双曲线例题_高中数学教师资格证面试试讲逐字稿

双曲线例题

这节课的开始，我们先来复习一下前面学过的知识,谁能先来说说双曲线的定义是什么？好你来说。他说平面内与两个定点的距离差的绝对值等于非零常数的点的轨迹为双曲线，当然要注意这个非零常数要小于两定点之间的距离，看来你对旧知的掌握非常的扎实，在这里再次提示大家，如果这里不说绝对值的话，代表的就只有双曲线的一直，好，那接下来谁能继续说一说双曲线的标准方程。

好，后面的同学继续，分两种情况，当焦点在x轴上时，标准方程为：a，b>0。当焦点在y轴上时，标准方程为：，同样a和b都为正数，看来大家对上节课的知识都掌握得很扎实，接下来呢，我们通过题目来检验一下自己的学习成果，请看大屏幕上老师给出的题目。

点M到定点F(5.0)的距离和它到定直线L: x= 的距离的比是常数，求点M的轨迹。这道题应该如何解决呢？大家思考一下，如果我们按照之前解决圆锥曲线题目最常用的数形结合的方法，这道题可不可以解决？请大家前后四人为一小组，给大家3分钟时间讨论，每个人都选择一种合适的方法来解决这道题目。

那老师听到大家讨论的声音渐渐减小了，刚刚老师在巡视的过程中发现第一小组讨论的非常激烈，那我们先请他们来汇报一下。他说他们刚刚采用了我提示的数形结合的办法，但是却在徒手作图的过程当中啊，遇到了一些障碍，并没有很顺利的完成这道题目哦，看来第三小组有想法，我们请第三小组继续来跟大家分享。他说啊，我们之前做过的轨迹方程的题目有一句话叫做，求谁设谁，所以呢，他们将动点M的坐标设成了(x.y)，然后根据题干当中的信息，先把它们转化成数学语言，最终经过一系列的化简，得到了曲线的标准方程是。

你们的迁移运用能力很强，思路也很清晰，请坐。

听了刚刚的汇报，老师看到有一些同学的表情依然很困惑，那接下来，老师带着大家细致的梳理一下解题步骤和思想，那没有做出来的同学呢，请继续拿出练习本，结合老师的分析，跟老师边讲边做，已经做出来的同学呢，也请规范一下自己的解题步骤，并思考一下每步的原理。

首先，为了处理方便，我们先来规定一下，我们设M到直线L的距离为d，那这个时候根据题干当中的信息，我们可以把轨迹表示这个集合，就是，老师把他板书在黑板上。

继续，我们根据两点之间的距离公式和水平距离，可以把这个式子继续转化成

在这里我们又一次遇到了带有根号和绝对值的式子啊，大家仔细考虑一下，我们之前遇到类似的式子都是如何处理的呢？哦，我听到大家说可以两边平方，这跟我们探究双曲线的标准方程的推导过程是一样的，经过我们的化简，可以得到9x2-16y2=144 ，之后我们简单的将其化为标准方程，最后的结果老师依然把它写在黑板上，，所以这个时候我们可以得出点M的轨迹，实际上是实轴长和虚轴长分别为8和6的双曲线。

那接下来请大家对照黑板中老师书写的规范步骤进行验证。好了，看来已经差不多了，我们来梳理一下这道题的步骤。首先我们根据题意将文字语言转化为几何语言，接下来将几何语言代数化，由距离公式列出了这个方程。最后我们将如此复杂的式子化简得到了这个双曲线的标准方程。

那为了加深大家的理解，请看大屏幕上，老师呢用几何画板的演示动态做了动点M的轨迹，大家来看一下是不是我们所求的双曲线。

那结合我们在椭圆部分给出的第二定义，老师呢，在此也要补充一个知识点，相信大家并不陌生了，到定点的距离和它到定直线的距离是一个比值，是圆锥曲线的统一定义，在这里呢，我们也习惯称它为双曲线的第二定义，就是到定点F的距离和它到定直线L：的距离比是，也就是离心率。

如果离心率大于1，表示的就是双曲线，老师同样把它板书在黑板上。好，我们继续来乘胜追击，继续来做一做大银幕当中的变式题，老师把这道例题题干中的(5.0)换成了(0.5)，把直线换成了y= ，大家快速拿出练习本，动笔计算，老师呢，请一位同学到讲台上进行板演。

老师看到大家都放下了笔，应该都做的差不多了，我们一起来看一下黑板中这位同学的解题步骤，首先，思路很清晰，过程也很规范，大家对照修正一下。

那经过本节课的学习，我们学到了很多新的知识和方法，谁想来跟大家分享一下你的收获，好，你来说。他说啊，我们通过例5的学习，掌握了双曲线的两种定义，以及解这类题目的一般思路，回答得非常简明扼要，这名同学呢，已经点出了我们本节课的要点，本节课呢，我们在探究例5的过程当中呢，其实运用到了转化的思想，大家在今后学习当中也要多利用这种思想来解决问题。

最后布置一下作业，必做题是课后练习2,3，选做题，用表格整理一下有关椭圆和双曲线的异同点的笔记，好了，那这节课就到这里。