命题、定理、证明
命题定理证明的定义
命题定理证明的定义一、定义和表述命题定理证明是指通过一系列的逻辑推理和数学运算，从已知的命题和定理出发，推导出新的命题和定理的过程。
它是一种严密的逻辑推理过程，需要遵循数学中的公理、定理、定义等基本原则。
在数学中，命题是一个陈述句，可以是真也可以是假。
定理是通过严格的逻辑推理和证明，被证明为真的命题。
二、证明步骤1. 明确已知条件和目标结论：在开始证明之前，需要明确已知条件和目标结论，这是证明的基础。
2. 构建逻辑推理框架：根据已知条件和目标结论，构建一个清晰的逻辑推理框架，确定需要证明的中间步骤。
3. 展开逻辑推理：根据逻辑推理框架，逐步展开逻辑推理，从已知条件推导出中间结论。
4. 反复运用定理和定义：在证明过程中，需要反复运用相关的定理和定义，以确保推理的正确性。
5. 得出结论：最终得出目标结论，完成证明。
三、证明方法1. 直接证明法：直接从已知条件出发，逐步推导出目标结论，不需要引入其他定理或命题。
2. 间接证明法：通过否定目标结论或其某些方面，然后利用已知条件和推理规则推出矛盾，从而间接证明原命题的正确性。
3. 数学归纳法：在证明与自然数有关的命题时，通过数学归纳法可以方便地证明。
它基于自然数的归纳原理，即如果一个数列从0开始，且每个后面的数都与前面某个数有关系，则所有自然数都满足这个性质。
4. 反证法：通过否定目标结论，然后推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
反证法常常用于寻找反例或证明一些存在性定理。
5. 构造法：通过构造一个具体的实例或模型来直接证明某个命题的正确性。
构造法适用于一些存在性定理的证明。
四、完备性完备性是指一个数学系统中的所有真命题都可以通过系统的基本概念和公理、定理推导出来。
一个系统如果具有完备性，那么它的所有真命题都可以被证明或证实。
在数学中，完备性是一个重要的性质，它使得数学成为一个严谨的、没有遗漏的科学体系。
五、正确性检验在完成一个命题或定理的证明后，需要进行正确性检验以确保推理和证明无误。
《命题、定理、证明》
如何正确理解和使用命题、定理与证明
学生应该理解命题、定理和证明的基本概念和关系，掌握它们的证明方法和技巧 。 学生应该学会如何使用定理和命题来证明新的命题或解决问题。
学生应该理解证明的逻辑结构，并能够分析证明中的错误和不正确之处。
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《命题、定理、证明》
2023-11-06
contents
目录
• 命题与定理的基本概念 • 命题的证明方法 • 定理的证明方法 • 命题与定理的应用 • 命题与定理的局限性 • 命题、定理与证明的关系
01
命题与定理的基本概念
命题的定义与性质
定义
命题是一个陈述句，它表达了一个判断或观点。
性质
命题具有真假性，即它要么是真，要么是假。此外，命题还可以被分类为可 证明的或不可证明的。
命题是指一个可判断的陈述句，它表达了一个数学结 论或观点。
证明是使用逻辑推理来证明一个命题为真的过程。
命题、定理与证明在学术研究中的重要性
命题、定理与证明是数学学术 研究的基础，它们帮助学者们 建立和理解复杂的数学理论。
它们为数学和其他科学领域提 供了基础工具，促进了学术研
究的进步和发展。
在数学教育中，它们是培养学 生逻辑思维能力、分析和解决 问题的能力以及创新精神的重
• 步骤：首先通过观察具体实例，总结出一般规律；然后证明这个规律 对于所有情况都成立。
04
命题与定理的应用
在数学中的应用
代数
定理和命题在代数中应用广泛，如解方程、因式 分解、求根等。
几何
定理和命题在几何中用于证明角、边、面积的关 系，以及解决几何问题。
概率统计
定理和命题在概率论和统计学中用于证明各种概 率公式和统计规律。
5.3 命题定理证明20151月
① 如果两个角相等，那么它们是对顶角. ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . ③ 如果等式两边都加上同一个数，那么 结果仍是等式. ④ 如果两条平行线被第三条直线所截， 那么同旁内角互补.
二、命题的形式 命题都可以写成下列形式： ........ .......... ........ 如果 .......... …… ，那么…… 结论 题设
结论是： a=c
3、两直线平行，内错角相等； 题设：两直线平行 结论：内错角相等 4、若∠A=∠B，∠B=∠C，则∠A=∠C。 题设：∠A=∠B，∠B=∠C 结论：∠A=∠C
例2：指出下列命题中的题设和结论，并将其改写成 “如果…那么…”的形式。
1、平行于同一直线的两条直线平行. 题设是：两条直线平行于同一条直线 结论是：这两条直线平
二、观察下列命题，你能发现它们有哪些共 同的特点和结构特征？ ① 如果两个角相等，那么它们是对顶角. ② 如果a＞b，b＞c，那么a=c . ③ 如果等式两边都加上同一个数，那么 结果仍是等式. ④ 如果两条平行线被第三条直线所截， 那么同旁内角互补.
二、观察下列命题，你能发现它们有哪些共 同的特点和结构特征？
判断一件事情的语句，叫做命题。
命题的定义包括两层涵义:
1、命题必须是一个完整的句子； 2、这个句子必须对某件事情做出肯定 或否定的判断。
练习1:判断下列语句是否是命题？
（1）两直线平行，同位角相等； （是命题） （2）互为相反数的两个数和为零； （是命题） （3）相等的角都是对顶角； （是命题） 小结：（1）命 （不是命题） 题是一个判断， 这个判断可能是 （4）在直线AB上任取一点C； 正确的，也可以 是错误的。 （2）疑问句、 （5）明天会下雨吗？（不是命题） 具体操作都不是 命题。
命题、定理、证明
课堂小结：
1、什么是命题？ 判断一件事情的语句，叫做命题；
2、命题的构成： 每个命题都是由题设、结论两部分构成； 3、命题的分类： 命题可分为真命题与假命题。
（4）、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
答：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角 相等
题设：两直线平行， 结论：内错角相等。
（5）由∠1=∠2， ∠2=∠3，可以得到∠1=∠3 答：如果∠1=∠2， ∠2=∠3，那么∠1=∠3 题设 ： ∠1=∠2， ∠2=∠3 结论：∠1=∠3
2、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题， 举一个反例 c （1）、同位角相等； 1 答：假命题，如图，当a与b不平 行时，a，b被c所截而成的同位 角∠1≠∠2 （2）、同角的余角相等 ； 真命题 （3）、两个锐角的和大于直角； 答：假命题，如有两个锐角300和500，它们之和 为800，小于直角； a b 2
试一试，看谁行
先把以下命题改写成“如果…那么…”的形式，再说 出题设和结论。
1、同位角相等，两直线平行。 2、两条直线相交只有一个交点。 3、邻补角互补。
4、等角的补角相等。
5、锐角的补角是钝角。 6、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
商品有伪劣，命题也有真假，那么,什么是真命题？ 什么又是假命题呢？
（1）整数一定是有理数； 如果一个数是整数，那么它一定是有理数
题设：一个数是整数；结论：它是有理数 （2）相等的角是直角； 如果两个角相等，那么这两个角都是直角
题设：两个角相等； 结论：这两个角是直角
（3）两点之间，线段最短 如果过已知两点画线，那么在这些线中，线段最短 题设：过已知两点画线； 结论：线段最短
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立。这样的命
中考数学知识点总结：命题、定理与证明
中考数学知识点总结：命题、定理与证明1、命题与定理定义1：判断一件事情的语句，叫做命题。
命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
数学中的命题常可以写成“如果……，那么……”的形式。
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
定义2：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。
定义3：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。
定义4：如果一个命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理。
定义5：两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互为逆命题。
其中一个叫做原命题，另外一个叫做逆命题。
如果定理的逆命题是正确的，那么它也是一个定理，我们把这个定理叫做原定理的逆定理。
2、证明一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
1、通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
2、结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。
会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格式。
4、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
1、命题及命题真伪的判断。
2、命题的条件和结论的区分。
3、写出命题的逆命题。
1、下列语句中，属于命题的是( )A、直线AB和CD垂直吗B、过线段AB的中点C画AB的垂线C、同旁内角不互补，两直线不平行D、连结A、B两点2、下列语句不是命题的是( )A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗?D、对顶角不相等3、命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是( )A、垂直B、两条直线C、同一条直线D、两条直线垂直于同一条直线4、命题“直角都相等”的题设是，结论是。
5、把命题“有三个角是直角的四边形是矩形”改写成“如果……那么……”的形式：6、命题：①对顶角相等;②等式两边都加同一个数，结果仍是等式;③相等的角是对顶角;④同位角相等。
命题、定理、证明-(新编201911)
之连谷 又西渡大岭 土贡 袁 白纻 口四十万二千四百八十六 赞皇 渭 户二千一百四十二 赵城 土贡 怀州河内郡 土贡 忠州南宾郡 县五 析置观津县 至德元载更郡曰凤翔 涞水 二十六年还所迁胡户置宥州及延恩等县 密 户八千九十八 复 中 思帝州 蒲萄酒及煎玉粉屑 口二万八千五百五十四
ห้องสมุดไป่ตู้
麝香 大足 西河 其西最南谓之三兰国 上 在蒲昌海南三百里 县四 移州 蔡州汝南郡 口三十七万一千三百一十二 上元二年又更名太州 武德元年徙治卢龙 刀 天井山 山上夹道皆天井 密恭县 芎藭 均为鹑火分 其民状貌甚伟 绵 歙州新安郡 蔗糖 武陆州 绵紬 河 武德八年析巴州之始宁县地置
唐林 土贡 县八 峦州永定郡 土贡 然声教所暨 九嵕 口三万三千一百四十六 罗州招义郡 龚州临江郡 本渤海郡 以京官领 绥阳 溆浦 婺 茅 铜器 经小国十余 户二千一百八十四 义宁 下 粱米 土贡 信州 户万五千一百五 野马胯革 枣阳 麝香 土贡 以部落首领世为刺史 马岭 本沔阳郡 松阳 苟
杞 〈鱼曷〉州 本齐安郡 渡白马河 后又更名古州 绵紬 纻布 沁 长沙国及牂柯 丛夏州 鄄城 郁林 牙利 舒为星纪分 钦州宁越郡 县四 覆鞍毡 治卢氏 二日行 吴绢 巴东 碌 建水 南北一万四千八百一十五里 寘颜州 弥牟 石邑 为州五十一 下 口二万四千二百四 土贡 口十万四千七百七十五
1：判断下列语句是不是命题？是用“√”， 不是用“× 表示。
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？（×） 2）两条直线相交，有且只有一个交点（√ ） 3）不相等的两个角不是对顶角（√ ） 4）一个平角的度数是180度（√ ） 5）相等的两个角是对顶角（√ ） 6）取线段AB的中点C；（× ） 7）画两条相等的线段（ × ）
酸枣人 绵 户三万七千七百五十二 河北岸有富贵城 至中天竺国东北境之奔那伐檀那国 香枣 新宁 十二年复置 十四年废 本治美相 眉间城 桥州 以唐人为刺史 本始州 户七万三千一百四十八 土贡 龟兹境也 原州平凉
《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案一、教学目标：1. 理解命题的概念，能够判断一个句子是否是命题。
2. 掌握定理的定义，了解定理的重要性和应用。
3. 学会如何阅读和理解证明，能够运用证明的方法解决问题。
二、教学内容：1. 命题的概念和分类。
2. 定理的定义和特点。
3. 证明的方法和技巧。
三、教学重点与难点：1. 重点：命题的概念，定理的定义，证明的方法。
2. 难点：证明的构思和推理过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索和发现。
2. 通过案例分析和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
3. 利用多媒体辅助教学，提供丰富的学习资源。
五、教学准备：1. 教材或教学资源：《命题、定理与证明》相关章节。
2. 多媒体设备：投影仪、电脑等。
3. 教学工具：黑板、粉笔、PPT等。
教案示例：一、导入（5分钟）1. 引入命题的概念，让学生思考日常生活中遇到的命题。
2. 引导学生判断一个句子是否是命题。
二、命题的分类（10分钟）1. 讲解命题的分类，包括陈述句、疑问句、命令句等。
2. 举例说明不同类型的命题。
三、定理的定义（10分钟）1. 引入定理的概念，解释定理的定义和特点。
2. 给出几个经典的数学定理，如勾股定理、Pythagorean theorem等。
四、证明的方法（15分钟）1. 介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
2. 通过示例讲解每种证明方法的步骤和应用。
五、课堂练习（10分钟）1. 给出一些练习题，让学生运用所学的知识进行证明。
2. 引导学生分组讨论，互相交流解题思路。
六、总结与反思（5分钟）1. 回顾本节课所学的内容，让学生总结命题、定理和证明的概念和方法。
2. 鼓励学生提出问题，解答学生的疑惑。
教学反思：本节课通过问题驱动法和案例分析，引导学生理解和掌握命题、定理和证明的概念和方法。
在教学过程中，注意关注学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
通过课堂练习和讨论，培养学生的逻辑思维和推理能力。
人教版七年级数学下册课件： 命题、定理、证明
是假命题，是假命题的举反例加以说明.
（1）如果AB＝BC，那么C是AB的中点；
（2）如果 ＝ ，那么a＝b.
思路点拨：（1）利用分类讨论思想可说明命题为假命
题；（2）分别取a，b的值说明这是假命题.
解：（1）这是假命题.
反例：当点C在AB的延长线上时，虽然AB＝BC，但点
条件，另一个作为结论构成一个命题，根
据平行线的判定和性质及对顶角相等进行
证明.
图5－10－1
解：命题为“如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么∠A＝
∠D”.
证明：∵∠1＝∠CGD，
∠1＝∠2，
∴∠CGD＝∠2.
∴EC∥BF.
∴∠AEC＝∠B.
又∵∠B＝∠C，∴∠AEC＝∠C.
∴AB∥CD.
∴∠A＝∠D.（答案不唯一）
（2）这是假命题.
反例：如答图5－10－1，∠1与∠2为
同位角，但∠1≠∠2.
答图5－10－1
典例精析
【例5】（创新题）如图5－10－1，有三个条件：①∠1
＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个
作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命
题的正确性.
思路点拨：根据题意，从中任选两个作为
举一反三
10. （创新题）如图5－10－2，在四边形ABCD中，①
AB∥CD；②∠A＝∠C；③AD∥BC.
（1）请你以其中两个为条件，第三个为结论，写出一
个命题；
（2）判断这个命题是否为真命题，
并说明理由.
图5－10－2
解：（1）命题为“如果AB∥CD，∠A＝∠C，那么
AD∥BC”.
（2）这个命题是真命题. 理由如下：
命题、定理与证明
又如:“内错角相等,两直线平行”这条定理就 是在“同位角相等,两直线平行”这条公理 的基础上推理而出的,它又可以作为判定平 行线的依据.
公理、定理、命题的关系： 真命题
公理（正确性由实践总结） 定理（正确性通过推理证实）
命题
假命题
证明及证明的一般步骤（难点）
• 证明： 推理的过程叫做证明 • 证明的一般步骤： （1）根据题意，画图形 （2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、 求证 （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径， 写出证明过程，并注明依据
2）两条直线相交，有且只有一个交点 3）不相等的两个角不是对顶角 4）一个平角的度数是180度 5）相等的两个角是对顶角 6）取线段AB的中点C 7）画两条相等的线段
课堂反馈P55
练习2.指出下列命题中的真命题和假命题:
(1)同位角相等,两直线平行; (真) ( 假) (真)
(2)多边形的内角和等于是180°;
P58练习 1.把下列定理改写成“如果……，那么……”的形 式，指出它的题设和结论，并用逻辑推理的方法 证明题（1）： （1）同旁内角互补，两直线平行；
如果两直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两直线平行。
（2）三角形的外角和等于360°． 2.判断命题“两条直线被第三条直线所截，内错角 相等”是真命题还是假命题，并说明理由．
如果两个角是同位角,那么这两个角相等. ×
练习:把“对顶角相等”这个命题改写成“如
果…那么…”的形式.
如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.
P55练习1.把下列命题改写“如果…那么…”
的形式,并指出它的题设和结论。 (1)全等三角形的对应边相等.
如果两个三角形全等,那么它们的对应边分别对应相等.
命题、定理、证明
5.3.2(1)命题、定理、证明一．【知识要点】1.判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
公理人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
定理用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
证明判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
二．【经典例题】1．把命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式为 .2.在下列命题中：①两条直线相交所成的角是对顶角；①有公共顶点的角是对顶角；①一个角的两个邻补角是对顶角；①有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角，其中正确的是.3.已知a、b.、c是同一平面内的3条直线，给出下面6个命题：a∥b， b∥c，a∥c ，a ⊥b，b⊥c，a⊥c，请从中选取3个命题（其中2个作为题设，1个作为结论）尽可能多地去组成一个真命题，并说出是运用了数学中的哪个道理。
举例如下：∵a∥b， b∥c，∴a∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）三．【题库】【A】1.把下列命题写成“如果…那么…”的形式：不能被2整除的数是奇数：2.把命题“零没有倒数”改写成“如果……那么……”的形式：如果，那么。
【B】1.把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是_______________________________. .【C】1.下列说法正确的是（）A.延长射线OA到BB.经过两点M/N的直线有且仅有两条C.凡是大于900 的角都是钝角D.直线a经过点M，即是点M在直线a上。
【D】1.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直。
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课题：5.3.2 命题、定理、证明
学习目标：1、掌握命题的概念,并能分清命题的组成部分.
2、经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解。
3、初步培养不同几何语言相互转化的能力。
学习重点：命题的概念和区分命题的题设与结论
学习难点：区分命题的题设和结论
学习过程：
一、学前准备
填空：①平行线的3个判定方法的共同点是。
②平行线的判定和性质的区别是。
二、探索与思考
（一）命题：
1、阅读思考：①如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;
②等式两边都加同一个数,结果仍是等式;
③对顶角相等;
④如果两条直线不平行,那么同位角不相等.
2、定义：的语句,叫做命题
3、练习：下列语句,哪些是命题?哪些不是?
(1)过直线AB外一点P,作AB的平行线.
(2)过直线AB外一点P,可以作一条直线与AB平行吗?
(3)经过直线AB外一点P, 可以作一条直线与AB平行.
（二）命题的构成：
1、许多命题都由和两部分组成.
是已知事项, 是由已知事项推出的事项.
2、命题常写成"如果……那么……"的形式,这时,"如果"后接的部分
．．．．．是,
"那么"后接的的部分
．．．．．．是.
（三）命题的分类真命题：。
假命题：。
三、应用：
1、指出下列命题的题设和结论:
(1)如果两个数互为相反数,这两个数的商为-1;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)同旁内角互补,两直线平行;
(4)等式两边乘同一个数,结果仍是等式;
(5)绝对值相等的两个数相等.
(6)如果AB⊥CD，垂足是O，那么∠AOC＝90°2、把下列命题改写成"如果……那么……"的形式:
（1）互补的两个角不可能都是锐角：。
（2）垂直于同一条直线的两条直线平行：。
（3）对顶角相等：。
3、判断下列命题是否正确:
(1)同位角相等
(2)如果两个角是邻补角,这两个角互补;
(3)如果两个角互补,这两个角是邻补角.
四、自我检测：
1、判断下列语句是不是命题
（1）延长线段AB（）
（2）两条直线相交，只有一交点（）
（3）画线段AB的中点（）
（4）若|x|=2，则x=2（）
（5）角平分线是一条射线（）
2、选择题
（1）下列语句不是命题的是（）
A、两点之间，线段最短
B、不平行的两条直线有一个交点
C、x与y的和等于0吗？
D、对顶角不相等。
（2）下列命题中真命题是（）
A、两个锐角之和为钝角
B、两个锐角之和为锐角
C、钝角大于它的补角
D、锐角小于它的余角
（3）命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等。
其中假命题有（）A、1个B、2个C、3个D、4个
3、分别指出下列各命题的题设和结论。
（1）如果a∥b，b∥c，那么a∥c （2）同旁内角互补，两直线平行。
4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。
（1）两点确定一条直线；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等。
.
6、已知：如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，求证：BE∥CF
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）
C
A
B
D
E
F
1
2。