2)
f
V
1
TV q
qR
1
T
未知量：共12个标量 方程：共5个标量方程
不封闭！
2020/7/25
10
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
一、牛顿流体的本构方程
• 流体的本构方程是流体的应力张量和变形率张量之间的 关系式，它与物质的结构有关，是用来描述物质的力学 响应关系的方程
• 牛顿流体的假设
– 运动流体中应力张量在运动停止后应趋于静止流体中 应力张量；
– 流体是各向同性的；
– 偏应力张量和变形率张量之间具有线性关系。
• 牛顿流体的本构方程
Tij
p
2 3
V
ij
2 Sij
第二粘性系数
2 3
体膨胀系数
2020/7/25
11
§6.2 牛顿流体运动的基本方程及解法
二、牛顿流体的运动方程 – Navier-Stokes 方程
合集下载
粘性流体力学-阎超
（6.2）
其中：
Sij =
(6.1)(6.2)是用平均值和脉动值表示的湍流NS方程，这就是著名的雷诺方 程。 与原NS相比，雷诺方程多出 − ρVx′Vy′ 一项， 该项同应力表达式相同，称为 雷诺应力张量，它有六个独立分量。 由于增加了六个未知数，方程组不再封闭。
雷诺应力的讨论：（1）粘性应力对应于分子扩散引起界面两侧的动量 交换，扩散是由分子热运动引起的；雷诺应力对应于流体微团的跳动引 起界面两侧的动量交换，跳动是由大大小小的旋涡（即湍流脉动）引起 的；所以湍流平均运动的微元体除压力外还受到分子粘性应力和雷诺应 力两种表面力作用；（2）雷诺应力张量是脉动速度的二阶相关张量； （3）分子运动的特征长度是分子平均自由程，它远小于流动的宏观尺 度，而湍流脉动的最小特征尺度仍属于宏观尺度。所以雷诺应力比时均 流粘性力大若干量级，起主导作用，它使时均流速度分布等发生明显变 化。
A = A + A′
随机脉动的频率在100－100000之间，振幅一般小于平均值的十分之一， 时间平均值的定义为： +T t
1 A(t ) = T
0
t0
∫ A(t )dt
很容易证明脉动的平均值为零
1 A′ = T
t0 + T
∫
t0
1 A′ dt == T
t0 + T
∫ ( A − A )dt = 0
第六章 湍流 5.模式理论
雷诺方程是时均化的NS方程，但由于雷诺应力的出现，它是不封闭 的。为了解决方程组的封闭问题，必须建立雷诺应力(或脉动量)与平 均量间的关系，通常将这些关系称为湍流的模式理论。 模式理论是当前流体力学、空气动力学的研究热点之一。由于目前国 内外普遍使用雷诺方程计算流体力学问题，因此，模式理论具有极其 重要的学术意义和工程价值。 目前模式理论发展的很广泛，包括零方程模型、一方程模型、二方程 模型（如κ－ε模型）、应力模型等等。本节将讨论Prandtl的混合长度 理论，由于并不增加新的微分方程，属于湍流的零方程模型。
流体力学课件--
C.H.5 粘性流体动力学
5.1 应力分析
1.应力
与理想流体一样，考虑粘性后，流体所承受的力也可归结为两类：即质量力与
表面力。我们称单位面积上的表面力为应力，用 方向。一般说来，p n
pn
表示，n
为该面的外法线
pn pnn n
对于理想流体因无摩擦存在，切应力为零，只存在法应力，且总是指向内法线
法向应力： pxx , pyy , pzz 切向应力： pxy , pxz , pyx , pyz , pzx , pzy
z
pxz
y pxy
o
pxxpxx二阶应张量： pxx
pxy
pxz
P pyx pyy pyz
pzx
pzy
pzz
2. 应力的性质
1)切应力之间具有对称性，即：
同理可作出y,z面上的表面力 py , pz 在x,y,z方向的投影：
pyx , pyy , pyz ; pzx , pzy , pzz
px pxxi x pxxi pxy j pxzk py pyy j y pyxi pyy j pyzk pz pzzk z pzxi pzy j pzzk
pn pxx pyy pzz
p p(x, y, z,t)
②理想流体的压力就是作用在物体表面上沿内法线方向上的单位面积上的表面应
力，即：
pn npn
对于粘性流体，存在切应力，特性:
①作用于物体表面沿法线方向的表面压力是法向应力 pnn ，而不是粘性流体压力P。 pn pnn n
( pxx pyx pzx )d
x y z
( pxy pyy pzy )d
5.1 应力分析
1.应力
与理想流体一样，考虑粘性后，流体所承受的力也可归结为两类：即质量力与
表面力。我们称单位面积上的表面力为应力，用 方向。一般说来，p n
pn
表示，n
为该面的外法线
pn pnn n
对于理想流体因无摩擦存在，切应力为零，只存在法应力，且总是指向内法线
法向应力： pxx , pyy , pzz 切向应力： pxy , pxz , pyx , pyz , pzx , pzy
z
pxz
y pxy
o
pxxpxx二阶应张量： pxx
pxy
pxz
P pyx pyy pyz
pzx
pzy
pzz
2. 应力的性质
1)切应力之间具有对称性，即：
同理可作出y,z面上的表面力 py , pz 在x,y,z方向的投影：
pyx , pyy , pyz ; pzx , pzy , pzz
px pxxi x pxxi pxy j pxzk py pyy j y pyxi pyy j pyzk pz pzzk z pzxi pzy j pzzk
pn pxx pyy pzz
p p(x, y, z,t)
②理想流体的压力就是作用在物体表面上沿内法线方向上的单位面积上的表面应
力，即：
pn npn
对于粘性流体，存在切应力，特性:
①作用于物体表面沿法线方向的表面压力是法向应力 pnn ，而不是粘性流体压力P。 pn pnn n
( pxx pyx pzx )d
x y z
( pxy pyy pzy )d
粘性流体动力学基础
f 1 p = dv dt
ρ
1 p dvx fx = ρ x dt 1 p dv y fy = ρ y dt 1 p dvz fz = ρ z dt
方程中， f ：作用在单位质量流体上的质量力
1
ρ
p ：作用在单位质量流体上的表面力
dv ：作用在单位质量流体上的惯性力 dt
这一方程就是以应力形式表示的运动微分方程。
在这一方程中，通常质量力 f x 、 f y 、 f z 是已知的，对不可压缩流体 ρ
τ 也是已知的。方程组中的未知量有：三个法向应力 pii ，六个切向应力 ij ，
三个速度分量vi 。 运动微分方程加上连续性方程共四个， 无法求解 12 个未 知量，下面寻求补充方程。 三 、 切应力分量之间的关系 切应力分量之间存在着一定的联系， 应用力矩平衡原理可以证明切应 力具有对称性。 τ xy = τ yx τ yz = τ zy
τ yz dz τ zy dz τ yz dxdydz τ zy dxdydz + dxdydz dxdydz = 0 y 2 z 2
略去高阶无穷小，可得：
τ yz = τ zy
同理可得：
τ xy = τ yx
τ xz = τ zx
可见应力分量中的切应力是两两对称的。 四 、 切应力与变形速度的关系 牛顿内摩擦定律（平面流动） dv dα τ = x =
M ，六面体为 ABCD, A 点的应力为：
pxx τ yx τ zx
τ xy
p yy
τ zy
τ xz τ yz
pzz
其方向确定为：法向应力以内法线方向为正，切向应力（正） ，过 A 点 的三个面上切向应力与坐标方向相反，其它三个面则相同。 采用泰勒级数展开并取前二项可写出其它三个面上的应力分量。
ρ
1 p dvx fx = ρ x dt 1 p dv y fy = ρ y dt 1 p dvz fz = ρ z dt
方程中， f ：作用在单位质量流体上的质量力
1
ρ
p ：作用在单位质量流体上的表面力
dv ：作用在单位质量流体上的惯性力 dt
这一方程就是以应力形式表示的运动微分方程。
在这一方程中，通常质量力 f x 、 f y 、 f z 是已知的，对不可压缩流体 ρ
τ 也是已知的。方程组中的未知量有：三个法向应力 pii ，六个切向应力 ij ，
三个速度分量vi 。 运动微分方程加上连续性方程共四个， 无法求解 12 个未 知量，下面寻求补充方程。 三 、 切应力分量之间的关系 切应力分量之间存在着一定的联系， 应用力矩平衡原理可以证明切应 力具有对称性。 τ xy = τ yx τ yz = τ zy
τ yz dz τ zy dz τ yz dxdydz τ zy dxdydz + dxdydz dxdydz = 0 y 2 z 2
略去高阶无穷小，可得：
τ yz = τ zy
同理可得：
τ xy = τ yx
τ xz = τ zx
可见应力分量中的切应力是两两对称的。 四 、 切应力与变形速度的关系 牛顿内摩擦定律（平面流动） dv dα τ = x =
M ，六面体为 ABCD, A 点的应力为：
pxx τ yx τ zx
τ xy
p yy
τ zy
τ xz τ yz
pzz
其方向确定为：法向应力以内法线方向为正，切向应力（正） ，过 A 点 的三个面上切向应力与坐标方向相反，其它三个面则相同。 采用泰勒级数展开并取前二项可写出其它三个面上的应力分量。
流体力学期末总复习
期末总复习 考试时间：120分钟（期末考试周） 期末考试题型及分数分配 1.填空题（1′×20=20′）
2.选择题（2′×10=20′）
3.计算题（共5题，共60分）
1）静止流体作用下的总压力；（10 ′）
2）动量定理；（12′） 3）π定理证明关系式； （10′） 4）实际流体伯努利方程，水头损失； （10′） 5）管系， U形管测压计，泵的有效功率。 （18′）
u x t u y ＝ t u z t
u x u x u x ux uy uz x y z u y u y u y ux uy uz x y z u z u z u z ux uy uz x y z
位变（迁移）加速度
p p0 gh
适用条件：静止、不可压缩流体。
帕斯卡定律：自由液面上 的压强将以同样的大小传 递到液体内部的任意点上
5.掌握流体静压力的计量标准及其表示方法
p pM pab pv pab
pab>pa
pa pab<pa p=0
绝对压力pab 表压 pM 真空压力（真空度） pv
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！
2.掌握连续介质假设
内容： 不考虑流体的微观结构，而是采用简化模型来代替流体的真是 微观结构。流体充满着一个空间时是不留任何空隙的，即把流 体看做是连续介质。 意义： 不必研究大量分子的瞬间运动状态，而只要研究描述流体宏 观状态物理量。将一个本来是大量的离散分子或原子的运动 问题近似为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。
液体在曲面上面，垂直分力方向向下。 液体在曲面下面，垂直分力方向向上。
第三章 流体运动学 1.了解描述流动的两种方法；
2.选择题（2′×10=20′）
3.计算题（共5题，共60分）
1）静止流体作用下的总压力；（10 ′）
2）动量定理；（12′） 3）π定理证明关系式； （10′） 4）实际流体伯努利方程，水头损失； （10′） 5）管系， U形管测压计，泵的有效功率。 （18′）
u x t u y ＝ t u z t
u x u x u x ux uy uz x y z u y u y u y ux uy uz x y z u z u z u z ux uy uz x y z
位变（迁移）加速度
p p0 gh
适用条件：静止、不可压缩流体。
帕斯卡定律：自由液面上 的压强将以同样的大小传 递到液体内部的任意点上
5.掌握流体静压力的计量标准及其表示方法
p pM pab pv pab
pab>pa
pa pab<pa p=0
绝对压力pab 表压 pM 真空压力（真空度） pv
注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！
2.掌握连续介质假设
内容： 不考虑流体的微观结构，而是采用简化模型来代替流体的真是 微观结构。流体充满着一个空间时是不留任何空隙的，即把流 体看做是连续介质。 意义： 不必研究大量分子的瞬间运动状态，而只要研究描述流体宏 观状态物理量。将一个本来是大量的离散分子或原子的运动 问题近似为连续充满整个空间的流体质点的运动问题。
液体在曲面上面，垂直分力方向向下。 液体在曲面下面，垂直分力方向向上。
第三章 流体运动学 1.了解描述流动的两种方法；
流体力学第六章 旋转流体动力学
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论以偏向力有 重要作用的流体运动，此时，在运动方程中，偏向力项远 远大于运动的惯性项和粘性项。
Zhu Weijun NIM NUIST
假定流体运动满足： RO <<1 或者RO →0（即 Rossby 数很小）；
Ek =
R0 →0 Re
同时要求： RO L/UT →0 （即要求T很大，1/T → 0，即 对应缓慢运动或者准定常流动）。
d aV a = dt
∑F
i
i
考虑地球的旋转效应，引进的旋转坐标系；前面给 出旋转坐标系与惯性坐标系之间的基本关系，以下 通过分析，得出适用于描述旋转流体的运动方程。
Zhu Weijun NIM NUIST
daVa dVa = + ΩΛVa ⇒ dt dt
d aVa d V + ΩΛr = + ΩΛ V + ΩΛr ⇒ dt dt
da d = + ΩΛ dt dt
① ② ③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
Zhu Weijun NIM NUIST
对于任意矢量
A
，满足：
da A dA = + ΩΛA dt dt
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
Zhu Weijun NIM NUIST
（惯性）静止坐标系 绝对坐标系
此时，无量纲方程变为：
1 1 1 2kΛV′ = − ρ′ ∇′p′ + Fr g′ R0
Zhu Weijun NIM NUIST
方程进一步处理： 考虑压力梯度力项（两种情况）： ①假设流体不可压： 1 p′ ρ ′ = const ⇒ − ∇′p′ = −∇′( ) ρ′ ρ′ ②正压流体：
粘性流体力学课件
适用于牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
y
vx v y vx vz z x x z y
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
Dvy
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 x Dt y y z 2
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z y z x
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
y
运动方程
以应力表示的运动方程
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律。
N-S方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
xx dx x
每个应力有两个下标，第一个下 标表示应力作用面的法线方向； 第二个下标表示应力的作用方向
fz
fy fx
应力正负的规定
应力与所在平面的外法线方向相 同为正，否则为负：
微元体上的表面力和体积力
运动方程
应力状态及切应力互等定律
流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程
右端为零。
第1页
退出 返回
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第三节 动量矩方程
例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶轮转
速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度
为 u ，流体沿叶片流动速度为w ，流量
为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体
的功率。
解：流体绝对速度为 c u w
当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取
则控制体内流体内能的增量将由辐射热提供，于是有
qR d
de dt
d
d dt
ed
qR
de dt
，即 （6.11）
第3页
退出 返回
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第四节 能量方程
据系统导数公式（输运公式），有
d dt
ed
t
ed
A w
nedA
稳定流动时由式（6.11）、（6.12）可得
（6.12）
d
u
t
d
（b）
第4页
退出
返回
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
A wr nwrdA u
A wr ndA
Fd
A pndA
t
wrd
u t
d
u t
d
（c）
由连续性方程可知
u
t
d
uA
wr
ndA
0
，则（c）式变为
Awr nwrdA
第1页
退出
返回
第六章 流体动力学积分形式基本方程
第一节 连续性方程
如图6.1所示，令 为控制体体积，A为控制面面积，n为 dA 控制面外
粘性流体力学.ppt
Dvy Dt
=
fy-
p y
+
x
vy x
vx y
y
2
vy y
2 3
V
z
vz y
vy z
Dvz Dt
=
fz -
p z
在 t 时间内通过控制体左侧面流入控制体的 流体质量为 u y z t 通过右侧面流出控制体的流体质量为
u
u+
x
x y z t
这里对 u 运用了泰勒级数展开，并忽略二阶 以上小量。沿x方向净流出控制体的流体质量 为
u
u
从上式可得
+ u + v + w = 0
1.6
用场论符号表示为： t x y z
+ v = 0
t
利用散度公式 v = v + v
质点 导数表达式，（1D.7）+式 可v =改0写为
Dt
1.7
静止固壁： v 0 （粘附条件）
运动固壁： v流 v固
自由界面上：pnn p0 , pij 0i j
即在自由界面上，法向应力等于自由界面上的压力，切向应
力为零。
对于温度场，还可以有温度边界条件，即
或
qw
k
T n
w
T Tw
式中 Tw 是物面上的温度。qw 为通过单位面积传递给流 体 T / n
流体力学第六章2011(流体波动)
研究波动主要在于求解各种表征波动的参数
及其形成机制。
12
y A coskx t
（1）振幅A：质点离平衡位置的最大距离位移，反映了波 动所具有的能量大小。
（2）周期T：完成一次全振动所需要时间（质点振动），
或波向前传播一个波长距离所需时间（波动）。 频率 f ：单位时间内的振动次数。 T=1/f
同样，为了求得
h( x, t ) A sin k ( x ct )
u ，仍作如下假设：
u B sin k ( x ct )
不难求得：B
g A H
，于是最后有：
u B sin k ( x ct )
g A sin k ( x ct ) H
这就是水面重力波的流速场。
x
41
于是，最终可以将气压梯度力项表示为：
1 p 1 h 1 h g 1 x g 1 x 2 x 2 2
也就是说，在这种情况下，仍然可以采用受扰后的界面 坡度来表示流体压力的水平梯度。
流体2
重力水面波
界面波
24
一、水面（表面）重力波
h x, t
考虑一维水面波(水渠波)。 假设水面平静时水面高度 为H为一常数。 z
h x, t
H x
一旦给水面一个小的扰动，水面将不会再保持平静的状态 ，而要发生起伏不平的变化，水面高度 h 将随空间位置和 时间而变化，即：
h x, t H h x, t
13
（3）波长 L ：波动在一个周期中传播的距离，固定时
刻相邻的两同位相质点间的距离。
L
L
14
（4）位相：表示流体波动状态的物理量。
第六章粘性流体动力学基础
第六章 粘性流体动力学基础实际流体都是有粘性的，只有当粘性力与惯性力相比很小时，才能忽略粘性力而采用“理想流体”这个简单的理想模型。
支配粘性流体运动的方程比理想流体的基本方程复杂得多，因此粘性流体动力学问题的求解比理想流体动力学问题更加复杂、困难。
本章的目的在于介绍粘性流体动力学的一些基本知识。
§1 雷诺数（Re ）——粘性对于流动的影响的大小的度量粘性流体运动方程为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z y x Dt D z y x p p p f V ρ1 在x 方向的投影为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z p y p x p f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ρ1 这里以xu u ∂∂作为惯性力的代表； y p yx ∂∂ρ1作为粘性力项的代表，其大小为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y u y μρ1。
下面以圆球的粘性流体绕流为例，来估算作用在单位质量流体上的惯性力和粘性力的量阶：（插圆球绕流图）L 为所研究问题的特征长度；∞V 为特征速度；∞ρ为特征密度；∞μ为特征粘性系数。
u 的量阶为∞V ；x u ∂∂的量阶为L V ∞； 22yu ∂∂的量阶为L V 2∞， 则： 作用在单位质量流体上的惯性力的量阶为：LV 2∞ 作用在单位质量流体上的粘性力的量阶为：2L V ∞∞∞ρμ 粘性力惯性力～22L V L V ∞∞∞∞ρμ＝∞∞v L V ＝∞Re Re 称为雷诺数（Reynolds 数），它的物理意义是作用在流体上的惯性力与粘性力的比值的度量。
Re 数是粘性流体动力学中最重要的无量纲参数，它在粘性流体动力学中所占地位与无粘气体动力学的M 数相当。
在不同Re 数范围内的粘性流体运动可以有完全不同的性质，下面以圆柱绕流为例看不同Re 数范围内的圆柱绕流运动。
（插圆柱绕流图）总之：Re 增加，粘性影响变弱，当Re 》1时，对于某些问题，如无分离绕流物体的升力问题，可忽略粘性影响，采用“理想流体”模型。