常系数线性微分方程的拉普拉斯(Laplace)变换解法
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
拉普拉斯变换
第十一章 拉普拉斯变换在高等数学中，为了把复杂的计算转化为较简单的计算，往往采用变换的方法。
拉普拉斯变换（简称拉斯变换）就是其中的一种。
拉斯变换是分析和求解常系数线性微分方程的常用方法。
用变拉普拉斯换分析和综合线性系统（如线性电路）的运动过程在工程上有着广泛的应用。
本章将扼要地介绍拉氏变换的基本概念、主要性质、拉氏逆变换及拉氏变换的简单应用。
第一节 变拉普拉斯换的概念定义 设函数)(t f 当0≥t 时有定义，且广义积分⎰+∞-0)(dt e t f st在s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s 的函数dt e t f s F st -∞⎰=0)()(叫做函数)(t f 的变拉普拉斯换，记作)]([)(t f L s F =函数F （s ） 也可叫做)(t f 的像函数。
若F （s ）是)(t f 的拉)(t f 是F （s ）的拉氏逆变换（或叫做()s F 的像原函数），记作)]([)(1s f L t f -=在拉氏变换中，只要求)(t f 在),0[+∞内有定义即可。
为了研究方便，以后总假定在)0,(-∞内，)(t f ≡0。
另外，拉氏变换中的参数s 是在复数域中取值的，但我们只讨论s 是实数的情况，所得结论也适用于s 是复数的情况。
例1 求指数函数at e t f =)(（a a ,0≥是常数）的拉氏变换。
解 由拉氏变换定义有 ：dt e dt e e e L t a s st at at ⎰⎰+∞--+∞-==0)(0][此积分在s >a 时收敛，有⎰∞+---=)(1as dt e t a s 所以)(1][a s as e L at >-=例2 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,100)(t t t u ， 的拉氏变换。
解()[]⎰+∞-=0dt e t u L st此积分在0>s 时收敛，且有⎰∞+->=)0(1s sdt e st 所以 ()[])01>=s st u L （ 例3 求at t f =)(（a 为常数）的拉氏变换。
积分变换-2 拉普拉斯变换
f (t + T ) = f (t) t > 0
且 f (t)在一个周期内分段连续，则有 T 1 st F(s) = f (t)e dt (Re s > 0) sT ∫ 0 1 e
2-2 Laplace变换的基本性质 Laplace变换的基本性质
1、线性性质 2、相似性质 3、延迟性质 4、位移性质 5、微分性质 6、积分性质 7、卷积与卷积定理
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
（1）Laplace变换实际上就是一种单边的广 Laplace变换实际上就是一种单边的广 义的Fourier变换。 义的Fourier变换。 （2）Laplace变换的复反演积分公式： Laplace变换的复反演积分公式 复反演积分公式：
1[F(s)] = 1 β + j∞F(s)est ds (t > 0) f (t) = L 2πj ∫β j∞
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
如何克服上述两个缺点？ （1）单位阶跃函数
1, t ≥ 0 H(t) = 0, t < 0 用H(t)乘以 f (t)，这样得到的 f (t)H(t)，在
t < 0时就等于零，在 t ≥ 0 时仍为 f (t) ， 就有可能使其积分区间由 ( ∞,+∞) 变为 [0,+∞)
2-1 Laplace变换的概念 Laplace变换的概念
Fourier变换的局限： Fourier变换的局限： （1）绝对可积的条件较强，许多简单的常见函数 （如单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数以及线 性函数等）都不满足这个条件，都不能作古典的 Fourier变换。 Fourier变换。 （2）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 ）可以进行Fourier变换的函数必须在整个数轴 上有定义，但在物理和无线电技术等实际应用中， 许多以时间t 许多以时间t作为自变量的函数往往在 t <0 时是无意义的或是不需要考虑的，像这样的函数 都不能取Fourier变换。 都不能取Fourier变换。
拉普拉斯变换LaplaceTransform
Fresnel 正弦和余弦积分 指数、正弦、余弦积分
(2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (3.1)
(3.2) (3.3)
(4.1) (4.2) (4.3) (4.4)
误差积分
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
Hankel 函数 1 和 2
介绍
laplace 变换有着广泛的用途，其中最重要的用途之一是求解微分呢方程。 首先定义 laplace 变换：
(1.1)
invlaplace 变换：
.
代数、三角、指数、对数、三角、反三角、双曲、和反 双曲函数
(2.1)
(2.2) (2.3) 1 (2.4) (2.5) (2.6) (2.7)
(2.8)
(10.1)
用拉普拉斯变换求解微分方程
变换是一种数学运算，它将一个函数变换为另一个新函数。在解微分方程的过程中， Laplace 变换是常用的方法。 这种方法主要用于解常系数的线性微分方程，和包含不连续 函数的微分方程。Laplace 变换的核心作用在于它将微分运算变换为乘法运算，于是一个 微分方程就被变换为代数方程。 对于特殊的微分方程，我们还可以指定 dsolve 利用积分变换方法求解，只需要在 dsolve 中 加入可选参数 method=transform 即可。其中 transform 是积分变换，可以是laplace、 fourier、fouriercos 或者 fouriersin 变换。 例子：
拉普拉斯变换 (inttrans Package)
西希安工程模拟软件（上海）有限公司，2009
工作环境：Maple 13
内容：
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换就是分析与求解常系数线性微分方程得一种简便得方法,而且在自动控制系统得分析与综合中也起着重要得作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路得复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)得基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中得应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中,直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯就是很复杂得,而引用对数后,可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表与反对数表,就可算得原来要求得数N 。
这就是一种把复杂运算转化为简单运算得做法,而拉氏变换则就是另一种化繁为简得做法。
一、拉氏变换得基本概念定义12、1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 得某一区域内收敛,则此积分就确定了一个参量为P 得函数,记作()F P ,即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( (12、1)称(12、1)式为函数()f t 得拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 得拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 得象函数)。
函数()f t 称为()F P 得拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数),记作)()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换得定义,在这里做两点说明:(1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质得方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。
(2)在较为深入得讨论中,拉氏变换式中得参数P 就是在复数范围内取值。
为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质得研究与应用。
常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
拉普拉斯变换法.. /Laplace Transform /
1
拉普拉斯变换 ..
含义：..
简称拉氏变换 .. 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换， 并在复数域中进行运算， 再将运算结果作拉普拉斯反变换 来求得实数域中的相应结 果，往往比直接在实数域计算容易得多。
s2
s 1
19
例 7 求 x 3x 3x x 1 满足初始条件
0
L[x(t)] sX (s) x0
L[x(n) (t)]
sn
X
(s)
sn1x0
s n2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
17
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合…
2
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： ..
对常微分方程进行拉氏变换法， 得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解 ..
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程….
(整理)拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程
拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。
拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。
因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。
拉普拉斯拉斯变换的定义一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为L[f(t)]=F(s)=式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。
应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。
通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。
拉普拉斯变换的基本性质本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。
一、唯一性定义在区间的时间函数与其拉氏变换存在一一对应关系。
根据可以唯一的确定其拉氏变换；反之，根据，可以唯一的确定时间函数。
唯一性是拉氏变换非常重要的性质，正是这个性质，才是我们有可能将时域中的问题变换为复频域中的问题进行求解，并使在复频域中求得的结果有可能再返回到时域中去。
唯一性的证明从略。
二、线性性质若和是两个任意的时间函数，其拉氏变换分别为和，和是两个任意常数，则有证根据拉氏变换的定义可根据拉氏变换的定义可得例求的拉氏变换。
解三、时域导数性质（微分性质）例应用时域导数性质求的象函数。
四、时域积分性质（积分规则）例：求单位斜坡函数及的象函数。
五、时域平移性质（延迟性质）作业：书后习题1、2、3、4。
课后记事：注意板书层次，因为内容很多，不要太乱。
常用时间函数的象函数一览表，见教材221页。
8-2、8-3拉普拉斯反变换和运算电路图（4学时）（教材第221页）教学目的：具有单根、复根、重根三种情况下用部分分式及分解定理求待定系数法，运算电路图的画法。
教学重点：具有单根、复根时求待定系数法，熟练掌握反变换的求法，熟练掌握运算电路图的画法。
LapLace 变换
部分分式展开第二项得
1 1 1 s2 2 3 6 2 s ( s 5s 4) s s 1 s 4
查拉氏变换表 2-1，反变换得到
1 1 t 1 4 t e e 2 3 6
其中第一项为零状态响应中的稳态分量，后两项为零状态响应中的瞬态分量，也随 t 趋于零。 最后得到
t s 0
应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t ) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于零，则有
df (t ) lim e st dt lim sF (s) f (0) s 0 0 s 0 dt
因为 lim e
s 0
st
0
f (t )e st dt
存在，式中 s j 为复变量，则称其为 f (t ) 的拉普拉斯变换（简 称为拉氏变换） ，记作 F ( s ) 或 L[ f (t )] ，即
F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt
0
F ( s ) 是复变量 s 的函数称为 f (t ) 的像函数，f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数。
原函数 f (t ) ， t 0 象函数 F ( s)
(t )
1(t )
1
1 s
1 s2
t
1 2 t 2
e at te
at
1 s3
1 sa
1 (s a)2
sin t
s2 2
s s2 2
cos t
三、拉氏变换的积分下限问题 根据定义，拉氏变换的积分下限为零。而在控制工程中，输入信号往往是在
1，所以有