受弯构件的变形挠度验算
钢筋混凝土结构：变形验算-受弯构件刚度
THE END
பைடு நூலகம்
为简化起见，把变刚度构件等效等刚度构件，采用结
构力学方法，按在两端部弯矩作用下构件转角相等的原
则，则可求得等刚度受弯构件的等效刚度B，即为开裂构
件等效截面的抗弯刚度 。
a) M
M
b) M
M
c) M
M
图9-9 构件截面等效示意图 a)构件弯曲裂缝 b)截面刚度变化 c)等效刚度的构件
《公桥规》规定：钢筋砼受弯构件计算变形时的抗弯刚度为：
式中：
Y
ML2 B
1
d2y dx2
M B
—— 与荷载形式有关的荷载效应系数，如均布荷载时 5 48
B —— 给定的构件截面抗弯刚度，也即是截面抵抗弯曲变形的 能力。
钢筋砼受弯构件的抗弯刚度计算公式：
钢筋混凝土受弯构件各截面的配筋不一样，承受的弯 矩也不相等，弯矩小的截面可能不出现弯曲裂缝，其刚度 要较弯矩大的开裂截面大得多，因此沿梁长度的抗弯刚度 是个变值。
《钢筋混凝土结构》
受弯构件的应力、裂缝和变形验算
变形验算-受弯构件刚度
挠度过大，损坏使用功能：如简支梁跨中挠度过大，将使梁端部转角 大，引起行车对该处产生冲击，破坏伸缩缝和桥面；连续梁的挠度过大， 将使桥面不平顺，行车时引起颠簸和冲击等问题。 心理安全。 挠度过大，发生振动、动力效应。
材料力学挠度计算公式： 对简支梁，挠度计算的一般公式是：
Ms ——按短期效应组合计算的弯矩值；
Mcr——开裂弯矩;
M cr ftkW0
ftk——混凝土轴心抗拉强度标准值； γ ——构件受拉区混凝土塑性影响系数, 2S0 /W0 S0——全截面换算截面重心轴以上（或以下）
部分面积对重心轴的面积矩；
简述受弯构件挠度验算的最小刚度原则
简述受弯构件挠度验算的最小刚度原则受弯构件是常见的工程结构，其在受到外力作用下会发生弯曲变形。
挠度验算是评估受弯构件变形程度的重要方法之一。
挠度验算的最小刚度原则是指在进行受弯构件的挠度验算时，应根据最小刚度原则，选择合适的验算方法和参数，确保构件在工作状态下的变形满足设计要求。
受弯构件挠度验算的最小刚度原则主要包括以下几个方面：1. 选择合适的验算方法：挠度验算方法有解析法和数值法两种。
解析法适用于简单和理想化的构件情况，可以得到解析解；数值法适用于复杂和实际工程中的构件，可以通过有限元分析等方法得到数值解。
在进行挠度验算时，应根据具体情况选择合适的验算方法。
2. 考虑多种载荷情况：在进行挠度验算时，需考虑不同工作状态下的载荷情况，包括常规荷载、临时荷载、地震作用等。
根据不同载荷情况进行挠度验算，确保结构在各种工作状态下的变形满足设计要求。
3. 确定适当的验算参数：在进行挠度验算时，需确定合适的验算参数，包括构件的刚度、截面性能等。
刚度是指受弯构件抵抗外力作用时的刚性程度，是影响挠度的主要因素之一。
根据构件的实际情况和设计要求，选择适当的刚度参数，进行挠度验算。
4. 参考相关规范和标准：在进行挠度验算时，应参考相关的规范和标准，确保验算结果的准确性和合理性。
例如，中国的《建筑结构荷载标准》（GB 50009-2012）和《钢结构设计规范》（GB 50017-2003）等，提供了受弯构件挠度验算的相关要求和参数。
通过以上几个方面的考虑和参考，可以有效地进行受弯构件的挠度验算。
在实际工程中，挠度验算的结果对于受弯构件的设计和施工具有重要指导意义。
通过合理选择验算方法和参数，确保受弯构件在工作状态下的变形控制在允许范围内，提高结构的安全性和可靠性。
受弯构件的挠度验算(混凝土结构设计原理)
Bs
1 2 bh0 Ec h0 As Es
h0
E 1.15
Es A h
2 s 0
开裂截面的内力臂系数 试验和理论分析表明，在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围， 裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况， 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取=0.87。
⑶长期荷载作用下的抗弯刚度
在长期荷载作用下，由于混凝土的徐变，会使梁的挠度随时 间增长。此外，钢筋与混凝土间粘结滑移徐变、混凝土收缩等 也会导致梁的挠度增大。根据长期试验观测结果，长期抗弯刚 度B可按下式计算， Bs B
θ ––– 考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数。；
' 0时， =2.0； ' =时， =1.6； ' 为中间数值时， 按线性内插法取用。
1.1 0.65
sk te
在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。 该参数反映了裂缝间混凝土参与受拉工作的情况，随着弯矩增 加，由于裂缝间粘结力的逐渐破坏，混凝土参与受拉的程度减 小，平均应变增大， 逐渐趋于1.0，抗弯刚度逐渐降低。
a
a
b
b
h0 由三角形oab和o’a’b’相似，得：
c s
lcr
求解εcmεsm
1、几何关系： 2、物理关系：
1
e cm e sm
h0
es
s
Es
，
c
c ec Ec
c e cm e c ' Ec c
e sm e s
钢筋混凝土受弯构件的裂缝宽度和挠度验算
受压翼缘加强系数
3、钢筋应变不均匀系数
sm sk s sm s sk
钢筋应力不均匀系数 是反映裂缝间混凝土参加受拉工作 程度的影响系数。 越小，裂缝之间的混凝土协助钢筋抗拉的
作用越强。
1.1 0.65 ftk s sk te
sk分布图
1.1 0.65 ftk s sk te
sm sk
Sm cm cck
sm
cm
c
(
' f
Mk
0 )bh02Ec
cm
Mk
bh02 Ec
sm
Mk
Ash0 Es
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Bs
Mk
M k h0
sm cm
cm
Mk
bh02 Ec
Bs
1
Ash02 Es
1
bh03 Ec
Bs
Es Ash02
E
E 0.2 6 E
1 3.5 f
Bs
1.15
Es Ash02 0.2
6E
1 3.5 f
1.1 0.65 ftk s sk te
在短期弯矩Mk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。
wm smlm cmlm
εsm、εcm——分别为裂缝间钢筋及砼的平均应变； lm——裂缝间距。
平均裂缝宽度wm
wm smlm cmlm
sm
(1
cm sm
受弯构件的裂缝与变形验算
第十章受弯构件的裂缝与变形验算第一节概述1.一、钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算特点：1.使用阶段一般指梁带裂缝工作阶段。
2.使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计算，以保证在使用情况下的应力、裂缝和变形小于正常使用极限状态的限值。
当构件验算不满足要求时，必须按承载能力极限状态要求对已设计好的构件进行修正、调整，直至满足两种极限状态的设计要求。
3.使用阶段计算中涉及到的内力，是各种使用荷载在构件截面上各自产生的同类型内力，按荷载组合原则简单叠加，不带任何荷载系数。
二、结构按正常使用极限状态设计采用的两种效应组合：1 1.作用短期效应组合。
永久作用标准值效应与可变作用频遇值效应相组合，其效应组合表达式为：2 2.作用长期效应组合。
永久作用标准值效应与可变作用准永久值效应相组合，其效应组合表达式为：第二节换算截面一、基本假定二、截面变换三、换算截面的几何特性表达式一、基本假定1.平截面假定。
2.弹性体假定。
3.受拉区出现裂缝后，受拉区的混凝土不参加工作，拉应力全部由钢筋承担。
4.同一强度等级的混凝土，其拉、压弹性模量视为同一常值，不随应力大小而变，从而钢筋的弹性模量和混凝土的弹性模量之比值为一常数值，即/。
与混凝土的强度等级有关。
《公桥规》规定钢筋混凝土构件的截面换算系数。
二、截面变换将截面受拉区纵向受拉钢筋的截面面积换算成假想的能承受拉应力的混凝土截面面积，如图。
并满足：1、虚拟混凝土块仍居于钢筋的重心处且应变相同，即2、虚拟混凝土块与钢筋承担的内力相同，即由虎克定律(Hookelaw)得：根据换算截面面积承受拉力的作用应与原钢筋的作用相同的原则可得所以，上式表明，截面面积为的纵向受拉钢筋的作用相当于截面面积为的受拉混凝土的作用，即称为钢筋的换算截面面积。
<top>三、换算截面的几何特性表达式（一）、单筋矩形截面1、换算截面面积：2、换算截面对中性轴的静矩：2、换算截面对中性轴的静矩：受压区：受拉区：3、换算截面对中性轴的惯性矩4、受压区高度ｘ：对于受弯构件，开裂截面的中性轴通过其换算截面的形心轴，即若将符号（受压区相对高度）及（配筋率）代入上式，则可得到5、受压区边缘混凝土应力6、受拉钢筋应力（二）、双筋矩形截面对于双筋矩形截面，截面换算的方法就是将受拉钢筋的截面和受压钢筋截面分别用两个虚拟的混凝土块代替，形成换算截面。
8.2 受弯构件挠度验
8.2 受弯构件挠度验第8.2.1条钢筋混凝土和预应力混凝土受弯构件在正常使用极限状态下的挠度，可根据构件的刚度用结构力学方法计算。
在等截面构件中，可假定各同号弯矩区段内的刚度相等，并取用该区段内最大弯矩处的刚度。
当计算跨度内的支座截面刚度不大于跨中截面刚度的两倍或不小于跨中截面刚度的二分之一时，该跨也可按等刚度构件进行计算，其构件刚度可取跨中最大弯矩截面的刚度。
受弯构件的挠度应按荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的刚度B进行计算，所求得的挠度计算值不应超过本规范表3.3.2规定的限值。
第8.2.2条矩形、T形、倒T形和I形截面受弯构件的刚度B,可按下列公式计算：B=Mk /Mq(θ-1)+MkBs(8.2.2)式中Mk--按荷载效应的标准组合计算的弯矩，取计算区段内的最大弯矩值；Mq--按荷载效应的准永久组合计算的弯矩，取计算区段内的最大弯矩值；Bs--荷载效应的标准组合作用下受弯构件的短期刚度，按本规范第8.2.3条的公式计算；θ--考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数，按本规范第8.2.5条取用。
第8.2.3条在荷载效应的标准组合作用下，受弯构件的短期刚度Bs可按下列公式计算：1钢筋混凝土受弯构件B s =EsAsh2/1.15ψ+0.2+6αEρ/1+3.5γ'f(8.2.3-1)2预应力混凝土受弯构件1)要求不出现裂缝的构件B s =0.85EcI(8.2.3-2)2)允许出现裂缝的构件B s =0.85EcI/kcr+(1-kcr)ω(8.2.3-3)k cr =Mcr/Mk(8.2.3-4)ω=(1.0+0.21/αE ρ)(1+0.45γf)-0.7 (8.2.3-5)M cr =(σpc+γftk)W(8.2.3-6)γf =(bf-b)hf/bh(8.2.3-7)式中ψ--裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数，按本规范第8.1.2条确定；αE --钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值：αE=Es/Ec;ρ--纵向受拉钢筋配筋率：对钢筋混凝土受弯构件，取ρ=As /(bh);对预应力混凝土受弯构件，取ρ=(Ap+As)/(bh);I--换算截面惯性矩；γf--受拉翼缘截面面积与腹板有效截面面积的比值；b f 、hf--受拉区翼缘的宽度、高度；K cr --预应力混凝土受弯构件正截面的开裂弯矩Mcr与弯矩Mk的比值，当kcr >1.0时，取kcr=1.0;σpc--扣除全部预应力损失后，由预加力在抗裂验算边缘产生的混凝土预压应力；γ--混凝土构件的截面抵抗矩塑性影响系数，按本规范第8.2.4条确定。
钢桥受弯构件验算内容-公式
一、受弯构件（一）在主平面内受弯的实腹式构件抗弯强度应符合下列规定1、翼缘板弯曲正应力满足下列要求：双向受弯的实腹式构件：f d ≥γ0(M y W y,eff +M z W z,eff )式中：γ0——结构重要性系数；M y 、M z ——计算截面的弯矩设计值；W y,eff 、W z,eff ——有效截面相对于y 轴和z 轴的截面模量，其中受拉翼缘应考虑剪力滞影响，受压翼缘应同时考虑剪力滞和局部稳定影响。
2、腹板剪应力应满足下列要求。
闭口截面腹板剪应力应按剪力流理论计算。
γ0τ≤f vd式中：γ0——结构重要性系数；τ——剪应力；f vd ——钢材的抗剪强度设计值。
3、平面内受弯实腹式构件腹板在正应力 σx 和剪应力 τ 共同作用时，应满足下列要求。
γ0√(σx f d )2+(τf vd)2≤1 式中：σx ——x 方向正应力；f d ——钢材的抗拉、抗压和抗弯强度设计值。
（二）受弯构件的整体稳定性应符合下列规定1、等截面实腹式受弯构件，应按下列规定验算整体稳定。
γ0(βm,yM y χLT,y M Rd,y +M z M Rd,z )≤1 γ0(M y M Rd,y +βm,z M z χLT,z M Rd,z)≤1 M Rd,y =W y,eff f dM Rd,z =W z,eff f dλLT,y =√W y,eff f y M cr,y ，λLT,z =√W z,eff f y M cr,z式中： M y 、M z ——构件最大弯矩；βm,y、βm,z——等效弯矩系数；χLT,y、χLT,z——M y和M z作用平面内的弯矩单独作用下，构件弯扭失稳模态的整体稳定折减系数；λ̅̅̅LT,y、λLT,z——弯扭相对长细比；W y,eff、W z,eff——有效截面相对于y轴和z轴的截面模量，其中受拉翼缘应考虑剪力滞影响，受压翼缘应同时考虑剪力滞和局部稳定影响。
M cr,y、M cr,z——M y和M z作用平面内的弯矩单独作用下，考虑约束影响的构件弯扭失稳模态的整体弯扭弹性屈曲弯矩，可采用有限元方法计算。
第七讲--钢筋混凝土受弯构件的变形与裂缝
5.3 裂缝宽度验算
（3）三级：允许出现裂缝的构件，按荷载效应 准永久组合，并考虑长期作用影响计算时构件的 最大裂缝宽度ωmax，不应超过下页表中规定的最 大裂缝宽度限值ωlim。 即： ω max≤ω lim
注：上述一级、二级裂缝控制属于构件的抗裂能力控制， 对于一般的钢筋混凝土构件来说，在使用阶段都是带裂 缝工作的，故按三级标准来控制裂缝宽度。
11
5.3 裂缝宽度验算
3.2 影响裂缝宽度的主要因素 ①纵向钢筋的应力：裂缝宽度与钢筋应力近似呈线 性关系。 ②纵筋的直径：当构件内受拉纵向钢筋截面总面积 相同时，采用细而密的钢筋，则会增大钢筋表面积， 因而使粘结力增大，裂缝宽度变小。 ③纵筋表面形状：带肋钢筋的粘结强度较光圆钢筋 大得多，可减小缝度宽度。 ④纵筋配筋率：构件受拉区的纵筋配筋率越大，裂 缝宽度越小。
对于因基础不均匀沉降、构件混凝土收缩或温度变化等外加 变形或约束引起的裂缝，主要是通过采用合理结构方案、构 造措施来控制。
（2）荷载(直接作用)引起的裂缝，如受弯、受 拉等构件的垂直裂缝，受弯构件的斜裂缝。
试验结果表明，只要能满足斜截面承载力计算要求，并相应 配置了符合计算及构造要求的腹筋，则构件的斜裂缝宽度不 会太大，能满足正常使用要求。
15
5.3 裂缝宽度验算 4 减小裂缝宽度的措施
1、增大钢筋截面面积； 2、在钢筋截面面积不变的情况下，采用较小直径的钢 筋； 3、提高混凝土强度等级； 4、增大构件截面尺寸； 5、减小混凝土保护层厚度。
注：采用较小直径的变形钢筋是减小裂缝宽度最有效的措施。 需要注意的是，混凝土保护层厚度应同时考虑耐久性和减小裂 缝宽度的要求。除结构对耐久性没有要求，而对表面裂缝造成 的观瞻有严格要求外，不得为满足裂缝控制要求而减小混凝土 保护层厚度。
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2.换算截面
受弯构件第Ⅱ阶段得到的计算图式与材力中的匀
质梁计算图式非常接近，但受拉区混凝土不参与工
作。
便于计算,将钢筋和受压区混凝土两种材料组成的
实际截面换算成一种拉压性能同的假想组成的匀质
截面即换算截面，能采用材力公式进行计算。
原则：根据拉力等的原则 As s Asc c
而 c s / Es ，则可得到
Asc As s / c Es As
将 Asc Es As 称为钢筋的换算面积。
（9-6）
（1）开裂面换算 1）单筋矩形截面(图9-2)
图9-2 换算截面图 a)原截面； b)换算截面
换算截面面积 A0 bx Es As
换算截面对中性的静矩soc
受压区 8）
受拉区
Soc
1 bx2 2
论和设计方法日臻完善，按承载能力极限力极限状态设计 的截面尺寸相对减小，在使用阶段钢筋应力有了大幅度提 高，从而导致构件刚度降低，裂宽增大，影响正常使用及 而持久性，故变形和裂缝的验算与控制显示日益重要。
本章主要讲述构件的变形、裂缝控制条件和验算方法以及 施工阶段的混凝土钢筋应力验算。
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
2.计算方法
已知尺寸，材强，钢筋数量及布置，M0 验算应力是否满足要求
（1）矩形截面（图9-2）
先求x, Iol a.受压混凝土ct边c 缘MIcrkt x 0.8 fck
（9-17）
b．受拉钢筋的面积重心处
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
9.1 概述（Introduction)
钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算特点
3.与承载能力极限状态不同，使用阶段计算中涉及到的内力，是各种使用荷载在构 件截面上各自产生的同类型内力，按荷载组合原则简单叠加，不带任何荷载系数。
正常使用极限状态计算时作用效应应取短期效应和长期效应的一种或两种组合， 汽车荷载不计入冲击系数。
1.使用阶段一般指梁带裂缝工作阶段, 对应的是II阶段。
M/Mu
1.0 Mu 0.8 My
Ⅱa Ⅲ
0.6 Ⅱ
0.4
Mcr
Ⅰa Ⅰ
0
Ⅲa
f
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
9.1 概述（Introduction)
钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算特点
2.使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计算，以保证在使用情况 下的应力、裂缝和变形小于正常使用极限状态的限值。当构件验算不满足要求时， 必须按承载能力极限状态要求对已设计好的构件进行修正、调整，直至满足两种极 限状态的设计要求。
Sot Es As h0 x
9换）算截面惯Ic性r 矩13 bx3 Es As ho x2 Soc Sot
10）
1 2
bx2
Es As
ho
x
受压高度x x
Es As
b
1 2bho
Es As
1
解之得
（9-7） （9（9（9-
（9-11）
2）T形截面（图9-3）
图9-3 开裂状态下T形截面换算计算图式
x≤hf′时，按宽为bf′及h的矩形截面计算
x>hf′时 12）
X A2 B A
A Es As bf ' b h' f b
B 2Es Ash0 b' f b h' f 2 b
I 为 cr
Icr
bf 'x3 3
bf ' b
x hf ' 3
3
Es As
ho x 2
（3）受拉区混凝土完全不能承受拉应力。拉应力 完全由钢筋承担
c c Ec s Ec
故有
s s / Es
c
s
Es
Ec
s Es
（9-5）
式中Es 称为钢筋混凝土构件截面的换算系数，
Es Es / Ec
意义及原则：在钢筋同一水平位置处混凝土拉应 力 c 为钢筋应力σs的 1/ 倍Es ，换言之，钢筋的拉 应力σs是同一水平位置处混凝土拉应力c 的
§9.1 概述
前几章已讲的弯、扭、压、拉构件的承载力计算是基于安 全性考虑，防止各个控制截面上用材料强度被超过而发生 破坏。但实际使用中，建筑物构件仍可能出现裂缝及变形， 影响使用。为保证结构的适用性和耐久性，尚应进行正常
使用阶段的验算，变形和裂缝验算，施工阶段砼及σs验算。 近年来，工程中采用的ST和Cons.强度不断提高，计算理
1 2
h
2
x
1 12
b
' f
b
(h'f )3
b&(
h'f 2
x)2 (Es 1) As ho x2
（9-14） （9-15）
（9-16）
§9.3 应力计算
图9-5 施工阶段受力图 a)简支梁图；b)梁吊点位置图；c)梁“钓鱼法”安装图
液压内模整体吊装状况图
吊梁纵移
1．受弯构件施工阶段应力计算的计算图式支承 条 件，受力图式发生变化图9-5动力系数1.2或 0.85 。
§9.2 换算截面
正常使用阶段的验算的第Ⅱ阶段为依据 1.三项基本假定
（1）平截面假定 图9-1 同一地方（水平线）
' c
/
x
c
/(h0
x)
（9-1）
s c
（2）弹性体假定
( 9-2 )
受压区
' c
' c
Ec
（9-3）
假定受拉钢筋水平位置处混凝土的平均拉应变与
应力成正比
c c Ec
（9-4）
提纲(syllabus)： 9.1 概述（Introduction) 9.2 换算截面 9.3 应力计算 9.4 受弯构件的裂缝和最大裂缝宽度 9.5受弯构件的变形（挠度)验算 9.6 混凝土的耐久性
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
9.1 概述（Introduction)
钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算特点
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
结构按正常使用极限状态设计采用的两种效应组合 1.作用短期效应组合。 永久作用标准值效应与可变作用频遇值效应相组合，其效应组合表达式为：
(2-29)
2.作用长期效应组合。 永久作用标准值效应与可变作用准永久值效应相组合，其效应组合表达式为：
(2-30)
13）
（9（9-
(2)全截面换算（图9-4） 换算截面面积A0
图9-4 全截面换算示意图
A0 bh b'f b h'f (Es 1)As
受压区高度x
x
1 bh2 1 22
b'f
b
(h'f )2 (Es 1) Ash0
A0
换算截面对中性轴的惯性矩I0
I0
1 12
bh3
bh