Matlab微积分问题的计算机求解实验

计算极限
f ( x) limit(f,x,a): 计算 lim xa limit(f,a): 当默认变量趋向于 a 时的极限 limit(f): 计算 a=0 时的极限 limit(f,x,a,'right'): 计算右极限 limit(f,x,a,'left'): 计算左极限
例：计算
ln( x h ) ln( x ) L lim ， h0 h
Fourier级数的Matlab程序
3.
4.
e
( x 1)2 2 2 1
dx
2 a cos

2
0

d d
4 0
0
r 2 (1 cos )sin dr
5.
n 1 n 1 ( 1) n ( x 1) n 1
数值积分
函数quad()采用递推自适应Simpson法计算积分，精度较 高，较常使用。
梯形法
q = trapz(Y) q = trapz(X,Y)

X=0:0.01:1; Y=exp(-X.^2); q=trapz(X,Y)
其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。
上机作业
取一定数量的点，利用梯形数值积分 公式近似计算圆周率pi
1 π 4 dx 0 1 x2
数值积分
【例】计算二重定积分

1
1
[ e
2
2
x2 2
sin( x 2 y )dx]dy
①(1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dblquad函数求解。 I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ② >> f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)') >> I=dblquad(f,-2,2,-1,1)
if a+b subs(f,x,x+L+a); end A=int(f,x,-L,L);%f(x)在[-pi,pi]内展开 B=[]; for i=1:n an=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L; end
Fourier级数的Matlab程序
x 2, y 1
计算积分
int(f,v,a,b): 计算定积分

b
a
f ( v )dv
int(f,a,b): 计算关于默认变量的定积分
int(f,v): 计算不定积分
f (v )dv
int(f): 计算关于默认变量的不定积分
例：计算
x2 1 I 2 dx 和 K 2 ( x 2 x 2)
数值积分
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。 3、编写被积函数表达式，函数名为 f=@(x).exp(-x.^2);
>> q2=quad(f,0,1)
数值积分
(2) （被积函数由一个表格定义） trapz函数采用梯形法求取数值积分，适用于由表格形式定 义的函数关系的求定积分问题，求值速度快，但精度差。
Fourier级数的Matlab程序
yy=subs(f,x,xx);%计算f(x)的值 for i=1:20 [A,B,F]=fseries(f,x,n); y=subs(F,x,xx); subplot(4,5,n); plot(xx,yy);%画出f(x)的图像 hold on plot(xx,y);%画出Fourier级数的图像 end
,
符号表达式的数值化
对符号求值的命令为vpa，即Variable precision arithmetic
R=vpa(A)或 R=vpa(A,d)
对符号表达式A求给定精度的值；d：输出数值的有效位数 Vpa的默认精度是23位。
digits(25); p=vpa(pi) w=vpa('(1+sqrt(5))/2',4)
2
( x 1)2 2
符号求和
symsum(u,n,n0,nn):

n n0
u
nn
n
symsum(f,a,b): 关于默认变量求和
1 例：计算级数 S 2 及其前100项的部分和 n 1 n >> syms n; f=1/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf) >> S100=symsum(f,n,1,100) x S 2 例：计算函数级数 n 1 n
>> syms n x; f=x/n^2; >> S=symsum(f,n,1,inf)
Taylor级数展开
taylor(f): 求f在默认自变量=0处的5阶 Taylor级数展开式定积分
taylor(f,n,x): 求f在默认自变量x=0处的
n-1阶Taylor级数展开式定积分
taylor(f,n,x,a): 求f在默认自变量x=a处
q = quad(fun,a,b) q = quad(fun,a,b,tol)
功能：求一元函数fun的积分ｑ，积分上限和下限分别为a和 b，绝对误差为tol，默认时取值10^-6 ，函数fun是待求解 的对象，可以是字符串、内联函数、Ｍ函数文件名的函数句 柄。
Simpson Formula
数值积分
>> a=sym('a'); >> b=sym('b'); >> c=sym('c');
例： >> syms a b 达式的建立：
建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym 函数直接建立符号表达式。 (2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
例： >> y=sym('sin(x)+cos(x)')
1
π 4
1 0
1 x dx
2
数值积分
(3)二重积分的数值求解
dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数 值解。该函数的调用格式为：
I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)
功能：该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定 积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，缺省时取trace=0。
x M lim1 n n
n
>> syms x h n; >> L=limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0) >> M=limit((1-x/n)^n,n,inf)
计算导数
diff g=diff(f,v)：求符号表达式 f 关于 v 的导数 g=diff(f)：求符号表达式 f 关于默认变量的导数 g=diff(f,v,n)：求 f 关于 v 的 n 阶导数
Fourier级数的Matlab程序
具体程序： function[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b) if nargin==3 a=-pi; b=pi; end %若输入为3个参数，表示函数f(x)在[pi,pi]内进行展开 L=(b-a)/2;
Fourier级数的Matlab程序
例：指出下面各条语句的输出结果 >> f=sym('2*u'); >> subs(f,'u',2) >> f2=subs(f,'u','u+2') >> a=3; >> subs(f2,'u',a+2) >> subs(f2,'u','a+2') >> syms x y >> f3=subs(f,'u',x+y) >> subs(f3,[x,y],[1,2])
数学实验
上海电力学院数理系
dhy0826@
微积分实验
1 2 3 4 5
符号表达式基础操作 符号微积分 数值积分
卫星轨道的长度
国土面积的计算
符号对象的建立
符号对象的建立：sym 和 syms sym 函数用来建立单个符号变量，一般调用格式为：
符号变量 = sym(A) 参数 A 可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。 1、f=inline(‘exp(-x.^2)’);％内联函数 q1=quad(f,0,1)
数值积分
【例】求exp(-x2)在[0,1]上的积分。 2、编写被积函数表达式，函数名为 quad1.m function f = quad1(x) f=exp(-x.^2); >> q2=quad('quad1',0,1)
的n-1阶Taylor级数展开式定积分
>> syms x; taylor(exp(x),x,7,-1)
上机作业
1. 2.
2 f 2 y f ( x, y) x ln( x e ), 求 xy x 2, y 1
1 cos x lim x00 x(1 cos x )
1 2
符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式