课时训练2.3二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版)

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式(精练)-【题型·技巧培优系列】2022年新高一数学暑假预习精讲

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题型解读】【题型一不含参一元二次不等式的解法】1. （2022·浙江高一月考）不等式2230x x -->的解为（） A ．312x -<或1x <- C ．312x -<< D ．1x >或32x <-【答案】B【解析】223(23)(1)0x x x x --=-+>，解得32x >或1x <-故选：B 2. （2022·山东·济南一中期中）不等式22150x x -++≤的解集为（）A ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C ．532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B【解析】依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．3．（2022•海南高一期末）“3x ≤”是“27120x x -+≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】记“27120x x -+≥”的解集为集合B ，则{|3B x x =≤或4}x ≥所以“3x ≤”能推出“27120x x -+≥”“27120x x -+≥”不能推出“3x ≤” 所以“3x ≤”是“27120x x -+≥”的的充分不必要条件.故选：A. 4. （2022·河北·高一期末）下面四个不等式中解集为空集的是（） A ．237100x x --≤ B ．2690x x -+-≤ C ．223x x -+<- D ．2470x x -+≤【答案】D【解析】对于A 选项，解不等式237100x x --≤得1013x -≤≤，A 不满足条件；对于B 选项，由2690x x -+-≤得()226930x x x -+=-≥，该不等式的解集为R ，B 不满足条件；对于C 选项，由223x x -+<-可得2230x x -->，解得1x <-或32x >，C 不满足条件；对于D 选项，因为()2247230x x x -+=-+>，故不等式2470x x -+≤的解集为空集，D 满足条件. 故选：D.5. （2022·福建·厦门一中高一期中）求下列不等式的解集：（1）22730x x ++>；（2）2830x x -+->；（3）2450x x --≤；（4）28141804x x -+-≥．【答案】（1）()1,3(,2-∞-⋃-+∞）；（2）{}413413x x <<+；（3）{}15x x -≤≤；（4）94x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭．【解析】（1）令22730x x ++=，解得：112x =-，23x =-，又二次函数2273y x x =++的图象开口方向向上，22730x x ∴++>的解集为()1,3(,2-∞-⋃-+∞）. （2）令2830x x -+-=，解得：1413x =2413x = 又二次函数283y x x =-+-的图象开口方向向下，2830x x ∴-+->的解集为{}413413x x <<.（3）令2450x x --=，解得：11x =-，25x =，又二次函数245y x x =--的图象开口方向向上，2450x x ∴--≤的解集为{}15x x -≤≤.（4）令28141804x x -+-=，解得：94x =，又二次函数2814184y x x =-+-的图象开口方向向下，28141804x x ∴-+-≥的解集为94x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 【题型二含参一元二次不等式的解法】1.（2022·山东济宁·高一期中）解关于x 的不等式：2212()x ax a a R ->∈. 【答案】答案见解析.【解析】因为2212x ax a ->，所以22120x ax a -->，即()()430x a x a +->. 令()()430x a x a +-=，解得12,43a a x x =-=. ①当0a >时，43a a-<，解集为4a x x ⎧<-⎨⎩或3a x ⎫>⎬⎭；②当0a =时，20x >，解集为{x x R ∈，且0}x ≠； ③当0a <时，43a a->，解集为3a x x ⎧<⎨⎩，或4a x ⎫>-⎬⎭.综上所述：当0a >时，不等式的解集为4ax x ⎧<-⎨⎩，或3a x ⎫>⎬⎭；当0a =时，不等式的解集为{x x R ∈，且0}x ≠；当0a <时，不等式的解集为3ax x ⎧<⎨⎩，或4a x ⎫>-⎬⎭.2.（2022·河北·高一期末）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R )．【答案】答案见解析【解析】若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1．若a <0，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或x >1．若a >0，原不等式等价于()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭． ①当a ＝1时，11a =，()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭无解；②当a >1时，11a <，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<；③当0<a <1时，11a >，解()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，得11x a <<；综上所述，当a <0时，解集为1|x x a⎧<⎨⎩或}1x >；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a ＝1时，解集为∈；当a >1时，解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 3．（多选题）（2022·江西上饶·高一期末）下列关于不等式()210x a x a -++>的解集讨论正确的是（）A ．当1a =时，()210x a x a -++>的解集为∅B ．当1a >时，()210x a x a -++>的解集为(),a ∞+ C ．当1a <时，()210x a x a -++>的解集为{}1x x a x <>或 D ．无论a 取何值时，()210x a x a -++>的解集均不为空集【答案】CD【解析】解：对于A ，当1a =时，原不等式为()222+11>0x x x -=-，解得1x ≠，故A 不正确；对于B ，当>1a 时，原不等式为()()()2+1+1>0x a x a x x a -=--，解得1x <或>x a ，故B 不正确；对于C ，当1a <时，原不等式为()()()2+1+1>0x a x a x x a -=--，解得>1x 或x a <，故C 正确；对于D ，由二次函数()()2+1+a f x x x a -=，开口向上，所以无论a 取何值时，不等式均有解，故D 正确；故选：CD.4.（2022·河北石家庄期中）已知2a >，关于x 的不等式2(2)20ax a x -++>的解集为（） A ．2x x a ⎧<⎨⎩或}1x > B ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{1x x <或2x a ⎫>⎬⎭ D ．2|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】不等式2(2)20ax a x -++>化为()()210ax x -->，2a >，21a ∴<，故不等式的解集为2x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.故选：A.5. （2022·河南·南阳中学高一阶段练习）解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++<.【答案】答案见解析【解析】解：()2230x a a x a -++<即()()20x a x a --<，则对应方程的根为212,==x a x a ，①当0a <或1a >时，原不等式的解集为{}2x a x a <<，②当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅，③当01a <<时，原不等式的解集为{}2x a x a <<.6. （2022·安徽省临泉第一中学期中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>. 【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x -->（1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，（5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭； 14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭; 【题型三三个“二次”关系的应用】1. （2022·浙江高一期末）已知不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为（）A ．1{|1}?2x x -<} C ．{}|21x x -<< D ．{|2x x <-或}1x > 【答案】A 【解析】不等式220ax bx ++>的解集为{|12}x x -<<，220ax bx ∴++=的两根为1-，2，且0a <，即12b a-+=-，()212a -⨯=，解得1a =-，1b =，则不等式可化为2210x x +-<，解得112x -<<，则不等式220x bx a ++<的解集为1{|1}2x x -<<．故选：A2.（2022·江苏高一月考）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（）A ．()1,2?B ．()1,2-C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】20ax bx c ++<的解集是()3,1-，03131a b a c a ⎧⎪>⎪⎪∴-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩，得2,3b a c a ==-，则不等式220230bx ax c ax ax a ++<⇔+-<，即2230x x +-<，解得：312x -<<，所以不等式的解集是3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D3．（2022·北京大兴·高一期末）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，则下列说法正确的是（） A ．0a 的解集为{}6x x >C ．8430a b c ++<D ．20cx bx a ++<的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】AD【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{2x x ≤-或}3x ≥，所以0a <且方程20ax bx c ++=的两个根为2-，3，即3(2)6,3(2)16,c bc a b a a a⨯-==-+-=-=⇒=-=-. 因此选项A 正确；因为6c a =-，0a <，所以由0606ax c ax a x +>⇒->⇒<，因此选项B 不正确；由6,c a b a =-=-可知：8438418140a b c a a a a ++=--=->，因此选项C 不正确；因为6,c a b a =-=-，所以由222060610cx bx a ax ax a x x ++<⇒--+<⇒+-<，解得：1123x -<<，因此选项D 正确，故选：AD4. （2022·河南开封·高一期末）（多选）若不等式20ax bx c -+>的解集是(1,2)-，则下列选项正确的是（） A ．0b <且0c > B ．0a b c -+>C ．0a b c ++>D ．不等式20ax bx c ++>的解集是{|21}x x -<<【答案】ABD【解析】因为20ax bx c -+>的解集为()1,2-，解集属于两根之内的情况，所以0a <，又因为0420a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，所以2b a c a =⎧⎨=-⎩；A ．0,20b a c a =<=->，故正确；B ．因为()11,2∈-，所以0a b c -+>，故正确；C ．因为解集为()1,2-，所以0a b c ++=，故错误；D ．因为20ax bx c ++>即为2220ax ax a +->，即220x x +-<，解得()2,1x ∈-，故正确；故选：ABD.5. （2022·福建·厦门一中高一期中）已知不等式250ax x b -+>的解集为{32}xx -<<∣，则不等式250bx x a -+<的解集是（）A ．1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣B ．1123xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．13xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭D ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或13x ⎫>⎬⎭【答案】A 【解析】250ax x b -+>的解集为{}|32x x -<<,则0a <250ax x b ∴-+=的根为3,2-，即532a -+=，32ba-⨯=，解得5,30a b =-=，则不等式250bx x a -+<可化为230550x x --<，即为2610x x --<，解得{11|}32x x -<<或，故选：A.【题型四解简单的分式不等式】1.（2022·河南·夏邑第一高级中学高一期末）不等式101xx ->+的解集是（）A ．(1,)+∞B ．(1,1)-C ．(,1)-∞-D ．(,1)-∞-(1,)+∞【答案】B【解析】分式不等式101xx ->+等价于()()110x x -+>，即()()110x x -+< 解一元二次不等式得：11x -<<故不等式101xx ->+的解集是(1,1)-故选：B. 2.（2022·安徽·南陵中学高一月考）不等式2812x x -<-+的解集为（） A ．()3,2-- B ．()3,2-C ．()3,4-D ．()2,4-【答案】B 【解析】由2812x x -<-+可得260x x +-<，解得32x -<<，所以不等式的解集为(3,2)-. 故选：B3．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）不等式2112x x +≥+的解集为__________．【答案】{x |x ≥1或x ＜﹣2} 【解析】由2112x x +≥+得21102x x +-≥+，即102x x -≥+，解得：x ≥1或x ＜﹣2，所以原不等式的解集为{x |x ≥1或x ＜﹣2}．故答案为：{x |x ≥1或x ＜﹣2}．4. （2022·全国高一课时练习）已知a ∈R ，求不等式21ax x ax >-的解集．【答案】答案见解析.【解析】因为21ax x ax >-，所以201ax x ax ->-，所以2201ax ax x ax -+>-，所以01xax >-，所以(1)0x ax ->，当0a =时，解集为(,0)-∞；当0a >时，解集为1(,0),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，解集为(1a ,0)．【题型五一元二次不等式恒成立问题】1.（2022·浙江高一期末）关于x 的不等式21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(),0-∞ B ．(],0-∞C ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．(]4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0m =时，则01<成立，故符合题意，②0m ≠时，因为21mx mx m ++<对任意x ∈R 恒成立，所以0m <，不等式变为：210mx mx m ++-<，()2410m m m ∆=--<，所以：0m <，综上：0m ≤.故选：B.2.（2022·江西·宁冈中学高一月考）不等式()()229310a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的范围为【答案】935a -<<【解析】令290a -=，解得3a =±；当3a =时，不等式化为610x -，解得16x，不合题意，舍去；当3a =-时，不等式化为10-，无解，符合题意；当290a -≠，即3a ≠±时，因为22(9)(3)10a x a x -++-的解集是空集，所以22(9)(3)10a x a x -++-<恒成立，所以()()22233909334905a a a a a -<<⎧⎧-<⎪⎪⇒⎨⎨-<<∆=++-<⎪⎪⎩⎩，解得935a -<<， 3．（2022·河北廊坊·高一期末）若对于任意的[]0,2x ∈，不等式220x x a -+>恒成立，则a 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．[)1,+∞【答案】B 【解析】不等式220x x a -+>，转化为22a x x >-+，设2()2f x x x =-+，[0x ∈，2]，则2()(1)1f x x =--+，当1x =时，()f x 取得最大值为()()11max f x f ==，所以实数a 的取值范围是(1,)+∞．故选：B ．4. （2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,2)-∞ D ．(2,)+∞ 【答案】A【解析】2(]0,x ∈时，不等式可化为22244x a x x x<=++；令2()4f x x x =+，则max 1()224a f x <==，当且仅当2x =时，等号成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．故选：A ．【题型六一元二次不等式的实际应用】1.（2022·浙江高一期中）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.【答案】1040V ≤≤【解析】第一次操作后，利下的纯药液为10V -，第二次操作后，利下的纯药液为10108V V V---⨯，由题意可知： 21010860%452000540V V V V V V V---⨯≤⋅⇒-+≤⇒≤≤，因为10V ≥，所以1040V ≤≤，故答案为：1040V ≤≤2．（2022·云南·玉溪市江川区第二中学高一期中）如图所示，某学校要在长为8米，宽为6米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为x 米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则x 的取值范围为________.【答案】01x <<【解析】设花卉带宽度为x 米()03x <<，则中间草坪的长为82x -米，宽为62x -米，根据题意可得()()18262862x x -⋅->⨯⨯，整理得：2760x x -+>，即()()610x x -->，解得01x <<或6x >， 6x >不合题意，舍去，故所求花卉带宽度的范围为01x <<，故答案为：01x <<.3. （2022·吉林长春市·长春十一高高一期中）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 分别有如下关系式：210.10.01s v v =+，220.050.005s v v =+．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.【解析】【分析】根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.【详解】因为甲种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：210.10.01s v v =+，所以由题意可得：2210.10.0112101200030s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或40v <-舍去，即30v >，当40v =时，10.1400.0116002012s =⨯+⨯=>，显然甲种车型没有超速现象；因为乙种车型的刹车距离()m s 与车速()km/h x 的关系式：220.050.005s v v =+，所以由题意可得：2220.050.005102000040s v v v v v =+>⇒+->⇒>，或50v <-舍去，即40v >，因此乙种车型有超速现象.4. （2022·湖北高一期中）某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到x 元.公司计划投入213x 万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量t 至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？【答案】（1）90元；（2）20万，30元.【解析】（1）设每件零售价为x 元，由题意可得()180.2151518x x --≥⨯⎡⎤⎣⎦即210515900x x -+⨯≤，()()15900x x --≤，∴1590x ≤≤.故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.（2）当15x >时，211518303tx x ≥⨯++有解，当15x >时，3003x t x ≥+有解， ∵3002100203x x +≥=，当且仅当3003x x =，即30x =时等号成立， ∴20t ≥，因此，该削笔器的年销售量t 至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(原卷版附答案).docx

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅【例1】解下列不等式：（1）6x2＋5x＋1>0；（2）2x2＋7x＋3>0；（3）－2x2＋3x－2<0. （4）(x＋1)(x－7)≤2.【方法技巧】1. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．2. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．3. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正．（2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式．（3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．（4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．（5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】解不等式：（1）x 2－4x －5≤0；（2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．【针对训练】2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2},{x|x1<x<x2}(x1<x2),则x1＋x2,x1x2为何值？【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循：（1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；（3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】解下列不等式：（1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.考点5：一元二次不等式的应用【例5】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？【例3】已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围．【方法技巧】1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c >0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时,b ＝0,c <0；当a ≠0时,⎩⎪⎨⎪⎧a<0Δ<0.3．f (x )≤a 恒成立⇔a ≥[f (x )]max ,f (x )≥a 恒成立⇔a ≤[f (x )]min .考点过关一、选择题A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠31x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3131x x C ．∅D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=31x x 2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0},B ＝{x |x ∈N *,x ≤5},则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}3．不等式1＋x1－x ≥0的解集为( )A ．{x |－1<x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x |－1<x <1} 4．不等式（x －2）2（x －3）x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <2}5．若0<t <1,则不等式(x －t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-t x 1<0的解集为( ) A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x t x 1 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>t x t x x 或1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x t x x 或1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<t x x 1t 6．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3,a <0,那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}7．不等式组⎩⎨⎧x －1>a2x －4<2a有解,则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞,－1)∪(3,＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞,－3)∪(1,＋∞)8．二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A ．⎩⎨⎧a>0Δ>0B ．⎩⎨⎧a>0Δ<0C ．⎩⎨⎧a<0Δ>0D ．⎩⎨⎧a<0Δ<09．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <2 C ．－12<a <32D ．－32<a <12A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞,－2)∪(1,＋∞)D ．(－1,2)二、填空题11．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．12．当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立,则m 的取值范围是________．13．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0},B ＝{x |x －a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________．14．某地每年销售木材约20万m 3,每m 3价格为2 400元．为了减少木材消耗,决定按销售收入的t %征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t 的取值范围是________．15．不等式2x 2－x ＜4的解集为______．三、解答题16．求下列不等式的解集：（1）x 2－5x ＋6>0；（2）－12x 2＋3x －5>0.17．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.18．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．（1）解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；（2）b 为何值时,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?19．某地区上年度电价为0.8元/kw ·h ,年用电量为a kw ·h .本年度计划将电价降低到0.55元/kw ·h 至0.75元/kw ·h 之间,而用户期望电价为0.4元/kw ·h .经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.（1）写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；20．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集,且M中的一个元素是0,求实数a的取值范围,并用a表示出该不等式的解集．2.3 二次函数与一元二次方程、不等式考点讲解考点1：一元二次不等式的解法1．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式常用方法（1）因式分解法解一元二次不等式一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是x1<x<x2；不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是x>x1或x<x2．（2）配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式,然后根据k的正负等知识,就可以得到原不等式的解集．3．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0),方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1,x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图不等式的集解得f(x) ＞0 {x|x＜x1或x＞x2}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠abxx2R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅（1）6x 2＋5x ＋1>0；（2）2x 2＋7x ＋3>0；（3）－2x 2＋3x －2<0. （4）(x ＋1)(x －7)≤2.[解] (1)由6x 2＋5x ＋1>0,得(2x ＋1)(3x ＋1)>0, ∴x >－13或x <－12,∴不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3121, (2)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0,所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3,x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<->321x x x 或(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0,所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R. (4)由(x ＋1)(x －7)≤2,得x 2－6x －9≤0. 又x 2－6x －9＝(x －3)2－18, ∴原不等式化为(x －3)2－18≤0, ∴(x －3)2≤18, 即－32≤x －3≤32, 解得3－32≤x ≤3＋32,∴不等式的解集为[3－32,3＋32]．【方法技巧】4. 利用因式分解法求解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)的解集时,其关键是利用“十字相乘法”分解因式,同时要注意a 的符号．5. 用配方法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集时,首先将x 2的系数转化为正值,然后配方成a (x －h )2>k 或a (x －h )2<k 的形式解决．6. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准．通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正．（2）判别式．对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式．（3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．（4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．（5）写解集．根据图象写出不等式的解集．【针对训练】解不等式：（1）x 2－4x －5≤0；（2）－4x 2＋18x －814≥0；（3）－x 2＋6x －10>0.[解]：(1)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(2)原不等式可化为2292⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≤0,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=49x x (3)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,因为Δ＝(－6)2－40＝－4<0,所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图像开口向上,所以原不等式的解集为∅.考点2：含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.思路探究：①对于二次项的系数a 是否分a ＝0,a <0,a >0三类进行讨论？②当a ≠0时,是否还要比较两根的大小？ [解] 当a ＝0时,原不等式可化为x >1. 当a ≠0时,原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0.当a <0时,不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)>0, ∵1a <1,∴x <1a或x >1. 当a >0时,原不等式可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x －1)<0. 若1a <1,即a >1,则1a <x <1；若1a ＝1,即a ＝1,则x ∈∅；若1a >1,即0<a <1,则1<x <1a. 综上所述,当a <0时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或；当a ＝0时,原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11；当a ＝1时,原不等式的解集为∅；当a >1时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x .【方法技巧】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并．【针对训练】2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0, 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0.∵a <0,∴(x ＋1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2≤0. 当－2<a <0时,2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时,x ＝－1；当a <－2时,－1≤x ≤2a .综上所述,当－2<a <0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤12x a x ；当a ＝－2时,解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤a x x 21-.考点3：一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？ [提示] y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合,亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理,满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3},满足y ＝0时x 的取值集合,亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况,它们之间是一种包含关系,也就是当y ＝0时,函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程,当y >0或y <0时,就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？ [提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3},观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则x 1＋x 2,x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2},{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2),则⎩⎪⎨⎪⎧x1＋x2＝－ba x1x2＝ca即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3},求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．思路探究：由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于abc 的方程组→错误!→错误!→错误![解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,由根与系数的关系可知b a ＝－5,c a ＝6.由a <0知c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即x 2＋b cx ＋a c>0,即x 2－56x ＋16>0,解得x <13或x >12,所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131,. 法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知,a <0,且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根,所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ,c ＝6a ,故不等式cx 2＋bx ＋a <0,即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131x x <0,故原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2131, 【变式分析】1．(变结论)本例中的条件不变,求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知b a ＝－5,ca ＝6且a <0.∴c <0,b c ＝－56,故不等式cx 2－bx ＋a >0,即x 2－b c x ＋a c <0,即x 2＋56x ＋16<0.解之得.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 2．(变条件)若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x .求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[解] 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231x x 知a ＜0.又31-×2＝c a＜0,则c ＞0. 又－13,2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,∴－b a ＝53,∴b a ＝－53.又c a ＝－23,∴b ＝－53a ,c ＝－23a , ∴不等式变为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 32x 2＋⎪⎭⎫⎝⎛-a 35x ＋a ＜0, 即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0,∴2x 2＋5x －3＜0,所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x 法二：由已知得a ＜0 且⎪⎭⎫ ⎝⎛-31＋2＝－b a,⎪⎭⎫ ⎝⎛-31×2＝ca知c ＞0,设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1,x 2, 则x 1＋x 2＝－b c ,x 1·x 2＝a c ,其中a c ＝1⎝⎛⎭⎫－13×2＝－32,－b c ＝－b a c a ＝⎝⎛⎭⎫－13＋2⎝⎛⎭⎫－13×2＝1⎝⎛⎭⎫－13＋12＝－52,∴x 1＝1⎝⎛⎭⎫－13＝－3,x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-231x x . 【方法技巧】已知以a ,b ,c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循：（1）根据解集来判断二次项系数的符号；（2）根据根与系数的关系把b ,c 用a 表示出来并代入所要解的不等式；（3）约去 a , 将不等式化为具体的一元二次不等式求解．考点4：分式不等式的解法（化分式不等式为整式不等式）类型同解不等式f （x ）g （x ）>0(<0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）>0（<0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）<0（>0）g （x ）<0法二：f (x )·g (x )>0(<0) f （x ）g （x ）≥0(≤0) 法一：⎩⎨⎧f （x ）≥0（≤0）g （x ）>0或⎩⎨⎧f （x ）≤0（≥0）g （x ）<0法二：⎩⎨⎧f （x ）·g （x ）≥0（≤0）g （x ）≠0f （x ）g （x ）>a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫<a ≥a ≤a 先移项转化为上述两种形式【例4】解下列不等式：（1）x －3x ＋2<0；（2）x ＋12x －3≤1.[解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3,∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1, ∴x ＋12x －3－1≤0, ∴－x ＋42x －3≤0, 即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-23x ≥0且x －32≠0,解得x <32或x ≥4,∴原不等式的解集为.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥<423x x x 或【方法技巧】1．对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解．【针对训练】4．解下列不等式：（1）x ＋1x －3≥0；（2）5x ＋1x ＋1<3.[解] (1)根据商的符号法则,不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎨⎧（x ＋1）（x －3）≥0x≠3.解这个不等式组,可得x ≤－1或x >3. 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0,即2（x －1）x ＋1<0.可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0, 解得－1<x <1.所以,原不等式的解集为{x |－1<x <1}．考点5：一元二次不等式的应用【例5】国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定,农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点,即8%)．为了减轻农民负担,制定积极的收购政策．根据市场规律,税率降低x 个百分点,收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.思路探究：将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点”即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点”,此时总收购量为m (1＋2x %)吨,“原计划的78%”即为2 400m ×8%×78%.[解] 设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )% ＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．依题意,得y ≥2 400m ×8%×78%,即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%,整理,得x 2＋42x －88≤0,解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义,知0<x ≤8,所以x 的范围为(0,2]．【针对训练】5．某校园内有一块长为800 m,宽为600 m 的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600),则中间草坪的长为(800－2x )m ,宽为(600－2x )m .根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600,整理得x 2－700x ＋600×100≥0,即(x －600)(x －100)≥0,所以0<x ≤100或x ≥600,x ≥600不符合题意,舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.考点6：不等式恒成立问题1．（1）不等式的解集为R (或恒成立)的条件不等式 ax 2＋bx ＋c >0 ax 2＋bx ＋c <0 a ＝0 b ＝0,c >0b ＝0,c <0a ≠0⎩⎨⎧a>0Δ<0⎩⎨⎧a<0Δ<0（2）有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法f (x )≤a 恒成立⇔f (x )max ≤a f (x )≥a 恒成立⇔f (x )min ≥a[探究问题]1．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R,f (x )>0恒成立,如何求实数a 的取值范围？[提示] 若a ＝0,显然f (x )>0不能对一切x ∈R 都成立．所以a ≠0,此时只有二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时,才满足题意,则⎩⎨⎧a ＞0Δ＝4－8a<0解得a >12.2．若函数f (x )＝x 2－ax －3对x ∈[－3,－1]上恒有f (x )<0成立,如何求a 的范围？[提示] 要使f (x )<0在[－3,－1]上恒成立,则必使函数f (x )＝x 2－ax －3在[－3,－1]上的图象在x 轴的下方,由f (x )的图象可知,此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－3）<0f （－1）<0即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0a －2<0 解得a <－2.故当a ∈(－∞,－2)时,有f (x )<0在x ∈[－3,－1]时恒成立．3．若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时,y <0恒成立,如何求x 的取值范围？[提示] 由于本题中已知a 的取值范围求x ,所以我们可以把函数f (x )转化为关于自变量是a 的函数,求参数x 的取值问题,则令g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4.要使对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立,只需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0g （－3）<0即⎩⎨⎧x2－2x ＋4<0x2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集,所以不存在实数x ,使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1],y <0恒成立．【例3】已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,若x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立,求a 的取值范围．思路探究：对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解． [解] 设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2,2]时的最小值为g (a ),则(1)当对称轴x ＝－a 2<－2,即a >4时,g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0,解得a ≤73,与a >4矛盾,不符合题意．(2)当－a 2∈[－2,2],即－4≤a ≤4时,g (a )＝3－a －a24≥0,解得－6≤a ≤2,此时－4≤a ≤2.(3)当－a2>2,即a <－4时,g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0,解得a ≥－7,此时－7≤a <－4.综上,a 的取值范围为－7≤a ≤2. 【变式分析】1．(变结论)本例条件不变,若f (x )≥2恒成立,求a 的取值范围．[解] 若x ∈[－2,2],f (x )≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2,2]时,f (x )min ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2f （x ）min ＝f （－2）＝7－3a≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥2或⎩⎨⎧－a2>2f （x ）min ＝f （2）＝7＋a≥2 解得a 的取值范围为[－5,－2＋22]．2．(变条件)将例题中的条件“f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ,x ∈[－2,2],f (x )≥0恒成立”变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R”求a 的取值范围．知识改变命运。

课时训练2.3二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
【解析】（1）动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则，解得 .
【解析】 , ，则恒成立，
，即．
整理得: ．
该式对一切实数x均成立，，即 ,
解得： .
4、解关于的2）若，解上述关于的不等式．
【解析】（1）把代入，得，化简得，
该不等式的解为：或
（2）把化简得，，
①当时，不等式的解为
② ，即，得，此时，不等式的解为或
A． B．
C． D．
【解析】① 时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；
② 时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．
综上①②可知：实数取值的集合是．故选：C．
7、不等式的解集为，则a，c的值为（）
A．， B．，
C．， D．，
【解析】不等式的解集为，
故不等式对应方程的系数满足：，解得， .
A．2，12B．2，-2
C．2，-12D．-2，-12
解析：由题意知是关于的方程的两个根,∴ ，
∴ ，故选D.
10、若二次函数的图象与轴的两个交点分别为，，且都大于1.
（1）求实数的取值范围;
（2）若，求的值.
解析：（1）由题意可知是关于x的方程的两个实数根,
∴ ，
又
∴

高中必修第一册数学《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》课时练习

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（用时45分钟）基础巩固1．不等式21x >的解集是（）A ．{}1x xB ．{}|1x x >±C ．{}|11x x -<<D ．{1x x 或}1x <- 2．不等式()()120x x -->的解集为（）A ．{}12x x x <>或B ．{}|12x x <<C ．{}21x x x <->-或D ．{}|21x x -<<-3．若关于x 的不等式20mx ->的解集是{|2}x x >，则实数m 等于（）A ．－1B ．－2C ．1D ．24．已知集合2}{0|A x x x =-<（），{|11}B x x =-<<，则A B ⋂=（） A ．{|12}x x -<}C ．{|01}x x <<D ．{|0x x <或}5．若对任意(1,)x ∈+∞，不等式(1)(1)0x ax -+≤恒成立，则a 的取值范围为（）A ．11a -≤≤B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．1a ≤-6．已知关于x 的不等式20ax x c -+<的解集为{}|12x x -<<，则a c +等于________7．若关于x 的不等式23x ax a --≤-有解，则实数a 的取值范围为________.8．已知关于x 的不等式()(2)0x a x a -->的解集为M .（1）当1a =时，求M ；（2）当a R ∈时，求M .能力提升9．若关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论中错误的是A ．当0m =时，122,3x x ==B ．14m >- C ．当0m >时，1223x x <<<D ．二次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）10．若0,0x y >>，且211x y +=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)- 11．已知函数2()(2)2()f x x a x a a R =-++∈.（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若当x ∈R 时，()4f x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.12．某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得的利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？素养达成13．某小型机械厂有工人共100名，工人年薪4万元/人，据悉该厂每年生产x 台机器，除工人工资外，还需投入成本为()C x (万元)，()2110,070310000511450,70150x x x C x x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩且每台机器售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的机器能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x 的函数解析式；（2）问：年产量为多少台时，该厂所获利润最大？。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)-2024-2025学年高一数学同步“导思议展评测”

{|1 < < 2 }

{| ≠ − }
2

∅
∅
复习回顾
问题2 如何求一元二次不等式？
变形
通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数
为正且不等式的右边为0)
求根
求出相应的一元二次方程的根，有三种情况： ∆= 0 (两根相同，
1 = 2 )，∆> 0(两根不同，1 ，2 )，∆< 0(无实数根).
约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数 = 2 − 110 + 3000的图象，结合图象得
不等式 2 − 110 + 3000 < 0的解集为{|50 < < 60}，
从而不等式的解集为{|50 < < 60}.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在
51~59辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益.
1
2
原不等式的解集为{| − 2 ≤ < −1或 ≤ < 3}.
方法小结
分式不等式等价于乘法不等式
同样经历：求根、图像、下结论的步骤
注意：分母不为零
高阶：奇穿偶返
课堂练习
例7 x是何值时， + − 有意义？
解： + − ≥
所以−3 ≤ ≤ 4
根号下大于等于0
(1)
+
>
++
；(2)
− +−
≥ .
分式不等式等价于乘法不等式
同样经历：
2−
2−
−2−1
解：(1)∵
> 1，∴
− 1 > 0，即

2.3(2) 二次函数与一元二次方程、不等式一轮复习

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(2)
[训练1]（1）关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解
集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx-3
A．(－3,1) C. 1 ,2
2
B. , 1 2,
2
D．(－1,2)
[训练1]（2）已知不等式ax2-bx-1>0的解集为 x
(－∞，2)∪(4，＋∞)
给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，
谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
微专题系列 [思想方法]转化与化归思想在不等式中的应用
课堂小结
角度1 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)的不等式确定参数的范围角度2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围角度3 形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定变量范围
作业课时作业2.3（2）
例已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为 (m，m＋6)，则实数c的值为________．
微专题系列 [思想方法]转化与化归思想在不等式中的应用
例已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为 (m，m＋6)，则实数c的值为____9____．
1 2
x
1 3
，则不等式ax2+bx+1<0的解集为__________.
a 6,b 5
x
x

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(原卷版附答案).pdf

（3） 2x2 x 1 0 .
【参考答案】（1）
x
x
2
或
x
3 ；（2）
x
x
1
5
x ；（3）
x
1 2
或
x
1 .
【解析】（1）不等式 x2 x 6 0 即为 x 2 x 3 0 ,解得 x 2 或 x 3 ,
因此,不等式 x2 x 6 0 的解集为
x x 2 x 3
R 5x 1 x2(0„ x„ 5)
元）的函数为
2
,其中 x 是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润表示为年产量的函数．
（2）年产量为多少时,企业所得利润最大？
10
（3）年产量为多少时,企业才不亏本（不赔钱）？
【一隅三反】
1．（2020·全国高一专题练习）国家原计划以 2400 元/t 的价格收购某种农产品 mt 按规定,农户向国家纳税
1（2020·全国高一课时练习）解下列一元二次不等式：
(1) x2 7x 6 ；
42x2 2x 1 x 4 x．
(2)
【参考答案】(1){x
|1
x
6}
{x
；(2)
|
x
2 }
3.
【解析】(1)不等式 x2 7x 6 ,即 x2 7x 6 0 x 6 x 1 0 ,对应抛物线开口向下,不等式
当 a 0 时,则 2x 0 ,所以 x 0 ,不等式的解集为 x x 0
当0 a
2
时,由
(ax
2)( x
a)
0
{x
,不等式的解集
|
x
2 a
或
x
a}
当a

2.3二次函数与一元二次方程不等式(第2课时)(导学案)(原卷版)

2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）导学案一、学习目标1.熟练掌握分式不等式的解法；2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系；3.构建一元二次函数模型，解决实际问题．二、重点难点重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集;难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用．三、导入新知同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！四、应用新知利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子．例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：2202200y x x =-+．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x ＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km/h ）之间有如下关系：21120180s v v =+．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h ）？距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋118x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？五、能力提升题型一：简单方式不等式的解法【练习1】解下列不等式：(1)x＋1x－3≥0；(2)5x＋1x＋1<3.【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．题型三：一元二次不等式的实际应用【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．题型四：一元二次不等式恒成立问题【练习4】(1). 如果方程20ax bx c ++=的两根为2-和3且0a <，那么不等式20ax bx c ++>的解集为____________．(2).已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >跟踪练习：已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（） A ．01k ≤≤B ．01k <≤C ．k 0<或1k >D ．0k ≤或1k >六、课堂总结1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法．(2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用．(3)一元二次不等式的实际应用．2．方法归纳：转化法、恒等变形法．3．常见误区：(1)解分式不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．七、作业设计(1)整理本节课的题型；(2)课本P54的练习1~3题；(3)课本P55的习题2.3的5~6题.附教材P54练习练习（第54页）1．x 是什么实数时，212x x +-有意义？2．如图，在长为8 m ，宽为6 m 的矩形底面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一般，那么花卉带的宽应为多少米？3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？习题2.3复习巩固6. 求下列不等式的解集：（1）21340x ->；（2）()()370x x --<；（3）23100x x -->；（4）23540x x -+->.7. x 是什么实数时，下列各式有意义？（1 （2.综合运用8. 已知{}244150M x x x =-->，{}2560B x x x =-->，求M N ⋂，M N ⋃.9. 一名同学以初速度012m/s v =竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m 以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s ）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h 与时间t 满足关系满足关系2012h v t gt =-，其中210m/s g ≈．10. 已知集合2160A x x =-<，2430B x x x =-+>，求A B .拓广探索11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450km 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h ）？。

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第二章一元二次函数、方程和不等式
【2.3 二次函数与一元二次方程、不等式】
基础闯关务实基础达标检测
题型一一元二次不等式的解法
1、若,,m n R ∈且0,m n +>则关于x 的不等式
()()0m x n x -+>的解集为（）
A ．{}
x x n x m -或 B ．{}
x n x m -<< C ．{}
x m x n -<< D ．{}
x x m x n -或 2、不等式(3)(5)0x x -+>的解集是（） A ．{53}x x -< C ．{35}x x -<< D ．{|3x x <-或5}x > 3、若不等式022>++bx ax 的解集{}21<<-x x ，则b a +值是( )
A ．0
B ．1-
C ．1
D ．2
4、不等式210kx kx +-<对一切实数x 都成立，则
k 的取值范围为（）
A ．()4，
-∞- B ．()4,0- C ．(),4(0,)-∞-⋃+∞ D ．(4,0]- 5、设集合A={x|x 2-x-6>0},B={x|-4<3x-7<8}. （1）求A ∪B,A ∩B;
（2）已知集合C={x|a<x<2a+1},若C ⊆B,求实数a 的取值范围.
题型二含有参数的一元二次不等式的解法 6、若不等式()()2
22240a x a x -+--<对一切
x ∈R 恒成立，则实数a 取值的集合（）
A ．{}2a a ≤
B ．{}
22a a -<< C ．{}22a a -<≤ D ．{}
2a a ≤- 7、不等式250ax x c -+<的解集为
1
1|32x x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
，则a ，c 的值为（） A ．6a =，1c = B ．6a =-，1c =- C ．1a =，6c = D ．1a =-，6c =- 8、已知不等式20x bx c ++>的解集为
{}21x x x <或．
（1）求b 和c 的值；
（2）求不等式210cx bx ++≤的解集.
题型三三个“二次”之间的关系 9、不等式022
>++n mx x 的解集是
{}32>-<x x x 或，则n m ,的值分别是( )
A ．2，12
B ．2，-2
C ．2，-12
D ．-2，-12 10、若二次函数1)12(2
2
+++-=k x k x y 的图象与
x 轴的两个交点分别为)0,(1x ，)0,(2x ，且21,x x 都
大于1.
（1）求实数k 的取值范围; （2）若2
1
21=x x ，求k 的值.
题型四一元二次不等式的实际应用
11、将进货价为每个80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a(元/个)的取值范围应是( )
A.90<a<100
B.90<a<110
C.100<a<110
D.80<a<100
12、十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若
能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高
4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭万元.
（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.
13、一个小型服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x 件的成本R=(500+30x)元.
（1）该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1 300元?
（2）当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?
能力提升思维拓展探究重点
1、不等式()
()22
1110a x a x ----≤对任意实数x 都
成立，则实数a 的取值范围____ 2、设关于x 的不等式
28(1)7160,()ax a x a a Z ++++≥∈，只有有限个
整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________
3、若不等式22
231ax x x x
-+<-+对一切实数x 均成立，求实数a 的范围．
4、解关于x 的不等式：()2
110ax a x -++>
（1）若2a =，解上述关于x 的不等式；（2）若a R ∈，解上述关于x 的不等式．。