高中立体几何公式
高中最全立体几何公式
109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线. 118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅. 127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ= =21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则 2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则 222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角 cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m n arc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）. 132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=． 147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 148．柱体、锥体的体积 13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.。
高中数学立体几何体积计算公式的推导与应用
高中数学立体几何体积计算公式的推导与应用在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中体积计算是其中的一个重点。
掌握了立体几何体积计算公式的推导与应用，不仅可以帮助我们更好地理解几何概念，还可以提高解题的效率。
本文将以常见的几何体为例，详细介绍体积计算公式的推导与应用。
一、立方体的体积计算公式我们首先来推导立方体的体积计算公式。
立方体是一种所有边长相等的六面体，假设边长为a，则立方体的体积V等于边长的立方，即V = a³。
例如，如果一个立方体的边长为2cm，则它的体积为8cm³。
在解题时，我们可以利用立方体的体积计算公式来计算未知量。
例如，已知一个立方体的体积为64cm³，我们需要求解它的边长。
根据立方体的体积计算公式，我们可以得到a³ = 64，进而得到a = 4。
因此，该立方体的边长为4cm。
二、长方体的体积计算公式接下来，我们来推导长方体的体积计算公式。
长方体是一种所有相邻面都是矩形的六面体，假设长、宽、高分别为l、w、h，则长方体的体积V等于长乘以宽乘以高，即V = lwh。
例如，如果一个长方体的长为3cm，宽为4cm，高为5cm，则它的体积为60cm³。
在解题时，我们可以利用长方体的体积计算公式来计算未知量。
例如，已知一个长方体的体积为120cm³，长为4cm，宽为3cm，我们需要求解它的高。
根据长方体的体积计算公式，我们可以得到4 * 3 * h = 120，进而得到h = 10。
因此，该长方体的高为10cm。
三、圆柱体的体积计算公式接下来，我们来推导圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一种由两个平行圆面和一个连接两个圆面的侧面组成的几何体，假设底面半径为r，高为h，则圆柱体的体积V等于底面积乘以高，即V = πr²h。
例如，如果一个圆柱体的底面半径为2cm，高为5cm，则它的体积为20πcm³。
在解题时，我们可以利用圆柱体的体积计算公式来计算未知量。
立体几何应用公式
长方形的周长=（长+宽）×2长方体的表面积=正方形的周长=边长×4（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方形的面积=长×宽长方体的体积 =长×宽×高正方形的面积=边长×边长正方体的表面积=棱长×棱长×6三角形的面积=底×高÷2正方体的体积=棱长×棱长×棱长平行四边形的面积=底×高圆柱的侧面积=底面圆的周长×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积直径=半径×2 半径=直径÷2圆柱的体积=底面积×高圆的周长=圆周率×直径=圆锥的体积=底面积×高÷3圆周率×半径×2长方体（正方体、圆柱体）圆的面积=圆周率×半径×半径的体积=底面积×高平面图形正方形 a—边长 C＝4a S＝a2梯形 a和b－上、下底长 h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2 ＝mh长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab圆 r－半径 d－直径三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高C＝πd＝2πrs－周长的一半 A,B,C－内角其中S＝πr2＝πd2/4s＝(a+b+c)/2S＝ah/2＝ab/2·sinC扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2C＝2r＋2πr×(a/360)＝a2sinBsinC/(2sinA)S＝πr2×(a/360)四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高S＝dD/2·sinαr－半径 α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)平行四边形 a,b－边长 h－a边的高＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2α－两边夹角 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2S＝ah ＝absinα＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3菱形 a－边长 α－夹角 D－长对角线长d－短对角线长圆环 R－外圆半径 r－内圆半径S＝Dd/2 ＝a2sinα立方图形正方体 a－边长空心圆柱 R－外圆半径S＝6a2 V＝a3r－内圆半径 h－高V＝πh(R2-r2)长方体 a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc)直圆锥 r－底半径 h－高V＝abc V＝πr2h/3棱柱 S－底面积 h－高圆台 r－上底半径 R－下底半径V＝Sh h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3棱锥 S－底面积 h－高V＝Sh/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6棱台 S1和S2－上、下底面积h－高球缺 h－球缺高 r－球半径V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积＝πh2(3r-h)/3S0－中截面积 h－高a2＝h(2r-h)圆柱 r－底半径 h－高球台 r1和r2－球台上、下底半径C—底面周长 S底—底面积h－高S侧—侧面积 S表—表面积V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6C＝2πr S底＝πr2 S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h ＝πr2h。
高中立体几何中的面积体积公式
高中立体几何中的面积体积公式高中数学里，立体几何可是个让不少同学头疼的部分，尤其是那些各种各样的面积体积公式。
但别怕，今天咱们就来好好聊聊，把它们都给弄明白！先来说说棱柱的体积公式，棱柱的体积等于底面积乘以高。
就拿三棱柱来说吧，假如有一个三棱柱，底面是一个正三角形，边长为 3 厘米，棱柱的高是 5 厘米。
那先算底面正三角形的面积，根据公式可得面积是四分之三倍根号 3 乘以边长的平方，也就是四分之三倍根号 3乘以 9，算出来是八分之九倍根号 3 平方厘米。
然后再乘以高 5 厘米，棱柱的体积就是八分之四十五倍根号 3 立方厘米。
这是不是还挺有趣的？再看看棱锥的体积公式，棱锥的体积是三分之一乘以底面积乘以高。
比如有一个四棱锥，底面是一个边长为4 厘米的正方形，高是6 厘米。
那先算底面正方形的面积，就是 4×4 = 16 平方厘米。
然后体积就是三分之一乘以 16 再乘以 6，算下来就是 32 立方厘米。
圆柱的体积公式大家应该比较熟悉啦，就是底面积乘以高。
假设我们有一个圆柱，底面半径是 3 厘米，高是 8 厘米。
先算底面积，就是π乘以半径的平方，也就是9π平方厘米，再乘以高 8 厘米，体积就是72π立方厘米。
圆锥的体积就更有意思啦，是三分之一乘以底面积乘以高。
假如有个圆锥，底面半径是 2 厘米，高是 5 厘米。
先算底面积，是4π平方厘米，体积就是三分之一乘以4π乘以 5，约等于 20.93 立方厘米。
还有球的体积公式，球的体积是三分之四乘以π乘以半径的立方。
比如说有个球，半径是 3 厘米，那体积就是三分之四乘以π乘以 27，约等于 113.04 立方厘米。
在学习这些公式的时候，我记得有一次，我们班一个同学，他总是把棱柱和棱锥的体积公式弄混。
有一次考试，有道题是求一个三棱锥的体积，他愣是用棱柱的体积公式去算了，结果可想而知，丢了不少分。
老师讲评试卷的时候，他那懊悔的表情，我到现在都还记得。
从那以后，他可长记性了，每次做题都会把两个公式在心里默念几遍。
数学高考常考公式
数学高考常考公式数学是一个重要的学科，它需要掌握各种知识和技能。
高中数学高考常考公式对于学生来说至关重要，因为它们是其基础。
学生如果能够熟练掌握这些公式，就会有很大的优势。
下面是一些常见的高考数学公式，可以帮助学生更好地准备数学考试。
一、初三数学常考公式1. 三角函数公式：sin（a+b）=sinacosb+cosasinb；cos（a+b）=cosacosb-sinasinb；tan（a+b）=tanatnb/1-tanatanb。
2. 平面几何公式：△ABC的面积S=1/2abc=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]。
3. 立体几何公式：空间中的一条直线l，它的一般式方程为：Ax+By+Cz+D=0；空间中的一条直线l和平面π，它们的交点为A(x0,y0,z0)，则l的方向向量即为π的法向量；立体角的三视角公式：tanα1+tanα2+tanα3-tanα1tanα2tanα3=0。
二、高一数学常考公式1. 二次函数公式：y=ax²+bx+c（a≠0）; Δ=b²-4ac是二次函数的判别式。
2. 勾股定理：a²+b²=c²。
3. 三角形面积公式：S=1/2absinC。
三、高二数学常考公式1. 导数公式：f’(x)=lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx。
2. 柯西-施瓦茨不等式：| ∑ ai bi | ≤ (∑ai²)^1/2 (∑bi²)^1/2。
3. 弧度公式：角度度数转成弧度制，用弧度表示为π/180×角度。
四、高三数学常考公式1. 微积分基本公式：∫[a,b]f(x)dx=F(b)−F(a)。
2. 泰勒公式：f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f’’(a)(x-a)²/2!+……+f（n）（a）（x-a）n/n!+……，其中f(n)(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数。
3. 不等式公式：平均数不等式：（a1+a2……an)/n≥(n√a1a2……an)；柯西不等式：(∑ai²)×(∑bi²)≥(∑aibi)²；阿贝尔不等式：∑aibi≤c×∑ai+（1/c）∑bi²。
高中数学立体几何公式大全
立体几何公式大全向量式cos a b a b θ⋅=⋅ a b ⊥0a b ⋅=//a b （0b ≠）a b λ=（0,λ>方向相同0,λ<方向相反）模a2a a =夹角θ（0a ≠，0b ≠）cos a b a bθ⋅=⋅二、求角和距离公式： 求异面直线a 与b ： 12222111cos a b x x y a bx y z θ⋅+==⋅++与平面αa n a n⋅⋅（n 表示平面为平面α的法向量1n 与平面2n 的夹角：则12112cos n n n n θ⋅=⋅：求二面角步骤：一、瞄：瞄一下看二面角θ是锐角还是钝角；二、的法向量1n 与平面的法向2n ，而后用12112cos n n n n θ⋅=⋅ 求出1n 与2n 的夹角1θ；三、定：同锐相等：若θ是锐角，也是锐角，；同钝相等：若θ是锐角，θ也是锐角，则1θ=；锐钝互补：若θJP69/KP127/AP n n⋅A 为平面α上的任意n 为平面α的法向量三、求法向量步骤：（1） 设法向量(,,)n x y z =，利用法向量n 与平面上的两相交直线方向向量垂直数量积为0建立两个方程；（2） 求出x 等于多少z, y 等于多少z;并令z=1进而求出x,y,从而得到法向量n ；或者求出x 等于多少y, z 等于多少y;并令y=1进而求出x,z,从而得到法向量n ； 或者求出y 等于多少x, z 等于多少x;并令x=1进而求出y,z,从而得到法向量n ；（3） 把所求的法向量n 代入方程组检验！ 四、法向量n 的在证明题中用处:(1) 线面平行：l l n α⊄⊥平面且⇔//l α平面：参见JP65/例2 （证明线面平行问题只要转成去求线的向量与法向量数量积为0即可） (2) 面面平行：12//n n ⇔//αβ平面平面：参见JP65/例2（证明面面平行问题只要转成去证两个法向量存在一个倍数关系问题即可） (3) 线面垂直：//l n l α⇔⊥平面：（证明线面垂直问题只要转成求证线的向量与法向量存在一个倍数关系即可） (4) 面面垂直：12n n ⊥⇔αβ⊥平面平面：参见JP65/例3 （证明面面垂直问题只要转成去求两法向量数量积为0即可）。
立体几何公式
立体几何公式一、平面图形名称符号周长C 和面积S1、正方形a—边长C＝4a S＝a22、长方形 a 和b－边长C＝2(a+b) S＝ab3、三角形a,b,c－三边长；h－a 边上的高；s－周长的一半；A,B,C －内角其中s＝(a+b+c)/2S＝ah/2 ＝ab/2 ·s inC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)4、四边形d,D－对角线长；α－对角线夹角S＝dD/2·sin α5、平行四边形a,b－边长；h－a 边的高；α－两边夹角S＝ah ＝absin α6、菱形a－边长；α－夹角；D－长对角线长；d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sin α7、梯形 a 和b－上、下底长；h－高；m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh8、圆r－半径；d－直径；C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/49、扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr ×(a/360)S＝πr2 ×(a/630)10、弓形l－弧长；b－弦长；h－矢高；r－半径；α－圆心角的度数S＝r2/2 ·( πα-/1s8i n0α)＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360- b/2 [·r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/311、圆环R－外圆半径；r－内圆半径；D－外圆直径；d－内圆直径S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/412、椭圆D－长轴；d－短轴；S＝πDd/4二、立方图形名称符号面积S 和体积V1、正方体a－边长S＝6a2 ；V＝a32、长方体a－长；b－宽；c－高；S＝2(ab+ac+bc) ；V＝abc3、棱柱S－底面积；h－高；V＝Sh4、棱锥S－底面积h－高；V＝Sh/35、棱台S1 和S2－上、下底面积h－高；V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/36、拟柱体S1－上底面积；S2－下底面积；S0－中截面积；h－高V＝h(S1+S2+4S0)/67、圆柱r－底半径；h－高；C—底面周长；S 底—底面积；S 侧—侧面积S 表—表面积C＝2πrS 底＝πr2S 侧＝ChS 表＝Ch+2S 底V＝S 底h ＝πr2h8、空心圆柱R－外圆半径；r－内圆半径；h－高V＝πh(R2-r2)9、直圆锥r－底半径；h－高V＝πr2h/310、圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/311、球r－半径；d－直径V＝4/3 πr3＝πd2/612、球缺h－球缺高；r－球半径；a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)13、球台r1 和r2－球台上、下底半径；h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/614、圆环体R－环体半径；D－环体直径；r－环体截面半径；d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/415、桶状体D－桶腹直径；d－桶底直径；h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)。
高中数学必背公式——立体几何与空间向量
1立体几何与空间向量求角：（1）异面直线所成的角：可平移至同一平面；也可利用空间向量：cos |cos ,|a b θ=<>r r=||||||a b a b ⋅=⋅r r r r （其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）。
（2）直线与平面所成的角：在斜线上找到任意一点，过该点向平面作垂线，找到斜线在该平面上的射影，则斜线和射影所成的角便是直线与平面所成的角；也可利用空间向量，直线AB 与平面所成角sin ||||AB m AB m β⋅=(m为平面α的法向量).（3）二面角：方法一：常见的方法有三垂线定理法和垂面法； 方法二：向量法：夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. （m ，n为平面α，β 的法向量）.求空间距离：（1）点与点的距离、点到直线的距离，一般用三垂线定理“定性”；（2）两条异面直线的距离：||||AB n d n ⋅= （n同时垂直于两直线，A 、B 分别在两直线上）； （3）求点面距： ||||AB n d n ⋅= （n为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）； （3）线面距、面面距都转化为点面距。
△空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x.y,使 MP=xMA+yMB {MP MA MB 都表示向量} 或对空间任一定点O ，有OP=OM+xMA+yMB {OP,OM,MA,MB 表示向量}。
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高中立体几何公式
长方形的周长=（长+宽）×2 正方形的周长=边长×4
长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长
三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高
梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2
圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径
长方体的表面积= （长×宽+长×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高
正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
、
圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3
长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高
平面图形名称符号周长C和面积S
正方形a—边长
C＝4a S＝a2
长方形a和b－边长
:
C＝2(a+b) S＝ab
三角形a,b,c－三边长、h－a边上的高、s－周长的一半、A,B,C－内角
其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2
＝ab/2·sinC
＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
＝a2sinBsinC/(2sinA)
四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα
平行四边形a,b－边长、h－a边的高、α－两边夹角
'
S＝ah ＝absinα
菱形a－边长、α－夹角、D－长对角线长、d－短对角线长
S＝Dd/2 ＝a2sinα
梯形a和b－上、下底长、h－高、m－中位线长
S＝(a+b)h/2 ＝mh
圆r－半径、d－直径C＝πd＝2πr
S＝πr2 ＝πd2/4
扇形r—扇形半径、a—圆心角度数
(
C＝2r＋2πr×(a/360)
S＝πr2×(a/360)
弓形l－弧长、b－弦长、h－矢高、r－半径、α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2 + bh/2
≈2bh/3
)
圆环R－外圆半径、r－内圆半径、D－外圆直径、d－内圆直径
S＝π(R2-r2)
＝π(D2-d2)/4
椭圆D－长轴、d－短轴
S＝πDd/4
立方图形名称符号面积S和体积V
正方体a－边长
{
S＝6a2
V＝a3
长方体a－长、b－宽、c－高
S＝2(ab+ac+bc)
V＝abc
棱柱S－底面积、h－高
V＝Sh
！
棱锥S－底面积、h－高
V＝Sh/3
棱台S1和S2－上、下底面积h－高
V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3
拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高
V＝h(S1+S2+4S0)/6
圆柱r－底半径、h－高、C—底面周长、S底—底面积、S侧—侧面积、S表—表面积C＝2πr
{
S底＝πr2
S侧＝Ch
S表＝Ch+2S底
V＝S底h ＝πr2h
空心圆柱R－外圆半径、r－内圆半径、h－高
V＝πh(R2-r2)
直圆锥r－底半径、h－高
V＝πr2h/3
:
圆台r－上底半径、R－下底半径、h－高
V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3
球r－半径、d－直径
V＝4/3πr3＝πd2/6
球缺h－球缺高、r－球半径、a－球缺底半径
V＝πh(3a2+h2)/6
＝πh2(3r-h)/3
a2＝h(2r-h)
;
球台r1和r2－球台上、下底半径、h－高
V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6
圆环体R－环体半径、D－环体直径、r－环体截面半径、d－环体截面直径V＝2π2Rr2
＝π2Dd2/4
】
桶状体D－桶腹直径、d－桶底直径、h－桶高
V＝πh(2D2＋d2)/12
(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)
V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15
(母线是抛物线形)
`
^
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
（1）判定直线在平面内的依据
（2）判定点在平面内的方法
公理2：如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线。
（1）判定两个平面相交的依据
（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
（1）确定一个平面的依据
（2）（2）判定若干个点共面的依据
（3）
（4）推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
（1）判定若干条直线共面的依据
（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据
推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。
立体几何直线与平面
空间二直线平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
异面直线
空间直线和平面位置关系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
立体几何直线与平面
直线与平面所成的角
（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角（2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角
（3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和
这条斜线的射影垂直
空间两个平面两个平面平行判定
性质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行（2）垂直于同一直线的两个平面平行
（1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
（1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内
立体几何多面体、棱柱、棱锥
多面体
定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。
棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。
棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。
欧拉定理
简单多面体的顶点数V，棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2。