华师版九年级下册数学课件 圆中的计算问题
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2019-2020学年九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题教学课件 (新版)华东师
例1.一个圆锥形零件的高4cm，底面半径3cm，求这 个圆锥形零件的侧面积。
解 : a h2 r 2 42 32 5
P s侧 ra 3 5 π 15π(cm2 )
a h
答:圆锥形零件的侧面积是15cm2 .
A
O
r
B
即时训练 （1）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面
积为___2__4____.
s n r 2 或s 1 lr
360
2
第2课时
一、知识回顾 1、弧长计算公式 2、扇形面积计算公式
l nR
180
nR 2
s 360
或s 1 lR 2
圆锥的认识
1.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的,它 的底面是一个圆,侧面是一个曲面.
2.连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母 线
图 23.3.6
二、设置情境
如图，一只蚂蚁从底面圆周上一点B出发沿圆锥的 侧面爬行一周后回到点B，请你帮助它找到最短的 路线。
B’
A
B
B.
C
准备好的圆锥模型沿着母线剪开，观察圆锥 的侧面展开图．
R h Or
图 23.3.7
问题1:
探究新知
1.沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得
到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什
解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
S nr 2 60 3.14 10 2 ≈52.33(平方厘米)
360
360
扇形的周长为
l nr 2r 60 3.1410 20
180
180
≈ 30.47（厘米）
一、弧长的计算公式
l n 2r nr
28.3.3圆中的计算问题 课件 华师大版数学九年级下册
圆心角占整个周角的 所对扇形面积是
1800
180 360
180 2 r 360 90 2 r 360
45 2 r 360
900
90 360
45 360 n 360
450
n0
n 2 r 360
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半 径是r，那么 ，扇形面积计算公式为
Q
28.3圆中的计算问题
28.3.1弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中 铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
zxxk
解:∵圆心角900
1 图 28.3.1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 则铁轨长是 2 100 50米
4
问题探究
上面求的是圆心角为900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长.
图 28.3.2
圆心角占整个周角的
1800
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360
c 2r l
l s n r 2 或s 1 lr 扇 形 面 积 S 360 2 n° r O
扇形周长计算公式为
z、xxk
c 2r l
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
九年级数学下册华东师大版习题课件：微专题5 与圆有关的证明和计算(共28张PPT)
径，且∠BAE＝∠C．
(1)求证：AE 与⊙O 相切于点 A； (2)若 AE∥BC，BC＝2 7，AC＝2 2，求 AD 的长．
证明：(1)连结 OA，交 BC 于点 F， 则 OA＝OB，∴∠D＝∠DAO. ∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO. ∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD 是⊙O 的 直径，∴∠BAD＝90°.即∠DAO＋BAO＝90°. ∴∠BAE＋∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°.
∵△ABC 为等边三角形， ∴AF 垂直平分 BC， ∵四边形 BDEC 为正方形， ∴AH 垂直平分正方形的边 DE. 又∵DE 是圆的弦，
∴AH 必过圆心，记圆心为 O 点，并设⊙O 的半径 为 r.在 Rt△ABF 中，∵∠BAF＝30°，
∴AF＝2× 23＝ 3. ∴OH＝AF＋FH－OA＝ 3＋2－r. 在 Rt△ODH 中，OH2＋DH2＝OD2. ∴(2＋ 3－r)2＋12＝r2. 解得 r＝2.∴该圆的半径长为 2.
∵直线 y＝－43x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 当 y＝0 时，x＝3；当 x＝0 时，y＝4， ∴A(3，0)，B(0，4)， ∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝ 32＋42＝5， ∵△AOB 的面积＝12AB·OD＝12OA·OB， ∴OD＝OAA×BOB＝152＝半径 OM， ∴直线 AB 与⊙O 相切；
A．6 C．5 2
B．8 D． 5 3
【解析】如图，延长 AO 交⊙O 于点 E，连结 BE， 则∠AOB＋∠BOE＝180°，又∵∠AOB＋∠COD＝180 °，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6，∵AE 为⊙O 的 直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝ AE2－BE2＝ 102－62＝ 8.
应移动的路径长为 3 ．
(1)求证：AE 与⊙O 相切于点 A； (2)若 AE∥BC，BC＝2 7，AC＝2 2，求 AD 的长．
证明：(1)连结 OA，交 BC 于点 F， 则 OA＝OB，∴∠D＝∠DAO. ∵∠D＝∠C，∴∠C＝∠DAO. ∵∠BAE＝∠C，∴∠BAE＝∠DAO.∵BD 是⊙O 的 直径，∴∠BAD＝90°.即∠DAO＋BAO＝90°. ∴∠BAE＋∠BAO＝90°，即∠OAE＝90°.
∵△ABC 为等边三角形， ∴AF 垂直平分 BC， ∵四边形 BDEC 为正方形， ∴AH 垂直平分正方形的边 DE. 又∵DE 是圆的弦，
∴AH 必过圆心，记圆心为 O 点，并设⊙O 的半径 为 r.在 Rt△ABF 中，∵∠BAF＝30°，
∴AF＝2× 23＝ 3. ∴OH＝AF＋FH－OA＝ 3＋2－r. 在 Rt△ODH 中，OH2＋DH2＝OD2. ∴(2＋ 3－r)2＋12＝r2. 解得 r＝2.∴该圆的半径长为 2.
∵直线 y＝－43x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 当 y＝0 时，x＝3；当 x＝0 时，y＝4， ∴A(3，0)，B(0，4)， ∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝ 32＋42＝5， ∵△AOB 的面积＝12AB·OD＝12OA·OB， ∴OD＝OAA×BOB＝152＝半径 OM， ∴直线 AB 与⊙O 相切；
A．6 C．5 2
B．8 D． 5 3
【解析】如图，延长 AO 交⊙O 于点 E，连结 BE， 则∠AOB＋∠BOE＝180°，又∵∠AOB＋∠COD＝180 °，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6，∵AE 为⊙O 的 直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝ AE2－BE2＝ 102－62＝ 8.
应移动的路径长为 3 ．
【全版】数学九年级下华东师大版圆中的计算问题课件推荐PPT
使MN=CM，
。
连结CN.△CMN是等边三角形， MA=NB，
△△MMAA？C≌△NBC？，
.
AC=BC， ∠MAC=∠NBC，B
。C
∠AMC=∠BNC，
MN
∠AMC∠=6C0M°N，=∠BAC=60°，
∠BNC=60°， △CMN是等边三角形，
8
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
A
∠AMB=60°，
。
MEM=BM=BE连=BB结，EB，E.
E
△△MMBB？C≌△EBA？， BC=BA， ∠BCM=∠BAMB，
CM=AE，
。C
M
16
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法5：在AM上截取AE=MC，连结BE.
.
B
60°。C
M
6
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
分析： 把已知条件及可得结论
. ∠BAC=60°，A 。
标在图上：
把能表示的60°角 用圆弧表示：
.
B
。C
M
7
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
. 分析1：补短延法长BM到N， ∠BAC=60°，A
∴MA=TA.
B
。C
∵∠AMC=∠ABC=60°， M
∴MA=MT=AT， ∴MA=MB+MC. 13
题目：
如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点，
求证：MA = MB+MC.
九年级数学下册(华师大版)27.3.2圆中的计算问题第二课时 课件
填空、根据下列条件求圆锥侧面积展开图的
圆心角（r、h、a分别是圆锥的底面半径、高
线、母线长）
（1）a = 2，r = 1，则 =__1_8_0_°___
(2) h=3， r=4，则 =___2_8_8_°____
ha
r
四、点点对接
例1：圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽， 已知纸帽的底面周长为58cm，高为20cm，要制作20顶这样的 纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精确到0.1cm2)
答案：圆锥的底面周长是 6π， 则 6π＝n1π8×06， ∴n＝180°.
则圆锥侧面展开图是一个半圆， 如图 2 所示， ∠BAP＝90°， AB＝6，AP＝3. 由勾股定理得 BP＝ AB2＋AP2＝3 5m.
1、圆锥的侧面展开图 2、计算圆锥的侧面积和全面积， 3、圆锥的底面周长就是其侧面展开 图扇形的弧长。 4、圆锥的母线就是其侧面展开图扇 形的半径
1.圆柱的侧面展开图是一个矩形,它的一边
长是圆柱的母线长;它的另一边长是圆柱的
底面圆周长。
2.圆柱的侧面积是母线与圆柱的底面圆周 长围成的矩形面积。
3.圆柱的全面积=侧面积+底面积
●探究2：圆锥的侧面积和全面积
圆锥的底面半径、高线、母线长 三者之间有什么关系?
a、h、r 构成一个直角三角形
A
a2 h2 r2
27.3 圆中的计算问题
（第2课时）
一、课前预习 阅读课本第62～63页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入 1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式， 并请讲讲它们的异同点．
回顾
nR
l 180
R
nR 2
初三下数学课件(华东师大)-圆中的计算问题
度，即AB的长(结果精确到 0.1mm)．
︵ 解析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
答案：R＝40mm，n＝110°，∴A︵B的长＝n1π8R0 ＝1101×8040π ≈76.8(mm)，圆心角为60°的扇形的 半径为10厘米，求这个扇形的面积和 周长．(π≈3.14)
轨的长度吗？(精确到0.01米)如果圆心角是任意的角
度，如何计算它所对的弧长呢？
【解】铁轨的长度 l＝2×π4×100＝50π≈157.08 米
【探究】设圆的半径为r，
1．圆的周长可以看作________度的圆心角所对的弧长．
2．1°的圆心角所对的弧长是________，
2°的圆心角所对的弧长是________，
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的
长度。
解：l n 2r nr
360
180
= 50 cm
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
扇形：
定义：如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形．
提问：
1.将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇 形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关．圆 心角越大，扇形的面积也越大．怎样计算圆心角为n° 的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么 圆面积的计算公式为S＝πr2，半径为r的扇形的面积与半 径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1°的扇形面 积以及圆心角为n°的扇形面积分别是圆面积的几分之 几？
结论：
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么
扇形的面积为： S nr 2 nr r 1 lr
︵ 解析：要求AB的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
答案：R＝40mm，n＝110°，∴A︵B的长＝n1π8R0 ＝1101×8040π ≈76.8(mm)，圆心角为60°的扇形的 半径为10厘米，求这个扇形的面积和 周长．(π≈3.14)
轨的长度吗？(精确到0.01米)如果圆心角是任意的角
度，如何计算它所对的弧长呢？
【解】铁轨的长度 l＝2×π4×100＝50π≈157.08 米
【探究】设圆的半径为r，
1．圆的周长可以看作________度的圆心角所对的弧长．
2．1°的圆心角所对的弧长是________，
2°的圆心角所对的弧长是________，
练一练：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的
长度。
解：l n 2r nr
360
180
= 50 cm
3
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
扇形：
定义：如图，由组成圆心角的两条半 径和圆心角所对的弧所围成的图形叫 做扇形．
提问：
1.将组成扇形的一条半径绕着圆心旋转，可以发现，扇 形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关．圆 心角越大，扇形的面积也越大．怎样计算圆心角为n° 的扇形面积呢？ 2.我们知道，如果设圆的面积为S，圆的半径为r，那么 圆面积的计算公式为S＝πr2，半径为r的扇形的面积与半 径为r的圆的面积有没有关系呢？圆心角为1°的扇形面 积以及圆心角为n°的扇形面积分别是圆面积的几分之 几？
结论：
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么
扇形的面积为： S nr 2 nr r 1 lr
2021年华师大版九年级数学下册第二十七章《圆中的计算问题》公开课课件
27.3 圆中的计算问题
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
问题情景：
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨 的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段 铁轨的长度吗?
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的 1
图 2 3 .3 .1
4
则铁轨长是 1210 050米
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/2/52021/2/52021/2/52021/2/5
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
C
转化为数学模型为: A 有一圆弧形桥拱,拱的跨
D B
度AB=40m,拱形的半
径R=29m,求拱形的高.
O
1 解:如图:由垂径定理得:BD= AB=20m
2
在直角三角形BOD中: OD2 =OB2 - BD2
OD2 =292 - 202 OD=21 m 所以拱形的高CD=29-
一、弧长的计算公式
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
知识回顾
o rp
圆的周长公式
C=2πr
圆的面积公式
S=πr2
问题情景：
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨 的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段 铁轨的长度吗?
解:∵圆心角900
∴铁轨长度是圆周长的 1
图 2 3 .3 .1
4
则铁轨长是 1210 050米
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/2/52021/2/52021/2/52021/2/5
谢谢观看
倍 速 课 时 学 练
C
转化为数学模型为: A 有一圆弧形桥拱,拱的跨
D B
度AB=40m,拱形的半
径R=29m,求拱形的高.
O
1 解:如图:由垂径定理得:BD= AB=20m
2
在直角三角形BOD中: OD2 =OB2 - BD2
OD2 =292 - 202 OD=21 m 所以拱形的高CD=29-
一、弧长的计算公式
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
华师大版九年级数学下册第二十七章《圆中的计算问题(第2课时)》公开课课件
P
l
O. r B
答：至少需 235.5 平方米的材料.
如图，圆锥的底面半径为1，母线长 为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点 B，问它爬行的最短路线是多少？
A
B
C
解： 将圆锥A沿B展开成扇A形 BB，则点C是BB
锥 行 扇 ，线 03AA.63 沿 的 在 形 B.是 B0 BB垂 垂 答 解 答 R展 过最 BA BB，t ：：B：1点 足 垂 答 解 开 足 AABD DAB2短 D它 将 B则 B垂 答 解 它 BB：：AB B0垂 A答 解 足 为 成 ABDD为 B 6BDC它 将 B路 D：：23圆 爬 B中 点 D B作.A：：23爬 足 0为 rABl.足 23D CD扇 ABD D r它 将 B，l23圆 爬 6,线 3B它 将 B锥 行 .是 A6AArAl3行 03D为 3 为 D6形 D3锥 行 03D AB..BDB6是 23圆 爬 沿 23的 圆 爬 在 BB03...B6Br0的 l在 rlA.A6AR沿 展 的 在 ，63最 6锥 行 0的 3C3锥 行 B0D RtR展 013.则 ，最 03最 开 AA.tt26短 沿 的 在 11中 A.66沿 的 在 开 BA A点 B00垂 答 解 2 短 2短 成 R展 0B0CBC路 最 0B中 R展 点 B,成 0 Bt，是 ：：最 C路 123A中 扇 足 C开 路 t，AAB中 线 1D232短 B过 B扇 它 将 BA，开 A线 23B3 B02短 A形 A，成 B.线 3为 是 CB路 B形 DB的 30中 点 B.D是 B23圆 爬 成 3B .A23B.，C路 扇 .，中 是 Arl，线 B作 中 DBA则 36D3扇 3锥 行 则 A，形 线 BB.是 03点 6BBA，D点 63D 点 A.0形 6A沿 的 在 C，0B.过 C是 ,ABB是 ,BD06是 A则 AR展 AA，点 B最 0BBB6tBBB,1D C点 则 C作 A开 0，AC的 3的 32短 ,..是 BBBA60点 中 中
27.3 圆中计算问题 华师大版数学九年级下册课件
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为 100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?
我们容易看出这段铁轨是圆
周长的四分之一，所以铁轨
的长度l
2
100 4
50
≈157.08（米）
如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢? 图 23.3.2中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几 分之几？
我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的 连线叫做圆锥的母线 。
h a 连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 。
r
(母线有无数条,母线都是相等的 )
图23.3.6
图23.3.7
如图23.3.7，沿着圆锥的母线，把圆 锥的侧面展开 ，得到一个扇形 ， 这 个扇形的弧长等于圆锥底面的周长 ， 而扇形的半径等于圆锥的母线的长 。
圆中计算问题
华师大版数学 九年级下册
新知讲解
亲爱的同学们，上节课我们学习了 切线的判定方法和切线长定理，请 同学们回忆一下。
切线的 判定方法切线长 定理定义法1个公共点，则相切
数量关系法 判定定理
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线.
过圆外一点所画的圆的两条切线 ，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角 。
n
（5）圆心角是n°，占整个周角的___3_6__0____，因此
它所对的弧长__3_n6__0_•__2__r____1_8n_0___r__．
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r，那么，弧长的计算公式为：
l n 2r nr
360
180
因此弧长的计算公式为
l nr 180
我们知道,扇形是由组成 圆心角的两条半径和圆心 角所对的弧围成的图形。
九年级下册数学课件(华师版)圆中的计算问题
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
与弧长相关的计算
合作探究
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
C=2 R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R
45 °
O
O
R
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180 ，因此它所对的弧长
180
360
是圆周长的_____36_0____.
解：S弓形 =S扇形 S△OAB
240 0.62 1 0.3 0.6
360
2
3
A
0.24 0.09 3
0.91cm2 .
D
E
B
O
C
小结
弧长 扇形
弓形
计算公式：l n R
180
定义 公式 公式
n R2
S扇形 360
S扇形
1 2
lR
阴影部分面积 求法：整体思想
90
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
90
，因此它所对的弧长 360
是圆周长的____3_6_0____.
45
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
45
360
，因此它所对的弧长
是圆周长的____3_60_____.
n
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
n
360，因此它所对的弧长是
圆周长的____3_6_0____.
知识要点
扇形面积公式
若设☉O半径为R，圆心角为 A
B
n°的扇形的面积
O
n R2
S扇形 = 360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
l n R
180
S扇形
=
n R2
360
S扇形
n R
180
R 2
1 2
n R
180
R
1 lR 2
S扇形
1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
S
1 2
ah
试一试
1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定.
2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这个扇形的
面积S扇=
4 cm2 3
90 360 的扇形面积是圆面积的_____36_0____.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此圆心角是45° 45 360
的扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此圆心角是n°的
n
360
扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
180
360
3
扇形的周长为
l=2r+ n r
180
=20+ 60 10 =20+10
180
3
30.47(cm).
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图
上哪一部分？ 阴影部分.
O.
A
B
C (1)
O A D.
C (2)
O. AD
C (3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应 该怎样画出来？ B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并
长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交AB于点C,连接AC.
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
S= R2
R
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆
面积的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R 45
°
O
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180，因此圆心角是 180360
180°的扇形面积是圆面积的_____3_60____. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 90 ，因此圆心角是90°
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线，
O.
AD
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB OD
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
A
B
解：由弧长公式，
可得弧AB的长
C
100 °
O
D
l 100900 500 1570 (mm), 180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
与扇形面积相关的计算
概念学习
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
Hห้องสมุดไป่ตู้
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
27.3 圆中的计算问题（1）
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
情境引入
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在 第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O AD B
C (3)
知识要点
弓形面积公式
O
O
• S弓形=S扇形-S三角形
• S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
练习 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 2 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为 AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，
与弧长相关的计算
合作探究
问题1 半径为R的圆,周长是多少？
C=2 R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长 分别是圆周长的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R
45 °
O
O
R
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180 ，因此它所对的弧长
180
360
是圆周长的_____36_0____.
解：S弓形 =S扇形 S△OAB
240 0.62 1 0.3 0.6
360
2
3
A
0.24 0.09 3
0.91cm2 .
D
E
B
O
C
小结
弧长 扇形
弓形
计算公式：l n R
180
定义 公式 公式
n R2
S扇形 360
S扇形
1 2
lR
阴影部分面积 求法：整体思想
90
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
90
，因此它所对的弧长 360
是圆周长的____3_6_0____.
45
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
45
360
，因此它所对的弧长
是圆周长的____3_60_____.
n
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
n
360，因此它所对的弧长是
圆周长的____3_6_0____.
知识要点
扇形面积公式
若设☉O半径为R，圆心角为 A
B
n°的扇形的面积
O
n R2
S扇形 = 360
注意 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不 带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
类比学习
问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
l n R
180
S扇形
=
n R2
360
S扇形
n R
180
R 2
1 2
n R
180
R
1 lR 2
S扇形
1 lR 2
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
S
1 2
ah
试一试
1.扇形的弧长和面积都由 扇形的半径与扇形的圆心角 决定.
2.已知半径为2cm的扇形，其弧长为 4 ，则这个扇形的
面积S扇=
4 cm2 3
90 360 的扇形面积是圆面积的_____36_0____.
(3) 圆心角是45°，占整个周角的 45 ，因此圆心角是45° 45 360
的扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
(4) 圆心角是n°，占整个周角的 n ，因此圆心角是n°的
n
360
扇形面积是圆面积的____3_6_0____.
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
割补法
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
180
360
3
扇形的周长为
l=2r+ n r
180
=20+ 60 10 =20+10
180
3
30.47(cm).
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中 水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）
讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图
上哪一部分？ 阴影部分.
O.
A
B
C (1)
O A D.
C (2)
O. AD
C (3)
(2)水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应 该怎样画出来？ B 线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并
长交圆O于C.
(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积=扇形OAB的面积- △OAB的面积 B
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交AB于点C,连接AC.
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
S= R2
R
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆
面积的几分之几?
R
180
°O
R 90°
R 45
°
O
O
n°
R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180，因此圆心角是 180360
180°的扇形面积是圆面积的_____3_60____. (2) 圆心角是90°，占整个周角的 90 ，因此圆心角是90°
∵ OC＝0.6, DC＝0.3, ∴ OD＝OC- DC＝0.3， ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线，
O.
AD
B
C (3)
∴AC＝AO＝OC.
从而 ∠AOD＝60˚, ∠AOB=120˚.
有水部分的面积：
S＝S扇形OAB - SΔOAB
120π 0.62 1 AB OD
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
A
B
解：由弧长公式，
可得弧AB的长
C
100 °
O
D
l 100900 500 1570 (mm), 180
因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度为2970mm．
与扇形面积相关的计算
概念学习
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
Hห้องสมุดไป่ตู้
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
27.3 圆中的计算问题（1）
学习目标
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.(难点） 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.（重点）
情境引入
问题1 如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在 第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 乙 甲
360
2
0.12π 1 0.6 3 0.3 2
0.22(m2 )
O AD B
C (3)
知识要点
弓形面积公式
O
O
• S弓形=S扇形-S三角形
• S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
练习 1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为 2 .
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A=30°,BC=2,O、H分别为 AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，