19,受弯构件挠度验算计算示例(精)
挠度的概念及计算实例
挠度是指物体在受力或载荷作用下发生弯曲或变形后，其弯曲程度或位移量的度量。
在工程学和物理学中，挠度是一个重要的参数，用于衡量材料或结构在受力时的弯曲性能。
挠度通常用字母δ表示，单位可以是米（m）或毫米（mm），取决于所使用的单位制。
举例计算挠度：
假设有一根长度为L的横截面积为A的梁，位于两个支点之间，受到均布载荷q。
我们要计算在中点处的挠度。
1. 载荷作用下的挠度公式：
对于均布载荷作用下的梁，中点处的挠度可以用以下公式计算：
其中：
- δ是中点处的挠度；
- q是均布载荷的大小；
- L是梁的长度；
- E是梁的材料弹性模量；
- I是梁截面的惯性矩。
2. 示例：
假设有一根长度为3米的梁，截面积为0.01平方米，梁的材料具有弹性模量为200 GPa（2 × 10^11 N/m²），并且受到均布载荷为5000 N。
我们来计算中点处的挠度。
首先，计算梁截面的惯性矩I：
由于这是一根简单矩形截面的梁，其截面的惯性矩可以表示为：
其中b是矩形截面的宽度，h是矩形截面的高度。
假设该矩形梁的宽度b为0.1米，高度h为0.1米，则：
现在，代入挠度公式进行计算：
所以，在受到5000 N均布载荷的情况下，这根梁在中点处的挠度约为0.000153米，也可以
表示为约0.153毫米。
受弯构件的挠度验算(混凝土结构设计原理)
Bs
1 2 bh0 Ec h0 As Es
h0
E 1.15
Es A h
2 s 0
开裂截面的内力臂系数 试验和理论分析表明，在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围， 裂缝截面的相对受压区高度 变化很小，内力臂的变化也不大。 对常用的混凝土强度和配筋情况， 值在0.83~0.93之间波动。 《规范》为简化计算，取=0.87。
⑶长期荷载作用下的抗弯刚度
在长期荷载作用下，由于混凝土的徐变，会使梁的挠度随时 间增长。此外，钢筋与混凝土间粘结滑移徐变、混凝土收缩等 也会导致梁的挠度增大。根据长期试验观测结果，长期抗弯刚 度B可按下式计算， Bs B
θ ––– 考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数。；
' 0时， =2.0； ' =时， =1.6； ' 为中间数值时， 按线性内插法取用。
1.1 0.65
sk te
在短期弯矩Msk=（0.5~0.7）Mu范围，三个参数、 和 中， 和 为常数，而 随弯矩增长而增大。 该参数反映了裂缝间混凝土参与受拉工作的情况，随着弯矩增 加，由于裂缝间粘结力的逐渐破坏，混凝土参与受拉的程度减 小，平均应变增大， 逐渐趋于1.0，抗弯刚度逐渐降低。
a
a
b
b
h0 由三角形oab和o’a’b’相似，得：
c s
lcr
求解εcmεsm
1、几何关系： 2、物理关系：
1
e cm e sm
h0
es
s
Es
，
c
c ec Ec
c e cm e c ' Ec c
e sm e s
工程力学挠度计算公式
工程力学挠度计算公式在工程力学领域中，挠度是一个重要的参数，用来描述结构在受力作用下的变形情况。
挠度计算公式是工程师在设计和分析结构时必须掌握的基本知识之一。
通过挠度计算公式，可以帮助工程师预测结构在实际工作中的变形情况，从而确保结构的安全性和稳定性。
挠度计算公式的推导通常是基于梁的弹性理论。
在弹性理论中，假设结构受到的载荷是小幅度的，且结构材料具有线弹性特性。
根据这些假设，可以得到梁的挠度计算公式，其基本形式为：δ = (F * L^3) / (3 * E * I)其中，δ表示梁的挠度，F表示作用在梁上的外力，L表示梁的长度，E表示梁的弹性模量，I表示梁的惯性矩。
这个公式是工程力学中常用的简化形式，适用于许多工程实际问题的分析。
在实际工程中，为了更准确地计算结构的挠度，有时还需要考虑结构的边界条件、截面形状等因素。
对于不同形状和受力条件的结构，挠度计算公式可能会有所差异。
例如，对于悬臂梁、简支梁、悬臂梁等不同类型的梁，其挠度计算公式会有所不同。
除了梁的挠度计算公式外，对于其他类型的结构如板、壳、柱等，也有相应的挠度计算公式。
这些公式通常是基于结构的几何形状、材料性质和受力条件等因素推导而来的。
工程师在实际工作中需要根据具体情况选择合适的挠度计算公式，并结合有限元分析等方法进行结构的挠度分析。
总的来说，挠度计算公式是工程力学中的重要概念，对于工程师设计和分析结构具有重要意义。
掌握挠度计算公式可以帮助工程师更好地理解结构的变形特性，从而设计出更安全、稳定的工程结构。
在工程实践中，工程师需要灵活应用挠度计算公式，结合实际情况进行分析，确保结构的安全性和可靠性。
受弯构件挠度验算计算示例
构与抗震系列微课
受弯构件挠度验算计算示例
授课人 四川建筑职业技术学院
杨晓红
2015.11
目录
受弯构件挠度计算的步骤
例题
思考题
Page
2
1 、受弯构件变形验算的步骤
1 ）已知条件：构件的截面尺寸、跨度、荷载、材料强度以及
钢筋配置情况
2）计算荷载效应准永久组合下的弯矩Mq 3）计算短期刚度Bs， 受弯构件采用规范公式（7.2.3-1）计算 4）计算长期刚度B ； 受弯构件采用规范公式（7.2.2-2）计算
纵向受拉钢筋为 3 25 ，混凝土强度等级为 C25 ，挠度限
值为l0/200，试验算挠度。
Page
5
【 解 】 A s = 1 4 7 3 m m 2 ， h 0 = 405 m m （ 纵 筋 排 一 排 ） ，
ftk=1.78N/mm2，Ec＝2.8×104N/ mm2，Es=2×105N/ mm2，活
故该梁满足刚度要求。
Page 9
请思考如下问题：
（1）增加梁刚度的措施有哪些？
（2）受弯构件挠度验算的步骤是什么？
Page
10
谢 谢
2015.11
荷载准永久值系数ψq=0.4，γ0=1.0
（1）计算荷载效应
Mgk= Mqk =
Mq= Mgk +ψqMqk= 74.48+0.4×12.15=79.335kN·m
（2）计算短期刚度Bs
1 gk l0 2 = 8 1 g l 2= k 0 8
1 ×16.55×62=74.48kN·m 8 1 ×2.7×62=12.15kN·m 8
f 1.78 ψ 1.1 0.65 t k 1.1 0.65 0.871 ρ 0.033 152.86 tσ e sq （ 混 凝 土 规 范 公 式 7. 1.2 - 2）
受弯构件的变形挠度验算
本章主要讲述构件的变形、裂缝控制条件和验算方法以及 施工阶段的混凝土钢筋应力验算。
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
翼板位于受拉区，按b×h矩形截面计算
翼板位于受压区，则先应按下式进行计算判断
1 2
bf
'x2
Es As
ho
x
（9-19）
• 若 x hf ' 为中性轴位于翼板中，按 b'f h矩形截 面计算
• 若 x h' f 重求x（按T形），再按式（9-13）计算 换算截面惯性矩Io。
1.使用阶段一般指梁带裂缝工作阶段, 对应 的是II阶段。 M/Mu
1.0 Mu 0.8 My
ò¢ a ó¢
ó¢ a
0.6 ò¢
0.4
Mcr ñ¢ ñ¢ a
0
f
第9章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算
9.1 概述（Introduction)
钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算特点
2.使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件 进行计算，以保证在使用情况下的应力、裂缝和变形 小于正常使用极限状态的限值。当构件验算不满足要 求时，必须按承载能力极限状态要求对已设计好的构 件进行修正、调整，直至满足两种极限状态的设计要 求。
§9.1 概述
前几章已讲的弯、扭、压、拉构件的承载力计算是基于安 全性考虑，防止各个控制截面上用材料强度被超过而发生 破坏。但实际使用中，建筑物构件仍可能出现裂缝及变形， 影响使用。为保证结构的适用性和耐久性，尚应进行正常
受弯构件的挠度验算
20
二.平均裂缝间距 1.根据试验有关系：平均裂缝间距=1.5传递
长度；
2.传递长度的求解：由图５-１，由脱离体的 平衡条件可得到平均裂缝间距的理论计算公
式（略）；
3.考虑钢筋外形和混凝土保护层的影响，可
得到平均裂缝间距的经验公式（５－１）；
Bs
6 E 1.15 0.2 ' 1 3.5 f
31
Es A h
2 s 0
三.受弯构件（长期）刚度BL 1.荷载长期作用下刚度降低的原因：徐 变
2.（长期）刚度 BL ：按公式（５-１０）
后得到的。
32
计算，其实质是将短期刚度修正（折减）
四.最小刚度原则与挠度计算 1.问题的提出：
著影响，一般不会引起人们的特别注意。
9
（3）耐久性要求
这是控制裂缝最主要的原因。化学
介质、气体和水分侵入裂缝，破坏了钢 筋的钝化膜，会在钢筋表面发生电化学 影响结构的使用寿命。
10
反应，引起钢筋锈蚀，使构件发生破坏，
2、混凝土构件裂缝控制的标准 混凝土构件的裂缝控制统一划分成三级， 分别用应力及裂缝宽度进行控制。 一级：严格要求不出现裂缝的构件，按荷 载效应标准组合进行计算时，构件受拉边缘 混凝土不应产生拉应力； 二级：一般要求不出现裂缝的构件，按荷 载效应标准组合进行计算时，构件受拉边缘 混凝土的拉应力不应超过混凝土的抗拉强度 标准值ftk，按荷载效应准永久组合下进行计 算时，构件受拉边缘混凝土不应产生拉应力；
2.减小碳化的措施 规定水灰比限值和保护层厚度、提高密实性和抗
渗性等。
38
三.钢筋的锈蚀（自学） 四.耐久性设计的概念 我国结构设计规范中首次列入耐久性设计条文。 1.耐久性概念设计的目的和基本原则
本科毕业设计-钢桥验算(受弯构件-抗倾覆验算-挠度及预拱度验算)
第五章 整体分析验算5.1 一般规定5.1.1 局部受压稳定折减系数钢桥在验算受压稳定性时，一般结构在屈曲前后仍在小变形假设范围内处于弹性状态，即弹性屈曲。
对于局部受压的板件，由于构件的弹性屈曲，对构件材料的标准值有所影响。
在计算时，需要考虑弹性屈曲引起的局部稳定折减，局部稳定折减系数ρ应按下列规定计算[3]：()020.4=1110.4=112p λρλρελ⎧≤⎪⎪⎧⎨⎪>++⎨⎪⎪⎪⎩⎩时：时： （5-1）()00.80.4p ελ=- （5-2）1.05p p b t λ⎛== ⎝ （5-3） 式中：p λ——相对宽厚比； t ——加劲板的母板厚度；y f ——屈服强度； E——弹性模量；cr σ——加劲板弹性屈曲欧拉应力；p b ——加劲板局部稳定计算宽度，对开口刚性加劲肋，按加劲肋的间距 b i计算；对闭口刚性加劲肋，按加劲肋腹板间的间距计算；对柔性加劲肋，按腹板间距或腹板至悬臂端的宽度i b 计算；k ——加劲板的弹性屈曲系数，可参考规范《公路钢结构桥梁设计规范》附录B 计算，计算如下。
参考规范《公路钢结构桥梁设计规范》附录B 规定，加劲肋和加劲板对弹性屈曲系数k 有很大的影响。
对纵向加劲肋等间距布置且无横向加劲肋布置的顶板和底板，其弹性屈曲系数k 可由式5-4、5-5计算：*4l l k γγ≥=时： (5-4)()()(()2202*011211l l l l l n a k n b a k n b αγαααδγγααδ⎧++⎛⎫⎪==≤ ⎪⎪+⎝⎭⎪<⎨⎪⎛⎫==>⎪ ⎪+⎝⎭⎪⎩时: （5-5）式中：n ——受压板被纵向加劲肋分割的板元数，1l n n =+； l n ——等间距布置纵向加劲肋根数；a ——加劲板的计算长度（横隔板或刚性横向加劲肋的间距）；b——加劲板的计算宽度（腹板或刚性纵向加劲肋的间距）；α——加劲板的长宽比，按时5-6计算：abα=（5-6） l δ——单根纵向加劲肋的截面面积与母板的面积之比, 按式5-7计算：l l Abtδ= （5-7）t ——加劲板的厚度；l A ——单根纵向加劲肋的截面面积；l γ——纵向加劲肋相对刚度，按式5-8计算：l l EIbDγ= （5-8）l I ——单根纵向加劲肋对加劲板的抗弯惯性矩；D——单宽板刚度，按式5-9计算：()32121Et D ν=- （5-9） ν——泊松比； t ——加劲板的厚度；E——弹性模量。
钢筋混凝土结构：变形验算-受弯构件挠度计算
1i M Qi l 2 M G l 2
B
B
1i M Qi l 2
B
Gs Qs
l s G Q
恒载ห้องสมุดไป่ตู้起的长期挠度
静活载引起的长期 挠度
钢筋混凝土受弯构件挠度验算要求。 《公路桥规》规定：钢筋混凝土受弯构件
长期挠度值－结构自重产生的长期挠度值≤挠度限值
钢筋砼受弯构件挠度限值：
梁式桥主梁的最大挠度处： 1 l 600
梁式桥主梁的悬臂端：
1 300 l1
此处l为受弯构件的计算跨径， l1为悬臂长度。
预拱度的设置
概念：施工时预设的反向挠度。 设置目的： ➢ 为了消除结构重力这个长期荷载引起的变形； ➢ 希望构件在平时无活载作用时保持一定的拱度。
设置要求：
➢ 当由作用（或荷载）短期效应组合并考虑作用（或荷载） 长期效应影响产生的长期挠度不超过计算跨径L的1／1600 时，可不设预拱度。
《钢筋混凝土结构》
受弯构件的应力、裂缝和变形验算
变形验算-受弯构件挠度计算
钢筋砼受弯构件使用阶段的挠度计算： 应考虑长期效应的影响，即按荷载短期效应组合计算的
挠度值乘以挠度长期增大系数ηθ。 即：
仅与混凝土强度等级有关
钢筋砼受弯构件使用阶段的挠度计算：
MS MG 1iMQi
s M G
➢ 当不符合上述规定时则应设置预拱度。
预拱度值的计算（取值）：
G
1 2
Q
式中：
— 预拱度值；
WG — 结构重力产生的长期竖向挠度； WQ — 可变荷载频遇值产生的长期挠度值。
预拱值沿梁长度方向上应设置成平顺曲线，如抛物线等。
减小钢筋混凝土受弯构件变形的措施
第五章受弯构件的裂缝宽度和挠度验算
受弯构件斜截面破坏形式、特点 无腹筋受弯构件斜截面计算
仅有箍筋的斜截面计算
同时有箍筋和弯起筋的斜截面计算
【回顾】
受弯构件正截面计算
1 f c bx f y As
x M M u 1 f c bx h0 2 x M M u f y As h0 2
短期刚度计算公式
Bs
6 E 1.15 0.2 1 3.5 f'
As E hBiblioteka 2 s 0(5 31)
2 刚度B
钢筋混凝土构件在长期荷载作用下，挠度随时间增长。这 虽然有多种因素引起，但主要是混凝土的徐变收缩。因此， 凡是影响混凝土徐变和收缩的因素，如受压钢筋配筋率、 温度、湿度、养护条件加载龄期等都对长期挠度有影响。 对于上述影响因素，《规范》根据试验结果，引入一个综 合系数—挠度增大系数 θ ，在此基础上计算受弯构件的刚
M
x=b x xn
fcc 1f
C 1fcfbx C= c bx
h0 x 2
fsA Ts= yA s s
受弯构件斜截面计算
有箍筋计算：
V Vcs Vc Vs
Asv 1.矩形、T形和工形截面的 Vcs 0.7 f t bh0 1.25 f yv h0 s 一般受弯构件：
受拉钢筋的锚固长度(基本锚固长度)： l a f d t 受压钢筋的锚固长度： 0.7 l a 钢筋外形系数 钢筋在简支端的锚固：按构造（表4-14） 钢筋在中间支座的锚固：上部纵向筋应贯穿中间支座 ; 下 部按构造。
fy
裂缝宽度验算
垂直裂缝！
斜裂缝！！
使用期间的裂缝----荷载引起的裂缝 拉、弯、剪、扭、粘结等引起的裂缝
求挠度的公式
求挠度的公式在我们学习力学的奇妙世界里，求挠度的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开理解结构变形的大门。
先来说说啥是挠度吧。
打个比方，你想象一下一根长长的钢梁，它在承受重物或者外力的时候，会发生弯曲，这个弯曲的程度就叫做挠度。
比如说，一座大桥在众多车辆通过时，桥身会有一定的下弯，这个下弯的量就是挠度啦。
那求挠度的公式到底是啥呢？常见的有梁的挠度公式，比如简支梁在均布荷载作用下的挠度公式：$y = \frac{5ql^4}{384EI}$ 。
这里的 q是均布荷载，l 是梁的跨度，E 是材料的弹性模量，I 是截面的惯性矩。
这几个参数啊，每一个都有它的重要性。
就拿弹性模量 E 来说吧，不同的材料它的值可不一样。
像钢材和木材，它们的弹性模量差别就挺大。
比如说我们盖房子，用钢材做梁和用木材做梁，在同样的受力情况下，产生的挠度就不同，因为它们的弹性模量不同呀。
再说说截面的惯性矩I 。
这就好比一个人的胖瘦，截面越大越厚实，惯性矩就越大，就越不容易弯曲，挠度也就越小。
我之前在一个建筑工地上就看到过这样的情况。
有两根柱子，一根粗一根细，承受着差不多的压力，结果那根细的柱子明显弯曲得更厉害，挠度大了好多，就是因为它的截面惯性矩小嘛。
还有那个均布荷载 q ，分布得越密集、量越大，对结构产生的影响就越大，挠度也就越大。
我记得有一次去参观一个工厂的仓库，里面堆放的货物不均匀，导致仓库的某一部分地板的挠度明显增大，走在上面都感觉有点不踏实。
而梁的跨度 l 就更好理解啦，如果梁很长，那稍微给点力可能就弯得厉害；要是短一些呢，相对就更结实，不容易变形。
总之，求挠度的公式虽然看起来有点复杂，但只要我们理解了每个参数的含义和作用，就能很好地运用它来解决实际问题。
无论是设计桥梁、房屋，还是分析各种结构的稳定性，这个公式都能发挥大作用。
所以啊，同学们，可别小瞧了这个求挠度的公式，它可是我们探索力学世界的重要工具呢！。
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构与抗震系列微课
受弯构件挠度验算计算示例
授课人 四川建筑职业技术学院
杨晓红
2015.11
目录
受弯构件挠度计算的步骤
例题
思考题
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1 、受弯构件变形验算的步骤
1 ）已知条件：构件的截面尺寸、跨度、荷载、材料强度以及
钢筋配置情况
2）计算荷载效应准永久组合下的弯矩Mq 3）计算短期刚度Bs， 受弯构件采用规范公式（7.2.3-1）计算 4）计算长期刚度B ； 受弯构件采用规范公式（7.2.2-2）计算
纵向受拉钢筋为 3 25 ，混凝土强度等级为 C25 ，挠度限
值为l0/200，试验算其挠度。
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请思考如下问题：
（1）增加梁刚度的措施有哪些？
（2）受弯构件挠度验算的步骤
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5）计算最大挠度f，并判断挠度是否符合要求。
钢筋混凝土受弯构件的挠度应满足：f≤[f ] 式中 [f ] ─ 钢筋混凝土受弯构件的挠度限值，按混凝土 规范表3.4.3采用。
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2、受弯构件变形验算的例题
【例题】某办公楼矩形截面简支楼面梁，计算跨度
l0=6.0m ，截面尺寸 b×h=200×450mm ，承受恒载标准值 gk=16.55kN/m （含自重）， 活荷载标准值 qk=2.7kN/m ，