第七章 直梁的弯曲
M1 qLx1
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Fy = qLQ2 q ( x2- a ) 0
Q2 q(x2 a L)
y
M B (F) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q
(
x2
a
)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
4. 剪力图和弯矩图
1.集中力:
2.集中力偶:
3.分布载荷(均 布载荷)
第二节 梁弯曲时横截面的内力
1. 基本概念
y
aa
FF bb
A
11 c c
B
x
A
1
B
x
FA
1
LL
FB
(b)(a)
y
F
1
Q＇ 1
a-x
b
M
M＇
A
O
O
FA
1Q x
(c)
1
(d)
x B
FB
梁的弯曲内力有与横截面平行的剪力Q和使梁的轴线 发生弯曲的弯矩M。
外载荷正负号规定： 左上右下生正剪，左顺右逆生正弯
[例7.1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
1a
2b
y x
qL A
x1Q1
图（a）
M1
图（b
）
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
如图（b）示。
Fy qL Q1 0
Q1 = qL
M A (F) qLx1 M1 0
第七章 直梁的弯曲
第一节 弯曲的概念 第二节 梁弯曲时横截面的内力 第三节 梁纯弯曲时的正应力 第四节 梁弯曲时正应力的强度计算
第一节 弯曲的概念
1.基本概念
桥板 墙
楼板
7-1
F
杆件受到与轴向垂直的力的作用发生变形，称为 弯曲变形。
梁：通常将只发生弯曲变形（或以弯曲变形为主 ）的构件称为梁。
以截面离梁的某一端（左端）的距离x来表示 截面的位置，剪力Q就是一个x的函数Q=Q（x）， 这个关系式称为剪力方程。
相应地，表示弯矩的方程M=M（x）则称为弯 矩方程。
剪力图和弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线变 化的图形。
实际上，只有在梁的跨度很小的情况下，剪力 才能对梁的强度和刚度产生较明显影响，而绝大 多数的梁，弯矩是强度、刚度的决定因素。
常用梁截面
平面弯曲：当梁具有纵向对称平面时，如果作 用在梁上的所有外力和力偶都在纵向对称平面之 内，则变形后梁的轴线将是该平面内的一条平面 曲线，这种弯曲变形形式称为平面弯曲。这是弯 曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式。
y
F1
F2
M
FA 对称面
x
FB
2.梁的基本形式
（l）简支梁 梁的两端均有约束，一端可简化
为固定链支座，另一端可简化为活动铰支座的梁
称为简支梁。 XA A
P1
P2
B
YA
YB
（2）悬臂梁 一端为固定端、另一端自由的
梁称为悬臂梁。
A
P1
P2
XA
B
MA
YA
（3）外伸梁 若简支梁有一端或两端伸出支 座之外，则为外伸梁。
P1
P2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
XA
A
B
C
YA
YB
梁的计算简图
在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上 的载荷，一般可以简化为三种形式:
• 3 绘制剪力、弯矩图
三、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
dQx
dx
qx
即：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
dM (x) dx
Q(x)
即：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
无变化
Q
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M2 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M229 m
bF L
FA
1Q x
(c)
MO F 0,M FAx 0
M
FA x
bF L
x
若取右段梁（图d）为研 究对象，同样可求得剪力Q 和弯矩M为：
Q bF L
M bF x L
计算弯曲内力－剪力与弯矩的一般步骤是：先 根据梁的外载荷求出约束反力；然后用截面法， 根据外载荷和约束反力，利用平衡方程求出剪力 和弯矩。
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例7.4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
qa
q
A
a
a
Q
– qa
qa2 –
M
左端点：Q qa; M 0
线形：根据
因此，一般只着重于弯矩的分析计算。
【例7.2】简支梁AB受集中力P作用，如下图所示 ，试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和 弯矩图。
Q
O
x
O
x
M
[例7.3]如下图所示的简支梁跨度为l，试建立自重 q作用下梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力 图和弯矩图。
• 1 计算支座反力 • 2 建立剪力、弯矩方程
2.剪力和弯矩的计算
以图a所示的简支梁为例，用截面法来计算梁
横截面上的弯曲内力。
a
Fb
A
1
c
B
1 x
L
(a)
先用平衡方程求出约束反力
FA
bF L
FB
aF L
再取左段梁（图c）为研究对象，取横截面的
形心O为矩心，列平衡方程，计算弯曲内力：剪
力Q和弯矩M。
y
1
Fy 0,FA- Q 0
A
M
O
Q
FA
3.剪力与弯矩的符号规定
对剪力和弯矩的正负作出如下规定： ⑴截面上的剪力使所取梁段有顺时针方向转动 趋势时为正；反之为负；
dx
dx
Q
dx
dx
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q为“+”
(a)
Q Q
Q Q为“-”
⑵截面上的弯矩使所取梁段产生向下凸的变形 时为正；反之为负。
dx dx MM
dx
dx
MM
M
MM
M
M
MM
M
M为“+”
(b)
M为“-”
一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定， 假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡 方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则 说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、 剪力为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实 际方向相反，即为负。
或者：
横截面上的剪力，在数值上等于其左段或右 段梁上所有外力的代数和；横截面上的弯矩， 在数值上等于其左段或右段梁上所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。
dQx
dx
qx
；
x
dM (x) dx
Q(x)；
dM 2(x) dx2
q(x)
及集中载荷点的规律确定。
3 2
qa2
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Fy = qLQ2 q ( x2- a ) 0
Q2 q(x2 a L)
y
M B (F) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q
(
x2
a
)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
4. 剪力图和弯矩图
1.集中力:
2.集中力偶:
3.分布载荷(均 布载荷)
第二节 梁弯曲时横截面的内力
1. 基本概念
y
aa
FF bb
A
11 c c
B
x
A
1
B
x
FA
1
LL
FB
(b)(a)
y
F
1
Q＇ 1
a-x
b
M
M＇
A
O
O
FA
1Q x
(c)
1
(d)
x B
FB
梁的弯曲内力有与横截面平行的剪力Q和使梁的轴线 发生弯曲的弯矩M。
外载荷正负号规定： 左上右下生正剪，左顺右逆生正弯
[例7.1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。
qL 1
2q
1a
2b
y x
qL A
x1Q1
图（a）
M1
图（b
）
解：截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体
如图（b）示。
Fy qL Q1 0
Q1 = qL
M A (F) qLx1 M1 0
第七章 直梁的弯曲
第一节 弯曲的概念 第二节 梁弯曲时横截面的内力 第三节 梁纯弯曲时的正应力 第四节 梁弯曲时正应力的强度计算
第一节 弯曲的概念
1.基本概念
桥板 墙
楼板
7-1
F
杆件受到与轴向垂直的力的作用发生变形，称为 弯曲变形。
梁：通常将只发生弯曲变形（或以弯曲变形为主 ）的构件称为梁。
以截面离梁的某一端（左端）的距离x来表示 截面的位置，剪力Q就是一个x的函数Q=Q（x）， 这个关系式称为剪力方程。
相应地，表示弯矩的方程M=M（x）则称为弯 矩方程。
剪力图和弯矩图：表示剪力和弯矩沿梁轴线变 化的图形。
实际上，只有在梁的跨度很小的情况下，剪力 才能对梁的强度和刚度产生较明显影响，而绝大 多数的梁，弯矩是强度、刚度的决定因素。
常用梁截面
平面弯曲：当梁具有纵向对称平面时，如果作 用在梁上的所有外力和力偶都在纵向对称平面之 内，则变形后梁的轴线将是该平面内的一条平面 曲线，这种弯曲变形形式称为平面弯曲。这是弯 曲问题中最基本也是最重要的一种变形形式。
y
F1
F2
M
FA 对称面
x
FB
2.梁的基本形式
（l）简支梁 梁的两端均有约束，一端可简化
为固定链支座，另一端可简化为活动铰支座的梁
称为简支梁。 XA A
P1
P2
B
YA
YB
（2）悬臂梁 一端为固定端、另一端自由的
梁称为悬臂梁。
A
P1
P2
XA
B
MA
YA
（3）外伸梁 若简支梁有一端或两端伸出支 座之外，则为外伸梁。
P1
P2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
XA
A
B
C
YA
YB
梁的计算简图
在计算简图中，通常以梁的轴线表示梁。作用在梁上 的载荷，一般可以简化为三种形式:
• 3 绘制剪力、弯矩图
三、剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
dQx
dx
qx
即：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
dM (x) dx
Q(x)
即：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
弯矩与荷载集度的关系是：
dM 2(x) dx2
q(x)
二、剪力、弯矩与外力间的关系
无外力段 外 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m
C
水平直线
斜直线
自左向右突变
Q 图
Q
Q
Q
Q
Q Q1
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
Q>0 Q<0 增函数 降函数 Q1–Q2=P
无变化
Q
C x
M
斜直线
曲线
自左向右折角 自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M2 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M1
增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 M1 M229 m
bF L
FA
1Q x
(c)
MO F 0,M FAx 0
M
FA x
bF L
x
若取右段梁（图d）为研 究对象，同样可求得剪力Q 和弯矩M为：
Q bF L
M bF x L
计算弯曲内力－剪力与弯矩的一般步骤是：先 根据梁的外载荷求出约束反力；然后用截面法， 根据外载荷和约束反力，利用平衡方程求出剪力 和弯矩。
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。
[例7.4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
qa
q
A
解: 利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。
a
a
特殊点:
端点、分区点（外力变化点）和
驻点等。
qa
q
A
a
a
Q
– qa
qa2 –
M
左端点：Q qa; M 0
线形：根据
因此，一般只着重于弯矩的分析计算。
【例7.2】简支梁AB受集中力P作用，如下图所示 ，试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和 弯矩图。
Q
O
x
O
x
M
[例7.3]如下图所示的简支梁跨度为l，试建立自重 q作用下梁的剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力 图和弯矩图。
• 1 计算支座反力 • 2 建立剪力、弯矩方程
2.剪力和弯矩的计算
以图a所示的简支梁为例，用截面法来计算梁
横截面上的弯曲内力。
a
Fb
A
1
c
B
1 x
L
(a)
先用平衡方程求出约束反力
FA
bF L
FB
aF L
再取左段梁（图c）为研究对象，取横截面的
形心O为矩心，列平衡方程，计算弯曲内力：剪
力Q和弯矩M。
y
1
Fy 0,FA- Q 0
A
M
O
Q
FA
3.剪力与弯矩的符号规定
对剪力和弯矩的正负作出如下规定： ⑴截面上的剪力使所取梁段有顺时针方向转动 趋势时为正；反之为负；
dx
dx
Q
dx
dx
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q为“+”
(a)
Q Q
Q Q为“-”
⑵截面上的弯矩使所取梁段产生向下凸的变形 时为正；反之为负。
dx dx MM
dx
dx
MM
M
MM
M
M
MM
M
M为“+”
(b)
M为“-”
一般情况下，应先按弯矩、剪力的符号规定， 假设截面上的弯矩和剪力为正方向，然后由平衡 方程计算截面上的弯矩、剪力。若结果为正，则 说明假设的正方向是正确的，即该截面上的弯矩、 剪力为正；若结果为负，则说明弯矩、剪力的实 际方向相反，即为负。
或者：
横截面上的剪力，在数值上等于其左段或右 段梁上所有外力的代数和；横截面上的弯矩， 在数值上等于其左段或右段梁上所有外力对该 截面形心的力矩的代数和。
dQx
dx
qx
；
x
dM (x) dx
Q(x)；
dM 2(x) dx2
q(x)
及集中载荷点的规律确定。
3 2
qa2
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第七章-直梁弯曲时的内力和应力复习进程
第七章直梁弯曲时的内力和应力一、填空题：1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。
2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。
3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。
4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。
5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。
6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。
7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。
8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。
9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。
10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。
11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。
12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______.13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度.15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
材料力学：第七章 弯曲变形
刚度设计依据
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
(1) 挠度w大小取决于M, E, I三个参数 应该取较小的M, 较大的E, I
(2) 弯矩M大小取决于载荷\约束分布及梁跨度大小
(3) 截面惯性矩I 大小和截面形状有关,
弹性模量E大小和材料有关
Iz =
y2dA,
A
当A大小一定时, y越大, I 越大
梁的合理刚度设计
选择I 较大的薄壁横截面形状
1 度静不定 选 FBy 为多余力, 去约 束, 写出位移边界条件
－变形协调条件 －物理方程
利用边界条件 解出未知力
列平衡方程,求其他约束力:
－补充方程
分析方法与步骤：
判断梁的静不定度
用多余力代替多余约
束的作用，得相当系统
相当系统
相当系统有多种选择:
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程。
例题
解：
()
()
例题
例题
解：
()
()
()
例题
图示组合梁，EI=常数，求 wB 与qA
例题
解：
P378, 情况8
()
P377, 情况1,2
()
例题
图示刚架，求截面 C 的铅垂位移
例题
解：
位移w1包括AB弯曲 和AB扭转两部分
例题
矩形截面梁, 自由端承受集中载荷F作用, 该载荷与对 称轴y的夹角为θ, 用叠加法计算自由端求自由端截面形心C
的位移d
解：
例题
一般情况下
挠曲轴与外力作用面一般不重合
§6 简单静不定梁
静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法
静不定度与多余约束
静不定度 4-3= 1
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
第七章 弯曲变形
w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
第7章直梁弯曲
梁弯曲时的内力
【例7-2】求下列图中指定截面的剪力和弯矩，并确定其正、负号。
1 Q1 ql 正 4
1 l M 1 ql 0 4 8 1 2 M 1 ql 32
1 Q2 ql 正 2
1 l M 2 ql 0 2 4 1 M 2 ql 2 8
梁弯曲时的内力
剪力、弯矩的正负号规定如下：使梁的脱离体产生顺时针转动的剪 力规定为正，反之为负；使梁的脱离体下侧受拉而上侧受压的弯矩 规定为正，反之为负，如图所示。
对某一指定的截面来说，在它左侧向上的外力，或右侧向下 的外力将产生正的剪力；反之，即产生负的剪力。至于弯矩， 则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩， 而向下的外力产生负的弯矩。
最大剪力Qmax在AC(b>a) （或CB,a>b）段
Qmax=Gb/l
最大弯矩在C截面处
Mmax=Gab/l
本例中，剪力和弯矩的表达式与截面的位置形式上 构成了一种函数关系，这种关系称为剪力方程和弯 矩方程；即：
Q=Q(x) M=M(x)
梁弯曲时的内力
【例7-5】作图示梁的内力图。
1.
7.2 梁弯曲时的内力
7.2.1.弯曲内力——剪力和弯矩
如图所示简支梁AB受集中力 P作用，设其约束反力分别为 RA，RB。在距左支座x处用假 想截面将梁截开，取左脱离 体进行分析。
Y 0 RA Q 0 Q RA
M o 0 RA x M 0 M RA x
如上图1、2得纵向变形：
由图3得：
ydA M
即
M ydA
E
梁的弯曲第七章答案
梁的弯曲第七章答案思考题1、什么是梁的纯弯曲?什么是梁的横力弯曲？当梁的横截面上仅有弯矩而无剪力，即仅有正应力而无切应力的情况，称为纯弯曲。
横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的情况，称为横力弯曲或剪切弯曲。
2、什么是纵向对称截面？什么是中性层和中性轴？中性轴的位置如何确定？梁的横截面一般至少有一个对称轴，因而由各横截面的对称轴组成了梁的一个纵向对称面。
梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。
3、画剪力图和弯矩图的一般步骤是什么？弯曲变形时，如何确定梁的危险截面？a．利用平衡方程求出梁上的全部约束反力；b．判断梁上各段Q、M图的形状；c．确定关键点的剪力和弯矩值，并作图。
d．在图中找到最大剪力和最大弯矩的值，从而确定危险截面。
等截面梁弯曲时，最大弯矩所在的截面为危险截面。
4、弯曲变形时，梁的正应力在横截面上如何分布？如何确定梁横截面的危险点？梁弯曲时，横截面上任一点处的正应力与该截面上的弯矩成正比，与惯性矩成反比，与该点到中心轴的距离y 成正比。
y 值相同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。
在中性轴的上、下两侧，一侧受拉，一侧受压。
距中性轴越远，正应力越大。
梁横截面的危险点是到中心轴的距离最远的点。
5、什么是挠曲线？什么挠度？什么是转角？它们之间有何关系？直梁发生弯曲变形时，除个别受约束处以外，梁内各点都要移动，即都有线位移。
由于各个横截面形心的线位移不同，以致原为直线的形心轴变为平滑曲线，这个曲线称为挠曲线。
受弯曲变形的简支梁，在C 截面，梁横截面的形心变形后移到C ’截面，则梁横截面的形心沿y 轴方向的线位移称为该截面的挠度。
梁的横截面对其原有位置的角位移，称为该截面的转角。
关系：)('tan x f dxdy ==≈θθ。
习题7-1最大剪力值为7qa/4 。
最大弯矩值为7-2 （1）图略（2）MPa 9200max =σ。
第七章弯曲变形1
Fab ( L a ) B 2 ( L) 6 LEI
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数