随机变量附其分布期末练习题附答案
(完整版)多维随机变量及其分布习题及答案
第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、随机点落在矩形域的概率为),(Y X ],[2121y y y x x x ≤<≤< .),(),(),(),(21111222y x F y x F y x F y x F -+-2、的分布函数为，则 0 .),(Y X ),(y x F =-∞),(y F3、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+),0(y x F ),(y x F4、的分布函数为，则),(Y X ),(y x F =+∞),(x F )(x F X5、设随机变量的概率密度为),(Y X ，则.⎩⎨⎧<<<<--=其其042,20)6(),(y x y x k y x f =k 816、随机变量的分布如下，写出其边缘分布.),(Y X 7、设是的联合分布密度，是的边缘分布密度，则1 .),(y x f Y X ,)(x f X X =⎰∞+∞-)(x f X8、二维正态随机变量，和相互独立的充要条件是参数 0.),(Y X X Y =ρXY0123jP ⋅10838308638108182⋅i P 818383819、如果随机变量的联合概率分布为),(Y X YX12316191181231αβ则应满足的条件是 ；若与相互独立，则 ， .βα,186=+βαX Y =α184=β18210、设相互独立，，则的联合概率密度Y X ,)1.0(~),1,0(~N Y N X ),(Y X，的概率密度.=),(y x f 22221y x e +-πY X Z +==)(Z f Z 42221x e-π12、 设 ( ξ 、 η ) 的 联 合 分 布 函 数 为则 A =__1___。
()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,222二、证明和计算题1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球上标的数字为，第二次取的球上标的数字，求的联合分布律.X Y ),(Y X 解： 031}1,1{⋅===Y X P 31131}2,1{=⋅===Y X P 312132}1,2{=⋅===Y X P 312132}2,2{=⋅===Y X P 2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设为投入1号信箱的信数，为投入2X Y 号信箱的信数，求的联合分布律.),(Y X 解：的可能取值为0,1,2,3的可能取值为0,1,2,3X Y331}0,0{===Y X P 333}1,0{===Y X P 3323333}2,0{====C Y X P XY 12103123131331}3,0{===Y X P 333}0,1{===Y X P 3323}1,1{⨯===Y X P3313}2,1{⨯===Y X P 0}3,1{===Y X P 3233}0,2{C Y X P === 333}1,2{===Y X P 0}2,2{===Y X P 0}3,2{===Y X P 331}0,3{===Y X P 0}3,3{}2,3{}1,3{=========Y X P Y X P Y X P X Y123271273273271127327627322732730032710003、设 函 数 F(x , y) = ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的⎩⎨⎧≤+>+120121y x y x 联 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。
概率论与数理统计+第三章+多维随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第三章 多维随机变量及其分布一、填空题例3.1(加法公式) 设73}0,0{=≥≥Y XP ， ，74}0{}0{=≥=≥Y X P P 则}0],{max [≥Y X P = ．分析 引进事件：}0{}0{≥=≥=Y B XA ，，则B A Y X +=≥}0],{max [,AB Y X =≥≥}0,0{；．75}0,0{}0{}0{ )()()()(}0],{max[=≥≥-≥+≥=-+=+=≥Y X Y X AB B A B A Y X P P P P P P P P例3.9（边缘分布函数） 设随机变量X 和Y 的联合分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<= 1},min{ , 1},min{0},min{ , 0},min{ 0 ),(，，若１ ，若，若y x y x y x y x y x F则随机变量X 的分布函数)(x F 为 ．分析)(x F 是),(y x F 的边缘分布函数：)1,(),()(x F x F x F =+∞=．因此⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=,1 1 10 ,0 0 )(x x x x x F 若，，若若，例3.10（边缘密度） 随机向量(X ,Y )的概率密度()()()∞<<∞-+=+-y x y x y x f y x , e 2sin sin 1,2221π的两个边缘密度)( )(21y f x f ，为 ．分析 由边缘密度的公式，有．22222122222e 21d esin e 2sin d ee 21d ),()(x y x y x y y xy y y x f x f -∞∞---∞∞---∞∞-=+==⎰⎰⎰πππ即()x f 1是标准正态密度．由对称性知()y f 2也是标准正态密度．例3.11（联合概率分布） 设随机变量U 在区间[－2,2]上服从均匀分布，而随机变量⎩⎨⎧->-≤-=；若若1 , 1 ,1 , 1U U X ⎩⎨⎧>≤-=，若若1 , 1 ,1 , 1 U U Y 则X 和Y 的联合概率分布为 ．分析 (1) 随机向量()Y X ,有四个可能值：)1,1(,)1,1( ),1,1( ),1,1(----．易见 {}{}{}{}{}{}{}{}．；；；411 , 11 , 1 211 , 11 , 101 , 11 , 1411 , 11 , 1=>->====≤->=-===>-≤==-==≤-≤=-=-=U U Y X U U Y X U U Y X U U Y X P P P P P P P P例3.15(函数的分布) 设X 1和X 2独立，p X i==}1{P ,q X i ==}2{P ,)12,1(=+=q p i ；,⎩⎨⎧++=为偶数，若为奇数，若2121 , 0 , 1X X X X X 则2X 的概率分布为 ．分析 显然2X 有0和1两个可能值pq X X X X X 2}1,2{}2,1{}1{21212===+====P P P ．于是，2X 的概率分布是0-1分布：pq X X 21}1{1}0{22-==-==P P ．例3.15（联合分布函数）设随机变量X 和Y 的联合概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛42.018.028.012.0)1,1()0,1()1,0()0,0(~),(Y X ，则其联合分布函数=),(y x F ．答案X 和Y 的联合分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥<≤<≤<<=．且，若，，，若，，，若，，，若，或，若11 1 11040.010130.0101012.000 0 ,y x y x y x y x y x y x F3.21 （1）24380；（2）41；（3）41；（4）r q p )(2+；（5）)1()1(++z F z F Y X 例3.7 【0】例3.8 设X ,Y 相互独立，下表为（X , Y ）的分布律及边缘分布律的部分数值，又知41)2(==+Y X P ，试将其余值填入表中：例3.9 【41】 例3.13 设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为)(),(y F x F Y X ，则1),min(－Y X Z =的分布函数)(z F Z ＝ . 【)]1(1)][1(1[1+-+--z F z F Y X 】〖选择题〗3.19 设X 和Y 独立，都服从同一0-1分布：{}{}111====Y X P P，则{}Y X =P =(A) 0． (B)95． (C) 97． (D) 1． [ B ] 分析 由全概率公式及X 和Y 相互独立，知{}{}{}{}{}{}{}．95313211001,10,022=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===+=====+====Y X Y X Y X Y X Y X P P P P P P P 例3.21 设随机变量X 和Y 有相同的概率分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-25.05.025.0101， 并且满足1}0{==XYP ，则}{Y X =P 等于(A) 0． (B) 0.25． (C) 0.50． (D) 1． [ A ]分析 应选(A)．利用列联表3.1，首先将X 的分布和Y 的分布用黑体．．．填入表3.4；由条件1}0{==XY P ，可见0}0,0{=≠≠Y X P ．故),(Y X 等于)1,1(--，)1,1(-,)1,1(-,)1,1(的概率为0，将0用黑体．．．填入表3.4，则容易求出X 和Y 的联合分布．表由X 和Y 的联合分布可见0}1{}0{}1{}{===+==+-====Y X Y X Y X Y X P P P P ．3.22 设独立X 和Y 之和X +Y 与X 和Y 服从同名概率分布，如果X 和Y 都服从 (A) 均匀分布． (B) 二项分布．(C) 指数分布． (D) 泊松分布． [ D ]分析 熟知，在所列的4个分布中，只有二独立泊松分布的变量之和仍然服从泊松分布． 例3.28 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，则(A) X +Y 一定服从正态分布． (B)X和Y 不相关与独立等价．(C) (X ,Y )一定服从正态分布．(D) (X ,Y -)未必服从正态分布． [ D ] 分析 (A) 不成立，例如，若X Y-=，则X +Y ≡０不服从正态分布．(C)不成立，(X ,Y )不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立．(D) 虽然随机变量X 和Y -都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X ,Y -)未必服从正态分布．3.20 （1）D ；（2）A ；（3）D ；（4）B ；（5）B〖解答题〗例3.33（条件分布） 假设某地区一年内发生大暴雨的次数X 和一般暴雨的次数Y 相互独立，且分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布．在一年共发生了()1≥n n 次暴雨的条件下，试求大暴雨次数X 的条件概率分布．解 由条件知，一年共发生暴雨次数可以是任意自然数 ,2,1,0=n ，有{}e !)(e ! 1e!)(! }{}{}{)(21021)(0)(2100212121．，λλλλλλλλλλλλ+-=-+-=+--==+==-=-===-====+∑∑∑∑n C n i n i i n Y i X i n Y i X n Y X n n i in i i n ni in i ni n i P P P P对于任意自然数()n k k≤≤0，有{}．kn kk n nk n k C k n k n n Y X k n Y k X n Y X k n Y k X n Y X n Y X k X n Y X k X -++--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-==+-====+-====+=+===+=212211)(21212121e e )()!(!! }{}{}{ }{},{}{),{λλλλλλλλλλλλλλP P P P P P P P于是，在“一年内共发生了()0≥n n 次暴雨”的条件下，大暴雨次数X 的条件概率分布是参数为),(p n 的二项分布，其中211λλλ+=p ．例3.34（联合分布） 设随机变量321X X X ，，相互独立有相同的概率分布：{}{}()13,2,110=+=====q p i p X q X i i ；，P P ．求随机变量U 和V 的联合分布，其中⎩⎨⎧++=⎩⎨⎧++=为偶数．，若为奇数，，若为偶数；，若为奇数，，若323221210101X X X X V X X X X U 解()V U ,有4个可能值)1,1()0,1()1,0()0,0(，，，．记{}v v ===V u U u p ,),(P ,则{}{}{}{}{}{}{}{}．，pq q p pq X X X X X X p pq q p pq X X X X X X p pq q p pq X X X X X X p q p X X X X X X p =+====+=====+====+=====+====+====+====+====223213212232132122321321333213211,1,00,0,1)0,1(0,1,11,0,0)1,0(,1,0,10,1,0)1,1(,10)0,0(P P P P P P P P例3.37 (联合分布) 假设随机变量Y 服从参数1=λ的指数分布，随机变量⎩⎨⎧>≤=；若若1 , 1 ,1 , 0 1Y Y X ⎩⎨⎧>≤=．若若２2 , 1 ,2 , 0 Y Y X 求()21,X X 的概率分布．解 随机变量Y 的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．若若0 , 0 ,0 ,e 1y y y F y 随机向量()21,X X 有四个可能值：()0,0，()1,0，()0,1，()1,1．易见{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}．＞２＞＞１１２１＜＞１０＞１２２----=====-=≤=≤====≤===-=≤=≤≤===e 2 , 1 , ,e e 2 , 10 , ,2 , 1 , 0,e 1 12 , 10 , 02112121121Y Y Y X X Y Y Y X X Y Y X X Y Y Y X X P P P P P P P P P P P例3.39 (独立与不相关) 假设(){}222:,r y xy x G ≤+=是以原点为心半径为r 的圆形区域，而随机变量X 和Y 的联合分布是在圆G 上的均匀分布． (1) 由(3.19)知，X 和Y 的联合密度为()()()⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=．若 ，若G y x G y x ry x f , , 0 , , 1,2π 由(3.10)知，X 的密度()x f 1和Y 的密度()y f 2相应为()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=．若， ，若；若， ，若r y r y y r ry f r x r x x r r x f 0 ,2 0 ,222222221ππ 由于()()()y f x f y x f 21,≠，可见随机变量X和Y 不独立．(2) 证明X 和Y 不相关，即X 和Y 的相关系数ρ= 0．有()0d 2d 2221=-==⎰⎰-∞∞-rrx x r x r x x xf X πE ； 同理可得0=YE ．因此，有()()．0d d 1d d ,,cov 2222====⎰⎰⎰⎰≤+∞∞-∞∞-r y x y x xy r y x y x xyf XY Y X πE 于是，X 和Y 的相关系数ρ= 0．这样，X 和Y 虽然不相关，但是不独立． 例3.40(独立与不相关的等价条件) 假设随机向量()Y X ,的联合密度为()()()[]y x y x y x f ,,21,21ϕϕ+=, 态分布密度：其中()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ都是二维正()()．⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=22222132169exp 243,,32169exp 243,y xy x y x y xy x y x πϕπϕ(1) 求随机变量X 和Y 概率密度()x f 1和()y f 2；(2) 求随机变量X 和Y 的相关系数ρ； (3) 问随机变量X 和Y 是否独立?为什么? 解 由()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ的表达式，可见其数学期望都是0，方差都是1，相关系数分别为1/3和－1/3．(1) 熟知,二维正态分布密度的两个边缘密度都是正分布态密度, 因此()y x ,1ϕ和()y x ,2ϕ的边缘密度都是标准正态分布密度()()y x ϕϕ和．由此可见()()()()()()[]()()()()()()()[]()．；y y y x y x x y x x y x f y f x x x y y x y y x y y x f x f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+===+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞∞-∞∞∞∞∞∞-21d ,d ,21d ,21d ,d ,21d ,-2 -12-2 -11于是X 和Y 概率密度()x f 1和()y f 2都是正态密度．(2) 显然，E X=E Y=0, D X=D Y =1. 因此，由相关系数的定义，知()()(). 0313121 d d ,d d ,21 d d ,),cov(21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-y x y x xy y x y x xy yx y x xyf XY Y X Y X ϕϕρE D D(3) 随机变量X 和Y 不独立，因为显然()()() ,21y f x f y x f ≠ ．例3.41(密度的乘法公式) 设随机变量X 在区间 (1,3) 上服从均匀分布，而Y 在区间 (X ,2) 上服从均匀分布．试求：(1) 随机变量X 和Y 联合密度()y x f ,；(2) 随机变量Y 的概率密度()y f 2；(3){}1<+Y X P．解 随机变量X 的概率密度为)31( 2/1)(1<<=x x f ；对于1<x <2，随机变量Y 在}{x X =的条件下的条件概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧<<<-=．若不然；若 , 0 21 , 2112y x xx y f (1) 由密度的乘法公式(3.9)，得X 和Y 联合密度()y x f ,：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-===若不然．＜若 , 0 ,21 , 221,121y x x x X y f x f y x f (2) 随机变量Y 的概率密度()y f 2是联合密度()y x f ,的边缘密度．当 y ≤1和y ≥2时，显然()y f 2=0；对于21<<y ，由(3.10)，有()()() 2ln 212d 21d y ,12y x x x x f y f y --=-==⎰⎰∞∞-．于是，随机变量Y 的概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<--=．若不然 ，，若，0 2y 1 2ln 212y y f 例3.42（概率密度） 向区域(){}2,≤+=y x y x G ：上均匀地掷一随机点()Y X ,，求()Y X ,，X 和Y 的概率密度()()x f y x f 1,,和()y f 2．分析 易见，区域(){}2,≤+=y x y x G：是以(2,0)，(0,2)，(－2,0)，(0,－2)为顶点的正方形，其面积为8 由于随机点．()Y X ,在正方形上分布均匀，可见例3.42插图()⎩⎨⎧∉∈=．，若，，若G y x G y x y x f ),( 0 ),(1, 正方形的4个边的方程依次为：22+=+-=x y x y ，，22-=--=x y x y ，；随机变量X 和Y 的概率密度()()y f x f 21和是()y x f ,的边缘密度：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-≤≤-+=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤≤≤-==⎰⎰⎰---++-∞∞-．若， ；若，；若，；若，；若，；若，）（2 0 20 4202 42)( 2 0 20 d 8102 d 81d ),()( 12)2(221x x x x x x f x x y x y y y x f x f x x x x随机变量Y 的概率密度()y f 2，是利用对称性直接写出的．例3.43(函数的分布) 已知随机变量4321,,,X X X X 独立同分布：()4,3,2,1 4.06.010~=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i X i ， 4321X XX X X =．试求行列式X 的概率分布．解 记411X X Y =，322X X Y =，则21Y Y X -=．易见，1Y 和2Y 独立同分布：{}{}{}{}{}.84.016.0100;16.04.01,1112123221=-============Y Y X X Y Y P P P P P随机变量21Y Y X-=有－1，0和1等3个可能值；{}{}{}{}{}．；； 7312.01344.02101344.084.016.00,111344.016.084.01,012121=⨯-===⨯======⨯====-=X Y Y X Y Y X P P P P P 例3.48(和的密度) 某商品一周的需求量X 是随机变量，已知其概率密度为()⎩⎨⎧<≥=-；，若，，若0 0 0e x x x x f x 假设各周的需求量相互独立，以k U 表示k 周的总需求量，试求： (1) 2U 和3U 的概率密度()()3,2=k x f k ；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度()()x f 3．解 以)3,2,1(=iX i 表示第i 周的需求量，则i X 的概率密度均为()⎩⎨⎧≤>=-．，若，，若0 0 0e x x x x f x ， 而212X X U +=，323X U U +=．三周中周最大需求量为},,max{321)3(X X X X =．(1) 当0≤x时显然()()032==x f x f ；对于0>x 由(3.22)式()()．；xx xx xxxx x t t x t t t x f t f x f x t t x t t t x f t f x f ---∞∞---∞∞-==-=-==-=-=⎰⎰⎰⎰e 120120e 61d )(e 61d )()(e 61d )(ed )()(55323302于是，两周和三周的总需求量2U 和3U 的概率密度()() 0 0 0 ! 5e 0 0 0 ! 3e 5332⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--．，若；，若；，若；，若x x x x f x x x x f xx(2) 设)(x F 是随机变量X 的分布函数．由例3.45可见，连续三周中的周最大需求量)3(X 的分布函数为3)]([)(x F x G =．于是，有0 0 0 e )1(10 0 0 d e d )()(0⎩⎨⎧≤>+-=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞-⎰⎰．，若，，若，，若，，若x x x x x t t t t f x F x xt x[]⎪⎩⎪⎨⎧≤>-----===．，若，，若0 0 02)e e 1(e 3)(2)(3)(d d )()3(x x x x x x x x f x F x G x x f例3.49(积的密度) 假设(){}10,20 ,≤≤≤≤=y x y x G：是一矩形；连续型随机向量()Y X ,在矩形G 上的密度为常数，而矩形G 之外为0．求边长为X 和Y 的矩形面积的分布．解法1 随机向量()Y X ,的密度概率为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=．，若；若，G y x G y x y x f ),( 0),( 21),( 设)(s F 是面积XY S=的分布函数，则当0≤s时)(s F =0；当2≥s 时)(s F =1．对于20<<s ， 曲线)20(<<=x s xy将矩形G 分为两部分（见插图）：曲线的上方s xy >,曲线的下方s xy <；曲线)20(<<=x s xy 与矩形上边的交点为)1,(s ．对于20<<s ，有．)ln 2ln 1(2d d 211d d 21 1}{1}{}{)(21s sy x y x s XY s XY s S s F s x s s xy -+=-=-=>-=≤=≤=⎰⎰⎰⎰>P P P 最后，得XY S=的概率密度()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<-=．或若，；若，2s 0 0 20 ln 2ln 21s s s s f 解法2 直接利用二随机变量之积的密度公式(3.23)．设)(s f 是面积XY S =的概率密度．显然，当0≤s 和2≥s时)(s f =0．对于20<<s ，由公式(3.24)，有)ln 2(ln 21d 21||d ,)(2s x x x x x s x f s f s -==⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰∞∞-． 〖证明题〗例3.51(独立性与相关性) 设X 和Y 相互独立都服从0-1分布：明Y X V Y X U -=+=,不相关，但是6.0}1{}1{====Y X P P ，试证不独立．证明 (1) 由协方差的定义和性质，以及X 和Y 相互独立，可见．0)( )()( ),cov( 2222=-=-+--=-=Y X Y X Y X Y X V U UV V U E E E E E E E E 于是，Y X V Y X U-=+=,不相关．(2) 现在证明Y X V Y X U -=+=,不独立．事实上，由，，， }0{}0{0832.0 16.0}0{}0{}0,0{}0,0{ 52.0}1{}1{}0{}0{}1,1{}0,0{}0{ 16.0}0{}0{}0,0{}0{===≠============+=====+============V U Y X Y X V U Y X Y X Y X Y X V Y X Y X U P P P P P P P P P P P P P P P P P 可见U 和V 不独立．例3.54(独立性) 对于任意二事件21,A A ，考虑二随机变量．不出现，，若事件出现，，若事件 )2,1( 0 1 =⎩⎨⎧=i A A X i i i 试证明随机变量21X X 和独立的充分与必要条件，是事件21A A 和相互独立．证法１ 记)()2,1)((2112A A p i A p i i P P ===，，而ρ是21X X 和的相关系数．有．2112211221),cov( ,),2,1(p p p X X p X X i p X i i -====E E 由于ρ=０与),(cov 21X X =0等价，而由211221),cov(p p p X X -=，可见，),cov(21X X =0的充分与必要条件，是2112p p p =，即事件21A A 和相互独立．证法２ 易见，随机变量21X X 和都服从0-1分布并且．，，)(}1,1{)(}0{)(}1{2121A A X X A X A X i i i i P P P P P P ======= (1) 必要性．设随机变量21X X 和独立，则．)()(}}1{}1{}1,1{)(21212121A A X X X X A A P P P P P P ======= 从而，事件21A A 和相互独立．(2) 充分性．设事件21A A 和独立，则212121,,A A A A A A 和和和也都独立，因此{}{}{}{}．，，，}1{}1{)()()(1,1 }0{}1{)()()(0,1 }1{}0{)()()(1,0 }0{}0{)()()(0,021212121212121212121212121212121============================X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X X X A A A A X X P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P从而，随机变量21X X 和独立．例3.1 设⎩⎨⎧-<+-≥+=1011),(y x y x y x F ，试判定),(y x F 能否作为二维随机变量的分布函数。
离散型随机变量及其分布列练习题和答案
高二理科数学测试题(9-28)1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0、6,且各次投篮就是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )(A)0、648 (B)0、432 (C)0、36(D)0、3123.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( )()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率就是154,刮三级以上风的概率为152,既刮风又下雨的概率为101,则在下雨天里,刮风的概率为( )A 、2258B 、21 C 、83D 、435.从4名男生与2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ).A 、15B 、25C 、35D 、456.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( )A 、2101012)85()83(⋅CB 、83)85()83(29911⨯C C 、29911)83()85(⋅CD 、 29911)85()83(⋅C7.袋中有5个球,3个白球,2个黑球,现每次取一个,无放回地抽取两次,第二次抽到白球的概率为( )A 、53 B 、43 C 、21 D 、1038.6位同学参加百米短跑初赛,赛场有6条跑道,已知甲同学排在第一跑道,则乙同学排在第二跑道的概率( )A.52 B 、51 C 、92 D 、 739.一个袋中有9张标有1,2,3,…,9的票,从中依次取两张,则在第一张就是奇数的条件下第二张也就是奇数的概率( )A 、52 B 、51 C 、21 D 、 7310、位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右,并且向上向右的概率都就是21,质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率就是( )A 、3)21(B 、525)21(C C 、335)21(CD 、53525)21(C C11、若样本数据1x ,2x ,⋅⋅⋅,10x 的标准差为8,则数据121x -,221x -,⋅⋅⋅,1021x -的标准差为( )(A)8 (B)15 (C)16 (D)3212、设某项试验的成功率就是失败率的2倍,用随机变量ξ描述一次试验的成功次数,则)0(=ξP 等于( )A 、0B 、 21C 、 31D 、32解答题13.种植某种树苗,成活率为90%,现在种植这种树苗5棵,试求: ⑴全部成活的概率; ⑵全部死亡的概率; ⑶恰好成活3棵的概率; ⑷至少成活4棵的概率14.某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会,它们获得冠军的概率分别为12,13,23、(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列;(2)若球队获得冠军,则给其所在学校加5分,否则加2分,求该高中得分η的分布列.15、实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛).（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率; (2)求按比赛规则甲获胜的概率.16、某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱与装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都就是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖、(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ,求X 的分布列、1--5:CAACD 6-12: BABCB CC13. ⑴5550.90.59049C =; ⑵5550.10.00001C =;⑶()3325530.90.10.0729P C =⋅=; ⑷()()55450.91854P P P =+=14.解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3,取相应值的概率分别为 ∴X 的分布列为(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3、∴η的可能取值为6,9,12,15,取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19,P (η＝9)＝P (X ＝1)＝718, P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718,P (η＝15)＝P (X ＝3)＝19、∴得分η的分布列为15.解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为2,乙获胜的概率为12. 记事件A =“甲打完3局才能取胜”,记事件B =“甲打完4局才能取胜”, 记事件C =“甲打完5局才能取胜”.①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜∴甲打完3局取胜的概率为33311()()28P A C ==. ②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负∴甲打完4局才能取胜的概率为2231113()()22216P B C =⨯⨯⨯=. ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负∴甲打完5局才能取胜的概率为22241113()()()22216P C C =⨯⨯⨯=. (2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”,则D A B C =++, 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥,故1331()()()()()816162P D P A B C P A P B P C =++=++=++=. 16、(1):107。
离散型随机变量及其分布列练习题和答案
离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。
随机变量及其分布函数习题
第2章 随机变量及其分布习题 21．设有函数⎩⎨⎧≤=其它，,0,0,sin )(πx x x F试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。
解：不能，易知对21x x <，有：),()(}1{}{}{12221x F x F x X P x X P x X x P -=<-<=<<又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。
然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。
2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7。
在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。
解：X 的可能值为3，4，5，6，7。
在7只篮球中任取3个共有37C 种取法。
}3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故3515673211)3(37=⋅⋅⋅⋅===C X P}4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有23C 种取法，故35356732113)4(3723=⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
}5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取2个，共有24C 种取法，故3565673212134)5(3724=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有25C 种取法，故35105673212145)6(3725=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P ，}7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有26C 种取法，故35155673212156)7(3726=⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C X P 。
3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1kkp p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布函数，并作出其图形。
随机变量及其分布期末练习题及答案
随机变量及其分布期末练习题及答案随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发⽣的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发⽣时的试验的次数，求ξ的分布。
[解] {}发⽣次试验次⽽第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ),1,(,)1()1(11111 +=-=?-=-------r r k p p Cp p pC rk r r k r k r r k⼩结求离散型随机变量的分布律时，⾸先应该搞清随机变量取可能值时所表⽰的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算⼀下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果⼀定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性，在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A （2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ；98311)31()2())2,31((2=??-=-=-∈F F X P ；（3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或则0)(≥x f ，且对⼀切x 有?∞-=xdt t f x F )()(，从⽽)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-??Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=??Φσ于是 2.0212202)0(=??Φ-=??? ??-Φ=-<-=<σσσσX P X P4．⼀批鸡蛋，优良品种占三分之⼆，⼀般品种占三分之⼀，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，⼀般品种蛋重)5,45(~22N X 。
《概率论与数理统计》期末考试试题及答案
)B =________________.从中任取3),(,8),8ak k ==则内服从均匀分布,则4)X ≤<=分布律为则Y X =且已知X E 1[(-9,X 是来自正态总体的样本,X 是样本均植本题12分)产品中有12件是次品企业生产的产品混合在一起存放求取出的产品为次品的概率若取出的一件产品为次品X Y (,)试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为(),01,2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他 求()(),E X D X一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或AB C 2、0.6 3、2156311C C C 或411或0.3636 4、1 5、13 6、2014131555kX p 7、1 8、(2,1)N - 二、解 设12,A A 分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产,B 表示取出的零件为次品,则由已知有 1212606505121101(),(),(|),(|)1101111011605505P A P A P B A P B A ========...... 2分 (1)由全概率公式得112261511()()(|)()(|)1151155P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=................. 7分 (2)由贝叶斯公式得22251()()5115()1()115P A P B A P A B P B ⨯===................................12分三、(本题12分)解 (1)由概率密度的性质知故16k =. .......................................................... 3分 (2)当0x ≤时,()()0xF x f t dt -∞==⎰;当03x <<时, 2011()()612x xF x f t dt tdt x -∞===⎰⎰;当34x ≤<时, 320311()()223624x x t F x f t dt tdt dt x x -∞⎛⎫==+-=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;当4x ≥时, 34031()()2162x t F x f t dt tdt dt -∞⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰;故X 的分布函数为220,01,0312()123,3441,4x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩................................... 9分(3) 77151411(1)22161248P X F F ⎧⎫⎛⎫<≤=-=-=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭ (12)分四、解 (1)由分布律的性质知 故0.3a = ............................................................ 4分(2)(,)X Y 分别关于X 和Y 的边缘分布律为0120.40.30.3X p............................................... 6分120.40.6Y p .................................................... 8分(3)由于{}0,10.1P X Y ===,{}{}010.40.40.16P X P Y ===⨯=,故所以X 与Y 不相互独立. (12)分五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 求()(),E X D X .解 2131223201011()()d d (2)d 1.33x E X xf x x x x x x x x x +∞-∞⎡⎤⎡⎤==+-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰ ......................... 6分122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ .....................................................9分 221()()[()].6D XE X E X =-= .........................................12分一、 ............................................................... 填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率：没有任何人的生日在同一个月份的概率4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= ,分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , 1、 .............................................................................................................. (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -；2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1） ...........................................................................................................1/4,(,)0,x y ϕ⎧=⎨⎩其求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ；2） ........................................................................................................... 问X 与Y 是否独立？是否相关？计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。
概率论与数理统计+第二章+随机变量及其分布+练习题答案
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()， pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
随机变量及其分布方法总结经典习题及解答一、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列3、分布列的两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为A、B、C、D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。
解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A、B是相互独立事件，那么，A与、与B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
练习二(一维随机变量及其分布)--1_参考答案
【参考答案】
A 7.设随机变量ξ 服从 0-布,又知ξ 取 1 的概率为它取 0 的概率的一半,则p{ξ = 1} 是( )。
1 密 A. 3
B.0 1
C. 2 D.1 【参考答案】
A
8.离散型随机变量ξ 的分布律为P (ξ = k) = bλk ,(k = 1,2,⋯),的充分必要条件是( )。
A.b >0且0 < λ <1
)。 【参考答案】 空（1）: 0.0455
3.设随机变量ξ
的分布函数为F (x) =
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1−
k2 x2 + 2kx + 2 2
e −kx,x
≥0
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0,
x <0
,则p
⎧ ⎪⎪⎨⎪− ⎪ ⎩
1 k
≤ξ
≤
1 k
⎫ ⎮ ⎮ ⎬ ⎮ ⎮ ⎭
=
( )。 【参考答案】
空（1）:
线
【参考答案】
ξ 的概率密度为φ (x) =
1
− (x −1) 2
e8
2 2π
【参考答案】
ξ 的概率密度φ (x) =
⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎪ ⎪ ⎩
λe −λx 0
x >0 x ≤0
y = 1 x3+2的反函数x = h (y) = 3 3(y−2) 3
⎧⎪
1
⎪
h '(y) =
−2
(3y−6) 3
,φ
⎥
⎦
x 0
= 1 − 1 e −x+ 1 =1− 1 e −x
22
2
2
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
1 ex
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随机变量及其分布期末练习题及答案1．在事件A 发生的概率为p 的伯努利试验中，若以ξ记第r 次A 发生时的试验的次数，求ξ的分布。
[解] {}发生次试验次而第恰好出现了次试验中前A k r A k P k P 11-)(-==ξ),1,(,)1()1(11111 +=-=⋅-=-------r r k p p C p p p C r k r r k r k r r k小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。
为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
2．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,1)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率；（3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ； 98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或 则0)(≥x f ，且对一切x 有⎰∞-=xdt t f x F )()(，从而)(x f 为随机变量X 的密度函数。
3．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为 )0(2)42(3.0Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<<=σX P 所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ于是 2.0212202)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<σσσσX P X P 4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克）)5,55(~21N X ，一般品种蛋重)5,45(~22N X 。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。
[解] （1）设A ：任取一蛋其重量大于50克。
1B ：任取一蛋为优良品种2B ：任取一蛋为一般品种则21,B B 互斥，且S B B =21 ，31)(,32)(21==B P B P 8413.0555501)50()(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>=X P B A P 1587.0545501)50()(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>=X P B A P 由全概率公式得)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6138.01587.0318413.032=⨯+⨯=（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率6138.0=p ，小于50克的概率6138.011-=-=p q设任取2个，有Y 个大于50克，则),2(~p B Y于是所求概率为1492.0)6138.01()0(22002=-===q p C Y P问题与思考1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗？2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗？3．设X 为连续型随机变量，而)(x g 为连续函数，)(X g Y =还是连续型随机变量吗？4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗？5．连续型随机变量的密度函数连续吗？练习与答案1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。
现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为)10(<<p p ，出现反面的概率为p q -=1，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为0.001，求至少有两次命中的概率。
4．已知某元件使用寿命T 服从参数100001=λ的指数分布（单位：小时）。
（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数X 的分布律5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间)8,40(~2N X ；若采用乙工艺条件，则完成时间)4,50(~2N X 。
（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件？（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件？6．设某批零件的长度服从),(~2σμN X ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于μ的概率。
7．设X 分别为服从⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππU ，[]π,0U ，[]π2,0U 的随机变量，求X Y sin =的概率密度函数8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。
，超过7的水要溢出，求水库存水量Y 的分布函数参考答案：1．分布列 X 0 1 2 3Y 75.0 204.0 041.0 05.02．)4,3,2(11 =+--n qp pq n n3．956.0)1()0(1)2(==-=-=≥X P X P X P4．（1）61.0；（2）10,,3,2,1,0,)1()(10212110 =-==---k e e C k X P k k5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好6．3125.02121)2(3225=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C Y P 7．（1）1,11)(21<-=x x x f π；（2）10,12)(22<<-=x x x f π；（3）1,11)(23<-=x x x f π；8．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=.7,1;74,44;4,0)(y y y y y F y⒈连续型随机变量X 的密度函数是f x ()，则P a X b ()<<= 。
答案：f x x a b ()d ⎰，⒉设X 为随机变量，已知D x ()=2，那么D X ()35-= 。
答案： 183、设随机变量X ~...012060301⎛⎝ ⎫⎭⎪，则E X ()=（ ）。
A. 1；B. 13； C. 0 D. 05. 答案： D4、设随机变量X N ~(,)522，求()8X P <<3。
解X N ~(,)522∴-X N 5201~(,) )25825253()83(-<-<-=<<X P X P＝)1()5.1(-Φ-Φ（查表）7745.08413.019322.0=+-=5. 设随机变量X 的密度函数是⎩⎨⎧<<-=其它 03)2(3)(2x a x x f 求 (1) 常数a ; (2)P (X <2.5)解 (1) 根据密度函数的性质 1＝⎰⎰-=+∞∞-32d )2(3d )(a x x x x f =1－(a －2)3所以a =2⎩⎨⎧<<-=∴其它 032)2(3)(2x x x f(2)P (X <2.5)=⎰-5.222d )2(3xx =125.05.0)2(35.223==-x 6．设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=.1,1;10.0,0)(2x x Ax x x F求（1）A 的值；（2）X 落在)21,1(-及)2,31(内的概率； （3）X 的概率密度函数。
[解] （1）有分布函数的右连续性， 在1=x 点处有1)01()1(=+==F A F ，即1=A（2）由分布函数的性质知，41)1()21())21,1((=--=-∈F F X P ；98311)31()2())2,31((2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-∈F F X P ； （3）由于)(x F 最多除1=x 和0点外处处可导，且在1,0=x 处连续，若取 ⎩⎨⎧≤≤><=.10,2;10,0)(x x x x x f 或7．设),2(~2σN X ，且3.0)42(=<<X P ，求)0(<X P[解] 因为 )0(2)24222()42(3.0Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=---=<<=σσσσ x P X P所以 8.05.03.02=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φσ于是2.0212202)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-=<σσσσX P X P8．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它，求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().解 ⑴ P X (..)1525<<=⎰5.21.5d )(x x f =⎰-21.52d )1(3x x=25.13)1(-x = 0.875 ⑵ E X ()=⎰+∞∞-d )(x x xf =⎰-212d )1(3xx x =21234)23243(x x x +-=74 9．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.．解 )2(=X P =101251111=C C C ，)3(=X P =102251211=C C C ， )4(=X P =103251311=C C C ，)5(=X P =104251411=C C C ，所以X 的概率分布为：二）、例题分析1、 （1）“C B A ,,三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为 。
答案：AC BC AB ++。
（2）事件B A ,满足,8.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P 则________)(=+B A P 。
答案：分析 根据概率的加法公式与乘法公式，我们有)()()()(AB P B P A P B A P -+=+)()()()(A B P A P B P A P -+==7.08.05.06.05.0=⨯-+（3）对于任意事件C B A ,,，则________)(=++C B A P 。
答案：)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++分析))(()(C B A P C B A P ++=++])[()()(C B A P C P B A P +-++=)()()()()(BC AC P C P AB P B P A P +-+-+==)()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++ 2 、事件B A ,若满足1)()(>+B P A P ，则A 与B 一定（ ）（A ）不相互独立； （B ）互不相容；（C ）相互独立； （D ）不互斥答案：D分析 由加法公式，有1)()()()(≤-+=+AB P B P A P B A P而且1)()(>+B P A P 时，只有0)(≠AB P 时，才能保证上式成立，即≠AB φ，故选择D 正确。