二次函数综合测试卷(word含答案)

二次函数综合测试卷（word含答案）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24． （3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，∴△CNE ∽△NBF ． ∴CE NE ＝NF BF ， 又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m m m-+＝2343m m m --+-， 化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（552+，3）或（552-，3） ②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）．综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）． 【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系． 2．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式； ()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解； （3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标． 【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y xy x x =⎧⎨=-++⎩ 解得：113x 2=∴M第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或1122⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.3．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．（2）求y 0的最大值．（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．【答案】（1或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1 【解析】【分析】（1）分m ＞0，m ＝0，m ＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0，求出当抛物线顶点在x 轴上时m 的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m ＜0，②m ＝0，③m ＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m ＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为512或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得23≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．4．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M⎛⎫' ⎪⎝⎭；②45°【解析】【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．（3）①由（2）可知m＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．【详解】（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m＝52时，S取得最大值258．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90 ，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧'BM H上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（52，74），∴由勾股定理可求得：AB10，M′B55M′A 85，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴851610﹣x）2＝12516﹣x2，∴x510cos ∠M′BG ＝'BG BM ＝22，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1 ∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒，又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒∴∠BAC ＝45︒．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．5．如图，过原点的抛物线y=﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于点A （4，0），B 为抛物线的顶点，连接OB ，点P 是线段OA 上的一个动点，过点P 作PC ⊥OB ，垂足为点C ．（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B 的坐标；（2）设点P 的横坐标为m ，将△POC 绕着点P 按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m 的值；（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n （0＜n ＜2）个单位，点B 、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n ，使得四边形OB′C″A 的周长最短？若存在，请直接写出n 的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．【答案】（1）2122y x x =-+，点B （2，2）；（2）m=2或209m =；（3）存在；n=27时，抛物线向左平移．【解析】【分析】（1）将点A 和点O 的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B 的坐标；（2）由点A 、点B 、点C 的坐标以及旋转的性质可知△△PDC 为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ），然后根据点在抛物线上，列出关于m 的方程，从而可解得m 的值；（3）如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处，以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B 移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．【详解】解：（1）把原点O （0，0），和点A （4，0）代入y=12-x 2+bx+c ． 得040c b b c =⎧⎨-++=⎩， ∴02c b =⎧⎨=⎩． ∴22112(2)222y x x x =-+=--+． ∴点B 的坐标为（2，2）． （2）∵点B 坐标为（2，2）．∴∠BOA=45°．∴△PDC 为等腰直角三角形．如图，过C′作C′D ⊥O′P 于D ．∵O′P=OP=m ．∴C′D=12O′P=12m ． ∴点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）． 当点O′在y=12-x 2+2x 上．则−12m 2+2m ＝m ． 解得：12m =，20m =（舍去）．∴m=2．当点C′在y=12-x 2+2x 上， 则12-×(32m )2+2×32m ＝12m ， 解得：1209m =，20m =（舍去）． ∴m=209（3）存在n=27，抛物线向左平移．当m=209时，点C′的坐标为（103，109）． 如图，将AC′沿C′B 平移，使得C′与B 重合，点A 落在A′处．以过点B 的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A 的周长最短．∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A （4，0），点C′（103，109），点B （2，2）． ∴点A′（83，89）． ∴点A″的坐标为（83，289）． 设直线OA″的解析式为y=kx ，将点A″代入得：82839k =， 解得：k=76． ∴直线OA″的解析式为y=76x ． 将y=2代入得：76x=2，7∴点B′得坐标为（127，2）． ∴n=212277-=． ∴存在n=27，抛物线向左平移． 【点睛】本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m ，m ），点C′坐标为：（32m ，2m ）以及点B′的坐标是解题的关键．6．在平面直角坐标系中，点(),p tq 与(),q tp ()0t ≠称为一对泛对称点．（1）若点()1,2，()3,a 是一对泛对称点，求a 的值；（2）若P ，Q 是第一象限的一对泛对称点，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，过点Q 作QB y ⊥轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，连接AB ，PQ ，判断直线AB 与PQ 的位置关系，并说明理由；（3）抛物线2y ax bx c =++()0a ＜交y 轴于点D ，过点D 作x 轴的平行线交此抛物线于点M （不与点D 重合），过点M 的直线y ax m =+与此抛物线交于另一点N ．对于任意满足条件的实数b ，是否都存在M ，N 是一对泛对称点的情形？若是，请说明理由，并对所有的泛对称点(),M M M x y ，(),N N N x y 探究当M y ＞N y 时M x 的取值范围；若不是，请说明理由．【答案】（1）23；（2）AB ∥PQ ，见解析；（3）对于任意满足条件的实数b ，都存在M ，N 是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M(x M ，y M )，N(x N ，y N )，当y M ＞y N 时，x M 的取值范围是x M ＜1且x M ≠0【解析】【分析】（1）利用泛对称点得定义求出t 的值，即可求出a.（2）设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），根据题干条件得到A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）的坐标，利用二元一次方程组证出k 1=k 2，所以AB ∥PQ.（3）由二次函数与x 轴交点的特征，得到D 点的坐标；然后利用二次函数与一元二次方程的关系，使用求根公式即可得到答案.【详解】（1）解：因为点（1，2），（3，a ）是一对泛对称点，设3t ＝23所以a ＝t×1＝23 （2）解：设P ，Q 两点的坐标分别为P （p,tq ），Q （q,tp ），其中0＜p ＜q ，t ＞0. 因为PA ⊥x 轴于点A ，QB ⊥y 轴于点B ，线段PA ，QB 交于点C ，所以点A ，B ，C 的坐标分别为：A （p,0），B （0,tp ），C （p,tp ）设直线AB ，PQ 的解析式分别为：y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2，其中k 1k 2≠0.分别将点A （p,0），B （0,tp ）代入y ＝k 1x ＋b 1，得111pk b tp b tp +=⎧⎨=⎩. 解得11k t b tp =-⎧⎨=⎩ 分别将点P （p,tq ），Q （q,tp ）代入y ＝k 2x ＋b 2，得2222pk b tp qk b tp +=⎧⎨+=⎩. 解得22k t b tp tp =-⎧⎨=+⎩ 所以k 1＝k 2.所以AB ∥PQ（3）解：因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）交y 轴于点D ，所以点D 的坐标为（0,c ）.因为DM ∥x 轴，所以点M 的坐标为（x M ,c ），又因为点M 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＜0）上.可得ax M 2＋bx M ＋c ＝c ，即x M （ax M ＋b ）＝0.解得x M ＝0或x M ＝－b a. 因为点M 不与点D 重合，即x M ≠0，也即b≠0，所以点M 的坐标为（－b a,c ） 因为直线y ＝ax ＋m 经过点M ，将点M （－b a ,c ）代入直线y ＝ax ＋m 可得，a·（－b a）＋m ＝c. 化简得m ＝b ＋c所以直线解析式为：y ＝ax ＋b ＋c. 因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝ax ＋b ＋c 交于另一点N ，由ax2＋bx＋c＝ax＋b＋c，可得ax2＋（b－a）x－b＝0.因为△＝（b－a）2＋4ab＝（a＋b）2，解得x1＝－ba，x2＝1.即x M＝－ba，x N＝1，且－ba≠1，也即a＋b≠0.所以点N的坐标为（1,a＋b＋c）要使M（－ba,c）与N（1,a＋b＋c）是一对泛对称点，则需c＝t ×1且a＋b＋c＝t ×（－ba ）.也即a＋b＋c＝（－ba ）·c也即（a＋b）·a＝－（a＋b）·c.因为a＋b≠0，所以当a＝－c时，M，N是一对泛对称点.因此对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形.此时点M的坐标为（－ba,－a），点N的坐标为（1,b）.所以M，N两点都在函数y＝bx（b≠0）的图象上.因为a＜0，所以当b＞0时，点M，N都在第一象限，此时 y随x的增大而减小，所以当y M＞y N时，0＜x M＜1；当b＜0时，点M在第二象限，点N在第四象限，满足y M＞y N，此时x M＜0.综上，对于任意满足条件的实数b，都存在M，N是一对泛对称点的情形，此时对于所有的泛对称点M（x M,y M），N（x N,y N），当y M＞y N时，x M的取值范围是x M＜1且x M≠0.【点睛】本题主要考察了新定义问题，读懂题意是是做题的关键；主要考察了二元一次方程组，二次函数、一元二次方程知识点的综合，把握题干信息，熟练运用知识点是解题的核心.7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍， ∵AD ＝23， ∴BE ＝43， ∴E （113，0）或E ′（193，0）， 则直线PE 的解析式为：y ＝﹣6x +22，∴Q （92，﹣5）， 直线PE ′的解析式为y ＝﹣65x +385， ∴Q ′（212，﹣5）， 综上所述，满足条件的点Q 的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）； 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于 ．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解； （2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可； （3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解． 【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-， 故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①， 则点C （0，32）； （2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=35，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-， 则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）； （Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32）， 故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）； （Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BD AM AN =，即1035352AN =， 解得：AN=94， 故点N （14-，0）、M （-1，32）； 故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； 综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）； （3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35， 则直线AD 的表达式为：y=3342x -， 设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<， 故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125． 【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大． 故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m -+，0)， 顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-， 解得：423x =±，抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+或423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）PF =，理由见解析；（3）12t =或98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点， ∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =， ∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-． 令2104y x x =-=， 解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：PF =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽， ∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =． 在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=， ∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ，∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-； 令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-， ∴251(2)PF t =•+-，在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =． （II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM ==∴45OF =，∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=，∴222(45)55(2)t t +-=+-∴12t=．（III）若FM MD=．由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合．∵PE EF⊥，点P在直线AC上方，与点P在线段OB上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。