郑州大学2000年至2013年数学分析考研试题

e∫a
f
(t )dt
.
四．设 f ( x) 在 (−∞, +∞) 内可导，且 f ′(0) = a （常数），对任意 x, y ∈(−∞, +∞) ，
都有 f ( x + y=) f ( x) + f ( y) + 2xy ，试求：函数 f ( x) 的表达式.
五．设 u = x ， v= 1 − 1 ， w = 1 ，
到 f ( x) 的定义；
2.设{ fn ( x)}在[0,1]上一致收敛到 f ( x) ，且每个 fn ( x) 在[0,1]上有界，
求证：（1）极限函数 f ( x) 在[0,1]上有界；
（2）函数列{ fn ( x)}在[0,1]上一致有界.
郑州大学 2002 年数学分析考研试题
( x − 2)( x −1)
∫ Pdx + Qdy ≤ LM ,其中L是曲线的l 长，M= max P2 + Q2
l
( x, y)∈l
∫ ( )2 证明：lim ( ) R→∞
x2 + y2 = R2
ydx − xdy x2 + xy + y2
2
=0
6.设是{x收n} 敛数列，则对于任何数列
————
( ) 成立 lim n→∞
3.试证：函数列 fn = ( x) nx (1− x)n 在区间 a ≤ x ≤ 1 上一致收敛（ 0 < a < 1）；
4.试证：函数 f ( x) = ex cos 1 在 (0,1) 内不一致收敛.
x
三．设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f= (a) f= (b) 0 ，试证：存在
xn + yn =
lim
n→∞
xn
+
lim
n→∞
yn
{ yn } ,
∞
= 7.证明：f在(开x)区∑间，n−内x 连续，且(1有+连∞)续导数。 n=1
= 8.设证lni→m明∞ a：n
a= , lim a1 + a2 + ... + an
n→∞
n
a
9.设f在(闭x)区间，上满[0 足2]以及 f ( x) ≤ 1,
f ( x0 += ∆x)
f
( x0 ) +
f
′( x0
+θ∆x) ∆x
，试证 lim θ ∆x→0
( ∆x )
=1 . 2
8.设函数列{ fn ( x)} 在区间[a,b] 上点点收敛，且存在常数 M > 0 ，使对 ∀n 及
∀x ∈[a,b] 成立
f
′
n
(
x
)
≤M
，试证：{ fn ( x)}在[a,b] 上一致收敛.
x2 + y2 + z2 = a2 ， z ≥ 0 的上侧.
∑ 6.设
f
(x)
=
∞ n=1
cos nx n2
，
（1）试证： f ( x) 在[0,π ] 上连续；
（2）证明 f ( x) 在[0,π ] 有连续导数.
7.设 f ( x) 在 x0 附近有二阶连续导数， f ′′( x0 ) ≠ 0 ，
郑州大学 2000 年数学分析考研试题
一．计算下列各题
1.求
lim
x→0
1 x2
−
cot x
x
；
∫ 2.求 a x2 a2 − x2 dx ， (a > 0) ； 0
( )4 x+ y
3.求二重积分 ∫∫ D
x2
dxdy ，其中 D 是由 x 轴， y = x ， x + y = 1和
x + y = 2 所围有界闭区域.
f '' ( x) ≤ 1,则在，[0上2] f ' ( x) ≤ 2
10.设在 f (，x)上可[0积1] ，且而在 m ≤ f ( x) ≤ M , g ( x)
( ) [m, M ]上连续且下凸，证明g
1
∫0
f
(
x)
dx
≤
1
∫0
g
(
f
(
x))dx
郑州大学数学分析 2008 年试卷
一、 计算极限（每题 10 分，共 20 分）
x2 a2
−
y2 b2
−
z2 c2
dxdydz,
x2 V 是椭球体 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1,(a,b, c
>
0)
4.设0级≤数µ收n <敛1,。(n = 1, 2,3,...),
∞
∑ µn
n=1
∑∞
证明:收敛
un
n=1 n (1− un )
5.(1)设、P 是Q二元连续函数，是平l 面光滑曲线，则
ξ ∈(a,b) ，使得 f ′(ξ ) + f 2 (ξ ) = 0 .
证明
设F (x) =
f
( )x
x f (t )dt
e∫a
，则有 F ( x) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，
( ) F (a) = 0 ， F (b) = 0 ， F= ′( x)
f ′(x)+
f 2 (x)
x
1.用定义证明： lim
=0.
x→1 ( x − 3)
2.设
g
(
x)
有二阶连续导数，且
g
(0)
= 1，
f
(x)
=
g
(
x)
− x
cos
x
,
x
≠
0
，
a, x = 0
（1）确定 a 的值，使 f ( x) 在 x = 0 处连续；
（2）求 f ′( x) ；
（3）讨论 f ′( x) 的连续性.
3.设
( ) ∫∫ 4.求曲面积分 xz2dydz + x2 ydzdx + xy + y2z dxdy 其中 S 是中心在原点，半径为 S
a 的上半球的上侧.
二．解答下列各题
∑ 1.求级数
∞
( −1)n
3n (n +1)
之和；
n=0
n!
∫ 2.判别广义积分
+∞ 1
1− x
ln
1
+
1 x
dx
的敛散性；
郑州大学数学分析 2007 年试卷
各题均为 15 分，共计 150 分
∫ 1.求
lim
x→0
1 x5
x e−t2 dt
0
−
1 x4
+
1 3x2
( ) 2.设f有连续的二阶偏导数， µ = f x − y, x2 − y2
求
∂2µ ∂x2
,
∂2µ ∂y 2
∫∫∫ 3.计算 V
1−
z
为由方程
F
y x
,
z x
=
0
所决定的隐函数，试证：xBiblioteka ∂z ∂x+
y
∂z ∂y
= z .
4.计算二重积分 ∫∫ y − x2 dxdy ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. D
( ) ( ) ∫∫ 5.计算曲面积分 xz2dydz + x2 y − z3 dzdx + 2xy + y2z dxdy ，其中 S 为上半球面： S
yx
z
以 w 为新函数， u, v 为新自变量，试变换方程 x2 ∂z + y2 ∂z = z2 . ∂x ∂y
∫ 六．试证： lim n→∞
1 0
e−x
1
+
x n
n
dx
= 1.
八．1.设{ fn ( x)}和 f ( x) 为定义于区间 I 上的函数，叙述{ fn ( x)}在 I 上一致收敛