一元二次方程2--参数问题
一元二次方程的概念(知识点考点)九年级数学上册知识点考点(解析版)
一元二次方程的概念（知识点考点一站到底）知识点☀笔记1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程概念三要素： (1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
考点☀梳理考点1：一元二次方程的概念必备知识点：只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
解题指导：① 要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
② 将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 题型1 判断一元二次方程例1．（2022·江苏泰州·八年级期末）下列方程中是一元二次方程的是（ ） A ．()2224x x -+= B ．2220x x ++=C ．2130x x+-= D ．21xy +=【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程解决此题．【详解】解：A ．由（x -2）2+4=x 2，得-4x +8=0，那么（x -2）2+4=x 2不是一元二次方程，故不符合题意． B ．根据一元二次方程的定义，x 2+2x +2=0是一元二次方程，故符合题意．C ．根据一元二次方程的定义，x 2+1x-3=0不是一元二次方程，而是分式方程，故不符合题意．D ．根据一元二次方程，xy +2=1不是一元二次方程，故不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键． 练习1．（2022·湖北十堰·八年级期末）下列是一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．x -2=x 2 C ．x 2-2=x （x -2）D ．11x x+=【答案】B【分析】根据一元二次方程的概念，对选项进行判断即可一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A. ax 2+bx+c=0，当a ≠0是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. x -2=x 2是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C. x 2-2=x （x -2）整理得220x -=，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.11x x+=，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．练习2．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++= B ．()222322x x x -=-C ．3270x x -+=D ．()2240x --=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义判断选择即可．【详解】A ．当0a =时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意； B ．原方程整理得：34x -=-，不是一元二次方程，故不符合题意； C ．3270x x -+=是一元三次方程，故不符合题意； D ．符合一元二次方程的定义，故符合题意； 故选D ．【点睛】本题考查判断一元二次方程．掌握一元二次方程的定义是解题关键．练习3．（2022·全国·九年级单元测试）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．20ax bx c ++=B ．210x y --=C ．2210x x += D ．()()121x x -+=【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A 、当a =0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本不选项符合题意； C 、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D 、原方程整理得x 2+x -3=0是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 题型2 利用一元二次方程的概念求参数例1．（2022·江苏·九年级课时练习）当m 为何值时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5． (1)为一元二次方程； (2)为一元一次方程． 【答案】(1)m ＝3 (2)m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案； （2）根据一元一次方程的定义，可得答案．（1）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5一元二次方程，得1210m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得m ＝3．当m ＝3时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元二次方程．（2）由关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程，得m +1＝0或11130m m m ⎧-=⎨++-≠⎩，解得m＝﹣1或m ＝0，m ＝2，当m ＝﹣1或m ＝0，m ＝2时，关于x 的方程（m +1）x |m ﹣1|+（m ﹣3）x ＝5的一元一次方程．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．例2．（2022·全国·九年级专题练习）若方程(2)310m m x mx --=是关于的一元二次方程，求m 的值． 【答案】2m =-．【分析】根据一元二次方程的定义得出m 2=2，20m -≠再求出答案即可．【详解】根据题意得2220m m ⎧=⎪⎨-≠⎪⎩ 解得22m m ⎧=±⎪⎨≠⎪⎩所以当方程2(2)310m m x mx ---=是关于的一元二次方程时，2m =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．m 【答案】4【分析】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可 【详解】解：由题意，得4022m m +≠⎧⎨-=⎩解|m|-2=2得m=±4， 当m=4时，m+4=8≠0，当m=-4时，m+4=0不符合题意的要舍去， ∴m 的值为4．【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 32mx x x mx -=-+程，m 应满足什么条件？ 【答案】1m ≠【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，根据二次项系数不为零可得答案． 【详解】解：2232mx x x mx -=-+，()()21320m x m x ∴-+--=结合题意得：10,m -≠ 1.m ∴≠【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 练习3．（2020·全国·九年级专题练习）当m 取何值时，方程1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程．【答案】m=-1【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程，列出方程求解即可.【详解】解：由题意可得：12m +=且m -1≠0， 解得：m=-1，∴当m=-1时，方程||1(1)320m m x x +-+-=是一元二次方程.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．考点2：一元二次方程的一般式必备知识点：一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
含参数的一元二次不等式的解法高中数学
含参数的一元二次不等式的解法高中数学一元二次不等式是高中数学中重要的内容之一，它与一元二次方程不同，需要通过特定的方法来解决。
当一元二次不等式中出现参数时，解法也会有所不同。
本文将介绍含参数的一元二次不等式的解法。
首先，我们来看一个简单的例子，假设有不等式 f(x) =ax^2+bx+c > 0，其中a、b、c为实数且不为零。
我们的目标是确定x的取值范围使得不等式成立。
步骤一：将不等式化简为标准形式首先，我们需要将不等式化简为标准形式，即形如(ax^2+bx+c)>0的形式。
若不等式已经处于此形式，则可以直接进行下一步。
若不等式不满足此形式，则需要移项合并同类项，将不等式转化为标准形式。
步骤二：确定基本情况下的解法对于标准形式的一元二次不等式，我们可以利用图像法或代数法来解决。
对于a>0和a<0的两种情况，基本的解法如下：1. 当a>0时：- 如果a>0，二次函数的开口朝上，函数图像是一个开口朝上的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线上方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x<x1 或x>x2- 若抛物线与x轴只有一个交点，我们可以求解的结果只有一个交点x0，此时解集为：x<x0 或 x>x0。
2. 当a<0时：- 如果a<0，二次函数的开口朝下，函数图像是一个开口朝下的抛物线。
此时的不等式解集为抛物线下方的实数集。
- 若抛物线与x轴有两个交点，我们可以通过求解对应的一元二次方程，求出两个交点x1和x2。
然后我们可以得到解集: x1<x<x2- 若抛物线与x轴没有交点，则解集为空集：ø步骤三：含参数时的解法当一元二次不等式中存在参数时，解法稍有不同。
我们以一个具体的例子来说明。
例题：对于不等式f(x) = (a+b)x^2+(b+c)x+c>0，其中a，b，c 为实数且不为零。
一元二次方程题型
一元二次方程四种常见题型一元二次方程在初中代数中占有重要的地位，是进一步学好其它知识的基础，也是各类考试中必考内容之一，常见题型有如下四类：一、一元二次方程的有关概念知识要点：1．一元二次方程满足的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）系数不能为0．2．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．典例分析：例1下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．)1(2)1(32+=+x x B ．02112=-+x x C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x 分析：根据一元二次方程需满足的条件可知，Ｂ中的未知数在分母中，是分式方程；Ｃ中二次项系数a 有可能为０；Ｄ整理后最高次项是一次，都不是一元二次方程，故选Ａ．例2关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是为0，则a 的值为（）A ．1B ．–1C ．1或–1D ．21分析：由方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变为关于a 的一元二次方程．解：.把0x =代入原方程中，得012=-a ，∴1a =±，∵10a -≠，即1a ≠，∴1a =-故应选B ．评注：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，有时需要将其化简后再判断，如例1中的D ；（2）在求一元二次方程中的参数时，不要忽视二次项系数不等于0这一内含条件，如例2中10a -≠．二、一元二次方程的解法知识要点：一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，其中公式法是解一元二次方程的“万能”方法．典例分析：例3解方程0999162=--x x ．分析：观察方程的特点：其常数项“–9991”是一个绝对值很大的数，若用公式法求解，其计算量比较大，注意到二次项的系数为1，一次项的系数是偶数，所以用配方法求解则十分简单．解：移项，得999162=-x x ，配方得99991962+=+-x x ，即10000)3(2=-x ，所以1003±=-x ，所以1031=x ，972-=x ．评注：(1)一元二次方程的四种解法各有特点，解方程时应根据方程的特点依次选择：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法；（2）应用求根公式解一元二次方程时应注意要化方程为一元二次方程的一般形式再确定a 、b 、c 的值；（3）解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握．三、列一元二次方程解决实际问题1．列一元二次方程解应用问题的一般步骤可归纳为：审、设、列、解、检验、答．2．常见题型：（1）面积问题；（2）平均增长率问题；（3）销售利润问题；（4）其它问题．例4商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）分析：（1）根据所调查的市场信息分析；（2）利用“每件利润×件数=总利润”相等关系列方程.此题体现了数学与市场的关系.解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出170-130=40元，则每天可销售商品70-40=30件，商场可获日盈利为（170-120）×30=1500（元）．（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出（x-130）元，每件可盈利（x-120）元，每日销售商品为70-（x-130）=200-x（件）.依题意得（200-x）（x-120）=1600,解得x=160．答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元．例5某校办工厂今年元月份生产课桌椅1000套，二月份因春节放假减产10%，三月份、四月份产量逐月上升，四月份产量达到1296套，求三、四月份产量的平均增长率．分析：本题属于增长率问题，只要把二月份的产量表示出来，根据题意很容易列出方程．解：设三、四月份产量的平均增长率为x ，依题意，得1296)1%)(101(10002=+-x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （舍）答：三、四月份产量的平均增长率为20%．评注：解决实际问题的关键是认真审题，分析数量之间的关系，建立适当的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，如增长(降低)率问题中,增长(降低)前的量为a,增长(降低)率为x,增长(降低)后的量为b,则a、x、b 关系为2(1)a x b ±=．还要注意有的问题中需要根据实际情况舍去不合题意的解．四、一元二次方程的综合应用一元二次方程通过与不等式、统计、几何等知识相整合解决实际问题，这样的应用题背景更丰富、更贴近生活实际.例4:下表是我国近几年的进口额与出口额数据（近似值）统计表年份198519901995199820002002出口额（亿美元）2746211500180025003300进口额（亿美元）4235341300140023003000（1）下图是描述这两组数据折线图，请你将进口额折线图补充完整；（2）计算2000年到2002年出口额年平均增长率．15.132.1≈（3）观察折线图，你还能得到什么信息，写出两条。
一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略(学生版)--初中数学
一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略目录【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【考点五直接开平方法解一元二次方程】【考点六配方法解一元二次方程】【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【过关检测】【考点一一元二次方程的识别】【例题１】(2023春·安徽合肥·八年级统考期中)下列方程是一元二次方程的是()A.x2+1x2=1 B.ax2+bx+c=0(a，b，c均为常数)C.x3x+2=5 D.2x+12=4x2-3【变式1-1】(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)下列方程中，一定是一元二次方程的是()A.x2-2x +2=0 B.x2+2x+3=x x+1C.2x+3y=6D.a2+2x2-2x+3=0【变式1-2】(2023春·浙江·八年级专题练习)下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②x2+x-1=0；③x2+1x =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2x+12中，是一元二次方程的个数为()A.1B.2C.3D.4典型例题【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题１】(2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末)已知x m +x=1是关于x的一元二次方程，则m的值是()A.2B.2或-2C.0D.-2【变式2-1】(2023春·湖南株洲·九年级校联考阶段练习)若关于x的方程m-1x m +1-3x+4=0是一元二次方程，则m应满足的条件是()A.m=-1B.m=1C.m=±1D.m=2+7x-1=0是一元二次方程，则【变式2-2】(2023·上海·八年级假期作业)若关于x的方程(a-2)x4-aa的值为．【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【例题１】(2023春·八年级单元测试)方程3x1-x化成一般形式后，二次项系数、一次+10=2x+2项系数、常数项分别为()A.-3x2，1，6B.3x2，1，6C.3，1，6D.3，-1，-6【变式3-1】(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程3x2-x+4=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是()A.3，-x，5B.3，-1，-4C.3，-1，4D.3x2，-1，4【变式3-2】(2023春·安徽滁州·八年级校联考期中)方程2x2=8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是()A.2x2,8x,2B.-2x2,-8x,-2C.2x2,-8x,-2D.2x2,-8x,2【变式3-3】(2023·江苏·九年级假期作业)将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x2=5x-2；(2)a x+1=2-x．x-1【考点四已知一元二次方程的解求参数(式子)的值】【例题１】(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习)关于x的一元二次方程2x2+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为．【变式4-1】(2023·湖南长沙·校考二模)若x=1是一元二次方程2x2-x+m=0的一个根，则m的值是．【变式4-2】(2023·甘肃平凉·统考二模)若m是方程2x2-3x+1=0的一个根，则6m2-9m+2023的值为．【变式4-3】(2023·全国·九年级假期作业)若m是一元二次方程x2-x-3=0的根，则m3+m2-5m的值为【考点五直接开平方法解一元二次方程】【例题１】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：5x2-125=0．【变式5-1】(2023·上海·八年级假期作业)解关于x的方程：9x2-625=0．【变式5-2】(2023·江苏·九年级假期作业)解下列一元二次方程：(2x+1)2+42x+1+4=0；【变式5-3】(2023·上海·八年级假期作业)解下列方程：(1)x+22=3x-12；(2)9(2x+1)2-16(x-2)2=0；(3)4x2-4x+1=0；(4)12x=-x2-36．【考点六配方法解一元二次方程】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)用配方法解关于x的方程：x2+12x+25=0．【变式6-1】(2023秋·广东汕头·九年级统考期末)用配方法解方程：x2+6x-6=0．【变式6-2】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：-2x2-5x+20=0．【变式6-3】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：0.3x2-0.2x+130=0．【变式6-4】(2023·江苏·九年级假期作业)用配方法解方程：y2-43y-2013=0．【变式6-5】(2023春·浙江·八年级专题练习)解下列方程3x2+4x-1=0．(用配方法)【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【例题１】(2023·全国·九年级假期作业)以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2-2x-4=0的过程：解：移项得x2-2x=4配方：x2-2x+1=4x-12=4开平方得：x-1=±2移项：x=±2+1所以：x1=3，x2=3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【变式7-2】(2023秋·河北沧州·九年级统考期末)阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程x2+6x-4=0的过程如下：解：x2+6x-4=0x2+6x=4--------------------------------①x2+6x+9=4-----------------------------②(x+3)2=4-------------------------------③x+3=±2--------------------------------④x+3=2，x+3=-2x1=1，x2=-5．问题：(1)佳佳解方程的方法是；A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法(2)上述解答过程中，从步开始出现了错误(填序号)，发生错误的原因是；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【变式7-3】(2023秋·山西朔州·九年级统考期末)下面是某同学解方程x2+4x-12=0的部分运算过程：解：移项，得x2+4x-12=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一步配方，得x2+4x+4=12+4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二步即x+22=16，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第三步两边开平方，得x+2=4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四步⋯(1)该同学的解答从第步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【变式7-4】(2023春·八年级单元测试)用配方法解一元二次方程：2x 2+3x +1=0．小明同学的解题过程如下：解：x 2+32x +12=0x 2+32x +94-94+12=0x +322=74x +32=±72x 1=-3+72，x 2=-3-72小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【过关检测】一、选择题1.(2023春·浙江·八年级专题练习)方程x +1 2=9的解为()A.x =2，x =-4B.x =-2，x =4C.x =4，x =2D.x =-2，x =-42.(2023·江苏·九年级假期作业)下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为()A.ax 2+bx +c =0B.x 2-2=(x +3)2C.x 2+3x-5=0 D.x 2-1=03.(2023春·四川成都·九年级统考开学考试)把一元二次方程x 2-9=8x 化成一般形式后，一次项系数的一半为()A.8B.4C.-8D.-44.(2023春·四川绵阳·九年级专题练习)关于x的一元二次方程为(m-2)x m -x+3=0，则m的值是()A.2B.-2C.2或-2D.m≠25.(2023·广东佛山·校联考一模)已知a是方程x2-2x+2023=0的根，则代数式2a2-4a+2的值为()A.4044B.-4044C.2024D.-2024二、填空题6.(2023·全国·九年级假期作业)一元二次方程x-1的一般形式是．x+2=2x+27.(2023·全国·九年级专题练习)一元二次方程x2-8x-2=0，配方后可变形为．8.(2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末)一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于．9.(2023春·八年级单元测试)关于x的方程m-1+3x-2=0是一元二次方程，则m的值为x m+1．10.(2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习)已知a是方程x2-4x+2=0的一个实数根，则-2a2+8a+2025的值是．11.(2023·全国·九年级假期作业)判断下列各式哪些是一元二次方程．①x2+x+1；②9x2-6x=0；③12y2=0；④5x2-12x+4=0；⑤x2+xy-3y2=0；⑥3y2=2；⑦(x+1)(x-1)=x2．12.(2023春·浙江·八年级专题练习)填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项2x2-x=42y-4y2=0(2x)2=(x+1)213.(2023春·浙江·八年级专题练习)用直接开平方法解下列方程：(1)49x2-36=0；(2)9x+12=25．14.(2023春·全国·八年级专题练习)解方程：(1)x2-5=0(2)x2+2x-5=015.(2023秋·湖南长沙·九年级校联考期末)解方程．(1)1x2-2=0；2(2)x2+2x-1=0．16.(2023春·全国·八年级专题练习)用适当的方法解下列方程：(1)6x-12=25；(2)x2-2x=2x-1：17.(2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末)解方程：(1)x2+5x+7=11+3x(2)4x2+12x+9=8118.(2023春·浙江·八年级专题练习)在用配方法解一元二次方程4x2-12x-1=0时，李明同学的解题过程如下：解：方程4x2-12x-1=0可化成2x2-6×2x-1=0，移项，得2x2-6×2x=1．配方，得2x2-6×2x+9=1+9，即2x-32=10．由此可得2x-3=±10∴x1=3+102，x2=3-102．晓强同学认为李明同学的解题过程是错误的，因为用配方法解一元二次方程时，首先把二次项系数化为1，然后再配方，你同意晓强同学的想法吗？你从中受到了什么启示？·11·。
2023-2024学年九年级上数学：一元二次方程(精讲学生版)
第1页（共7页）2023-2024学年九年级上数学：第21章一元二次方程
21.1
一元二次方程
1．一元二次方程的定义：
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．
(2)一般形式：200ax bx c a ++=≠（）
，其中ax 2，bx ，c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a ，b ，c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2．一元二次方程的一般形式：
一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠．其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
3．一元二次方程的根：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中验根的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．。
初中数学专题辅导_含参数的一元二次方程的整数根问题
1、已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-3=0(1) 当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2式方程的两根，且(x1+x2)2-(x1+x2)-12=0,求m的值。
2、已知关于x的方程(k-1)x2+(2k-3)x+k+1=0有两个不相等的实根x1、x2，(1)求k的取值、范围。
(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？3、试证：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实根。
4、m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．5、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x＋2a2-13a＋15=0,(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．6、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，求m的值．7、已知方程kx2-(2k-1)x+k-2=0的两根为x1、x2，且x12+x22=3，求k的值。
8、当m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1=0有实根。
9、已知关于x的方程x2+(2m+1)x+m2+2=0有两个相等的实数根，是判断直线y=(2m-3)x-4m+7能否通过A(-2,4)，并说明理由。
10、已知关于x 的方程(m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根.11、已知关于x 的方程x 2+2(a-3)x+a 2-7a-b+12=0有两个相等的实根，且满足2a-b=0.(1)求a 、b 的值；(2)已知k 为一实数，求证：关于x 的方程(-a+b)x 2+bkx+2k-(a+b)=0有两个不等的实根.12、关于x 的方程kx 2+(k+1)x+k/4=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不 存在，说明理由.13、已知：a 、b 、c 是△ABC 的三边，若方程a c b x c b ax 2)(22222=++++有两个等根，试判断△ABC 的形状.14、若方程2312x x +=的两个根是x 1，x 2，求1112x x +。
一元二次方程两根关系问题
一元二次方程两根关系问题一元二次方程二个根的关系：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，两根为x1，x2则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a这个就是韦达定理【扩展知识】一、一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二、一元二次方程一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
三、一元二次方程变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);ax²=0(a是实数，a≠0)。
四、一元二次方程解题方法1、公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式2、十字相乘法x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）五、解法十字相乘法公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)例：1. ab+b²+a-b- 2=ab+a+b²-b-2=a(b+1)+(b-2)(b+1)=(b+1)(a+b-2)公式法：（可解全部一元二次方程）求根公式首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a来求得方程的根配方法：（可解全部一元二次方程）如：解方程：x²+2x－3=0解：把常数项移项得：x²+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4因式分解得：（x+1)²=4解得：x1=-3,x2=1用配方法的小口诀：二次系数化为一分开常数未知数一次系数一半方两边加上最相当开方法：（可解部分一元二次方程）如：x²-24=1解：x²=25x=±5∴x1=5 x2=-5均值代换法：（可解部分一元二次方程）ax²+bx+c=0同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。
一元二次方程的定义
• ※ 例6:(1)如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根1和-1
，那么a+b+c=
, a-b+c=
.
(2)已知关于x的一元二次方程
(m-1)x2+2x+m2-1=0有一个根式0，则
m的值为
.
(3)※ 已知m是方程x2-x-1=0的一个 根，求代数式5m2-5m+245的值？
⑧ a2 1 x2 （2a 1）x 5 a 0 （a为常数）
注：看能否化成一般形式.
• ※ 例2：将下列一元二次方程化成一般
形式，并写出其中的二次项系数、一次 项系数和常数项？
1.2x2 1 6x.
2.3x2x1 x3.
3.x2 x 3 3 2 3x.
二、与一元二次方程定义有关的参 数问题
• 一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)
一、一元二次方程的定义
• ※ 例1：判断下列方程是不是关于x 的一元二次方程？
① ax2 kx 1 0 (k为常数)
②
4 x 3
1③1 x2 0
④ 5x2 0
⑤ x2 y 0 ⑥ x 32 x - 32
⑦ mx2 3x 2 0 （m为常数）
• 例7:设a,b是方程x2+x-2014=0的两 个实数根(a≠b),求a2+2a+b的值？
当m= 时 ,方程为一元一次方程.
(3)※ 若 m 1x2 mx 4
是关于x的一元二次方程，则m的取
值范围是
.
• ※例5已知方程 2xa xb x2 4 0 是关于x的一元二次方程， a≠0,b≠0, 求a,b的值？
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A、14
B、12
C、12或14
D、以上都不对
已知关于x的方程x4-2(k-3)x+k4-4k-1=0.若以方 程x4-2(k-3)x+k4-4k-1=0的两个根为横坐标、纵 坐标的点恰在反比例函数y=m/x的图像上，求 满足条件的m的最小值。
关于x的方程x2+2(k+1)x+k2=0两实根之和为m,且满
x1x2=k-1/k
又根据第二方程知：k≠1
所以：
k=-1
综合所述：k=0或k=-1
(2)①k=0时，方程为：-y2-3y+m=0
∆=9+4m≥0
m≥-9/4
所以： y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=9+2m ②k=-1时，方程为 ：-2y2-3y+m=0
∆=9+8m≥0
m≥-9/8
当m≥-9/8时， y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=9+m 当-2<m <-9/8 时， 方程无解。
(1)当k为整数时，确定k的值；
(2)在（1）的条件下，若m>-2,用关于m的代数 式表示y12+y22.
解:(1)因为∆=(2k-1)2-4k(k-1)≥0
4k2+1-4k-4k2+4≥0
5-4k ≥0
k≤5/4
因为 当K=0时， 第一个方程为：-x-1=0 x=-1(满足条件)
当k≠0时， 因为只有整数根：x1+x2=-(2k-1)/k 所以：1/k为整数，则k=1或K=-1
一元二次方程2
一元二次方程根与系数的关系：
y=ax2+bx+c(a≠0)
根的判别式：∆=b2-4ac
∆>0
方程有两不相等的实数根
∆=0
方程有两相等的根（一个根）
∆<0
方程没有根
韦达定理：设x1、x2是方程的两个根。 x1+x2=-b/a x1x2=c/a
如果关于x的一元二次方程 （1-m）x2-2x-1=0有两个不相等的实数根， 当m在它的取值范围内取最大整数时， 求4m10-1/m的值。
解：由已知得：∆=b2-4ac=0 所以： 代入求值 ab2/[(a-2)2+b2-4] =4a2/a2
=4
b2=4a
已知a,b是方程x2-x-3=0的两个
根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-
b+5的值为
。
综合题 ：
三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x4-
12x+35=0的根，则该三角形的周长（ ）
x1x2=m-2≠0
m≠2
已知函数 y 1 的图像在第一象限的一支曲线上有一
x
点A（a,c）,点B（b,c+1）在该函数图像的另外一支 上，则关于一元二次方程 a2 xbx c0的两根 x1,x2判断正确的是（ C ）
A、x1x21,x1x20
B、 x1x20,x1x20
C、0x 1 x 2 1 ,x 1 x 2 0 D、 x1x2与x1x2的符号都不确定
足m=-2(k+1),关于y的不等式组 y>-4
y<m
有实数解，则k的取值范围是
。
甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分 别表示两人各投掷一次的点数。 （1）求满足关于x的方程x2+px+q=0有实数 解的概率。 （2）求（1）中方程有两个相同实数解的概 率。
已知：如图，直角三角形AOB的两直角
边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的
负半轴上，c为OA上一点且OC=OB,
Y
抛物线y=(x-2)(x-m)-(p-2)(p-m)
(m、p为常数且m+2≥2p>0)经过A、C两点。
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足说明关系时，∆AOB的
面积最大。
CLeabharlann OAXB解：由已知可得： ∆=(-2)2-4(1-m)(-1)>0
=4+4-4m>0
m<2
又1-m≠0
m≠1
所以 m在4m10-1/m中m≠0
即：m在它的取值范围内取得的最大整
数是：-1
4m10-1/m=4(-1)10-1/(-1)=5
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0中只有整数 根，且关于y的一元二次方程（k-1）y2-3y+m=0 有两个实数根y1和y2
x1,x2是关于x的一元二次方程 x2mx m 20 的两个实数根，是否存在实数m使 1 1 0 成立？则正确的结论是（ A ） x1 x2
A、m=0时成立 B、m=2时成立 C、m=0或2时成立 D、不存在
解：1/x1+1/x2=x1+x2/x1x2=0 x1+x2=0 且x1x2≠0 根据韦达定理：x1+x2=m=0 所以：m=0
解：根据y=1/│x│的图像可得：
在第一象为减函数，在第二象限为增函数。
点A在第一象限，点B在第二象限
c+1>c
所以a> │b│
1 >x1+x2=-b/a>0
x1x2=c/a>0
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0) 有两个相等的实数根，求ab2/【(a-2)2+b2-4】 的值。