勾股定理导学案第一课时
勾股定理(第一课时)(导学案)-八年级数学下册同步备课系列(人教版)
人教版初中数学八年级下册17.1.1勾股定理导学案一、学习目标：1.经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.2.会用勾股定理进行简单的计算.重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.二、学习过程：合作探究相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？问题1:试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？问题2:图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特殊数量关系？猜想：_______________________________________.探究1:如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足前面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？【结论】_____________________________________________.探究2:如图，对于下图中的直角三角形，是否还满足这样的关系?你又是如何计算的呢?【结论】_____________________________________________.【猜想】____________________________________________________________ __________________________________________________________________.自主学习通过拼摆，得到一大正方形与一个小正方形.你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形面积表示为：①__________②_____________.对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？_____________________________化简得______________大正方形面积表示为：①__________②_____________.对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？_____________________________化简得______________【归纳】勾股定理：__________________________________________________________ _______________________________________________________.________________________________________________________________________________________________________【问题解决】如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处.大树折断之前有多高?典例解析例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=b=5,求c;（2）若a=1,c=2,求b.【针对练习】设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.例2.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a:b=1:2，c=5,求a;（2）若b=15，∠A=30°,求a,c.例3.在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.例4.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.达标检测1.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为()A.(a+b)(a-b)=a2-b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.c2=a2+b2D.(a-b)2=a2-2ab+b22.在直角三角形中，若两直角边长分别为3和4，则斜边长是()A.5B.7C.7D.7或53.在直角三角形中，若两边长分别为3和4，则第三边长为()A.1B.5C.7D.7或54.如图，点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8，则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.805.如图，网格的边长为1，在△ABC中，边长为无理数的边数是()A.0B.1C.2D.36.如图(1)，三个正方形中的两个的面积S1=20，S2=60，则另一个的面积S3为_____.7.如图(2)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,两个正方形的面积如图所示，则△ABC 的周长是_____.8.如图(3)，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积为_____.9.点P(a,3)在第二象限，且到原点的距离是5，则a=____.10.如图①，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图②放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙)，则图②中阴影部分面积为______.11.设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.(1)已知a=5，c=10，求b;(2)已知a=8，b=15，求c;(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.12.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E 的面积.13.以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分别为S 1，S 2，S 3，则有S 1+S 2___S 3(填“>”“=”“<”).(1)分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否仍成立?说明理由.(2)分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，无需证明)?(3)(变式拓展)如图③,图中数字代表正方形的面积,∠ACB =120°，求正方形P 的面积.。
第17章勾股定理导学案17.1勾股定理第1课时
CB A勾股定理第1课时【学习目标】1、能用在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理。
2、通过用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程获得数学知识，发展数形结合的数学思想。
3、能对勾股定理和它的变形简单应用。
【学习重点】勾股定理的探索和证明 【学习难点】勾股定理的证明预 习 案知识链接我们学过的直角三角形有哪些性质？（每个同学自制4个大小完全一样的直角三角形） 边： 角：探 究 案探究一：直角三角形的三边关系1、如图，在正方形瓷砖拼成的地面中，观察图中用阴影画出的三个正方形，两个小正方形P 、 Q 的面积与大正方形R 的面积有什么关系？用图中的线段表示为： 即：在等腰直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。
2、如图，每一小方格表示1平方厘米，那么： 正方形P 的面积＝ 平方厘米；正方形Q 的面积＝ 平方厘米；正方形R 的面积＝ 平方厘米．我们发现，正方形P 、 Q 、 R 的面积之间的关系是： ．用图中的线段表示为：（每一小方格表示1平方厘米）即：在一般直角三角形中，三边的长度之间存在关系： 。
由此，对于任意的直角三角形，若它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则一定有：勾股定理：直角三角形 的平方和等于 的平方。
探究二：勾股定理的证明每个同学拿出自制的4个直角三角形拼图，能否拼出下列图形。
（利用面积证明勾股定理）如左图，∵ S 大正方形= ，S 小正方形= ，S 三角形= ，又∵S 大正方形-S 小正方形= ∴ ∴即： 勾股定理符号语言：∵在ABC Rt ∆中，090=∠C∴ （勾股定理）探究三：勾股定理的简单变形对于勾股定理：222c b a =+，可以有哪些变形？训 练 案1.在∆Rt ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为c b a ，，，∠C ＝90°.回答下列问题：①若43==b a ，，则c ＝ ②若817==a c ，，则b ＝ ； ③若1312==c b ，，则a ＝ .（提示：根据题意先画出草图辅助分析。
18.1 勾股定理第一课时导学案
18.1《勾股定理》（1）导学案班级________ 姓名_____________ 组别_______学习目标1.了解勾股定理的由来；2.探索直角三角形的三边之间关系，了解利用拼图验证勾股定理的方法；3.掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题.学习重难点重点：探索和验证勾股定理的过程；难点：通过面积计算探索勾股定理.学法指导通过勾股定理的探究和验证，学会用直角三角形的三边关系解决实际问题.学习过程一、课前自习，温故知新1.查找相关资料或上网查找有关勾股定理的由来.（1）勾股定理是一个基本的几何定理，它在许多领域都有着广泛的应用，国内外都有很多科学家、知名人士对此都有过研究，至今已有500多种证明方法。
（2）国内：公元十一世纪周朝数学家就提出“勾三股四弦五”，在《周髀算经》中有所记载。
公元3世纪三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，创制了一幅“勾股圆方图”，把勾股定理叙述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。
（3）国外：公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)证明了勾股定理，因而西方人都习惯地称这个定理为毕达哥拉斯定理。
公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。
1876年4月1日，加菲乐德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的一个证法。
2.写出勾股定理的内容.二、课内探究，交流学习1.探究1：在行距、列距都是1的方格网中，任意作出几个以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为正方形的一边，向形外作正方形，如图，并以S1，S2与S3分别表示几个正方形的面积．观察图（1），并填写：S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．观察图（2），并填写：S1＝________个单位面积；S2＝_________个单位面积；S3＝_________个单位面积．图（1），（2）中三个正方形面积之间有怎样的关系，用它们的边长表示，是：___________________________.问题：通过以上探究，你能得出什么结论吗？用文字叙述：_____________________________________________________________ ______________________________________________________.如图1，用字母表述：在△ABC中，∠C＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则△ABC的三边a，b，c三边的关系为:____________________________.填一填：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为_________，斜边称为__________，因此，我们称上述定理为__________________.国外称之为__________________定理.2.动手拼一拼：请同学们用纸剪四个全等的直角三角形（两直角边分别为a，b，斜边为c），然后动手拼成如下图形：3.探究2：我们怎样用面积计算的方法来证明勾股定理呢？已知：如图，在Rt△ABC中，，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：a2+b2＝c2.4.随堂练习1.求下列图中字母所表示的正方形的面积.2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，（1）a＝6，b＝8，求c；（2）a＝8，c＝17，求b.3.在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC边上的高线，AD＝8，求线段BC的长.小结与反思1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流；2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.课课练1.已知正方形原边长为a，则正方形的对角线的长度为（）A.2a B a C a D2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，△ABC的面积为24，则斜边AB的长为（）A.6B.8C.10D.123.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（）A.5 B C D.54.如图，山坡AB的高BC＝5m，水平距离AC＝12m，若在山坡上每隔0.65m栽一棵树（两头各栽一棵），则从上到下共栽（）A.19棵B.20棵C.21棵D.22棵5.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则AC2+BC2＝________.6.如图，在△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB＝5，AD＝4，则AE＝_________.7.如图，在长方形ABCD是AB＝6，BC＝8，将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.。
勾股定理 第一课时
《勾股定理 第一课时》导学案
预习反馈
阅读教材P22～24，了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内容，并完成下列预习内容：
1．毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现了 ．
2．通过你的观察，你发现了等腰直角三角形 ．
3．命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么 ．
4．汉代赵爽利用弦图证明了命题1，把这个命题称作 ．
5．在直角三角形中，两直角边分别为3，4，那么斜边为 ．
新课导入
例1 如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A ，B ，C ，A ′，B ′，C ′的面积．从计算的结果你能得出什么结论？
【解答】 A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝52－4×12
×(2×3)＝13. A ′＝9，B ′＝25，C ′＝82－4×12
×(5×3)＝34， 结论：A ＋B ＝C ，A ′＋B ′＝C ′，即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．
巩固训练
1．如图，字母B 所代表的正方形的面积是( )
A ．12
B ．13
C ．144
D ．194
2．如图是由四个直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，那么阴影部分面积为．3．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，求CD.
课堂小结
1．什么是勾股定理？如何表示？
2．勾股定理只适用于什么三角形？
思维导图。
勾股定理导学案(同名13074)
第一章勾股定理导学案第1课时探索勾股定理（1）学习目标：1、经历探索勾股定理的过程，发展学生的合情推理意识，体会数形结合的思想。
2 、会初步利用勾股定理解决实际问题。
学习过程：一、课前预习：1、三角形按角的大小可分为：、、。
2、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差。
3、直角三角形的两个锐角；4、在RtΔABC中，两条直角边长分别为a、b，则这个直角三角形的面积可以表示为：。
二、自主学习：探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表；（2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?（3）任画一直角三角形，量出三边长度，看得到的数据是否符合你的猜想。
猜想：三、合作探究：：如果下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？AB CACB 图1-1图1-2ABCACB图1-3图1-4问题1、你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？问题2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
问题3、分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度。
问题（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系 图1-1图1-2图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理：直角三角形 等于 ；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°， 则： ；若BC=a ，AC=b ，AB=c ，则上面的定理可以表示为： 。
四、课堂练习：1、求下图中字母所代表的正方形的面积如图示:A 代表的正方形面积为它的边长为B 代表的正方形面积为它的边长为64225AB169144AB蚂蚁沿图中所示的折线由A 点爬到B 点，蚂蚁一共爬行了多少厘米？（图中小方格的边长1、2、2、求出下列各图中x 的值。
《勾股定理》第一课时导学案
17.1.1 《勾股定理》第一课时导学案学习目标：知识：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明学习难点：勾股定理的证明学习过程：活动一情境导入古韵今风1、图中两个小正方形分别为A、B2直角三角形三边长度之间的关系：活动二追溯历史解密真相观察下面两幅图：(每个小正方形的面积为单位1)（1）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流一下。
（2）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么活动三推陈出新借古鼎新已知：如图，在边长为c的正方形中，有四个两直角边分别为a、b，斜边为c全等的直角三角形，求证：222a b c+=（提示：大正小正＝SSSRt+∆4）证明：A B举一反三：勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________ 活动五 取其精华 古为今用 1、如右图，在直角三角形中， x ＝______，y ＝______2、下列各图中所示的正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)3、在Rt △A B C 中，∠C = 90°,（1）若a = 2，b = 3, 则c = （2）若a = 1，c = 2, 则b = （3）若c = 5，b = 4, 则a = （4）若a =16，c = 20, 则b = 4、在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4，则第三边的长为______________ 5、在Rt △ABC 中，∠C = 90°∠A = 30°AB = 4，则BC = _______AC = _______ 6、已知：如图，等边△ A B C 的边长是6 cm ，（1）求等边△ A B C 的高C D （2）求△ A B Cx 86135yDBA。
勾股定理第1课时导学案
勾股定理第1课时导学案
一、导学：
（一）导入课题：
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示了直角三角形中三边的数量关系，它在数学的发展中起着重要作用，在现实世界中也有着广泛的应用，我们通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解. （板书课题）
（二）学习目标：
1.了解勾股定理的文化背景，知道常见的利用拼图验证勾股定理的方法.
2.了解勾股定理的内容.
（三）学习重难点
勾股定理的几何意义的理解.
（四）自学指导
1.自学内容：P21—P24的内容.
2.自学时间：10分钟
3.自学指导：
4.自学参考提纲：
（1）毕达哥拉斯发现朋友家用地砖铺成的地面反映的直角三角形的三边的关系是怎样的？
（2）你能找出课本的图1中正方形A,B,C面积之间的关系吗？
（3）图中正方形A,B,C所围等腰直角三角形三边之间有什么数量关系？
（4）猜想：直角三角形两直角边的平方和斜边的平方.
（5）根据下面拼图，验证猜想的正确性.
（6）完成课本P24页练习题.
二、自学：请结合自学提纲进行自学.
三、助学：
1．师助生：明了学情，差异指导.
2．生助生：同桌之间相互研讨.
四、强化：
1.点三名学生板演自学参考题（6）的第1题，点1名学生口答第2题，并点评.
2.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.以直角三角形三边为边长的三个正方形之间的面积关系.
五、评价：
1.学生的自我评价.
2.教师对学生的评价：（1）表现性评价;(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价.（教学反思）。
勾股定理整章导学案
兴城三中
课题 1、目标
1 、进一步掌握勾股 定理的逆定理，并会 应用勾股定理的逆 定理判断一个三角 形是否是直角三角 形，能够理解勾股定 理及其逆定理的区 别与联系，掌握它们 的应用范围。 2. 培 养 逻 辑 推 理 能 力， 体会 “形” 与 “数” 的结合。 3.培养数学思维以及 合情推理意识，感悟 勾股定理和逆定理 的应用价值。
2、重点、难点
重点：探索和体验勾 股定理。 难点：用拼图的方法 验证勾股定理。 A 的面积 左图 右图 （2）填表： （3）你是怎样得到正方形 C 的面积的？与同伴交流． 2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么 _________________ B 的面积
C A B B
.
2、重点、难点
重点：运用勾股定 理进行简单的计 探究新知（学习内容） 算。 难点：应用勾股定 1、先自主解决教材Ｐ25 的例 1，然后合作交流，完成下列问题。 理 解 决 简 单 的 实 （１）薄木板有几种通过门的方法？ 际问题。
（２）哪种方法可能使木板通过呢？请演示你的方法。 （３）尝试计算完成。 ２、阅读教材Ｐ２５页例２，合作交流，完成下列问题。 （１）猜想结论。 （２）滑动前后有几个直角三角形？哪段是所求的底端Ｂ移动的距离？
图 18.2-2
2
2、重点、难点
重点：掌握勾股定理 的逆定理及简单应 用。 难点：勾股定理的逆 定理的证明。
b 2 c 2 ，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．
3、精讲点拨
勾股定理逆定理过程 书写。
三、拓展延伸
例 1：判断由线段 a 、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） a 15, b 8, c 17 ； （2） a
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勾股定理导学案第一课时
学习目标：
1．经历勾股定理的探索过程，能熟记定理的内容. 2．能运用勾股定理由直角三角形的已知两边求第三边. 3．能运用勾股定理解一些简单的实际问题. 重点：勾股定理的探索和应用. 难点：勾股定理的探索. 学习过程： 一、知识回顾（用学过的知识完成下列填空）
①含有一个 的三角形叫做直角三角形. ②已知R t △ABC 中的两条直角边长分别为a 、b ,则S △ABC ＝ . ③已知梯形上下两底分别为a 和b ，高为（a ＋b ），则该梯形的面积为 . ④完全平方公式：（a ±b ）2＝ .
⑤在R t △ABC 中，已知∠A ＝30°，∠C ＝90°，直角边BC ＝1，则斜边AB ＝ . 二、自学交流 活动一 动手做一做
1、在右边空白处画出Rt△A B C 令∠C = 90°， 直角边A C = 3cm ，B C = 4cm ， （1）用刻度尺量出斜边A B = ________
（2）计算：__________,_____,222===AB BC AC 2、探究：2
2
2
,,AB BC AC 之间的关系：________________ 活动二 毕达哥拉斯的发现
1、 图中两个小正方形分别为A 、B ，大正方形为C ， 则三个正方形面积之间的关系：_______________
2、 设三个正方形围成的等腰直角三角形的直角边为a ， 斜边为c ，则图中等腰直角三角形三边长度 之间的关系：_____________________
3.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 结论1： （2）观察右边两幅图，填表。
b a
C
A
B
四、当堂检测
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。
2、一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则斜边的长为 。
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20
4、已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．
A 的面积
B 的面积
C 的面积
左图 右图
（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．
3.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么 。
活动四 认识赵爽弦图 活动五 证明猜想
已知：如图，在边长为c 的正方形中，有四个 两直角边分别为a 、b ，斜边为c 全等的直角三角形， 求证： 2
2
2
a b c +=（提示：大正小正＝S S S Rt +∆4）
证明：
3.证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？
在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.
勾股定理：直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方
如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_________________
b b c
c c c a a a a b
b b b a
a c a c c a
a D B
b b b b
c c c c a a a b b a c c a a
C A B
D
5、如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
(1)求DC 的长。
(2)求AB 的长。