chapter2-静电场(ZHL 2013)-part 2

0
( 0 E P ) f
定义电位移矢量（ Displacement） 则有
D 0 E P
D
电介质中高斯定律的微分形式
又称电通 量密度
各向同性介质中的本构关系
D 0 E P 0 E e0 E 0 (1 e ) E r 0 E E
根据矢量恒等式
1 1 1 P P P R R R
有
1 1 1 P r P dV dV 4 0 V 4 0 V R R
利用高斯散度定理
1 r 4 0
S V
1
dV

V
( E
)dV 0 0
E 0
真空中高斯定律的微分形式
高斯定理微分形式的直接推论： 电场的通量源密度即为电荷分布密度。
E 0
E 0
E 0
3. 电介质中的高斯定律
介质中的电荷：自由电荷+束缚电荷
在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为
ax a y az F dl Fx Fy Fz 0 dx dy dz
dx dy dz Fx Fy Fz
求出该微分方程的 通解可绘出矢量线
qd cos p 4 0 r 2
E p q 4 0 r
3
( 2 coser sin e )
电力线微分方程（球坐标系）：
由于极化电荷始终被束缚在电偶极子中，故也称为束缚电荷。
sp
p
介质的二次场也可以看成是极化电荷产生的
(r ) 1 4 0

sp (r ')
S'
R
dS '
1 4 0

p (r ')
R
V'
dV '
对比前面的结果：
r
1 4 0
sp

S
ˆdS Pn 1 P dV R 4 0 V R
E dS E
S S i 1
n
i
dS Ei dS
i 1 S i 1
n
N
0
qi
高斯定理：在真空电场中，由任意闭合面穿出的E通量，应等于该闭合面
所包围的电荷的代数和与真空电容率的比值

S
E dS
N
i 1 0
qi

1
0

V
dV
真空中高斯定律的积分形式
3.2 静电场中导体的性质
1. 静电平衡时，导体内部的电场强度为0。导体中不可能存在静电场，导
体内部不可能存在自由电荷的体分布。why？
2. 当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。why？ 3. 处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。why？ 4. 导体外表面任一临近面的点的电场强度与导体表面垂直。Why？
3.1 静电感应与静电平衡：
放入电场中的导体，其内部的自由电子在电场力的作用下向电场 的反方向作定向移动，导致导体的两端分别出现等量的正、负 电荷。该现象为静电感应现象。
静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发 生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动， 因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导 体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零， 自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变。这种导体 中（包括表面）没有电荷定向移动的状态称为静电平衡。
点电荷位于一块介质上方的电场
点电荷位于一块导平面上方的电场
思考：
• 一种物质（金属、介质）中是否存在大 量的电偶极子？ • 如果存在大量的偶极子，在没有外加电 场的情况下，距离这种物质r处的电场是 ？
3. 静电场中的导体与电介质
• 重点：
1.静电场中的导体特性
2.静电场中的电介质极化
3. 静电场中的导体与电介质
静电场中任一闭合面上E的通量不等于0，说明静电场是有通量源 的场，通量源为电荷。
E的通量仅与闭合面S
所包围的净电荷有关。
闭合曲面的电通量
S面上的E是由系统中 全部电荷产生的。
闭合面外的电荷对场的影响
思考：
一个电偶极子所产生的通量是多少？
2.
由散度定理知：
高斯定律的微分形式
V 0
E dS EdV
p
可得极化电荷密度与极化强度的关系：
p P
ˆ sp P n
4. 高斯通量定理
• 重点： 1.真空中的高斯通量定理 2.电介质中的高斯通量定理
4. 高斯通量定理
平面角与立体角
B o
A
弧度（平面角度）：
l (l为弧长 r为半径 ) r
将弧度表示平面角度大小的定 义（弧长除以半径）推广到三维 空间中，定义“立体角”为：球 面面积与半径平方的比值。即：
A 2 r
4. 高斯通量定理
立体角 一、球面 定义
4 R 2 整个球面的立体角 4 2 R
二、非球面 以O点为圆心，曲面在球面上投影
dS R2
ˆr dS e d R2
三、任意闭合曲面的立体角
O点在闭合曲面内
O点在闭合曲面外
d 4 d 0
1.
高斯定律的积分形式
求解：在无限大真空中有一点电荷，以该点电荷的在处为球心作一任意半径为r 的球面，求穿出该球面的通量。
在如果包围点电荷的是一个任意形状的闭合面，则由该闭合面穿出的通量应为：
方法1：
方法2：
E对任意闭合面的通量只与面内包含的 电荷多少有关，而与闭合面的形状无关。
如果在无限大真空的电场中，闭合面S包围了N个点电荷，根据叠加原理，可得：
有极分子
有极分子
电矩矢量 p=ql (p的方向由-q指向q)
+
3.3 静电场中的电介质
无极性分子 图1.2.14 电介质的极化
有极性分子

电介质在没有外电场E时，总电矩矢量为0；

电介质在外电场作用下，电偶极子的排列趋于外电场方向，等效偶极子电
矩的矢量和不再为0，这种现象为电介质的极化；
介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中以后，
PR dV ' 3 R 1 1 P ( )dV P ( )dV R R d
上式中利用了
R 1 1 3 R R R
体积V内电偶极子产生的电位
r d
1 1 P dV 4 0 V R
r1 r2
q Á= 4¼ "0R
分别针对+q和-q写出电位函数
r2 r1
图1.2.2 电偶极子
q Á p1 = 4¼ "0r1 ¡q Á p2 = 4¼ "0r1
Á p = Á p1 + Á p2
例2-3: 画出电偶极子的等位线和电力线 (r d ) 。 电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电 荷距离) 电偶极子的电矩：p=qd (p的方向由-q指向q)
3.3 静电场中的电介质
电介质：内部没有可以做宏观运动的电荷的物体。
带电粒子被原子、分子的内在力或者原子分子之间的力束缚。













Ea



回顾:
无极分子 画出电偶极子的等位线和电力线 (r d ) 。
无极分子
实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中
P e 0 E
e
——电介质的极化率,无量纲量。
各向同性：媒质的特性不随电场的方向而改变, P 始终与外电场 E 的方 反之称为各向异性；
P [ e ] 0 E
线性：媒质的参数不随电场的值而变化； 均匀：媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化。
正电荷
负电荷










带电平行板
点电荷与不接地导体的电场
例2-3: 画出电偶极子的等位线和电力线 (r d ) 。（熟悉其特性）
电偶极子：相距很近的两个等值异号电荷。(其与场点距离远大于其正负电 荷距离) 电偶极子的电矩：p=qd (p的方向由-q指向q)
采用球坐标系（参考点在无穷远)：
介质的 介质的 作用 作用
E dS
S
1
0
(q q)
q 为闭合面S 中的束缚电荷。那么 式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷，

S
( 0 E P ) dS q

PdV
S
- P dS q '
令 D 0 E P ，求得

S
D dS q
介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场 Es 又影
响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变 化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场， 极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。
外加场Ea 合成场Ea+ Es 介 质
二次场Es
极 化
Ea
Es
+
均匀场中放进了介质球的电场

S
ˆdS Pn 1 P dV R 4 0 V R
极化电荷 极化形成的电偶极子在介质内首尾相接，正负电荷互相对消。 在表面电偶极子链中断，在表面剩余电荷，形成面极化电荷。 非均匀极化情况下，介质内部相邻电偶极子的电荷不能完全抵 消，剩余电荷形成体极化电荷