广东省广州市荔湾区高二下学期期末考试数学理试题
第二学期教学质量监测试卷
高二数学(理科)
本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数212⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
所对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．下列命题中的假命题是
A ．,lg 0x x R ∈∃>
B ．,sin 1x x ∃∈=R
C ．2,0x x ∈∀>R
D ．,20x x ∈∀>R
3．设()ln f x x x =,若0'()2f x =,则0x =
A.2e
B.e
C.ln 22
D.ln 2
4．已知A 是B 的充分不必要条件，C 是B 是必要不充分条件，A ⌝是D 的充分不必要条件，则C 是D ⌝的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知2~(,)Z N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，
(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544．若 (),~51X N ，则(67)P X <<等于 A ．0.3413 B ．0.4772 C ．0.1359 D ．0.8185 6．在四面体OABC 中，OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，OC c =uuu r r
，点M 在OA 上，且2OM MA =,点N 是BC 的中点，则MN =uuu r
A ．211322a b c -++r r r
B ．121232
a b c -+r r r C ．111222a b c +-r r r D ．221332
a b c +-r r r 7．直线3,,022
x x y π
π===及曲线cos y x =所围成图形的面积是 A ．2 B ．3 C ．π D ．π2
8．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有
A ．80种
B ．100种
C ．120种
D ．126种
9．抛物线22y px =的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若OFM ∆的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为π9，则p =
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．以下命题正确的个数为
(1)存在无数个∈βα,R ，使得等式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=-成立；
(2)在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的充要条件； (3)命题“在ABC ∆中，若sin sin A B =,则A B =”的逆否命题是真命题；
(4)命题“若6π
α=，则21sin =α”的否命题是“若6πα≠，则2
1sin ≠α”． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
11．如图，已知椭圆2
21:110x C y +=，双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于,A B 两点，且1C 与该
渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为
A ．9
B ．5
C ．5
D ．3
12．已知函数)(x f 的导函数为()f x '，且()()f x f x '>对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是
A ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f <
B ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f <
C ．(1)(0)f ef <，2(2)(0)f e f >
D ．(1)(0)f ef >，2(2)(0)f e f >
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．若双曲线2221(0)3
x y a a -=>的一个焦点恰好与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近
线方程为 ．
14．代数式⋅
⋅⋅+++
11111中省略号“…”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以
用如下方法求得：令原式t =,则1
1t t +=，则210t t --=，取正值得512
t +=，用
类似方法可得=⋅⋅⋅+++666 ．
15．用总长为24m 的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器底面为正方形,则这个容
器体积的最大值为 ．
16．在()()642x x y ++的展开式中，记m n x y 项的系数为(),f m n ，则()()
3,45,3f f +＝ ．(用数字作答)
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.（本小题满分10分）
已知数列{}n a 中，1112,2(1,2,3...)n n
a a n a +==-=． （Ⅰ）求234,,a a a 的值，猜想出数列的通项公式n a ；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．
18.（本小题满分12分） 已知函数()(,)b f x ax a b x
=+∈R 的图象过点))1(,1(f P ，且在点P 处的切线方程为38y x =-．
（Ⅰ）求b a ,的值；
（Ⅱ）求函数)(x f 的极值．
19.（本小题满分12分）
如图四边形ABCD 为边长为2的菱形，G 为AC 与BD 交点，平面BED ⊥平面ABCD
，2,BE AE ==
（Ⅰ）证明：BE ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若120ABC ∠=o ，求直线EG 与平
面EDC 所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）
某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批
某海鱼，随机抽取50条作为样本进行统
计，按海鱼重量（克）得到如下的频率分
布直方图：
第19题图D A G C
E
（Ⅰ）若经销商购进这批海鱼100千克，试估计这批海鱼有多少条（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）根据市场行情，该海鱼按重量可分为三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量（g ） []165,185 [155,165) [145,155)
若经销商以这50条海鱼的样本数据估计这批海鱼的总体数据，视频率为概率．现从这批海鱼中随机抽取3条，记抽到二等品的条数为X ，求X 的分布列和数学期望． 21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63
()1,3--M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线02:=--y x l 与椭圆C 交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上一动点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 的最大面积．
22.（本小题满分12分）
已知函数21()ln(1)2
f x a x x x =++-，其中a 为实数． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：212()0f x x ->．。
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省广州市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设集合{}03M x x =<<，163N x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则()R M N ⋂=ð（）A ．{}06x x <≤B ．133x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}36x x <≤D ．{}36x x ≤≤【答案】D【分析】先求集合M 的补集R M ð，再取R M ð与集合N 的交集即可.【详解】由{}03M x x =<<，可得{}R 03M x x x =≤≥或ð则(){}{}R 1036363M N x x x x x x x ⎧⎫⋂=≤≥⋂≤≤=≤≤⎨⎬⎩⎭或ð故选：D 2．复数4i1iz =+，则z =（）A ．22i --B ．22i-+C ．22i+D ．22i-【答案】D【分析】先计算z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】根据复数除法的运算法则可得41i z i =+()()()414422112i i i i i i -+===+-+，所以可得其共轭复数22z i =-.故选：D.3．函数(sin sin 2)y x x x =-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD ，即可.【详解】由()(sin sin 2)y f x x x x ==-，得()()()()()sin sin 2sin sin 2f x x x x x x x f x -=----=--+=⎡⎤⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故排除BD.当π2x =时，ππππ(sin sin π)02222y f ⎛⎫==-=> ⎪⎝⎭，排除A.故选：C.4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为35π，则原圆锥的母线长为（）A ．2B ．5C ．4D ．25【答案】D【分析】设圆台的母线长为l ，根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，利用圆台的性质以及相似三角形即可求解.【详解】设圆台的母线长为l ，因为该圆台侧面积为35π，则由圆台侧面积公式可得π(12)3π35πl l +==，所以5l =，设截去的圆锥的母线长为l '，由三角形相似可得12l l l '='+，则25l l ''=+，解得5l '=，所以原圆锥的母线长5525l l '+=+=，故选：D .5．某兴趣小组研究光照时长x （h ）和向日葵种子发芽数量y （颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉()10,2D 后，下列说法正确的是（）A ．相关系数r 变小B ．决定系数2R 变小C ．残差平方和变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【答案】D【分析】从图中分析得到去掉()10,2D 后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可．【详解】从图中可以看出()10,2D 较其他点，偏离直线远，故去掉()10,2D 后，回归效果更好，对于A ，相关系数r 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，相关系数r 变大，故A 错误；对于B ，决定系数2R 越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，决定系数2R 变大，故B 错误；对于C ，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，若去掉()10,2D 后，残差平方和变小，故C 错误；对于D ，若去掉()10,2D 后，解释变量x 与预报变量y 的相关性变强，且是正相关，故D 正确．故选：D ．6．已知函数()()e e 2x xx f x --=，则21log3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，342b f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，432c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的大小关系为（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，然后再比较43342log 3,2,2-的大小，再根据函数的单调性可得结果【详解】()f x 的定义域为R ，因为()()()e e ee ()22x xxx x x f x f x ------===，所以()f x 为偶函数，所以()()2221log log 3log 33a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，443322c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()()()e e e e 2xx x xx f x ---++'=，因为0x >，所以e 1,0e 1x x -><<，所以e e 0x x -->，(e e )0x x x -+>，所以()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，因为2x y =在R 上单调递增，且340143-<<<，所以43013402222-<<<<，即433402122-<<<<，因为2log y x =在(0,)+∞上为增函数，且234<<，所以222log 2log 3log 4<<，即21log 32<<，所以4334202log 32-<<<，所以()433422log 32f f f -⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选：A7．已知抛物线21:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率大于零的直线l 与1C 及抛物线22:4C y x =-的所有公共点从左到右分别为点A B C ､､，则BC =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【分析】设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，代入22:4C y x =-，化简后由Δ0=求出m 的值，从而可得直线方程，再代入21:4C y x =化简，结合弦长公式可得答案.【详解】由题意可得()1,0F ，设直线l 的方程为1(0)x my m =+>，由题意可得直线l 与抛物线1C 必有2个交点，与抛物线2C 相切，联立方程组214x my y x=+⎧⎨=-⎩，可得2440y my ++=，所以2Δ16160m =-=，解得1m =，故直线l 的方程为1x y =+，与抛物线1C 方程联立214x y y x=+⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，设()()1122,,,B x y C x y ，则126x x +=，所以1228BC x x =++=.故选：C.8．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距,a b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b .若斜坐标系中，x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ，则该坐标系中()11,M x y 和()22,N x y 两点间的距离为（）A ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--B ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----C ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+-+--D ．()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ-+----【答案】A【分析】建立直角坐标系，求出直角坐标，即可得解.【详解】以O 为坐标原点,原x 轴正方向为x 轴，垂直于x 轴的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则在直角坐标系下，()111cos s n ,i M x y y θθ+，()222cos s n ,i N x y y θθ+,则()()22211221cos cos sin sin MN x y x y y y θθθθ+---=+()()()()22121212122cos x x y y x x y y θ=-+-+--.故选：A.二、多选题9．下列结论正确的是（）A ．若随机变量X 服从两点分布，1(1)2P X ==，则()12E X =B ．若随机变量Y 的方差()2D Y =，则(32)8D Y +=C ．若随机变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则1(3)4P ξ==D ．若随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，则(28)0.8P η<<=【答案】ACD【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A 正确；根据方差的性质，可判定B 错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C 正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由随机变量X 服从两点分布且1(1)2P X ==，则()11122E X =⨯=，故A 正确；对于B 中，由随机变量Y 的方差()2D Y =，可得()2(32)318D Y D X +==，故B 错误；对于C 中，由变量ξ服从二项分布14,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则334111(3)C ()(1)224P ξ==-=，所以C 正确；对于D 中，由随机变量η服从正态分布()25,N σ，(2)0.1P η<=，根据正态分布曲线的对称性，可得(28)1(2)0.8P P ηη<<=-<=，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数21()3sin cos cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最小正周期为πC ．函数()f x 的图象的对称轴方程为()ππZ 12x k k =+∈D ．函数()f x 的图象可由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度得到【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】2131cos 21()3sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=-+=-+31πsin 2cos 2sin 2226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故B 正确；由ππ2π()62x k k Z -=+∈，得ππ(Z)32k x k =+∈，故C 错误；由cos 2y x =的图象向左平移π12个单位长度，得ππcos 2cos 2cos 212623ππy x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2πsin sin π2π2π223sin 33x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝+⎭⎝⎦-⎭⎣，故D 错误.故选：AB11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A 1：第一次取出的是红球；事件A 2：第一次取出的是白球；事件B ：取出的两球同色；事件C ：取出的两球中至少有一个红球，则（）A ．事件1A ，2A 为互斥事件B ．事件B ，C 为独立事件C ．()25P B =D ．()234P C A =【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB ，由组合知识求得()P B 判断C ，根据条件概率的定义求得2(|)P C A 判断D ．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A 正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件B 发生时，两球同为白色或同为红色，2325223225C C ()3()C C ()4C P BC P C P B ===+，事件B 不发生，则两球一白一红，()1P C =，,B C 不独立，B 错；223225C C 2()C 5P B +==，C 正确；事件2A 发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C 才发生，所以23(|)4P C A =，D 正确．故选：ACD ．12．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于正整数n ，则下列说法中正确的有（）A ．()1ππn n x n-<<B ．1πn n x x +-<C ．(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列D ．()2(41)π1ln2n n f x ->-+【答案】AC【分析】()f x 的极值点为()f x '的变号零点，即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.将两函数图像画在同一坐标系下.A 选项，利用零点存在性定理及图像可判断选项；BC 选项，由图像可判断选项；D 选项，注意到(41)π(41)π1ln22n n f --⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由图像可得()f x 单调性，后可判断选项.【详解】()f x 的极值点为()1cos f x x x'=+在()0,∞+上的变号零点.即为函数cos y x =与函数1y x=-图像在()0,∞+交点的横坐标.又注意到()0,x ∈+∞时，10x -<，N k ∈时，()1212cos π+ππ+πk k =-<-，N k *∈，022222πππ,∪π,πx k k ⎛⎫⎛⎫∈-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >.据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.A 选项，注意到N k ∈时，120222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+，()12102ππππf k k '+=-+<+，31203222ππππf k k ⎛⎫'+=> ⎪⎝⎭+.结合图像可知当21，N n k k *=-∈，()()112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当2，N n k k *=∈，()()()1112π,ππ,πn x n n n n ⎛⎫⎛⎫∈--⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故A 正确；B 选项，由图像可知325322π，πx x ><，则32πx x ->，故B 错误；C 选项，(21)π2n n x --表示两点(),0n x 与12π,0n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭间距离，由图像可知，随着n 的增大，两点间距离越来越近，即(21)π2n n x ⎧-⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列.故C 正确；D 选项，由A 选项分析可知，()241212π,π，N n n x n n *⎛⎫-∈-∈ ⎪⎝⎭，又结合图像可知，当()2412,πn n x x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，1cos x x >-，即此时()0f x ¢>，得()f x 在()2412,πn n x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，则()2(41)π(41)π1ln 22n n n f x f --⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题涉及函数的极值点，因函数本身通过求导难以求得单调性，故将两相关函数画在同一坐标系下，利用图像解决问题.三、填空题13．函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为．【答案】2ey x =-【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()ln f x x x =⋅，则()e e ln e e f =⋅=，又()ln 1f x x '=+，则()e ln e 12f '=+=，所以函数()ln f x x x =⋅在e x =处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-.故答案为：2ey x =-14．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是.【答案】60【分析】先根据二项式系数之和求出n ，然楼根据展开式的通式，令x 的次数为零即可得常数项.【详解】由12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64得264n=，解得6n =，即612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式的通式为()()366621661C 212C rr r r r r rr T x xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令3602r-=得4r =，()42441612C 60T +∴=-=故答案为：60.15．某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选的课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有种.（用数字作答）【答案】36【分析】分两类：所选课程恰有一门相同和没有相同，利用排列、组合分别求出每类的种数，再利用分类计数原理即可求出结果.【详解】当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时：相同的课程为“数学文化”时，有24A 12=种，相同的课程不是“数学文化”时，有1134C C 12=种，所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时，共有24种，当小明和小华两位同学所选的课程没有相同时，有1243C C 12=,所以，两位同学不同的选课方案有241236+=，故答案为：3616．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点103,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．【答案】2【分析】延长2PF 交1F M 延长线于点N ，结合题意得点M 为1F N 的中点，1PN PF =，从而得到212OM F N =，再结合双曲线的定义即可求解．【详解】如图，延长2PF 交1F M 延长线于点N ，因为点M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M MP ⊥，所以点M 为1F N 的中点，所以1PN PF =，又点O 为12F F 的中点，且1224PF PF a -==，所以()()22111142222OM F N PN PF PN PF ==-=-+=．故答案为：2．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，满足12542,30,2a b S b ===+是3b 与5b 的等差中项.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设()(1)n n n n c a b =-+，求数列{}n c 的前20项和20T .【答案】(1)2n a n =，12n n b -=；(2)202+593【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用12a =，515452S a d ⨯=+求出d 值即可得到{}n a 的通项公式；再由题意得4352(2)b b b +=+，结合12b =可求出q 值，进一步可得{}n b 的通项公式；（2）由()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ，利用等比数列求和公式，结合分组求和即可求出20T ．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为12a =，所以55410302S d ⨯=+=，解得2d =，所以22(1)2n a n n =+-=，由题意知：()43522b b b +=+，因为22b =，所以()2322222q q q +=+，解得2q =，所以12n n b -=；（2）由（1）得()11(1)22(1)2(1)2n n n n n n c n n --=-+=-⋅+-⋅，()392021(246840)12222T =-+-+-++-+-+-+ ()220200112212+59210201(2)33⎡⎤-⨯---⎣⎦=⨯+=+=--.18．近年来，绿色环保和可持续设计受到社会的广泛关注，成为了一种日益普及的生活理念和方式.可持续和绿色能源，是我们这个时代的呼唤，也是我们每一个人的责任.某环保可持续性食用产品做到了真正的“零浪费”设计，其外包装材质是蜂蜡.食用完之后，蜂蜡罐可回收用于蜂房的再建造.为了研究蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类的关系，研究团队收集了黄､褐两种颜色的蜂蜡罐，对,M N 两个品种的蜜蜂各60只进行研究，得到如下数据：黄色蜂蜡罐褐色蜂蜡罐M 品种蜜蜂4020N 品种蜜蜂5010(1)依据小概率值0.05α=的独立性检验，分析蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐是否与蜜蜂种类有关联？(2)假设要计算某事件的概率()P B ，常用的一个方法就是找一个与B 事件有关的事件A ，利用公式：()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=⋅+⋅求解，现从装有a 只M 品种蜜蜂和b 只N 品种蜜蜂的蜂蜡蠸中不放回地任意抽取两只，令第一次抽到M 品种蜜蜂为事件A ，第二次抽到M 品种蜜蜂为事件B ，求()P B （用,a b 表示()P B ）附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.10.050.010.0050.001x α 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】(1)蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联；(2)()a P B a b =+【分析】（1）由已知数据结合公式求2χ，比较其与临界值的大小，由此确定蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，进一步求频率判断；（2）由古典概型概率公式和条件概率公式求()()()(),,,P A P B A P A P B A ，再代入所给公式求解.【详解】（1）根据列表得2212060040 4.444 3.841609309χ⨯==≈>⨯⨯，所以依据0.05α=的独立性检验，蜜蜂进入不同颜色的蜂蜡罐与蜜蜂种类有关联，M 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为23，M 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为13，N 品种进入黄色蜂蜡罐的频率为56，N 品种进入褐色蜂蜡罐的频率为16，依据频率分析，M 品种的蜜蜂选择褐色蜂蜡罐的频率是N 品种的蜜蜂的两倍，所以品种M N ､的蜜蜂选择进入黄色蜂蜡罐与褐色蜂蜡罐有显著差异；（2）由已知上式知，()()()()1,,,11a a b a P A P B A P A P B A a b a b a b a b -====++-++-则()()()()()()()P B P AB P AB P A P B A P A P B A=+=⋅+⋅，所以1()11a a b a P B a b a b a b a b -=⋅+⋅++-++-，所以()()()()11a a b a P B a b a b a b +-==++-+，所以()a P B a b =+.19．如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．(1)若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；(2)若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】(1)7154(2)463【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【详解】（1）在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；（2）设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.20．如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，2AB AP ==，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点.(1)求证：平面EFG⊥平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为13，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E ABG-体积.【答案】(1)证明见解析(2)1 9【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法求出G点坐标，然后求解即可.【详解】（1）证明：如图：连接BD，在正方形ABCD中BD AC⊥，又PA⊥平面ABCD，故PA BD⊥.而PA，AC是平面PAC上的两条相交直线，所以BD⊥平面PAC.在PBD△中，EF为中位线，故EF BD∥.所以EF⊥平面PAC.又EF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PAC.（2）如图：以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()002P ,,，()0,2,0D ，()1,0,1E ，()0,1,1F ，()1,0,1AE =uuu r ，()0,1,1AF = ，设平面AEF 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00AE m AF m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111100x z y z +=⎧⎨+=⎩，取()1,1,1m =- ，设101,2PG PC λλλ⎛⎫=<<≠ ⎪⎝⎭ ，则(0,0,2)(2,2,2)(2,2,22)AG AP PG AP PC λλλλλ=+=+=+-=- .则222621sin cos ,3344(22)m AG λθλλλ-===⨯++- ，整理得212810λλ-+=，解得16λ=或12λ=（舍去），故16PG PC = ，故G 到平面PAB 的距离1163h BC ==，故1226EBG S BE h =⋅=△.因为()()1,0,10,1,00AE BC ⋅=⋅= ，所以AE BC ⊥，又()()1,0,12,0,20AE BP ⋅=⋅-= ，所以AE BP ⊥，又BP BC P = ，所以EA ⊥平面PBC ，故A 到平面BEG 的距离为2EA =.三棱锥E ABG -体积为112123369E ABG A EBG EBG V V S EA --==⋅=⨯⨯=△.21．已知函数()()2ln 21f x a x x a x =+-+，其中0a >.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当102a <<时，判断函数()f x 零点的个数.【答案】(1)答案见解析(2)一个零点，理由见解析【分析】（1）求出()f x '，分12a =、102a <<、12a >讨论可得答案；（2）由（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得函数()f x 的极大值()f a ，再利用导数证明()0f a <可得答案.【详解】（1）()()()()()212210x x a a f x x a x x x --'=+-+=>，令()0f x '=得21,2x x a ==，当12a =时，()0f x '≥，则函数()f x 在()0,∞+上单调递增，当102a <<时，0x a <<或12x >时，()0f x ¢>，12a x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当12a >时，102x <<或x a >时，()0f x ¢>，12x a <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述，当12a =时，函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；当102a <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当12a >时，函数()f x 的单调递增区间为在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),a +∞，单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数，理由如下，由（1）得当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()0,a ，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；则函数()f x 的极大值为()()()2ln 21ln 1f a a a a a a a a a =+-+=--，且极小值为()12f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()ln 1g x x x =--，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1110x g x x x -'=-=>，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()g x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()13ln 2022g x g ⎛⎫<=--< ⎪⎝⎭，所以当10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln 10f a a a a =--<，()()()()224222e ln e e 21e e 1e 2f a a a =+-+=--，因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,1a ∈，22e 10,e 20a ->->，可得()2e 0f >，如下图，作出函数()f x 的大致图象，由图象可得当102a <<时，函数()f x 仅有一个零点的个数.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.22．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点()23P ,，且它的离心率12e =（I ）求椭圆的标准方程；（II ）与圆()2211x y -+=相切的直线:l y kx t =+交椭圆于M 、N 两点，若椭圆上一点C 满足OM ON OC λ+= ，求实数λ的取值范围【答案】（1）22186x y +=；（2）()()2,00,2-⋃【分析】（1）根据题意先设出椭圆的标准方程，然后根据椭圆上的点及离心率可求出方程中的待定系数，进而可得所求的方程；（2）由直线和圆相切可得212t k t-=(t≠0)，然后将直线方程代入椭圆方程后得到关于x 的一元二次方程，根据根据系数的关系可得点C 的坐标，代入椭圆方程后整理得到2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，根据t 的范围可得202λ<<，进而得到所求范围．【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由已知得2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，，，解得2286a b ⎧=⎨=⎩，，所以椭圆的标准方程为22186x y +=.（2）因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切，所以21t kk ++＝1，整理得212t k t-=(t≠0)．由22186y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，因为直线l 与椭圆交于M ，N 两点，所以()()()2222226443442416243180k t k t k t ∆=-=-+>＋－，将212t k t-=代入上式可得0∆>恒成立．设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－2834kt k +，所以y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k(x 1＋x 2)＋2t ＝2634t k +，因为OC λ= ()1212,x x y y ++2286,3434kt t k k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭)，所以可得C ()()2286,3434kt t k k λλ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭，又因为点C 在椭圆上，所以()22222834k t k λ+＋()2222634t k λ+＝1,所以2222222234111t k t t λ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为t 2＞0，所以221t ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋21t ＋1＞1，所以202λ<<，所以λ的取值范围为()()2,00,2-⋃.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省广州市荔湾区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1−ii(其中i是虚数单位)的虚部是()A. 1B. iC. −1D. −i2.下列求导运算正确的是()A. (x2+ln2)′=2x+12B. (cosx2)′=−sinx2C. (lnxx )′=1−lnxx2D. (√x+1)′=2√x+13.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是()A. 0<f′(2)<f′(3)<f(3)−f(2)B. 0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)C. 0<f′(3)<f′(2)<f(3)−f(2)D. 0<f(3)−f(2)<f′(2)<f′(3)4.A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的左边，那么不同的排法共有()种A. 24B. 36C. 48D. 605.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，5人的名次排列有()种不同情况．A. 36B. 54C. 72D. 816.以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=()A. 0.3B. e0.3C. 4D. e47.甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制(当一队得三场胜利时，该队获胜，比赛结束)，根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3：1获胜的概率是()A. 0.18B. 0.21C. 0.39D. 0.428. 若x 2>x 1>1，则( )A. e x 2−e x 1>3lnx 2−3lnx 1B. e x 2−e x 1<3lnx 2−3lnx 1C. x 2e x 1<x 1e x 2D. x 2e x 1>x 1e x 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列叙述正确的是( )A. 回归直线一定过样本点的中心(x −,y −)B. 在回归分析中，R 2=0.80的模型比R 2=0.98的模型拟合的效果好C. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合效果越好D. 某同学研究卖出的热饮杯数y 与气温x(℃)的关系，得到回归方程y ̂=−2.35x +146.7，则气温为2℃时，一定可卖出142杯热饮10. 已知两种不同型号的电子元件(分别记为X ，Y)的使用寿命均服从正态分布X ～N(μ1,σ12)，Y ～N(μ2,σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )(参考数据：若Z ～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤Z ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ)≤Z ≤μ+2σ)≈0.9545)A. μ1>μ2B. σ1<σ2C. P(Y ≥μ2)<P(Y ≥μ1)D. P(μ1−σ1≤X ≤μ1+2σ1)≈0.818611. 在复平面内，复数z =a +bi 对应向量为OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点，a ，b ∈R).设|OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则z =r(cosθ+isinθ).数学家棣莫弗发现：设z 1=r 1(cosθ1+isinθ1)，z 2=r 2(cosθ2+isinθ2)，则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2]，我们称这个结论为英弗定理，并由此定理推出了复数乘方公式：z n =[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)(n ∈N ∗)，根据以上信息，下列说法正确的是( )A. 当r =1，θ=π3时，z 3=1B. 当r =1，θ=π3时，z −=12−√32iC. |z2|=|z|2D. 当r=1，θ=π4时，若n为偶数，则复数z n为纯虚数12.若函数f(x)={2x2lnx,x>0−x3−4x2,x≤0的图象和直线y=ax有四个不同的交点，则实数a的取值可以是()A. 4B. 2C. 0D. −1e三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x2−x在点P(−1,2)处的切线方程为______ ．14.新型冠状病毒疫情期间，4位志愿者需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，总共有______ 种不同安排方法.(用数字作答)15.(1+3x)6(1−x)3的展开式中x2的系数为______ ．16.某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.每个瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，当瓶子的半径r=______ cm时，每瓶饮料的利润最大，最大值为______ 分(结果保留π)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知二项式(1−2x)n，若选条件_____(填写序号)，(1)求展开式中含x3的项；(2)设(1−2x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，求展开式中奇次项的系数和．请在：①只有第4项的二项式系数最大；②第2项与第6项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为64这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答．18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2，f(x)的极值点分别为x1=−1，x2=3．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．19.一个箱子中装有4个红球和3个白球，那么：(1)一次取出2个球，在已知它们颜色相同的情况下，求该颜色是红色的慨率；(2)一次取出1个球，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，求取到红球个数X的期望与方差．20.为响应“没有全民健康，就没有全面小康”的号召，社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动，活动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对所有参与活的1000人进行了调查.其中男性600人中有180人参加徒手运动，女性中有320人参加器械运动．(1)根据以上提供的信息，完成2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系？(2)将上述调查所得的频率视为概率，为了进一步弄清选徒手运动的影响因素，准备进行抽样调查，现从选徒手运动的人中按分层抽样的方法抽取13人，再从这13人中任意抽取3人进行访谈，记抽取3人中参加徒手运动的女性人数为与ξ，求ξ的概率分布列．．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：21.某地位于甲、乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，(假设两河流发生洪水与否互不影响)，现有一台大型设备正在该地施工，为了保护设备，施工方提出以下三种方案：方案一：运走设备需要花费5000元；方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元；方案三：不采取措施，当两条河流同时发生洪水时损失60000元，只有一条河流发生洪水时，损失10000元．(1)求今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率；(2)试比较哪一种方案更好，说明理由．22.已知函数f(x)=e x−ax+x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x>0时，f(x)≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵z=1−ii =(1−i)(−i)−i=−1−i，∴复数z=1−ii的虚部是−1．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：(x2+ln2)′=2x，∴A错；(cosx2)′=−sinx2⋅(x2)′=−2xsinx2，∴B错；(lnx x )′=(lnx)′x−x′lnxx2=1x⋅x−lnxx2=1−lnxx2，∴C对；(√x+1)′=((x+1)12)′=12(x+1)−12=2√x+1，∴D错．故选：C．根据导数运算的公式进行导数运算进行判断即可．本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设x=2，x=3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f(3)−f(2)=f(3)−f(2)3−2=k AB，f′(3)=k BQ，f′(2)=k AT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，所以k BQ<k AB<k AT，即0<f′(3)<f(3)−f(2)<f′(2)．故选：B．设x=2，x=3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，将问题转化为直线的斜率进行比较，即可得到答案．本题考查了函数图象的应用，导数的几何意义的应用，直线的斜率与倾斜角关系的应用，考查了识图能力、逻辑推理能力、化简运算能力，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①A，B必须相邻且B在A的左边，将AB看成一个整体，有1种顺序，②将AB整体与C、D、E全排列，有A44=24种情况，则有1×24=24种排法；故选：A．根据题意，分2步进行分析：①将AB看成一个整体，要求B在A的左边，②将AB整体与C、D、E全排列，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，此时有3×6=18种名次排列情况；②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A32=6种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有A33=6种情况，此时有6×6=36种名次排列情况；则一共有36+18=54种不同的名次排列情况，故选：B．根据题意，分2种情况讨论：①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理原理的应用，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】根据对数的运算性质：log a(MN)=log a M+log a N，log a N n=nlog a N，即可得出结论．本题考查的知识点是线性回归方程，其中熟练掌握对数的运算性质，是解答此类问题的关键．【解答】解：∵y=ce kx，∴两边取对数，可得lny=ln(ce kx)=lnc+lne kx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+4，∴lnc=4，∴c=e4．故选：D．7.【答案】B【解析】解：根据题意，若甲队以3：1获胜，则甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，则甲队以3：1获胜的概率P=0.6×0.6×(1−0.5)×0.5+0.6×(1−0.6)×0.5×0.5+ (1−0.6)×0.6×0.5×0.5=0.21；故选：B．根据题意，分析可得甲队在第四局获胜，前三局中获胜2局，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．本题考查互斥事件、相互独立事件概率的计算，注意“甲队以3：1获胜”的条件，属于基础题．8.【答案】C，【解析】解：令f(x)=e x−3lnx，则f′(x)=e x−3x的图象如图，在同一坐标系中画出y=e x与y=3x由图可知，存在a∈(1,+∞)，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴e x2−e x1与3lnx2−3lnx1的大小关系不确定，故AB错误；令g(x)=e xx ，则g′(x)=xex−e xx2，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∵x2>x1>1，∴e x1x1<e x2x2，即x2e x1<x1e x2，故C正确，D错误．故选：C．分别构造函数f(x)=e x−3lnx，g(x)=e xx，利用导数求其在(1,+∞)上的单调性，结合x2>x1>1得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，是中档题．9.【答案】AC【解析】解：对于A，回归直线一定过样本点的中心(x−,y−)，故A正确；对于B，相关系数R2越大，说明拟合效果越好，故B错误；对于C，在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，说明模型的拟合效果越好，故C正确；对于D，把x=2代入回归方程ŷ=−2.35x+146.7，可得ŷ=142，说明气温为2℃时，预测可卖出142杯热饮，故D错误．故选：AC．由线性回归方程的特点判断A和D；由相关系数与预报效果间的关系判断B；由残差图的形状与拟合效果间的关系判断C．本题考查回归直线方程中的概念及其应用，正确理解统计中相关性的概念是解题的关键，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：由图可知，Y的正态分布密度曲线的对称轴大于X的正态分布密度曲线，u1<u2，故A选项错误，Y的正态分布密度曲线数据分布的离散程度大于X的正态分布密度曲线的分布的离散程度，σ1<σ2，故B选项正确，由正态分布密度曲线，可知u1<u2，可得P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故C选项正确，P(μ1−σ1≤X≤μ1+2σ1)≈12×(0.6827+0.9545)=0.8186，故D选项正确．故选：BCD．根据已知条件，结合正态分布的性质，即可求解．本题主要考查正态分布的性质，需要学生有一定的分析能力，属于基础题．11.【答案】BC【解析】解：对于A，当r=1，θ=π3时，z3=(cosθ+isinθ)3=cos3θ+isin3θ=cosπ+ isinπ=−1，故选项A错误；对于B，当r=1，θ=π3时，z=cosπ3+isinπ3=12+√32i，所以z−=12−√32i，故选项B正确；对于C，z=r(cosθ+isinθ)，则z2=r2(cos2θ+isin2θ)，所以|z2|=|r2(cos2θ+isin2θ)|=r2，又|z|2=|r(cosθ+isinθ)|2=r2，所以|z2|=|z|2，故选项C正确；对于D，当r=1，θ=π4时，z n=(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ=cos nπ4+isin nπ4，取n=4时，则n为偶数，此时z4=cosπ+isinπ=−1不是纯虚数，故选项D错误．故选：BC．利用复数乘方公式即可判断选项A；利用复数的三角形式以及共轭复数的定义即可判断选项B；利用复数的三角形式与模的计算公式即可判断选项C；利用复数乘方公式化简z n，取n=4验证，即可判断选项D．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：当x >0时，由f(x)=ax 得2x 2lnx =ax ， 得a =2xlnx ，当x ≤0时，由f(x)=ax 得−x 3−4x 2=ax ， 此时x =0是方程的一个根， 当x ≠0时，a =−x −4x ， 设ℎ(x)={2xlnx,x >0−x 2−4x,x <0，当x >0时，ℎ′(x)=2lnx +2x ⋅1x =2lnx +2 =2(1+lnx)，由ℎ′(x)>0得1+lnx >0得lnx >−1， 得x >1e 此时函数为增函数，由ℎ′(x)<0得1+lnx <0得lnx <−1， 得0<x <1e ，此时函数为减函数，即当x =1e 时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1e )=2×1e ln 1e =−2e ， 当x <0时，ℎ(x)=−x 2−4x =−(x +2)2+4， 作出ℎ(x)的图象如图：要使f(x)与直线y =ax 有四个不同的公共点，等价为ℎ(x)与y =a 有3个不同的交点， 则a 满足−2e <a <0或0<a <4， 即实数a 的取值范围是(−2e ,0)∪(0,4)， 故选：BD ．根据分段函数的表达式，先得到x =0是f(x)与y =ax 的一个根，利用参数分离法构造函数ℎ(x)，得到ℎ(x)与y =a 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，根据参数分离法，结合函数的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．13.【答案】3x+y+1=0【解析】解：由y=x2−x，得y′=2x−1，则y′|x=−1=−3，∴曲线y=x2−x在点P(−1,2)处的切线方程为y−2=−3(x+1)，即3x+y+1=0．故答案为：3x+y+1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=−1处的导数，可得曲线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．14.【答案】36【解析】解：将4位志愿者分成3组，有C42=6种不同的方法，将3组志愿者分配到3个不同的路口，有A33=6种不同的方法，所以，共有6×6=36种不同的安排方法．故答案为：36．可先将4位志愿者分成3组，然后再分配到3个不同的路口即可．本题考查了分步乘法计数原理以及排列组合的综合应用．15.【答案】84【解析】解：(1+3x)6(1−x)3=[1+C61⋅3x+C62⋅(3x)2+⋅⋅⋅+C66⋅(3x)6](1−3x+3x2−x3)，故它的展开式中x2的系数为1×3+6×3×(−3)+C62×9=84，故答案为：84．把(1+3x)6和(1−x)3分别利用二项式定理展开，可得(1+3x)6(1−x)3的展开式中x2的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】6 28.8π【解析】解：设瓶子半径为r时，每瓶饮料的利润是：f(r)=0.2×4π3r3−0.8πr2=0.8π(r33−r2).0<r≤6，f′(r)=0.8π(r2−2r)，令f′(r)=0，得r=2或r=0(舍去)，当r∈(0,2)时，f′(r)<0，f(r)单调递减，当r∈(2,6)时，f′(r)>0，f(r)单调递增，r→0时，f(r)→0；r=6时，f(6)=28.8π，故半径为6cm时，利润最大为28.8π．故答案为：6，28.8π．线确定利润函数，再利用求导的方法，即可得出结论．本题考查函数模型的建立，导数的应用，属于中档题．17.【答案】解：：选①，由只有第4项的二项式系数最大，可知，展开式共有7项，所以n=6，选②，由第2项与第6项的二项式系数相等，可知，C n1=C n5，所以n=6，选③，由所有二项式系数的和为64，可知2n=64，可得n=6，所以二项式可化为(1−2x)6，(1)∵T r+1=C6r⋅16−r⋅(−2x)r=C6r⋅(−2)r⋅x r，令r=3，∴展开式中含x3的项为C63⋅(−2)3⋅x3=−160x3，(2)令x=1，则(1−2×1)6=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1，令x=−1，则[1−2×(−1)]6=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6−a7=36，展开式中奇次项的系数和为a0+a2+a4+a6=1+362=365．【解析】选①时，由只有第4项的二项式系数最大，可知n=6；选②时，可知C n1=C n5，求出，n=6；选③时，所有二项式系数的和为64，可知2n=64，可得n=6，(1)知道n值，借助于通项公式，求解即可；(2)令x=1和x=−1即可求解．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．18.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)的极值点分别为x1=−1，x2=3，所以−1，3是方程3x2+2ax+b=0的根，所以−1+3=−2a3，−1×3=b3，解得a=−3，b=−9．(2)由(1)知f(x)=x3−3x2−9x+2，f′(x)=3x2−6x−9，令f′(x)=0得x=−1或3，在(−∞,−1)，(3,+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(−1,3)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)极大值=f(−1)=7，f(x)极小值=f(3)=−25．【解析】(1)求导得f′(x)=3x2+2ax+b，则−1，3是方程3x2+2ax+b=0的根，进而解得a，b．(2)由(1)知f(x)=x3−3x2−9x+2，求导分析单调性，极值，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，极值，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】解：(1)在已知它们颜色相同的情况下，该颜色是红色的慨率为P=C42C42+C32=6 9=23；(2)由题意可知，一次取出1个球，取得红球的概率为47，取出后记录颜色并放回箱中，取球3次，则X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3,47)，所以E(X)=np=3×47=127，D(X)=np(1−p)=3×47×37=3649．【解析】(1)利用条件概率的定义求解即可；(2)先求出一次取出1个球，取得红球的概率，确定随机变量X的可能取值，利用二项分布的数学期望和方差的公式求解即可．本题考查了条件概率的理解与应用，二项分布的数学期望和方差的公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)列联表为K2=1000×(420×80−180−320)2600×400×740×260≈12.474>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为选择器械运动与性别有关系．(2)选取的13人中，男性13×180260=9人，女性13×80260=4人．ξ的所有可能取值为0，1，2，3．P(ξ=0)=C93C133=42143；P(ξ=1)=C92C41C133=72143；P(ξ=2)=C91×C42C133=27143；P(ξ=3)=C43C133=2143；所以ξ的分布列为：【解析】(1)补充列联表，代入K2的公式计算；(2)利用分层抽样得到男性9人，女性4人，利用古典概型概率公式求概率．本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，则甲、乙两条河流均不发生洪水的概率为(1−0.25)(1−0.2)=0.6，所以今年甲、乙两河流至少有一条发生洪水的概率为1−0.6=0.4；(2)方案一：花费5000元；方案二：建防洪设施，需要花费2000元，但防洪设施只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失56000元，两条河流都发生洪水的概率为P=0.25×0.2=0.05，所以该方案中可能的花费为2000+56000×0.05=4800元；方案三：设损失费为X，则X的可能取值为10000，60000，0，所以P(X=10000)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35，P(X=60000)=0.25×0.2=0.05，P(X=0)=(1−0.25)(1−0.2)=0.6，所以E(X)=10000×0.35+60000×0.05+0×0.6=6500元．因为4800<5000<6500，所以方案二最好．【解析】(1)利用对立事件的概率公式以及相互独立事件的概率公式求解即可；(2)分别求出三种方案的花费，比较大小即可．本题考查了相互独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)f′(x)=e x−a+1，当−a+1≥0，即a≤1时，f′(x)>0在(−∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递增，当−a+1<0，即a>1时，在(ln(a−1),+∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，在(−∞,ln(a−1))上，f′(x)<0，f(x)单调递减，(2)因为当x>0时，f(x)≥x2+1恒成立，所以当x>0时，e x−ax+x≥x2+1恒成立，所以当x>0时，a≤e x+x−x2−1x恒成立，令g(x)=e x+x−x2−1x，g′(x)=(e x+1−2x)x−(e x+x−x2−1)x2=xe x+x−2x2−e x−x+x2+1x2=(x−1)e x−x2+1x2=(x−1)e x−(x+1)(x−1)x2=(x−1)(e x−x−1)x，令ℎ(x)=e x−x−1，ℎ′(x)=e x−1，当x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增， 当x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， 所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0，所以当x >1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x <1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)min =g(1)=e −1， 所以a ≤e −1，故a 的取值范围(−∞,e −1]．【解析】(1)求导得f′(x)=e x −a +1，分两种情况：当a ≤1时，当a >1时，f(x)的单调性．(2)问题可转化为当x >0时，a ≤e x +x−x 2−1x恒成立，令g(x)=e x +x−x 2−1x，只需a ≤g(x)min ，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．。
2022届广东省广州市高二下数学期末教学质量检测试题含解析
2022届广东省广州市高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，则平面1ACD 截球O 所得的截面面积为( ) A ．9π B ．6π C ．66π D ．23π 2．已知函数2()21x f x a =++为奇函数,则()f a =（ ） A ．13B ．23C ．1-D ．12-3．已知向量(2,1)a =--r ，(3,2)b =r ，则2a b =-r r （ ）A ．(6,4)--B ．(5,6)--C ．(8,5)--D ．(7,6)--4．设x ∈R ，则“3144x -<”是“31x <”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．下列两个量之间的关系是相关关系的为（ ） A ．匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B ．学生的成绩和体重C ．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D ．水的体积和重量6．已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A ．{}1M N x x =<I B ．{}0M N x x =>U C ．M N ⊆ D ．N M ⊆7．设函数,( )A ．3B ．6C ．9D ．128．过点()1,2P ，且与直线230x y -+=平行的直线的方程为（ ） A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．20x y +=952，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ）A．3B．3C ．3D ．410．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则为12V V =（ ） A ．164B ．127C ．19D ．1811．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.8cm 和10.9cm ，则可认为（ ） A ．上、下午生产情况均正常 B ．上午生产情况异常，下午生产情况正常 C ．上、下午生产情况均异常D ．上午生产情况正常，下午生产情况异常12．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则1a =（ ） A ．43B ．1C ．23D ．13二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量(1,2)a =v ，(,1)b x =-v ，若()a a b -vv v P ，则a b ⋅=v v __________．14．函数()ln f x x x =的单调减区间是______．15．在62x ⎛+ ⎝展开式中，常数项为_____________.（用数字作答）16．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a a =-+.（1）若不等式()2f x ≤的解集为{|12}x x ≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围.18．已知矩阵 2 11 3M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 1 12 1N ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.(1)求1()MN -；(2)在平面直角坐标系xOy 中,求直线:210l x y +-=在M 对应的变换T 作用下所得直线'l 的方程.19．（6分）设全集为2,{|0},{|28}4x xR A x B x x -=≥=≥-. （Ⅰ）求A ⋃（R C B ）；（Ⅱ）若{|24},C x a x a A C A =-≤≤+⋂=，求实数a 的取值范围.20．（6分）在极坐标系中，曲线1C ：2sin 4cos ρθθ=，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系xoy ，曲线2C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 、2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，且定点P 的坐标为()2,0，求PA PB ⋅的值.21．（6分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点32P ⎛ ⎝，求抛物线的方程和双曲线的方程．22．（8分）已知函数()(1)xf x ax e =-，a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =，求证：当1x >-时，()ln(1)1xf x e x x ≥+--.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】根据正方体的特征，求出球的直径和球心O 到平面1ACD 的距离，求出截面圆的半径，即可得到面积. 【详解】球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的外接球，其体对角线就是球的直径，根据正方体的性质O 到平面1ACD 的距离为13=，所以平面1ACD 截球O =所以其面积为223ππ=. 故选：D 【点睛】此题考查求几何体外接球问题，根据几何特征求出外接球的半径，根据圆心到截面的距离求截面圆的半径，进而求解面积. 2．A 【解析】 【分析】根据奇函数性质,利用(0)0f =计算得到a ,再代入函数计算()f a 【详解】由函数表达式可知，函数在0x =处有定义，则(0)0f =，1a =-，则2()121x f x =-++，1(1)3f -=.故选A. 【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质(0)0f =,简化了计算,快速得到答案. 3．C 【解析】 【分析】由已知向量的坐标运算直接求得2a b -r r 的坐标．【详解】∵向量a =r（-2，﹣1），b =r（3，2），∴2(2,1)2(3,2)(8,5)a b -=---=--r r.故选C. 【点睛】本题考查了向量坐标的运算及数乘运算，属于基础题.4．B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式和三次不等式的解法得到解集，根据小范围可推大范围，大范围不能推小范围得到结果. 【详解】 解3144x -<得到112x <<，解31x <，得到1x <，由112x <<则一定有1x <；反之1x <,则不一定有112x <<；故“3144x -<”是“31x <”的充分不必要条件.故答案为：B. 【点睛】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 5．C 【解析】 【分析】根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；B 选项，成绩与体重之间不具有相关性；C 选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；D 选项，水的体积与重量是函数关系. 故选C 【点睛】本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型. 6．D 【解析】 【分析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<，据此结合交集、并集、子集的定义考查所给的选项是否正确即可.【详解】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01M N x x =<<I ，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集、并集、子集的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．C 【解析】分析：由－2＜1，2log 121>知两个函数值要选用不同的表达式计算即可．详解：2(2)1log [2(2)]3f -=+--=，22log 121log 62(log 12)226f -===， ∴2(2)(log 12)369f f -+=+=． 故选C ．点睛：本题考查分段函数，解题时要根据自变量的不同范围选用不同的表达式计算． 8．A 【解析】 【分析】求出直线230x y -+=的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程. 【详解】因为230x y -+=的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为22(1)20y x x y -=-⇒-=，故本题选A.【点睛】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线230x y -+=平行的直线可设为20x y λ-+=，过()1,2代入方程中，0λ=，所以直线方程为20x y -=，一般来说，与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By λ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay λ-+=.9．C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 10．B 【解析】 【分析】平面图形类比空间图形,二维类比三维,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论. 【详解】设正四面体P-ABC 的边长为a ，设E 为三角形ABC 的中心，H 为正四面体P-ABC 的中心，则HE 为正四面体P-ABC 的内切球的半径r,BH=PH 且为正四面体P-ABC 的外接球的半径R ，所以BE=2223336,32333a a PE a a a ⎛⎫⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以在Rt BEH ∆中 ，2226333r r ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得612r =，所以R=PE-HE=6663124a a a -=，所以13r R =，根据的球的体积公式有，331324134273rV r V R R ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，常见类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 11．D 【解析】 【分析】根据生产的零件外直径符合正态分布，根据3σ原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围，同两个零件的外直径进行比较，得到结论. 【详解】解：∵零件外直径()10,0.04X N :，∴根据3σ原则，在1030.210.6()cm +⨯=与1030.29.4()cm -⨯=之外时为异常. ∵上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.8cm 和10.9cm ，10.910.6>，∴下午生产的产品异常， 故选：D . 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查3σ原则，属于基础题. 12．C 【解析】 【分析】运用等差数列的性质求得公差d ，再运用通项公式解得首项即可． 【详解】 由题意知634226333a a d --===-，所以13422233a a d =-=-=. 故选C. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的运用，等差数列的性质，考查运算能力，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．52-【解析】【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的数量积计算即可． 【详解】解：∵()1,3a b x -=-v v ，因为()a a b v P v v -，所以()321x =-，解得：12x =-， 所以15222a b ⋅=--=-vv ．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的数量积，属于基础题． 14．1(0,)e【解析】分析：先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出x 的范围，写成区间形式，可得到函数ln y x x =的单调减区间.详解：函数的定义域为0x >，'ln 1y x =+Q ，令ln 10x +<，得10,x e<<∴函数ln y x x =的单调递减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于简单题.利用导数求函数的单调区间的步骤为：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间. 15．60 【解析】 【分析】求出62x⎛+ ⎝展开式的通项，利用x 的指数为零求出参数的值，再将参数代入通项即可得出展开式中常数项的值. 【详解】62x⎛ ⎝展开式的通项为()136666622666222kkk k k k k k k k C x C x x C x ------⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅.令3602k-=，解得4k =. 因此，62x⎛+ ⎝展开式中的常数项为426215460C ⋅=⨯=.故答案为：60. 【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，一般利用展开式通项来求解，考查计算能力，属于基础题. 16．36 【解析】试题分析：将4人分成3组，再将3组分配到3个乡镇，23436636C A =⨯=考点：排列组合三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）32；（2）6m ≥． 【解析】试题分析：（1）根据不等式解的端点就是对应方程的根即可求解；（2）分离参数，转化为求的最小值即可解决. 试题解析：（1）2x a a -+≤，222a x -≤≤，即得221a -=，得32a =. （2）∵()()f n m f n ≤--，∴()()m f n f n ≥+- 33322n n =-+++. ∵min 33(322n n -++=），且存在实数n 使()()f n m f n ≤--，∴6m ≥.18．（1）121 217)1 03(MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）5470x y +-=.【解析】 【分析】 【详解】分析：(1)直接根据逆矩阵公式计算即可(2) 由2113x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎣'⎦⎣'⎦⎦，即2,3'x y x x y y -=⎧⎨+=''''⎩解得3+72'7x yx y x y ⎧=⎪⎪⎨-'⎪=⎪⎩，即5470x y +-=. 详解：(1)由题知2113MN -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 11032172⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，所以()03det 2l 72MN ⎡⎤==-⎢⎥-⎣⎦，根据逆矩阵公式,得()121217103MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2)设由l 上的任意一点(),P x y '''在T 作用下得到'l 上对应点(),p x y . 由2113x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎣'⎦⎣'⎦⎦，即2,3'x y x x y y -=⎧⎨+=''''⎩解得3+72'7x y x y x y ⎧=⎪⎪⎨-'⎪=⎪⎩， 因为210x y ''+-=,所以3221077x y y x +-⨯+-=， 即5470x y +-=.即直线l 的方程为5470x y +-=.点睛：(1)逆矩阵计算公式是解第一问关键，要会掌握其运算公式(2)一直线在M 对应的变换T 作用下所得直线'l 的方程计算不难，不要算错一般都可以解决.19． (1){|4}x x <;(2)[0,4].【解析】分析：⑴化简集合A B ，，根据集合的运算法则即可求出结果⑵化简集合C ，根据A C A ⋂=得到A C ⊆，即可求得答案 详解：由204x x -≥-得24x ≤<，即{|24}A x x =≤< 由28x ≥，得3x ≥，即{|3}B x x =≥（Ⅰ）由已知得(C ){|3}R B x x =<，∴A ⋃ (C ){|4}R B x x =<（Ⅱ）∵A C A ⋂=，∴A C ⊆又∵{|24}C x a x a =-≤≤+，∴有2244a a -≤⎧⎨+≥⎩解得04x ≤≤ 所以a 的取值范围为[]0,4.点睛：本题是一道基础题，主要考查了集合的运算法则．在语句A C A ⋂=中，将其转化子集问题，即可求出结果．20．（1）24y x =0y --=；（2）323. 【解析】【分析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，能求出曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的参数方程消去参数t ，即可求出曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程代入24y x =，得到238320t t --=，由此借助韦达定理即可求出PA PB ⋅的值.【详解】（1）Q 曲线1C ：2sin 4cos ρθθ=，∴22sin 4cos ρθρθ=， ∴曲线1C 的直角坐标方程为24y x =.Q 曲线2C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.∴曲线2C 消去参数t ，得曲线2C0y --=.（2）曲线2C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入24y x =， 得23824t t =+，即238320t t --=， ()()2843324480∆=--⨯⨯-=>，12323t t ⋅=-， ∴1212323PA PB t t t t ==⋅⋅=. 【点睛】参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；解决极坐标方程与参数方程的综合问题时，对于参数方程或极坐标方程应用不熟练的情况下，我们可以先化为直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰；对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷.21．24y x =,224413x y -=. 【解析】试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过3(2P ，求出c 、p 的值，进而结合双曲线的性质222+=a b c 即可求解．试题解析：依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px(p ＞0)，∵点P 32⎛ ⎝在抛物线上， ∴6＝2p×32.∴p＝2， ∴所求抛物线的方程为y 2＝4x.∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上，∴c＝1，即a 2＋b 2＝1.又点P 32⎛ ⎝在双曲线上， ∴229614a b -=，解方程组222219614a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩, 得221434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或 2298a b ⎧=⎨=-⎩(舍去)． ∴所求双曲线的方程为4x 2－243y ＝1. 22．（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）依题意，()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()'1e xf x ax a =+-，分类讨论可求()f x 的单调性；（2）当1a =时，要证明()()e ln 11x f x x x ≥+--，即证明()()1e e ln 11x xx x x -≥+--， 只需证明()()1e ln 110x x x x -+-++-≥.设()()()1e ln 11xg x x x x -=+-++-，利用导数研究其性质， 即可证明()()ln 11xf x e x x ≥+-- 详解：（1）依题意，()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()'1e xf x ax a =+-， （1）当0a =时，()'e 0xf x =-<，()f x 在(),-∞+∞单调递减； （2）当0a >时，当1a x a -<时，()'0f x <；当1a x a ->时，()'0f x >； 所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（3）当0a <时，当1a x a -<时，()'0f x >；当1a x a ->时，()'0f x <； 所以()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减； 综上，当0a =时，()f x 在(),-∞+∞单调递减；当0a >时，()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增； 当0a <时，()f x 在1,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （2）当1a =时，要证明()()e ln 11x f x x x ≥+--，即证明()()1e e ln 11x xx x x -≥+--， 因为e 0x >，所以只需证明()()()1ln 11e xx x x --≥+-+， 只需证明()()1e ln 110x x x x -+-++-≥.设()()()1e ln 11xg x x x x -=+-++-， 则()()()e 111'e 1e 111e x x x x x x g x x x x x x ----⎛⎫=--+=--= ⎪+++⎝⎭， 设()e 1x h x x =--，则()'e 1xh x =-， 所以当10x -<<时，()'0h x <；当0x >时，()'0h x >；所以()h x 在()1,0-单调递减，在()0,+∞单调递增；所以()()00h x h ≥=，所以当10x -<<时，()'0g x <；当0x >时，()'0g x >；所以()g x 在()1,0-单调递减，在()0,+∞单调递增；所以()()00g x g ≥=，所以当1x >-时，()()e ln 11xf x x x ≥+--. 点睛：本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等．。
2016-2017学年广东省广州市荔湾区高二下学期期末数学试卷(理科)含答案
**==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除2021-2021学年广东省广州市荔湾区高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题,每题5分,总分值60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 . 〔5分〕在复平面内,复数〔—+—i〕2所对应的点位于〔〕2 2A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.〔5分〕以下命题中的假命题是〔〕A . ?x€R, lgx>0 B. ?x€R, sinx= 1C. ?x€R, x2>0D. ?x€R, 2x>03.〔 5 分〕设f 〔x〕 = xlnx,假设f' 〔 x0〕= 2,那么xo 等于〔〕A. e2B. eC.D. ln224.〔5分〕A是B的充分不必要条件, C是B是必要不充分条件,「A是D的充分不必要条件,那么C是「口的〔〕A .充分不必要条件B .必要不充分条件5.( 5 分) Z〜N ( 11, a ),那么P (- b V ZV 廿 b)= Q = 0.9544.假设X〜N (5, 1),那么P (6VXV 7) Q (A . 0.3413 B. 0.4772 C. 0.13596.(5分)如图,空间四边形OABC中,OA = ~a, OB=b, COM=2MA,点N为BC的中点,那么MN=( )OBA.—冢/+9B.l^-l3 2 2 2 3=0.6826, P (- 2 b v Zv 酎2)D. 0.8185点M在线段OA上,且b+±c2C.充要条件D.既不充分也不必要条件C .摹+今—京D 卒+|E -摹2 2 23 3 27. 〔5分〕直线x=—, x=W?L, y=0及曲线y=cosx 所围成图形的面积是〔 〕22A. 2B. 3C.兀D. 2兀8. 〔5分〕从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛,4人中既有男生又有女生的不同选法共有〔〕10. 〔5分〕以下命题正确的个数为〔〕〔1〕存在无数个 a, 30,使得等式 sin 〔a- 3〕 = sin acos 3+cos asin 3成立； 〔2〕在△ ABC 中,“A >'_"是“ sinA>的充要条件；6 2〔3〕命题“在△ ABC 中,假设sinA=sinB,那么A = B 〞的逆否命题是真命题； 〔4〕命题“假设a=—,那么sin a=_L "的否命题是“假设 "W 工,那么sin aL 〞.6262A. 1B. 2C. 3D. 422 211. 〔5分〕如图,椭圆C1： 为+丫2=1,双曲线C2： 三-七■=1 〔a>0, b>0〕,假设10晓 b 2以C I 的长轴为直径的圆与 C2的一条渐近线交于 A, B 两点,且C I 与该渐近线的两交点 将线段AB 三等分,那么C2的离心率为〔〕A. 9B. 5C. V5D. 312. (5分)函数F 的导函数为f (x),且f' (x) >f (x)对任意的x CR 恒成立,那么以下不等式均成立的是()A . f (1) v ef (0), f (2) v e 2f (0) B. f (1) >ef (0), f (2) v e 2f (0)第2页〔共17页〕C. f (1) v ef (0), f (2) >e 2f (0)B. 100 种C. 120 种D. 126种9. 〔5分〕抛物线y 2=2px 的焦点为F, M 为抛物线上一点,假设^OFM 的外接圆与抛物线的准线相切〔O 为坐标原点〕,且外接圆的面积为 9兀,那么p=〔〕 B. 4C. 6D. 8D. f (1) >ef (0), f (2) > e2f (0)二、填空题：本大题共4小题,每题5分,总分值20分.13.(5分)假设双曲线三-斗丁=1 (a>0)的一个焦点恰好与抛物线y2=8x的焦点重合,a 3那么双曲线的渐近线方程为 .14.(5分)代数式H——Lj—中省略号“…〞代表以此方式无限重复,因原式是一个固定值,可以用如下方法求得：令原式=t,那么1+i=t,那么t2-1-1=0,取正值得t=国L t 2用类似方法可得后覆荷=15.(5分)用总长为24m的钢条制作一个长方体容器的框架, 假设所制作容器底面为正方形,那么这个容器体积的最大值为 .16.(5分)在(2+x) 6(x+y) 4的展开式中,记x m y n项的系数为f (m, n),那么f (3, 4)+f (5, 3) = .(用数字作答)三、解做题：本大题共6小题,总分值70分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.17.(10 分)数列｛an｝中,a1 = 2, an+1 = 2--L ( n= 1, 2, 3,…).(I)求a2, a3, a4的值,猜测出数列的通项公式an；(n)用数学归纳法证实你的猜测.18.(12分)函数f (x) = ax+— (a, bCR)的图象过点P(1, f (1)),且在点P处的x切线方程为y=3x-8.(I )求a, b的值；(n )求函数f (x)的极值.19.(12分)如图四边形ABCD为边长为2的菱形,G为AC与BD交点,平面BED,平面ABCD, BE=2, AE=2&.第3页(共17页)(I)证实：BE,平面 ABCD;(n)假设/ ABC=120° ,求直线 EG 与平面EDC 所成角的正弦值. 20. (12分)某经销商从沿海城市水产养殖厂购进一批某海鱼,随机抽取行统计,按海鱼重量(克)得到如图的频率分布直方图：(I )假设经销商购进这批海鱼100千克,试估计这批海鱼有多少条(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；等级 一等品 二等品 三等品重量(g)[165, 185] [155, 165) [145, 155)假设经销商以这50条海鱼的样本数据来估计这批海鱼的总体数据, 视频率为概率.现从这批海鱼中随机抽取 3条,记抽到二等品的条数为 X,求x 的分布列和数学期望.E50条作为样本进第4页(共17页)21.M (— 3,一a1) .(I )求椭圆C的方程；(n)假设直线l: x-y-2=0与椭圆C交于A, B两点,点P为椭圆C上一动点,当^PAB的面积最大时,求点P的坐标及^ PAB的最大面积.22. (12 分)函数f (x) = aln (x+1) +-jy x2-x,其中a 为实数.(I)讨论函数f (x)的单调性；(n)假设函数f (x)有两个极值点x1, x2,且x1Vx2,求证：2f (x2) — x1>0.第5页(共17页)2021-2021学年广东省广州市荔湾区高二〔下〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每题5分,总分值60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义；A5:复数的运算.【解答】解：复数〔工+近i〕2=上至+叵=工+叵对应的点〔A, 叵〕位于第2 2 4 4 2 2 2 2 2二象限.应选：B.【点评】此题考查了复数的运算法那么、几何意义,考查了推理水平与计算水平,属于基础题.2.【考点】2H :全称量词和全称命题；2I:存在量词和特称命题.【解答】解：对于A：当x> 1时,lgx>0,故？xCR, lgx>0为真命题；对于B：当x= 2k Tt+—, kCZ 时,sinx=1,那么？xCR, sinx= 1,为真命题；2对于C:当x= 0时,x2=0,故？xCR, x2>0,为假命题,对于D,由指数函数的性质可知：？xCR, 2x>0,故为真命题,应选：C.【点评】此题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正弦函数的性质,属容易题.3.【考点】63:导数的运算.【解答】解：= f 〔x〕 =xlnx,1.f'〔 x〕 = lnx+1,由f'〔旗〕=2,得lnx0+1 =2,即lnx0= 1,那么x0= e,应选：B.【点评】此题主要考查导数的计算,比拟根底.4.【考点】29:充分条件、必要条件、充要条件.第6页〔共17页〕【解答】解：A是D的充分不必要条件,,「D是A的充分不必要条件,那么「D? AC是B是必要不充分条件,,B是C是充分不必要条件,B? C,「A是B的充分不必要条件,A? B,那么「D?A? B? C,反之不成立,即C是「D的必要不充分条件,应选：B.【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据充分条件和必要条件的定义进行递推是解决此题的关键.5.【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【解答】解：P (4<X<6) = 0.6826,P (3v X<7) = 0.9544,P (6VXV7) =-L (0.9544- 0.6826) = 0.1359.2应选：C .【点评】此题考查了正态分布的对称性特点,属于根底题.6.【考点】M1 :空间向量及其线性运算.【解答】解：MN= MA+AB + BN,= 10A+0B -0A+1BC,3 2=上0A+ 0B+且OC—OB,3 2 29 —• 1 —* 1 —*=- 「,+ . L+ - >：r3 2 20A=胃,0B= b, OC = c ,二. T【l= - - i+ 1+—c3 2 2应选：A.【点评】此题考点是空间向量根本定理,考查了用向量表示几何的量,向量的线性运算, 解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来,此题是向量的根底题.7.【考点】69:定积分的应用.第7页(共17页)3^【解答】解：直线x=2L, x=", y=0及曲线y=cosx所围成图形的面积S= J 」2 2 子3」〔一cosx〕dx= _ sinx | =2,~T应选：A.【点评】此题考查定积分的应用,考查计算水平.8.【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【解答】解：根据题意,从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛,有4C9 =126种选法,其中只有男生没有女生的选法有054= 5种,只有女生没有男生的选法有C44= 1种,那么4人中既有男生又有女生的不同选法共有126 - 5 - 1 = 120种；应选：C.【点评】此题考查排列、组合的实际应用,可以使用间接法分析,防止分类讨论.9.【考点】K8:抛物线的性质.【解答】解：,「△ OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,・•.△ OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.•••圆面积为9兀,.•・圆的半径为3,又•••圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=E,2. E+E=3, .1. p=4.2 4第8页〔共17页〕【点评】此题考查圆与圆锥曲线的综合,考查学生的计算水平,属于根底题.【考点】2K:命题的真假判断与应用.【解答】 解：对于(1),sin(a — 3)=sinacos3— sin 3cosa= sin «cos/cos «sin , 可得 sin 窿os ajr=0,所以只要 3= k Tt, a 任意,或者 a= 2k 兀+ -------- , 3任意.故正确.2对于(2), A>30° 得不出 sinA>［,比方 A= 160° ,假设 sinA>「sin30° =sin150°22=工,,根据正弦函数在(0,兀)上的图象可得：30° <Av150° , .•・能得到 A>30° ;2得A>30°是sinA>J-的必要不充分条件,故错；2对于(3),命题“在△ ABC 中,假设sinA=sinB,那么A=B 〞是真命题,其逆否命题是真 命题,故正确7rlIT i对于(4),命题“假设 a =—,那么sin“=^〞的否命题是“假设并 J 那么sin “w 上〞,正6262确. 应选：C.【点评】 此题考查了命题真假的判定,涉及到了三角、命题的否命题等根底知识,属于 中档题.【考点】KL:直线与椭圆的综合.【解答】解：由,|OA|=a = V10, 设OA 所在渐近线的方程为 y=kx (k>0),,A 点坐标可表示为 A (x0, kx0)(x0>0)第9页(共17页)10 11• .AB的一个三分点坐标为(2 2 1「该点在椭圆Ci上,:.9(1+k ) —二］,即1+10k =1,得k=2/2,1. 9(l+k2) 9(l+k2)即卜=25/^,' c= 'a2 + b 2 = 3a,离心率e=三二3.a应选：D.【点评】此题考查双曲线的离心率的求法,考查椭圆性质、双曲线等根底知识,考查推理论证水平、运算求解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.12.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【解答】解：令g (x)=之立,Xe那么g ' (x) = --⑸> o,Ke故g (x)在R递增,故g (1) >g (0), g (2) >g (0),即f (1) >ef (0), f (2) >e2f (0),应选：D.【点评】此题考查了函数的单调性、导数的应用,构造函数g (x)=岂2_是解题的关e 键,此题是一道中档题.二、填空题：本大题共4小题,每题5分,总分值20分.13.【考点】KC:双曲线的性质.【解答】解：根据题意,抛物线y2=8x的焦点坐标为(2, 0),第10页(共17页)贝U 有 a +3 = 4, 解可得a= 1,故双曲线的方程为：x 2- ——=1,3那么双曲线的渐近线方程为： y=± -ix ； 故答案为：y=±;x.【点评】此题考查双曲线、抛物线的标准方程,注意分析双曲线的焦点坐标.14 .【考点】F3:类比推理.【解答】解：由代数式的求值方法：先换元,再列方程,解方程,求解(舍去负根) 可得要求的式子.令师际庙=m (m>0),那么两边平方得,6+勺6+也+收+…m 2, 即 6+m=m 2,解得,m=3 ( - 2 舍去). 故答案为：3.【点评】此题考查类比推理的思想方法,考查从方法上类比,是一道根底题.15 .【考点】7F:根本不等式及其应用.【解答】解：根据题意,设长方体容器的底面边长为 xm,高为ym,贝U 有 8x+4y=24,即 2x+y=6,其体积 V=x 2y=x 2x (6 —2x) =xXxX (6—2x) v 产+肝(6七)]3= 8m 3,3当且仅当x= 2时,等号成立； 即这个容器体积的最大值 8m 3; 故答案为：8m 3.【点评】此题考查根本不等式的性质以及应用,关键是用x 、y 表示容器的体积.16 .【考点】DA ：二项式定理.【解答】解：(2+x) 6 (x+y) 4的展开式的通项为C 6r 26「r x r C 4k x 4"y k = C 6r 26%4k x 4+r ,「x m y n 项的系数为f (m, n), 当 k=4 时,4+r — 4= 3,即 r=3.第11页(共17页)2其双曲线工-2 a■Z_=1 (a>0)的一个焦点也为(32, 0),ky k ,• .f (3,4)= C6326 3C44= 160,当 k=3 时,4+r — 3= 5,即 r=4.• .f (5, 3) = C6426 4C43= 240, .•.f (3, 4) +f (5, 3) = 160+240=400,故答案为：400【点评】此题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于根底题.三、解做题：本大题共 6小题,总分值70分.解答须写出文字说明、证实过程和演算步骤.17 .【考点】F1:归纳推理；RG:数学归纳法.【解答】 解：(I) a2 = 2 ~ —^― = —; a3 = 2 ~ —^― =—; a4=2 ——^― =5; a । 2% 3 空4猜测：an=XtL.n(II)当n=1时,猜测显然成立；假设n=k (k>1)时猜测成立,即 ak =±iL,当n= k+1时,猜测成立..•.an= 对任意正整数恒成立.n【点评】此题考查了数学归纳法证实,属于根底题.18 .【考点】6D:利用导数研究函数的极值；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【解答】解：(I) ••• p 4 X函数f (x) = ax+— (a, bCR)的图象过点 P (1, f (1)),且在点P 处的切线方程为 y=3x - 8.f f(l)=3X 1-8f (l)=a+b,解得,f ⑴ f-b=32(H)由(I)得 fQ)T,f‘(2咔号当 xC ( —8, — 2), (2, +8)时,f' (x) V0,当 xC (― 2, 0), (0, 2)时,f' (x)>0.即函数 f (x)在( — 8, — 2), (2, +8)递减,在(—2, 0), (0, 2)递增,第12页(共17页)贝U ak+1 = 2 - ---- 2a kk _k+2_k+l+l------- = -------- =- -----------k+1 k+1 k+1a1上二一4直线EG 与平面EDC 所成角的正弦值为2/运35第13页〔共17页〕,f (x)极小值=f ( — 2) =4; f (x)极大值=f ( 2) = - 4.【点评】此题考查了导数的几何意义,函数的单调性与极值,属于中档题,19.【考点】LW:直线与平面垂直； MI :直线与平面所成的角.【解答】解：〔I 〕证实：二•四边形 ABCD 为菱形,,ACXDB又由于平面 BED,平面 ABCD,平面BED n 平面 ABCD=DB, AC?平面 ABCD .• .AC,平面 BED,即 AC± BE.又 BE = 2, AE=2加,AB = 2, . . AE 2= AB 2+BE 2••• BEXAB,且 ABA BD = B, • . BE,平面 ABCD .〔n 〕取AD 中点H ,连接BH.••・四边形ABCD 为边长为2的菱形, / ABC= 120°, BH± AD,且 BH = V3 . 由〔I 〕得 BE,平面 ABCD,故以 那么 E (0, 0, 2), D (1,g,0), B 为原点,建立空间直角坐标系〔如图〕 G 〔X,昱,0〕, C 〔2, 0, 0〕2 2设面EDC 的法向量为金〔x, y, E 〕ED=(b -2),前二⑵ 0, -2), EG 二号.*_2)ID • ED=K+V3y_2z=0 二仃__ ______ ,可取1,6)I m •EC=2x-2z=0cos <m, BG>=m,EG35 E\ D【点评】此题考查了线面垂直的判定,向量法求线面角,属于中档题.20.【考点】B8:频率分布直方图；CG:离散型随机变量及其分布列；CH :离散型随机变量的期望与方差.【解答】解：(I)由频率分布直方图得每条海鱼平均重量为：7= 150X 0.016X 10+160 X 0.040X 10+170X 0.032 X 10+180 X 0.012X 10= 164 (g),•. •经销商购进这批海鱼100千克,,估计这批海鱼有：(100X 1000) + 164=610 (条).(n)从这批海鱼中随机抽取3条,［155, 165)的频率为0.04X10=0.4,那么X〜B (3, 0.4),P (X=0)=既0. 6尸=0.216,P (X=1)=砧⑹ 4) (0.0)2= 0.432,P (X=2) = c淑4 )2(0. 6)=0.288, ■JP (X=3) = C“0. 4)3=0.064, JE (X) = 3X 0.4= 1.2.【点评】此题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查推理论证水平、运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.21.【考点】KL:直线与椭圆的综合.【解答】解：(I)二•椭圆C: £+二=1 (a> b>0)的离心率为逅,且经过点M (2 1 2 3a b Q3, T),二〒, -^-+---1,解得a2=12, b2=4,a2 b222「•椭圆C的方程为最■+看一二1.…(4分)第14页(共17页)22x-y-2= 0代入3—+工一二]中,消去y 得,12 4 1解得x=0或x=3.…(5分) •••点 A (0, - 2), B (3, 1),刖|=也373(]+ 2产3诋.…(6 分)在椭圆C 上求一点P,使△ RAB 的面积最大,那么点 P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程为 y=x+b.…(7分)22将 y= x+b 代入工-+田一-1 ,整理得 4x 2+6bx+3 (b2-4) =0.…(8 分)12 4 1令' =(6b) 2—4X4X3 (b 2—4) =0,解得 b= ± 4. …(9 分)将b=±4 代入方程 4x 2+6bx+3 (b 2-4) =0,解得 x=±3. 由题意知当点P 的坐标为(-3, 1)时,△ PAB 的面积最大. …(10分)且点P ( - 3, 1)到直线l 的距离为d = ±jg=iN=L= 3我. …(11分)【点评】此题考查椭圆方程的求法,考查三角形最大面积的求法,考查椭圆、直线方程、 两点间距离公式、点到直线距离公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求解水平, 考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.22.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性； 6D:利用导数研究函数的极值.【解答】解：(I)函数f (x)的定义域为(-1, +8), p .〞-g ■y-1 : >十：工 x+1 x+1①当a-1>0时,即a>1时,f (x) >0, f (x)在(-1, +8)上单调递增； ②当 0vav 1 时,由 f (x) = 0得 町二71五, 故f (x)在(-1, - Vl-a)上单调递增,在(- Vl-a, 上单调递减,在(■V 匚,+8)上单调递增；③当 av 0 时,由 f (x) = 0 得 x 1 = V 1 , x 2= —(舍)f (x)在(-1, Vl-a)上单调递减,在(Vl-3, +8)上单调递增.(n )证实：由(I)得假设函数f(x)有两个极值点x1,x 2,且x 〔v x 2,那么0vav 1, x ]• ・x 1+x 2=0, x 1x 2=ai 且 x 2C (0, 1),第15页(共17页)(n)将直线△ RAB 的最大面积为 S =yX |AB|Xd=9-(12 分)要证 2f (x 2) - xi>0? f(x 2) +—x 2> 0? aln (x 2+1) +—22—-x2 > 0 ,2令 g 〔x 〕 = 〔 1+x 〕 In 〔x+1〕 - J_x , xC 〔0, 1〕,2「g ' 〔x 〕 = In 〔x+1〕 +-L>0,2• .g 〔x 〕在〔0, 1〕递增, • •g 〔x 〕 > g 〔0〕 =0,「•命题得证.【点评】 此题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的构造与运用,转化 思想.属于中档题**==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=** 免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除^免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除.免责声明：本文仅代表作者个人观点,作参考,并请自行核实相关 内容.声明：本文局部内容来自网络,本司不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本司将予以删 除**==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=** 免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除^免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除.免责声明：本文仅代表作者个人观点,作参考,并请自行核实相关 内容.声明：本文局部内容来自网络,本司不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本司将予以删 **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除尸=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除 户=** **==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=** 免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除^免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除.第16页〔共17页〕免责声明：本文仅代表作者个人观点,作参考,并请自行核实相关 内容.声明：本文局部内容来自网络,本司不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本司将予以删2—Jlx2>0? (1+x2)ln (x2+1)2 2**==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除尸=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=**免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除^免责声明：本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除.免责声明：本文仅代表作者个人观点,作参考,并请自行核实相关内容.声明：本文局部内容来自网络,本司不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本司将予以删**==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除尸=****==〔本文系转载自网络,如有侵犯,请联系我们立即删除户=**司将予以删第17页〔共17页〕。
广东省2020-2021年高二数学理科下学期期末考试试题(含解析)
高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.i 是虚数单位，则12ii-的虚部是（ ） A. -2 B. -1C. i -D. 2i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得221222i i i i i i--==--，所以复数12ii-的虚部是1-． 故选B ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数z a bi =+的虚部为bi ，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．2.用反证法证明“方程()200++=≠ax bx c a 至多有两个解”的假设中，正确的是（ ）A. 至少有两个解B. 有且只有两个解C. 至少有三个解D. 至多有一个解【答案】C 【解析】分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求． 详解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax 2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”， 故选：C ．点睛：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．3.已知函数()f x 导函数为'()f x ，且满足2()'(2)ln f x x f x =+，则'(2)f 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C 【解析】 【分析】求出''1()2(2)f x x f x=+⋅，再把2x =代入式子，得到'(2)8f =. 【详解】因为''1()2(2)f x x f x =+⋅，所以'''1(2)4(2)(2)82f f f =+⋅⇒=.选C.【点睛】本题考查对'(2)f 的理解，它是一个常数，通过构造关于'(2)f 的方程，求得'(2)f 的值.4.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如表：则哪位同学的试验结果体现A 、B 两变量有更强的线性相关性（ ） A. 甲 B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D 【解析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强。
广东省广州市荔湾区2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题(教师版)
2022学年第二学期期末教学质量检测高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()()0013πcos ,,0,22f x x x f x x ⎛⎫=-=∈ ⎝'⎪⎭，则0x 等于（）A.4π3 B.7π6 C.2π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】根据导数运算法则求导，然后列出等式，结合0x 范围求解即可.【详解】函数()cos f x x x =-，则()1sin f x x '=+，所以()0011sin 2f x x =+'=，即01sin 2x =-，又因为03π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以07π6x =.故选：B2.从2,4,6,8中任取3个数字，从1,3,5中任取2个数字，则一共可以组成五位数（没有重复数字）的个数是（）A.720B.1200C.1440D.1728【答案】C 【解析】【分析】可先选后排，共有325435C C A 种方法，计算即可．【详解】从2,4,6,8中任取3个数字有34C 种方法，从1,3,5中任取2个数字有23C 种方法，再把取出的5个数全排列共有325435C C A 1440=故一共可以组成1440个没有重复数字的五位数．故选：C.3.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1、2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次，假设某球队派甲、乙、丙3名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（）A.12 B.18C.30D.36【答案】C 【解析】【分析】对比赛的场数进行分类讨论，确定没种情况下不同的出场情况的种数，结合分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下几种情况讨论：①若前3场比赛全赢，此时，不同的出场情况种数为33A 6=种；②若共打4场比赛，则第4场赢，前3场赢2场，且第4场为第1或第2位运动员出场，此时，不同的出场情况种数为332A 12=种；③若共打5场比赛，则第5场赢，前3场赢1场，最后2场为第1和第2位运动员各出场1次，此时，不同的出场情况种数为2323A A 12=种.综上所述，不同的出场情况种数为6121230++=种.故选：C.4.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型2()0,()Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如下图所示，模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的2()D e σ=假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和2()D e σ=的假设【答案】C 【解析】【分析】根据用一元线性回归模型2()0,()Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩有关概念即可判断.【详解】解：用一元线性回归模型2()0,()Y bx a e E e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据对应的残差图，残差的均值()0E e =可能成立，但明显残差的x 轴上方的数据更分散，2()D e σ=不满足一元线性回归模型，正确的只有C.故选：C.5.已知函数()()1f x ax a x=+∈R ，且满足()10f '-=，则（）A.函数()f x 在1x =处有极大值B.函数()f x 在区间()1,1-上是减函数C.函数()f x '有两个极值点D.函数()f x '在区间()0,∞+上是增函数【答案】D 【解析】【分析】先由()10f '-=求出a ，然后利用导数求出函数的单调区间和极值，再分析判断即可【详解】()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，由()()1f x ax a x=+∈R ，得()()21f x a a x '=-∈R ，因为()10f '-=，所以()110f a '-=-=，得1a =，所以()1f x x x =+，()222111x f x x x-'=-=，由()0f x ¢>，得1x <-或1x >，由()0f x '<，得10x -<<或01x <<，所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上递增，在(1,0)-和(0,1)上递减，所以()f x 在=1x -时取得极大值，在1x =时取得极小值，所以AB 错误，令()()211g x f x x '==-，则()32g x x '=（0x ≠），当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以()()211g x f x x'==-在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增，无极值点，所以C 错误，D 正确，故选：D6.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前45项的和为（）A.2026B.2025C.2024D.2023【答案】A 【解析】【分析】根据“杨辉三角”的特点可知n 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n +行，从而得到第1n +行去掉所有为1的项的各项之和为：22n -；根据每一行去掉所有为1的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第11行结束，数列共有45项，则第45项为110C 10=，从而加和可得结果.【详解】由题意可知，n 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第1n +行则“杨辉三角”第1n +行各项之和为：2n第1n +行去掉所有为1的项的各项之和为：22n -从第3行开始每一行去掉所有为1的项的数字个数为：1,2,3,4,⋅⋅⋅则：12345678945++++++++=，即至第11行结束，数列共有45项第45项为第11行最后1个不为1的数，即为：110C 10=前45项的和为：()101231021222222222210202612--+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯=-故选：A7.甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则6次传球后球在甲手中的概率为（）A.1132B.3196C.516 D.1748【答案】A 【解析】【分析】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，求出10p =，根据题意求出数列{}n p 的递推公式，求出n p 的表达式，即可求得6p 的值.【详解】设n 次传球后球在甲手中的概率为n p ，当1n =时，10p =，设n A =“n 次传球后球在甲手中”，则111n n n n n A A A A A +++=+，则()()()()()()()11111n n n n n n n n n n n P A P A A P A A P A P A A P A P A A +++++=+=+∣∣．即()()11101122n n n n p p p p +=⨯+-⨯=-，所以，1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，且11133p -=-，所以，数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，以12-为公比的等比数列，所以，1111332n n p -⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，所以，111132n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以6次传球后球在甲手中的概率为61111133232p ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭．故选：A8.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()24ln 1y ax a x x =+++-只有一个公共点，则实数a的取值范围是（）A.0a ≥B.0a ≥或1a =-C .10a -≤≤ D.1a ≥-【答案】B 【解析】【分析】求出曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线方程，由题意将切线与曲线()24ln 1y ax a x x =+++-只有一个公共点，转化为()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解，从而构造函数()2()2ln ,(0)g x ax a x x x =+++>，利用导数知识求解即可.【详解】由题意ln y x x =+得11y x'=+，则1|2x y ='=，故曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，而切线210x y --=与曲线()24ln 1y ax a x x =+++-只有一个公共点，即()2214ln 1x ax a x x -=+++-有且只有一正解，即()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解，令()2()2ln ,(0)g x ax a x x x =+++>，则212(2)1(21)(1)()22ax a x x ax g x ax a x x x+++++'=+++==，由于0x >，故210x +>，当0a =时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，且()2ln ,(0)g x x x x =+>，2212()20,(1)20e e g g =-<=>，即()g x 在(0,)+∞上存在唯一零点，即()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解；当0a >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，由于()22ax a x ++的最小值为2(2)04a a-+<，故当x 趋向于0时，()g x 可取到负值，且(1)220g a =+>，故()g x 在(0,)+∞上存在唯一零点，即()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解；当a<0时，当10x a<<-时，()0g x '>，()g x 在1(0,a -上单调递增，当1x a >-时，()0g x '<，()g x 在1(,)a-+∞上单调递减，故max 111()()1ln()g x g aa a=-=--+-，令()ln 1,(0)h x x x x =+->，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，此时要使()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解，故需111ln(0,1a a a--+-=∴=-，综合以上可知0a ≥或1a =-，故选：B【点睛】难点点睛：根据导数的几何意义求出曲线ln y x x =+的切线方程，要保证切线与曲线()24ln 1y ax a x x =+++-只有一个公共点，关键就是转化为()22ln 0ax a x x +++=有且只有一正解，从而构造函数，分类讨论，结合导数解决问题.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知二项式6⎛- ⎝，则（）A.展开式中2x 的系数是-192B.展开式中没有常数项C.展开式中各项系数之和为1D.展开式中二项式系数最大的项是第3项【答案】AC 【解析】【分析】先求得二项式6⎛- ⎝的展开式的通项公式()6316C 21r r rr r T x --+=-，然后逐项判断.【详解】解：二项式6⎛- ⎝的展开式的通项公式为(()663166C C 21rrr rr rr r T x ---+⎛=⋅-=- ⎝，令32r -=，得1r =，则152226C 2192T x x =-=-，所以展开式中2x 的系数是-192，故A 正确；令30r -=，得3r =，则3346C 2160T =-=-，所以展开式中有常数项，故B 错误；令1x =，得61⎛= ⎝，故C 正确；二项展开式中一共有七项，所以展开式中二项式系数最大的项是中间项即第4项，故D 错误；故选：AC10.随机抽取7家超市，得到其广告支出x （万元）与销售额y （万元）数据如下，则（）超市ABCD EFG广告支出x （万元）1246101420销售额y （万元）19324440525354A.销售额与广告支出正相关B.销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过10万元后，销售额增加幅度变缓C.销售额与广告支出线性相关越强，相关系数r 越接近0D.要得到销售额的预测值，模型 22.4711.58ln y x =+比模型 1.5529.40y x =+更可靠【答案】ABD 【解析】【分析】作出散点图，由散点图可判断ABD 选项；根据线性相关系数与线性相关关系的强弱可判断C 选项.【详解】对于A 选项，作出散点图如下图所示：由散点图可知，销售额与广告支出正相关，A 对；对于B 选项，由散点图可知，销售额与广告支出的变化趋势相同，但广告支出超过10万元后，销售额增加幅度变缓，B 对；对于C 选项，销售额与广告支出线性相关越强，相关系数r 的绝对值越接近1，C 错；对于D 选项，由散点图可知，y 随着x 的增大而增大，当10x ≥时，销售额y 增加幅度变缓，所以，要得到销售额的预测值，模型 22.4711.58ln y x =+比模型 1.5529.40y x =+更可靠，D 对.故选：ABD.11.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲,,A B C 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A 的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲B 的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲C 的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照,,A B C 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为X 千元，则（）A.()30.4P X ==B.()21 5.4E X +=C.()2118.24D X +=D.获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关【答案】BC 【解析】【分析】确定X 的取值，求得每个值对应概率，可判断A ；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性质可判断B ，C ；再求出按照,,A C B 的顺序猜时的期望值，比较可判断D.【详解】由题意，可分别用,,A B C 表示猜对三首歌曲,,A B C 歌名的的事件，则,,A B C 相互独立，按照,,A B C 的顺序猜，则X 的取值可能为0,1,3,6，则()()00.2P X P A ===，()()10.80.50.40P X P AB ===⨯=，(3)()0.80.50.50.2P X P ABC ⨯⨯====，(6)()0.80.50.50.2P X P ABC ⨯⨯====，则()00.210.430.260.2 2.2E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()22220 2.20.21 2.20.43 2.20.26 2.20.2 4.56D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故()212 2.21 5.4E X +=⨯+=，()214 4.5618.24D X +=⨯=，由此可知A 错误；B 正确，C 正确；假设按照,,A C B 的顺序猜，设Y 表示此时获得的公益基金总额则()()00.2P Y P A ===，()()10.80.50.40P Y P AC ===⨯=，(4)()0.80.50.50.2P Y P ACB ⨯⨯====，(6)()0.80.50.50.2P Y P ABC ⨯⨯====，则()00.210.440.260.2 2.4E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，与按照,,A B C 的顺序猜的期望值不同，故D 错误，故选：BC12.已知函数()()e 211x x f x x -=-，则（）A.对任意1x >，有()324e f x ≥恒成立B.当0m <时，函数()y f x m =-有2个零点C.存在实数k ，使得方程()f x kx =有3个实数解D.若()()(1)f a f b a b =<<，则0a b +<【答案】ACD 【解析】【分析】判断函数值情况，利用导数判断函数单调性，作出函数图象，由此可判断A ，B ；数形结合，判断C ；构造函数()()(),(01)g x f x f x x =--<<，判断其单调性，结合单调性证明不等式，判断D.【详解】由()()e 211x x f x x -=-可知定义域为{|1)x x ≠，当12x <或1x >时，()0f x >；当112x <<时，()0f x <，且()01f =；又()()()()()()()222212123e21211e e e 11111x xx Tx x x x x x f x x x x x x ⎡⎤------'=⋅+=⎥⋅=⎢⎥-----⎢⎣⎦，令()0f x '>，则0x <或32x >，令()0f x '>，则01x <<或312x <<，即()f x 在3(,0),(,)2-∞+∞上单调递增，在3(0,1),(1,)2上单调递减，故()f x 在0x =时取极大值()01f =，在32x =时取极小值3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当x 从1的左侧趋近于1时，()f x 趋近于负无穷小，当x 从1的右侧趋近于1时，()f x 趋近于正无穷大，当x →+∞时，()f x 增加的幅度越来越块，即图像较陡，由此可作出函数()f x的图象如图：由图象可知，对任意1x >，有()3234e 2f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭恒成立，A 正确；当0m <时，直线y m =与()f x 的图象将会有一个交点，即函数()y f x m =-有1个零点，B 错误；由图象，设l 为()f x 的过原点且和1x >的部分图象相切的切线，斜率设为l k ，当直线y kx =的斜率l k k >时，即存在直线与()f x 的图象有3个交点，即存在实数k ，使得方程()f x kx =有3个实数解，C 正确；由()()(1)f a f b a b =<<结合图象可知0,01b a <<<，设()()(),(01)g x f x f x x =--<<，由于()f x 在(0,1)上单调递减，在(,0)-∞上单调递增，故()()(),(01)g x f x f x x =--<<为单调减函数，即()(0)0g x g <=，即()()f a f a <-，即()()f b f a <-，由于()f x 在(,0)-∞上单调递增，故,0b a a b <-∴+<，D 正确，故选：ACD【点睛】方法点睛：本题综合考查导数的应用，涉及面较广，难度较大，解答时要注意判断函数值情况，并利用导数判断函数的单调性，从而作出函数图象，数形结合，解决问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知随机变量()2170,5X N ~，则()165P X ≤等于__________．（参考数据：()0.6827P Z μσμσ-<<+≈）【答案】0.15865【解析】【分析】根据正态分布的对称性，以及已知区间的概率，即可求得答案.【详解】由题意随机变量()2170,5X N ~，则()165175()0.6827P X P X μσμσ<<=-<<+≈，故()()()11165116517510.68270.1586522P X P X ⎡⎤≤=-<<≈-=⎣⎦，故答案为：0.1586514.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．设事件A 为“第1次抽到代数题”，事件B 为“第2次抽到几何题”，则()P BA =∣__________．【答案】12##0.5【解析】【分析】先求得(),()P A P AB ,结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意得，3()5P A =，323()=5410P AB =⨯，所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为:()()()3110325P AB P B A P A ===∣.故答案为：1215.用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器．当该容器的容积最大时，扇形的圆心角α=__________．【答案】26π3【解析】【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h，那么21π3V r h =，再根据222r R h =-，代入得到()221π3V R h h =-，利用导数求得函数的最大值，以及h 和,r R ，而圆心角2r R πα=.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则222r h R +=，因此()222321111ππππ(0)3333V r h R h h h R h h R ==-=<<+-，则221ππ3V h R +'=-，令0V '=，解得3h R =，当033h R ＜时，0V '＞，V 单调递增，当33R h R >>时，0V '＜，V 单调递减，所以当33h R =时容积最大，把3h R =代入222r h R +=，得3r R =由2πR r α=，得263α=，即圆心角为26π3α=时容积最大.故答案为：26π316.已知函数()()2f x x x c =-在2x =处有极小值，则c 等于__________；若曲线()y f x =有3条过点()0,a 的切线，则实数a 的取值范围是__________．【答案】①.2②.640,27⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()f x 的单调性，分析可知0c >，根据函数()f x 的极小值点可求得c 的值；设切点为()()2,2t t t -，利用导数写出切线方程，将点()0,a 的坐标代入切线方程，可知方程2342a tt =-有三个不等的实根，设()2342g t t t =-，利用导数分析函数()g t 的单调性与极值，分析可知函数y a =与函数()g t 的图象有三个公共点，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()()2f x x x c =-，则()()()()()223f x x c x x c x c x c '=-+-=--，由()0f x '=可得x c =或3c x =，且c 与3c同号，因为函数()()2f x x x c =-在2x =处有极小值，即函数()f x 的极小值点为正数，则必有0c >，此时，3cc <，列表如下：x,3c ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3c ,3c c ⎛⎫⎪⎝⎭c(),c +∞()f x '+-+()f x 增极大值减极小值减所以，函数()f x 的极小值点为x c =，故2c =，则()()22f x x x =-，设切点为()()2,2t t t -，因为()()()232f x x x '=--，则()()()232f t t t '=--，所以，切线方程为()()()()22232y t t t t x t --=---，将点()0,a 的坐标代入切线方程可得()()()223223242a t t t t t t t =----=-，令()2342g t t t =-，则()286g t t t '=-，令()0g t '=，可得0=t 或43t =，列表如下：t(),0∞-040,3⎛⎫⎪⎝⎭434,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g t '-+-()g t 减极小值0增极大值6427减由题意可知，函数y a =与函数()g t 的图象有三个公共点，如下图所示：由图可知，当64027a <<时，直线y a =与函数()g t 的图象有三个公共点，因此，实数a 的取值范围是640,27⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：2；640,27⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1231111100n a a a a ++++< ，求满足条件的最大整数n ．【答案】（1）221nn na =+（2）99【解析】【分析】（1）由已知得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义可得答案；（2）由（1）求出1112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的求和公式可得12111112⎛⎫+++=+- ⎪⎝⎭ nn n a a a ，令112nn b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据{}n b 的单调性可得答案.【小问1详解】因为121n n n a a a +=+，123a =，所以易知0n a ≠，取倒数得，11111222n n n na a a a ++==+，即1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为123a =，所以11112a -=，所以110na -≠，所以1111121n na a +-=-为常数，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；所以1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1221112n n nna ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即数列{}n a 的通项公式为221nn n a =+.【小问2详解】因为1112nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1211122111111212nnnn n a a a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦+++=+=+- ⎪⎝⎭- ，令112nn b n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，显然，{}n b 单调递增，110012⎛⎫=+- ⎪⎝⎭<nn b n 因为999911001002b =-＜，10010011011002b =-，所以99n ≤，所以满足条件的最大整数为99.18.某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，推出了不同定价的流量包，经过一个月的统计，获取了容量为80万人的样本．同时为了进一步了解年龄因素是否对流量包价格有影响，统计了小于40岁和大于等于40岁两个年龄段人群的购买人数，收集数据整理如表所示．表1定价x （元/月）2030506040<岁（万人）10157840≥岁（万人）201262购买总人数y （万人）30271310表2年龄段流量包合计50<元50≥元40<岁40≥岁合计（1）试根据这些数据建立购买总人数关于定价的经验回归方程，并估计定价为10元/月的流量包的购买人数；（2）若把50元/月以下（不包括50元）的流量包称为低价流量包，50元/月以上（包括50元）的流量包称为高价流量包，根据以上数据完成列联表，依据0.05α=的独立性检验，判断年龄段和流量包价格是否有关联．附：()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-$$，()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1） 0.5441.6y x =-+；约为36.2万人（2）没有关联，理由见解析【解析】【分析】（1）计算出x 、y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式，求出b、 a 的值，可得出回归直线方程，将10x =代入回归方程，可得所求结果；（2）完善22⨯列联表，计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论.【小问1详解】解：由表格中的数据可得20305060404x +++==，30271310204y +++==，()()()()()()()()()()()()2222204030203040272050401320604010202040304050406040b -⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯-=-+-+-+- 0.54=-， 200.544041.6ay bx =-=+⨯= ，所以，y 关于x 的回归方程为 0.5441.6y x =-+，当10x =时， 5.441.636.2y =-+=（万人），因此，估计定价为10元/月的流量包的购买人数约为36.2万人.【小问2详解】解：零假设0:H 年龄段和流量包价格没有关联，由题中数据完善22⨯列联表如下表所示：年龄段流量包合计50<元50≥元40<岁25154040≥岁32840合计572380()220.0580******* 2.990 3.84140405723x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，所以，依据小概率0.05α=的独立性检验，我们推断0H 成立，即认为年龄段和流量包价格没有关联.19.某流水线生产一批A 产品，按质量标准分为一等品､二等品､三等品，共三个等级．现从该批产品中随机抽取100件，其中一等品有80件，二等品有10件，三等品有10件．（1）若根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若将100件产品中各等级的频率视为概率，从流水线上任取5件产品，记这5件产品中一等品的数量为Y ，求Y 的数学期望与方差．【答案】（1）分布列见解析，12()5E X =，（2）4()4,()5E Y D Y ==【解析】【分析】（1）先根据分层抽样的定义，按比例求出所抽的10件产品中一等品､二等品､三等品的件数分别为8，1，1件，则X 的可能取值为1，2，3，然后求出相应的概率，从而可求出X 的分布列与数学期望；（2）先求出取出是一等品的概率，则由题意可知Y 服从二项分布，然后利用二项分布的期望和方差公式可求出Y 的数学期望与方差．【小问1详解】由题意可知抽取的10件产品中一等品有80108801010⨯=++件，二等品有10101801010⨯=++件，三等品有10101801010⨯=++件，所以X 的可能取值为1，2，3，则1282310C C 1(1)C 15P X ===，2182310C C 7(2)C 15P X ===，383107(3)15C C P X ===，所以X 的分布列如下表X123P115715715所以17712()1231515155E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为8041005=，则由题意可知45,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4444()54,()515555E Y D Y ⎛⎫=⨯==⨯⨯-= ⎪⎝⎭20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点O 为线段BC 的中点，点E 为线段1AA 上一动点，11AB AC AA ===，1160,A AB A AC AB AC ∠∠==⊥ ．（1）若点E 为线段1AA 中点，求证：OE ⊥平面11BB C C ；（2）求直线1BC 与平面EBC 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）由题意说明四边形11BCC B 为矩形，由此根据三棱锥的等体积法可求出1C 到平面BEC 的距离的最大值，根据线面角的含义即可求得答案.【小问1详解】因为点E 为线段1AA 中点，故11122AE AA ==,而160A AB ∠= ，故22212cos BE AE AB AE AB A AB=+-⨯∠11131214224=+-⨯⨯⨯=,故32BE =，则2222213()122AE BE AB +=+==,则1,BE AE BE AA ⊥∴⊥，同理可得32CE =,1CE AA⊥，,,CE BE E CE BE ⋂=⊂平面BEC ，故1AA ⊥平面BEC ，OE ⊂平面BEC ，故1AA OE ⊥，而111,AA BB BB OE ∴⊥∥；由32BE =，32CE =，则BE CE =，点O 为线段BC 的中点，故OE BC ⊥，由11,,BB BC B BB BC ⋂=⊂平面11BB C C ，故OE ⊥平面11BB C C .【小问2详解】由（1）可知当点E 为线段1AA 中点时，1AA ⊥平面BEC ，11AA BB ∥，故1BB ⊥平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，则1BB BC ⊥，由于1AA 的中点始终是存在的，故1BB BC ⊥一定成立，故四边形11BCC B 为矩形，如图，连接11,EC BC，由于EAB ≌EAC ，故EB EC =，点O 为线段BC 的中点，故OE BC ⊥，由于AB AC ⊥，故BC ==；当E 为1AA 中点时，结合（1）求得1AA 到平面11BCC B12=，设1C 到平面BEC 的距离为d，则111112132212C BEC E BCC V V --==⨯⨯=，即121123123212BEC S d OE d ⨯⨯=∴⨯⨯=，即12OE d ⨯=，由于点E 为线段1AA 上一动点，故当E 为线段1AA 中点时，即OE ⊥平面11BB C C 时，OE 最小为12，此时d 取最大值1，故直线1BC 与平面EBC所成角的正弦值的最大值为13d BC ==.21.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()2,A m 在抛物线上，且满足32AF AO=，其中O 为坐标原点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆过点()1,2P ，作PD MN ⊥，D 为垂足．是否存在定点Q ，使得DQ 为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）24y x=（2）存在，且点Q 的坐标为()3,0【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义结合两点间的距离公式可得出关于p 的方程，解出p 的值，即可得出抛物线C 的标准方程；（2）分析可知，直线MN 不与y 轴垂直，设直线MN 的方程为x ty n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出0PM PN ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出n 、t 所满足的关系式，求出直线MN 所过定点E 的坐标，利用直角三角形的几何性质可得出定点Q 的坐标.【小问1详解】解：抛物线C 的准线方程为2px =-，由抛物线的定义可得22p AF =+，将点A 的坐标代入抛物线方程可得24m p =，所以，AO ===，所以，2322pAF AO +==，因为0p >，解得2p =，因此，抛物线C 的标准方程为24y x =.【小问2详解】解：若直线MN y ⊥轴，则直线MN 与抛物线C只有一个公共点，不合乎题意，设直线MN 的方程为x ty n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立24x ty ny x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty n --=，216160t n ∆=+>，则2n t >-，由韦达定理可得124y y t +=，124y y n =-，()2111141,2,24y PM x y y ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭ ，()2222241,2,24y PN x y y ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，因为以MN 为直径的圆过点()1,2P ，则0PM PN ⋅=，所以，()()()()22121214422016y y y y --+--=，显然12y ≠且22y ≠，所以，()()1222160y y +++=，即()12122200y y y y +++=，即48200n t -++=，可得25n t =+，所以，直线MN 的方程为()2525x ty t t y =++=++，由20y +=可得=2y -，5x =，所以，直线MN 过定点()5,2E -，所以，PQ =，因为PD MN ⊥，当点Q 为线段PE 的中点时，即当点Q 的坐标为()3,0时，12DQ PE ==为定值.因此，存在定点Q ，且当点Q 的坐标为()3,0时，DQ 为定值.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.22.已知函数()21e (1),R 2xf x ax x a =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，令()()21ln 12g x x x =--，求证：()()f x g x >【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，导论a 的范围，通过导函数的正负判断函数的单调性；（2）构造函数()()()H x f x g x =-，探讨函数()H x 在区间()0,∞+上的最小值即可.【小问1详解】由题意可知()f x 的定义域为x ∈R ，()()()()e e 11e 1x x x f x a ax x x a '=+-+=+-，当0a ≤时，e 10x a -<，所以当1x >-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x <-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0a >时，令()0f x '=解得11x =-，2ln x a =-，①当ln 1a -=-，即e a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，②当ln 1a -<-，即e a >时，当ln 1a x -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当ln x a <-或1x >-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，③当ln 1->-a ，即0e a <<时，当1ln x a -<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x <-或ln x a >-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，当e a =时，()f x 在R 上单调递增，当e a >时，()f x 在(),ln a -∞-，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a --上单调递减，当0e a <<时，()f x 在(),1-∞-，()ln ,a -+∞上单调递增，在()1,ln a --上单调递减.【小问2详解】令()()()()()2211e 1ln 1e 1ln 22xx H x f x g x ax x x x ax x x =-=-+-+-=---，0x >，则()()()1e 11e e 1x xxx ax H x a ax x x+-'=+--=，令()e 1xh x ax =-，0x >，因为1a >，所以()()e e e10xxxh x a ax a x '=+=+>恒成立，()h x 单调递增，又因为()010h =-<，()1e 10h a =->，所以存在()0,1x t =∈使得()0h t =，所以当()0,x t ∈时，()0h x <，进而可得()0H x '<，()H x 单调递减，当(),x t ∈+∞时，()0h x >，进而可得()0H x '>，()H x 单调递增，因为1a >且()e 10th t at =-=，即e 1t at =，所以两边取对数可得()ln eln ln ln e0ttat a t =++=，即ln ln 0t t a +=-<，所以()()()()min e 1ln e 1ln 0ttH x H t at t t at t t ==---=--+>，所以()0H x >恒成立，即()()f x g x >.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
2020年广东省广州市数学高二(下)期末综合测试试题含解析
2020年广东省广州市数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n β，则//αβ B ．则m α⊥，n α⊥，则//m n C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ D ．则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题.2．曲线cos ax y e x =在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ） A ．-2 B ．2 C ．-1 D ．1【答案】B 【解析】分析：先求导，然后根据切线斜率的求法得出切线斜率表达式，再结合斜率垂直关系列等式求解即可.详解：由题可知：'cos sin x axy ae x e x =-⇒切线的斜率为：,k a =由切线与直线20x y +=垂直，故1()122a a ⋅-=-⇒=，故选B.点睛：考查切线斜率的求法，直线垂直关系的应用，正确求导是解题关键，注意此题导数求解时是复合函数求导，属于中档题.3．设()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()(),f x g x ''分别是()(),f x g x 的导数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+>且()60g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(6,0)(6,)-+∞UB ．(6,0)(0,6)-UC ．(,6)(0,6)-∞-UD ．(,6)(6,)-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】构造函数()()()h x f x g x =，判断函数的单调性和奇偶性，脱离f 即可求得相关解集. 【详解】根据题意，可设()()()h x f x g x =，则()h x 为奇函数，又当0x <时()()()()0f x g x f x g x ''+>，所以()h x 在R 上为增函数，且()60h -=，()()0f x g x <转化为()0h x <,当0x <时，则6x <-，当0x >，则()(6)h x h <，则06x <<，故解集是(,6)(0,6)-∞-U ，故选C. 【点睛】本题主要考查利用抽象函数的相关性质解不等式，意在考查学生的分析能力和转化能力，难度中等. 4．下列叙述正确的是（ ） A ．若命题“”为假命题，则命题“”是真命题B ．命题“若，则”的否命题为“若，则”C ．命题“，”的否定是“，”D ．“”是“”的充分不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】结合命题知识对四个选项逐个分析，即可选出正确答案. 【详解】 对于选项A ，“”为假命题，则，两个命题至少一个为假命题，若，两个命题都是假命题，则命题“”是假命题，故选项A 错误；对于选项B ，“若，则”的否命题为“若，则”，符合否命题的定义，为正确选项； 对于选项C ，命题“，”的否定是“，”，故选项C 错误；对于选项D ，若，则，故“”不是“”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了命题的真假的判断，考查了学生对基础知识的掌握情况.5．已知82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中常数项为1120，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．1-或1D ．不确定【答案】C 【解析】 【分析】列出二项展开式的通项公式，可知当4r =时为常数项，代入通项公式构造方程求得结果. 【详解】82a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()88218822rr r r r r r a T C x a C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭ 令820r -=，解得：4r =()485421120T C a ∴=-=，解得：1a =±本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据二项展开式指定项的系数求解参数值的问题，属于基础题.6．已知()22i z i -=（i 为虚单位），则复数z 在复平面上所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由()22i z i -=得22iz i=-，再利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 所表示的点所在的象限. 【详解】由()22i z i -=得()()()22224224222555i i i i i z i i i i ++====-+--+， 因此，复数z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点所在的象限，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.7．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（ ）A ．1eB ．0C ．44eD ．22e【答案】A 【解析】 【分析】先算出1()x xf x e-'=，然后求出()f x 的单调性即可【详解】 由()xf x xe-=可得1()x xf x e-'=当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增 当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减 所以函数()xf x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e=故选：A 【点睛】本题考查的是利用导数求函数的极值，较简单.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB 与平面1ACD 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．3C ．35D ．25【答案】B 【解析】 【分析】证明1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠，再利用边的关系得到正弦值. 【详解】如图所示：连接BD 与AC 交于点O ，连接1D O ，过点D 作1DE D O ⊥1BB 与平面1ACD 所成角等于1DD 与平面1ACD 所成角正方体11111,ABCD A B C D AC DB AC DD AC -⇒⊥⊥⇒⊥平面1DD O AC DE ⇒⊥1DE D O DE ⊥⇒⊥平面1ACD1DD 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠设正方体边长为1在1Rt DD O ∆中11232sin 362DO DD O D O ∠=== 故答案选B【点睛】本题考查了线面夹角，判断1BB 与平面1ACD 所成角为1DD O ∠是解得的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知三棱锥A BCD -的每个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，4AB =，5AD =，2BC CD ==O 的体积为（ ）A ．105πB ．205π3C ．5πD ．105π3【答案】B 【解析】 【分析】根据所给关系可证明BC CD ⊥，即可将三棱锥A BCD -可补形成长方体，即可求得长方体的外接球半径，即为三棱锥A BCD -的外接球半径，即可得球O 的体积. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB BD ⊥，又AB=4，5AD =， 所以2BD =，又2BC CD ==所以222BC CD BD +=，则BC CD ⊥．由此可得三棱锥A BCD -可补形成长方体如下图所示：设长方体的外接球半径为R ， 则()()222222425R =++=，所以球O 的体积为3344205ππ5π33V R ===， 故选:B. 【点睛】本题考查了三棱锥外接球体积的求法，将三棱锥补全为棱柱是常用方法，属于中档题. 10．函数()321212f x x x x =+-+的极大值为（ ） A ．3 B ．52C 2D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数()(1)(32)f x x x '=+-，得出函数的单调性，再根据集合的定义，即可求解. 【详解】由题意，函数()321212f x x x x =+-+，则()232(1)(32)f x x x x x '=+-=+-， 令()0f x '>，即(1)(32)0x x +->，解得1x <-或23x >， 令()0f x '<，即(1)(32)0x x +-<，解得213x -<<， 即函数在2(,1),(,)3-∞-+∞上函数()f x 单调递增，在2(1,)3-上函数()f x 单调递减，所以当1x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值()512f -=，故选B.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及求解函数的极值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 11．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．2B ．4C ．442+D ．642+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱， 所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A 【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.12．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y=bx+a 必过（ ） x 0 1 2 3 y1357A ．(1.5，4)点B ．(1.5，0）点C ．（1，2）点D ．（2，2）点【答案】A 【解析】 由题意：012313571.5,444x y ++++++==== ，回归方程过样本中心点，即回归方程过点()1.5,4 .本题选择A 选项.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数z 满足||||2z i z a ++-=，若z 在复平面上对应点的轨迹是椭圆，则实数a 的取值范围是______；【答案】(3,3)- 【解析】 【分析】由复数模的几何意义及椭圆的定义列出不等式求解。
广东省广州市高二下学期期末考试(数学)
秘密★启用前2011 - 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1 •答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液 •不按以上要求作答的答案无效•4. 本次考试不允许使用计算器5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的. 已知集合A —1,2?, —1,0,1?,则A B 等于A .-3,1D. H ,-3Z 〔1,=4.已知直线 l 1 :2x • y -2 =0,12 ： ax • 4y • 1 =0,若 l 1 〃12，则 a 的值为1.2. 3.A .4 B.匚1,0,2 / C.「-1,0,1,21D...COS120的值是.3 A .21B.21 C.-2D.2不等式x 2 -2x -3 .0的解集是B. -1,3B. 2C.D. -2I5.函数y二sin2x是A .最小正周期为2二的偶函数C.最小正周期为二的偶函数 B.最小正周期为2二的奇函数D.最小正周期为的奇函数6.在等比数列 0』中，若as^ =9, a2a4a5 =27，则a?的值为B. 3C. 4D. 9Iy 叮， 7.如果实数x 、y 满足条件 2x - y -1岂0,则2x y 的最大值为x y -1 _ 0.5A . 1 B.-3 C. 2D. 38.已知某几何体的三视图如图1所示，其中俯视图是腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积为 A .4.3 B. 8 3 C. 12 ,3D. 24.39.已知向量a h]1,n , b =：[n,1 ,其中n =二1,则下列 结论中正确的是 A . a b // a b B.a b // b a -b _ a bC.D .a b _ b10. 已知函数f x = \ 2x - x 2 • 1，则对任意实数 为、x 2,且0 ：：：为：：：x 2 ：：： 2,都有A. x/（X2 ）C X2f （为）B. X1f （X2 ）＞X2f （为）C. 为 f X 1: x 2 f x 2二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数y =ln 2x -1的定义域是 __________________ .12. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，点1, -2,3关于原点O 的对称点的坐标为 __________________ 13. 某公司生产 A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n =.14. 已知函数y =a 1^（a • 0且a=1）的图象恒过点A . 若点A 在直线mx • ny -1=0 mn • 01 2上,则的最小值为 ______________m n三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 .15. （本小题满分12分）编号分别为 A, 4,民,…，人2的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下 ：运动员编号A 1 A 2AA A 5 A A A A A 10 A 11 A 12D. 为 f 为 I ，x 2 f x 2俯视图(1) 完成如下的频率分布表：(2)从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和大于25的概率.16 .(本小题满分12分)1 在厶ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a = 3, b = 2, cos A3(1)求sin B的值；(2)求c的值.17. (本小题满分14分)如图2，在三棱锥P-ABC中，AB =5, BC =4, AC =3，点D是线段PB的中点,平面PAC —平面ABC .(1)在线段AB上是否存在点E ,使得DE //平面PAC ?若存在，指出点E的位置，并加以证明;若不存在，请说明理由(2)求证：PA _ BC .18. (本小题满分14分)已知等差数列：a* 的前n项和为S n，且a i a3 = 10, S4 = 24 .(1)求数列fa n ?的通项公式；111 3(2)令T n，求证：T n.S1 S2 S n419. (本小题满分14分)已知圆C的圆心坐标为(1,2),直线l:x + y—1=0与圆C相交于M、N两点，’MN=2.(1) 求圆C的方程；(2) 若t式1,过点A(t,0 )作圆C的切线，切点为B，记=| AB，点A到直线l的距离为d2,求d -1的取值范围.d220. (本小题满分14分)若函数f x二ax2 - 2x在1,3〕上的最大值为M a ,最小值为N a ,令g a j=M a -N a .(1 )求g a的表达式;(2)若关于a的方程g a -t =0有解,求实数t的取值范围2011学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算•共10小题，每小题5分，满分50 分.要考查基本知识和基本运算•共 4小题，每小题5分，满分20分.三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15 .本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力.满分 12分.(1)解:频率分布表：”， 4分⑵解：得分在区间10,20内的运动员的编号为 A , A , A , A , A M .从中随机抽取2人，所有可能的抽取结 果有:％,A 3二 人入二地人？,地,外匚人人二入,人「人，41二，A 二、A 4, f ，'A s , A 「，共10种•,,, 7分“从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取 2人，这2人得分之和大于25 ”(记为事件B )的所有可能 结果有：％,九「％,人1二认，九1入,乓二人，A J,%,A8?,：A 4 , A 11 J A 8 , A 11 共 8 种•,,, 10 分8所以 P B -0.8.10答：从得分在区间10,20内的运动员中随机抽取 2人，这2人得分之和大于25的概率为题：本大 二、填空12.-1,2, -313.7214. 3 2.20.8 ,,, 12 分16 •本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力•满分12 分.1(1)解：••• 0 ：：： A ：：：二，cos A317•本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能 力•满分14分.(1)解：在线段 AB 上存在点E ,使得DE //平面PAC ，点E 是线段AB 的中点.，2分下面证明DE //平面PAC : 取线段AB 的中点E ,连接DE , •••点D 是线段PB 的中点，••• DE 是厶PAB 的中位线. ••• DE // PA .•/ PA 二平面 PAC , DE 二平面 PAC• DE // 平面 PAC .(2)证明：T AB = 5, BC = 4, AC = 3,2 2 2•- AB -BC AC .• AC _ BC .，” 10 分•••平面PAC —平面ABC ，且平面PAC 平面ABC = AC , BC 平面ABC ,••• BC _ 平面 PAC . ,,, 12 分•/ PA 二平面 PAC ,• PA_BC .,,, 14 分18 .本小题主要考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分由正弦定理得:2^2 3a b sin A sin B1⑵解：",山3必盲b 2c 2 -a 22bc影2 小22 c -3 2 2c解得c =3.2分4分6分8分12分4分 6分8分14分.(1)解：设等差数列 的公差为d ,12 / 11a a 3 =10, S 4 = 24,2a , 2d =10,12分3 八 . ,,,14 分419 •本小题主要考查直线与圆的方程、不等式等基础知识，考查运算求解能力及推理论证能力•满分14分.(1)解：设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心1,2到直线l 的距离d,,, 2 分MN =2, ••• 2汀2-d 2=2.,,, 3 分 ••• 2」2- 2 =2 .,,, 4 分 解得r 一 '、3.,,,5 分r 丄恥3 4a i Td = 24.解得 q =3, d =2.a n = 3 2 n -1 = 2n 1.(2)证明：由(1）得 S n = n a 1 - a n n 3 2n 1n n 2 ,S S21 32 43 5 nn2丄一丄1丄 n -1 n 1n n 210分1 n +2」|1[2_1 12 12S n6分2 2所求的圆C 的方程为X -1 y -2=3.22f —⑵解：•••圆C : X -1 y -23的圆心C 1,2 ,半径r —、3••• a =| AB = J|AC |2 —r 2 = J(t —1 2 +(o —2 , —(73 ) = J (t —1)2 +1 .，” 8分• 0 ：： — 1. m +1• 日的取值范围是（o, ）.d 220 •本小题主要考查二次函数的最值、方程等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方 法.满分14分.(1)解:1 a <1, 31 • 13.a• 0 ::: 113分• o —1..2.又点A t,0到直线l 的距离d 2二t+0-1 t-1一 12 12 二.24 -1 d 22t -11-1210分11分12分14分t _1 = J m 2 _1 ,•/ m 1, • m 1 2. 2f x =ax -2xa j6分11①当12,即 a 乞1时，则x = 3时，函数f x 取得最大值 a 2值.• M a = f 3 = 9a -6 ,N(a)」1\.a 丿1x 时，函数f x 取得最小 a1• g a ;=M a ;-N a ;=9a6. a11 1②当23,即 a 时，则x =1时, a 3 2值.• M (a )=f (1 )=a —2，N (a )= f l a 丿••• g a 二 M a ：;-N a 二 a(2)解：任取a 1,a^ i 1,1[3 2丿 a i a 2•2詁2）且…2 ,二 a _a 2 :: 0,a 1a 2 0,a 1a 2 -1 0 .• g a 1g a 2 .任取 a 3，a^2,1，且 a s a 4,1a 2,a 综上，得g a 二9a 1 -6a1 a 3 1 a21：2'_1.函数f x 取得最大值;x-丄时，函数f x 取得最小a;宀】< a 1 ><a2J0,即 g c -g a ?0.•函数 —,—丿上单调递减 _3 2，且a 〔叮 a ?,a i耳比-1 g C - g a ?二f \ ft」 1 1g(a3)—g(aj= 9a3^——6 — 9a^-6a 3,a 4 ■ 2,i ，且 ：：： 34 ,二 a 3 -a 4 :: 0,a 3a 40,9a 3a 4 -1 0.•- g a 3 :: g a 4 .•••函数g a 在*,1上单调递增•1f l 、 1当a 时，g a 取得最小值，其值为g,•函数g a 的值域为 1,4 .•••关于a 的方程g a ］；「t =0有解等价于t = g a有解,•实数t 的取值范围为函数 g a 的值域.•实数t 的取值范围为｝4-a 3-a 4 9a 3a t -1a 3a 40,即 g a s -g a 4:: 0.10分11分12分13分14分。
2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省广州市荔湾区高二下学期期末数学试题一、单选题1．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.该运动员在t =1s 时的瞬时速度（单位：m/s ）为（ ） A ．10.9 B ．-10.9 C ．5 D ．-5【答案】D【分析】先对函数求导，然后把1t =代入即可求解． 【详解】解：因为2() 4.9 4.811h t t t =-++， 所以()9.8 4.8h t t '=-+， 令1t =，得瞬时速度为5-． 故选：D.2．3名同学报名参加足球队、篮球队，每名同学限报其中的一个运动队，则不同的报名方法的种数是（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．9【答案】A【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理直接列式计算作答.【详解】依题意，每名同学报名方法数是2，所以3名同学不同的报名方法的种数是328=.故选：A3．设离散型随机变量X 的分布列为P (X =0)=0.2，P (X =1)=0.6，P (X =2)=0.2，则()23E X -=（ ） A ．2 B ．1C ．-1D ．-2【答案】C【分析】套公式直接求出()E X 和()23E X -.【详解】因为离散型随机变量X 的分布列为P (X =0)=0.2，P (X =1)=0.6，P (X =2)=0.2， 所以()00.210.620.21E X =⨯+⨯+⨯=, 所以()()23232131E X E X -=-=⨯-=-. 故选：C4．在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件中任意抽出3件，抽出的3件中恰有1件是次品，则不同抽法的种数是（ ） A ．56 B ．28 C ．120 D ．16【答案】A【分析】利用分步计数乘法原理结合组合列式计算即可.【详解】从2件次品中抽出1件次品的抽法有12C 种，从8件合格品中抽出2件合格品的抽法有28C 种，共有1228C C 56=(种).故选：A.5．已知函数y=f （x ）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x ）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B.6．已知随机变量X 的分布列如下表(其中a 为常数) X 0123P 0.2 0.3 0.4 a则下列计算结果正确的是（ ）A ．0.2a = B ．()20.7P X ≥= C ．() 1.4E X =D ．() 6.3D X =【答案】C【分析】由概率之和为1可判断A ，根据分布列计算可判断B,C,D. 【详解】因为0.20.30.41a +++=，解得0.1a =，故A 错误； 由分布列知(2)0.40.10.5P X ≥=+=，故B 错误；()00.210.320.430.1 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；()()()()()22220 1.40.21 1.40.32 1.40.43 1.40.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，故D 错误.故选：C.7．小明上学有时做公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min ，样本方差为4，假设做公交车用时2~(30,6)X N ，骑自行车用时2~(34,2)Y N ，则（ ） A ．()()3838P X P Y >≤≤B ．(34)(34)P X P Y ≤>≤C ．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车D ．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为2~(30,6)X N ，2~(34,2)Y N ， 将,X Y 化为标准正态分布，则()()30340,1,0,162X Y N N --，因为3830383462--<，所以(38)(38)P X P Y ≤<≤，故A 错误； 又11(),342324()P X P Y ≤=≤>，(34)(34)P X P Y ≤>≤，故B 正确；因为(38)(38)P X P Y ≤<≤，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C 错误； 因为(34)(34)P X P Y ≤>≤，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D 错误. 故选：B ．8．已知函数1()ln()x f x e x m +=-+，x =-1为f (x )的极值点，则（ ） A ．f (x )在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增 B ．f (x )在(-2，-1)上单调递增，在(-1，+∞) 上单调递减 C ．f (x )在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减 D ．f (x )在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增 【答案】D【分析】由x =-1为f (x )的极值点，求出m 的值，再根据m 的值确定导数的正负从而即可确定函数的单调区间，即可得答案.【详解】解：因为1()ln()x f x e x m +=-+，所以'11()x f x e x m+=-+， 又因为x =-1为f (x )的极值点，所以'011(1)1011f e m m-=-=+=-+-， 解得2m =,所以1()ln(2)x f x e x +=-+，所以定义域为(2,)-+∞，故排除A,C;所以'11()2x f x e x +=-+， 易知'11()2x f x e x +=-+在(2,)-+∞上为增函数， 又因为'(1)0f -=，所以当(2,1)x ∈--时，'()0,()f x f x <单调递减；当(1,)∈-+∞x 时，'()0,()f x f x >单调递增. 故选：D. 二、多选题9．下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有（ ）A ．在经验回归方程0.43ˆyx =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应变量ˆy 增加0.4个单位B ．若样本相关系数r 的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强C ．若决定系数2R 的值越接近于0，则表示回归模型的拟合效果越好．D ．在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好． 【答案】BD【分析】根据回归直线，线性相关系数，决定系数及残差平方和等知识依次判断各选项即可得出结果.【详解】对于A ，在经验回归方程0.43ˆyx =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应变量ˆy减少0.4个单位，故A 错误； 对于B ，若样本相关系数r 的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故B 正确；对于C ，若决定系数R 2的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，故C 错误； 对于D ，在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故D 正确. 故选：BD.10．下列 求导运算正确的是（ ）A ．若()()sin 21f x x =-，则()()2cos 21f x x '=-B ．若()0.051e x f x -+=，则()0.051ex f x -+'= C ．若()e xxf x =，则()1e x x f x +'= D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+ 【答案】AD【分析】利用导数的运算求解判断.【详解】A ，因为()()sin 21f x x =-，所以()()2cos 21f x x '=-，故正确；B ，因为()0.051e x f x -+=，所以()0.0510.05e x f x -+'=-，故错误；C ，因为()e xx f x =，所以()1e x xf x -'=，故错误；D ，因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x ='+，故正确. 故选：AD.11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（ ）A ．第9行中从左到右第6个数是126B ．111C C C r r rn n n ---+=C ．12C C C 2nn n n n +++=D ．333334510C C C C 330++++=【答案】ABD【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD ，利用二项式系数的性质判断C.【详解】对于A ，第9行中从左到右第6个数是59C 126=，故A 正确；对于B ，()()()()1111!1!1!()1!!C (1)!()!!(1)!!()!C !!()C r n r r n n n n r n n r n n r n r r n r r n r r n r -----⋅-+-⋅-=+===------+，故B 正确；对于C ，由二项式系数的性质知012C C C C 2n nn n n n ++++=，故C 错误；对于D ，3333433343343451044510551011C C C C C C C C C C C C 330++++=++++==+++=，故D 正确. 故选：ABD.12．已知函数()(1)e x f x x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 在(,2)-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增． B ．()f x 在R 上仅有一个零点C ．若关于x 的方程()()R f x a a =∈有两个实数解，则2e a -<D ．()f x 在R 上有最大值2e -，无最小值 【答案】BD【分析】求出导函数，即可得到函数的单调性与极值、最值，再根据零点存在性定理判断函数的零点，结合函数值的变化趋势判断C.【详解】解：因为()(1)e x f x x =-+定义域为R ，所以()(2)e x f x x '=-+， 所以当2x <-时()0f x '>，当2x >-时()0f x '<，所以()f x 在(,2)-∞-上单调递增，在()2,-+∞上单调递减，函数在2x =-处取得极大值即最大值，所以()()x 2ma 0e 2f x f -=-=>，又()010f =-<，所以()f x 在()2,0-上有一个零点， 当1x <-时()10x -+>，e 0x >，所以()0f x >， 当1x >-时()10x -+<，e 0x >，所以()0f x <， 且当x →+∞时()f x →-∞，当x →-∞时()0f x →；所以()f x 在R 上仅有一个零点，()f x 在R 上有最大值2e -，无最小值，故A 错误，B 正确，D 正确；对于C ：若关于x 的方程()()R f x a a =∈有两个实数解，则20e a -<<，故C 错误； 故选：BD 三、填空题13．假如女儿的身高y (单位：cm)关于父亲身高x (单位：cm)的经验回归方程是0.825ˆyx =+，已知父亲身高为175cm ，估计女儿的身高为________cm ． 【答案】165【分析】根据回归方程代入数据计算即得.【详解】根据女儿身高为y (单位：cm )关于父亲身高x (单位：cm )的经验回归方程， 当父亲的身高为175cm 时，ˆ0.817525165cm y=⨯+=.故答案为：165.14．由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是________ 【答案】48【分析】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然后利用分步乘法计数原理可得出答案.【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有4种选法， 再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有24A 12=种选法， 由0，1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数是41248⨯=. 故答案为：48.15．现有8道四选一的单选题，小明同学对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率只有0.25，小明同学从这8道题这随机选择1题，则小明做对该题的概率为_______ ． 【答案】0.73755980【分析】利用全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示“考生答对”,事件B 表示“考生选到有思路的题”. 则该考生从这8道题中随机选1题,则他答对该题的概率为: ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.750.90.250.25=⨯+⨯0.7375= 故答案为: 0.7375 四、双空题16．盒子中有4张面值为100元的奖券，3张面值10元的奖券，2张面值为5元的奖券，预从中任取两张，记取出的面值100元的奖券数为X ，则()2P X ==___________，()E X = _________．【答案】1689【分析】根据古典概率公式求得随机变量每一个取值的概率，再由期望公式即得. 【详解】由题可知X 的所有可能取值为0，1，2，则()2429C 12C 6P X ===，()2529C 50C 18P X ===，()114529C C 51C 9P X ===，所以()551801218969E X =⨯+⨯+⨯=．故答案为：16；89.五、解答题17．已知二项式()2nx n N*⎫∈⎪⎭的展开式， ，给出下列条件：①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题： (1)求展开式中x -3的系数； (2)求展开式中二项式系数最大的项 【答案】(1)18. (2)答案见解析.【分析】（1）先求出二项展开式的通项公式. 选条件①：列方程12C 1C 4n n=解出n ；选条件②：列方程12256n -=解出n ；选条件③：根据第4项为常数项，解出n ；利用通项公式即可求出展开式中x -3的系数；（2）先利用二项式系数的性质判断出二项式系数最大的项为第5项和第6项，再利用通项公式直接求解.【详解】(1)二项式()2n x n N*⎫+∈⎪⎭的展开式的通项公式为：()1C 2n rr r n rT x -+=.选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4，所以12C 1C 4n n =，即()142n n n -=，解得：9n =；选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256，所以12256n -=，解得：9n =.选条件③：展开式中第4项为常数项，即()333393242C C 2n n n nT x x--==为常数项，所以9n =.所以二项式92x⎫+⎪⎭的展开式的通项公式为：()939219922C C rr r rrr rT x x--+==.要求展开式中x -3的系数，只需令3932r -=-，解得：r =1.所以系数为192C 18⋅=.(2)当9n =时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.所以3493422594C 26201T xx ⨯-==，359536952C 43220T xx ⨯-==.18．某企业2017年至2021年年销售量收益y (单位：百万元)与广告投入x (单位：万元)的数据如下表：表中的数据显示，可用一元线性回归模型建议x 与y 之间的经验回归方程． (1)求年销售收益y 关于广告投入x 的经验回归方程； (2)求决定系数R 2的值．参考公式：经验回归方程ˆˆˆybx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ni i i nii x x y yb x x ==--=-∑∑，a y bx =-，()()22121ˆ1ni i i nii y yR y y ==-=--∑∑【答案】(1)ˆ 1.30.3yx =+； (2)169188【分析】(1)根据数据先计算,x y ，再求,b a 即可得线性回归方程； (2)先计算所以222221122334455()()()()()y y y y y y y y y y 与2222212345()()()()()y y y y y y y y y y 的值，再根据公式计算2R 即可.【详解】(1)解：由题意可得：1234535x ++++==，233674.25y，所以22222(13)(2 4.2)(23)(3 4.2)(33)(3 4.2)(43)(6 4.2)(53)(7 4.2)1.3(13)(23)(33)(43)(53)b，所以回归方程为ˆ 1.30.3yx =+； (2)解：因为1ˆ 1.310.3 1.6y=⨯+=,2ˆ 1.320.3 2.9y =⨯+=,3ˆ 1.330.3 4.2y =⨯+=,4ˆ 1.340.3 5.5y =⨯+=,5ˆ 1.350.3 6.8y=⨯+=,； 所以222221122334455()()()()()y y y y y y y y y y 22222(2 1.6)(3 2.9)(3 4.2)(6 5.5)(7 6.8) 1.9,又因为2222212345()()()()()y y y y y y y y y y 22222(2 4.2)(3 4.2)(3 4.2)(6 4.2)(7 4.2)18.8，所以()()22121ˆ1niii ni i y yR y y ==-=--∑∑=1 1.918.8-=169188. 19．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素师范对本校学生体育锻炼的经常性有影响，在全校随机抽取50名学生进行调查，其中男生有27人，坚持锻炼的男生有18人，经常锻炼的女生有8人． (1)请根据提议完成下面的2×2列联表(2)根据（1）中的2×2列联表，依据小概率值α=0.05的独立性检验，能否认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关？ 附：参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析.【分析】（1）由题意进行数据分析，完成2×2列联表；（2）套公式计算2χ，对照参数下结论. 【详解】(1)由题意进行数据分析可得：(2)由题意可知：()()()()()()22250181589 5.059 3.84126242723n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯.所以我们认为性别因素与本校学生体育锻炼的经常性有关.20．设x ＞0，f (x )=ln x ，1()1g x x =-(1)求证：直线y =x -1与曲线y =f (x )相切； (2)判断f (x )与g (x )的大小关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2)()()f x g x ≥，证明见解析.【分析】(1) 因为直线y =x -1与 f (x )=ln x 都过点(1,0)，设过点(1,0)与f (x )=ln x 相切的直线为y kx b =+，证明y kx b =+与1y x =-是同一条直线即可. (2) 令1()()()ln 1(0)h x f x g x xx x，利用导数求出()h x 最小值即可判断f (x )与g (x )的大小，再证明即可.【详解】(1)证明：因为直线y =x -1过点(1,0), f (x )=ln x 过点(1,0). 设过点(1,0)与f (x )=ln x 相切的直线为y kx b =+,因为'1()f x x=, 设切点为：00(,ln )x x ， 所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，代入（1，0）,得01x =， 所以切线方程为1y x =-， 即1y x =-与曲线y =f (x )相切； (2)()()f x g x ≥。
广东省广州市2022届数学高二下期末质量检测试题含解析
广东省广州市2022届数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号.则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7B ．8C ．11D ．142．已知13个村庄中，有6个村庄道路在维修，用X 表示从13个村庄中每次取出9个村庄中道路在维修的村庄数，则下列概率中等于2567913C C C 的是（ ） A ．()2P X ≥ B ．()2P X = C ．()4P X ≤D ．4P X3．如图所示阴影部分是由函数x y e =、sin y x =、0x =和2x π=围成的封闭图形，则其面积是（）A ．22e π+B ．22e π-C ．2eπD ．22e π-4．若集合{}24M x x =，{|13}N x x =<≤，则()R N M ⋂=( )A ．{|21}x x -≤<B ．{|22}x x -≤≤C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x <5．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表： 男女总计爱好 10 40 50 不爱好 20 30 50总计3070100()2P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.0722.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()2210010302040 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论（ ）A ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”6．已知数列{}n a ，如果1a ，21a a -，32a a -，……，1n n a a --，……，是首项为1，公比为13的等比数列，则n a =A ．31123n （）- B ．131123n --（） C ．21133n -（） D ．121133n --（） 7．设数列{}n a ，{}2n a (*n N ∈)都是等差数列，若12a =，则23452345a a a a +++等于（ ）A ．60B ．62C ．63D ．668．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -< D ．ln0a b> 9．把圆和椭圆的公共点用线段连接起来，所得到的图形为（ ）A ．线段B ．等边三角形C ．直角三角形D ．四边形10．已知复数z 满足()31212i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（ ） A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455-i D ．3455i -- 11．设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为 X 123Y 123P2p 1p - 2p p - P3p 21p - 23p p -当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A ．2B ．3316C ．5527D ．653212．设函数()()21sin sin sin ,44xx f x x x x g x ae ππ-⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()()()1212,0,,x R x f x g x ∀∈∃∈+∞<，则正数a 的取值范围为（ ）A ．()0,eB ．(),e +∞C ．()30,e-D ．()3,e -+∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知X 的分布列如图所示，则 X -11P0.2 0.3 a（1）()0.3E X =， （2）()0.583D X =，（3）(1)0.4P X ==，其中正确的个数为________. 14．已知随机变量X 的分布列如下表：X1 23P2a 3a4a 其中a 是常数，则1322P X ⎛⎫<<⎪⎝⎭的值为_______.15．在6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）. 16．已知函数22,()3,x ax a f x x ax x a+<⎧=⎨-+⎩，存在唯一的负数零点，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113A D =.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.18．脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在[0.1，0.3）的脐橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质，随机摘取100个脐橙进行检测，其重量分别在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，经统计得到如图所示频率分布直方图（1）将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取5个脐橙，求恰有3个是“精品果”的概率．（2）现从摘取的100个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为[0.4，0.5），[0.5，0.6）的脐橙中随机抽取10个，再从这10个抽取3个，记随机变量X 表示重量在[0.5，0.6）内的脐橙个数，求X 的分布列及数学期望．19．（6分）已知向量1()(32)2a cosxb sinx cos x x R ==∈，，，，，设函数•f x a b =（） （1）求()f x 的最小正周期 （2）求函数()f x 的单调递减区间 （3）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值20．（6分）某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数． (1)请列出X 的分布列；(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．21．（6分）已知二项式2⎛+ ⎝nx x 的展开式中第五项为常数项.（1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中有理项的系数和.22．（8分）已知在直角坐标系xOy 中, 直线l的参数方程为是22(1x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）, 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2) 在曲线C 上求一点P ,使得它到直线l 的距离最大,并求出最大距离.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果. 【详解】解：依题意，第一类：若开启3号，则开启4号并且关闭2号，此时关闭1号，开启5号， 此时有1种方法； 第二类：若关闭3号，①开启2号关闭4号或关闭2号开启4号或开启2号开启4号时，则关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；②关闭2号关闭4号，则开启1号关闭5号或开启1号开启5号或关闭1号，开启5号， 此时有种3方法；综上所述，共有1337++=种方式. 故选：A. 【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可得解. 【详解】由2466C C = 可知选D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式，容易误选B ，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。