立体几何大题20道

立体几何大题20道
1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值
2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．
3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD ,
1
,2
AB BC AD BAD ==
∠90.ABC =∠=︒（1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为
8
3
，求该四棱锥的侧面积.
5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;
（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
7、（16年北京）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥ （I ）求证：DC PAC ⊥平面；（II ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；
(III)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ∥平面?说明理由.
8、（16年山东）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB. （I ）已知AB=BC ，AE=EC.求证：AC ⊥FB ；
（II ）已知G,H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC.
9、（16年上海）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56
π
，11A B 长为
3
π
，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；
（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.
10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，
1
2 BC CD AD
==。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

D
C
B
A
P
11、（16年新课标1）如图，在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，P A=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明：G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面P AC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．P
A
B
D C
G
E
12、（16新课标2）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD 于点H，将DEF
∆沿EF折到'
D EF
∆的位置.
（I）证明：'
AC HD
⊥；
(II)若
5
5,6,,'22
4
AB AC AE OD
====,求五棱锥'ABCEF
D-体积.
13、（16新课标3）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（I）证明MN∥平面PAB;
（II）求四面体N-BCM的体积.
14、(2013·陕西，18，12分)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O ⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积．
15、(2016·宁夏银川二模，18，12分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD
＝1
2AB＝2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如
图2所示．(1)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；
(2)求点C到平面ABD的距离．
16、(2015·山东，18，12分，中)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
17、(2014·课标Ⅰ，19，12分，中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．
18、(2014·辽宁，19，12分)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．
(1)求证：EF⊥平面BCG；
19、(2015·课标Ⅰ，18，12分)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为
6
3，求该三棱锥
的侧面积．
20、(2016·江苏扬州二模，16，14分)如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接P A，PB，PD，得到如图2的五棱锥P-ABFED，且PB＝10.
(1)求证：BD⊥平面POA；
(2)求四棱锥P-BFED的体积．。