数值分析习题汇总

第一章 引论（习题）2．证明：x 的相对误差约等于x 的相对误差的1/2.证明 记 x x f =)( ，则)()(***x x x x x xx x f E r +-=-=)(21**x E x x x x x xr ≈-⋅+=. □3．设实数a 的t 位β进制浮点机器数表示为)(a fl . 试证明 tb a b a fl -≤+*=*121||),1/()()(βδδ， 其中的记号*表示+、-、⨯、/ 中一种运算. 证明： 令： )()()(b a fl b a fl b a **-*=δ可估计： 1|)(|-≥*c b a fl β （c 为b a *阶码），故：121||--≤c t c ββδt -=121β 于是： )1()()(δ+*=*b a b a fl . □4．改变下列表达式使计算结果比较精确：（1） ;1||,11211<<+--+x xxx 对（2）;1,11>>--+x xx xx 对（3）1||,0,cos 1<<≠-x x xx对.解 (1) )21()1(22x x x ++.(2))11(2x x x x x-++.(3) xxx x x x x cos 1sin )cos 1(sin cos 12+≈+=-. □6．设937.0=a 关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 对于x x f -=1)(，估计)(a f 对于)(x f 的误差和相对误差.解 a 的相对误差：由于 31021|)(|-⋅≤-=a x x E . xa x x E r -=)(, 221018110921)(--⋅=⨯≤x E r . （1Th ） )(a f 对于)(x f 的误差和相对误差. |11||)(|a x f E ---==()25.021011321⨯⋅≤-+---ax x a =310- 33104110|)(|--⨯=-≤a f E r . □9．序列}{n y 满足递推关系：1101.100-+-=n n n y y y . 取01.0,110==y y 及01.0,101150=+=-y y ，试分别计算5y ，从而说明该递推公式对于计算是不稳定的.解 递推关系： 1101.100-+-=n n n y y y (1) 取初值 10=y ， 01.01=y 计算 可得： 11001.10022-⨯=-y 10001.1-=410-=6310-=y ， 8410-=y ， 10510-=y ， …(2) 取初值 50101-+=y ， 2110-=y ,记： n n n y y -=ε,序列 {}n ε ，满足递推关系，且 5010--=ε ， 01=ε1101.100-+-=n n n εεε, 于是： 5210-=ε,531001.100-⨯=ε, 55241010)01.100(---⨯=ε,55351002.20010)01.100(--⨯-⨯=ε,可见随着 n ε 的主项 5210)01.100(--⨯n 的增长，说明该递推关系式是不稳定的.第二章 多项式插值 (习 题)1. 利用Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：（1）（2）解(2)：方法一. 由 Lagrange 插值公式)30)(20)(10()3)(2)(1()(0x x x x x x x x x x x x x l ------=,)()()()()(332211003x l f x l f x l f x l f x L ⋅+⋅+⋅+⋅=)1)((31)2)()(1()1)(()(2123210---=-----=x x x x x x x l ,))(1(2)1)()(1()(21221211--=--+=x x x x x x l ，x x x x x x l )1()()1()1!()(2382121232--=-⋅⋅-+=, )()1(12)()1()(2121213-+=⋅⋅-+=x x x x x x x l . 可得： )21()(23-=x x x L方法二. 令)()21()(3B Ax x x x L +-= 由 23)1(3-=-L ， 21)1(3=L ， 定A ，B （称之为待定系数法） □2. 设)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以n x x x ,,,10Λ为节点的n 次多项式插值问题的基函数. （1）证明.,,2,1,0,)(0n k x x l x ni k i k i Λ==∑=（2）证明Λ+----+--+=))(())((1)(2010101000x x x x x x x x x x x x x l)())(()())((02010110n n x x x x x x x x x x x x ------+-ΛΛ.证明(1) 由于 j i j i x l ,)(δ= 故： =)(x L n ∑=ni i k i x l x)( ， 当 j x x = 时有： k j j n x x L =)( ， n j ,,1,0Λ=)(x L n 也即为 kx 的插值多项式，由唯一性，有： ∑==ni k i ki x x l x)( ， n k ,,1,0Λ=证明(2)：利用Newton 插值多项式)(],[)()(0100x x x x f x f x N n -+=)()(],,[100---++n n x x x x x x f ΛΛΛ )()()()()()(00101x l x x x x x x x x x f n n =----=ΛΛ差商表：f(x) 一阶 二阶 … n 阶差商0x 11x 0101x x -MM 0 )()(11020x x x x --MM M On x 0 0)()(1010n x x x x --Λ代入)(*式有：)()()()()(1)(020*******n n n x x x x x x x x x x x x x x x N -----++--+=-ΛΛΛ.)(0x l 为n 次代数多项式，由插值多项式的唯一性：有 )()(0x N x l n ≡. □4. 设a b b a C x f -<<∈ε0],,[)(3.考虑以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值公式当0→ε时的极限.证明成立公式)()()(x R x p x f +=. 其中)()()2)(()(2a f ab a b x x b x p --+-=),()()()())((22b f a b a x a f a b x b a x --+'---+ )()()(61)(2ξf b x a x x R '''--=，),(b a ∈ξ 并计算)(),(),(a p b p a p '.解 作)(x f 以b a a ,,ε+为节点的Lagrange 插值多项式，有： )()()(22x R x L x f +=， 其中：)()()()()()()()()()(2εεεεε+-+--+-----=a f b a b x a x a f b a b x a x x L)()()()()(b f a b a b a x a x εε------+， )()()(!3)()(2b x a x a x f x R ----'''=εζ ， b a <<ζ 令： 0→ε 有)()(6)()()(22b x a x f x R x R --'''=→ζ， 又： )()()()([)()(2a f a b ax a f a b a x x b x L εεεεε----+----= )]()()()()(a f a b a x a f a b a x -------+εεεε )()()()()(b f a b a b a x a x εε------+)()()2()(2a f ab a b x x b --+-→)()()()(a f a b a x x b '---+)()()()(22x P b f a b a x =--+ 故当 0→ε 时，成立公式： )()()(x R x P x f +=. □5. 给出13)(4+-=x x x f 的数值表解：因为34)(3'-=x x f ，2''12)(x x f = )(x f 为凹函数.又从数值表可见：1） 当]5.0,1.0[∈x 时，)(x f 单调下降.有反函数)(1y f x -=2） x 于及之间有一个根)(y f的Newton 插值多项式：)17440.0)(10810.0)(40160.0)(70010.0(01225.0)10810.0)(40160.0)(70010.0(01531.0)40160.0)(70010.0(0096436.0)70010.0(33500.01.0)(4+---+------+--=y y y y y y y y y y y N.337.0)0(4*≈=N x □7、若 1)(37++=x x x f ，问：?]2,,2,2[710=Λf ; ?]2,,2,2[810=Λf .解 1)(37++=x x x f .有：=]2,,2,2[71Λf !7)()7(ξf =1, !8)(]2,,2,2[)8(810ηf f =Λ0=. □9.证明下列关系的正确性:(1) i i i i i i f g g f g f ∆+∆=⋅∆+1)( (2) 1/)()/(+∆-∆=∆i i i i i i i ig g g f f g g f(3) )()(/!)1()/1(nh x h x x h n x nnn++-=∆Λ 证明：(1) =⋅-⋅=⋅∆++i i i i i i g f g f g f 11)(i i i i i i i i g f g f g f g f ⋅-⋅+⋅-⋅++++1111i i i i f g g f ∆+∆=+1.(3) n xn n )1()1(-=∆！)()(nh x h x x hn++Λ此题可利用数学归纳法：设 k n = 成立，证明 1+=k n 成立.又 1=n 时是成立的. □10. 利用差分性质证明:2333]2/)1([21)(+=+++=n n n n g Λ.[提示:考虑差分)()1()(n g n g n g -+=∆,并利用差分和函数值可互相表示] 证明： 记： 2]2/)1([)(+=n n n f ，33321)(n n g +++=Λ 有： 3)1()()1()(+=-+=∆n n f n f n f 故： ∑-=∆=10)()(n k k f n g ∑-=-+=1)]()1([n k k f k f2]2/)1([)0()(+=-=n n f n f . □13、求次数4≤的多项式)(x P ，满足1)1()0()1(===-P p P ，2)1()1(='=-'P P 解 作重节点差商的Newton 插值公式 )1(]1,1[)1()(+--+-=x f f x P22)1(]1,0,1,1[)1(]0,1,1[+--++--+x x f x f )1()1(]1,1,0,1,1[2-+--+x x x f 重节点差商表：i x i f 一阶 二阶 三阶 四阶10-=x 110-=x 1 201=x 1 0 -212=x 1 0 0 112=x 1 2 2 1 0得 22)1()1(2)1(21)(+++-++=x x x x x P 13+-=x x . □17、 设 ]1,0[)(2C x f ∈ ，并且 0)0(=f ，1)1()21(==f f求证⎰≥''1212))((dx x f证： 取 ,00=x 211=x ， 12=x ， 21=h 00=f ， 11=f ， 12=f 记： )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i有 h x x M h x x M x S 01101)(-+-=''x M x M 102)21(2+-= )21(2)1(2)(212-+-=''x M x M x S 又三弯矩方程为：( 2],,[210-=x x x f )244210-=++M M M ， )24(41201M M M ++-=. 分段积分：⎰⎰+''=''∆121221)]([)]([dx x s dx x s ⎰''12221)]([dx x s ⎰+-+=21201)]21([4dx x M x M ⎰-+-121221)]21()1([4dx x M x M⎰⎰-+-+-+-=121121221201)]21()1([4)]1()21([4dx x M x M dx x M x M由于 ⎰=-1212241)21(dx x ， ⎰=-1212241)1(dx x ，⎰=--121481)1()21(dx x x ，于是：⎰++++=''∆1022212110202]2[61))((M M M M M M M dx x S 又： )24(41201M M M ++-=记 =),(20M M I ⎰∆''12))((dx x S =)()24(41[6120202220M M M M M M +++-+ ])24(81220M M +++由00=∂∂M I ， 02=∂∂M I. 得： ⎩⎨⎧=+-=-07072020M M M M 即当： 020==M M 时, ),(20M M I 达最小故：⎰=⋅⋅≥''∆12212)24(8161))((dx x S ,由最小模原理： ⎰≥''1212)]([dx x f . □20.已知插值条件为解 利用三弯矩方法 )(i i x s M ''= ， 2,1,0=i 10=x ， 22=x ， 32=x⎪⎩⎪⎨⎧-=+=++=+542364622121010M M M M M M M解得： 70-=M ， 201=M ， 372-=M]2,1[∈x 72431729)(231-+-=x x x x s]3,2[∈x105229367219)(232+-+-=x x x x s . □第四章 数值积分方法与数值微分 (习 题)1．直接验证梯形公式（1.2）与中矩形公式（1.3）具有1次代数精度，而辛甫生公式（1.4）则具有3次代数精度. 解梯形公式：⎰+-≈bab f a f ab dx x f )]()([2)(. 矩形公式： ⎰+-≈b a ba f ab dx x f )2()()(. 以上两求积公式以 ,1)(=x f x 代入公式两边，结果相等，而以2)(x x f =代入公式两边，其结果不相等.故梯形公式的代数精度等于1. Simpson 公式：⎰+++-≈b ab f b a f a f a b dx x f )]()2(4)([6)(. 容易验证：以2,,1)(x x x f =分别代入Simpson 公式两边，结果相等。