高中数学第一章计数原理5二项式定理知识导航北师大版选修2-3资料
§5 二项式定理自主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n 的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项，又称为二项式通项. 2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x ，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n 依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与首末两端“等距离”的两个二项式系数_______________，即_______________. 高手笔记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.3.字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C 0n ,C 1n ,一直到C 1-n n ,C nn .5.T r+1=C r n a n-r b r,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r 确定.6.T r+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r 项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a 、b∈C )的展开式中，第r+1项的二项式系数是C r n ，而第r+1项的系数为C .rr n r n b a- 名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（1）运用通项公式T r+1=C rr n r nb a -解题，一般都需先转化为方程（组）求出n 、r ，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系. 2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n 是偶数，则中间一项（第2n+1项）的二项式系数最大；如果n 为奇数，则中间两项（第n+21项与21+n +1项）的二项式系数相等并且最大. （2）所有二项式系数的和等于2n，即C 0n +C 1n +…+C nn =2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C 0n +2n C +…=C 1n +C 3n +…=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？ 剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C 0n +C 1n +…+C n n =2n;令a=1,b=-1得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n + 0∴C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧. 讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项T r+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和. 分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.解：（1）T r+1=(-1)r·C r11x11-r y r.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T 7=C 611x 5y 6. (5)由（3）知，项的系数最小的项是T 6=-C 511x 6y 5.(6)展开式中，二项式系数的和为C 011+C 211111C ++…+C 1111=211.(7)展开式中，各项系数的和为C 311211111011C C C -+-+…+(-1)11C 1111=(1-1)11=011=0.绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视. 变式训练1.求（x 2-x 21)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x 9的项;④常数项. 解：①T 6=C 59(x 2)4(x 21-)5=1663-x 3.②T 3=C 29 (x 2)7(x21-)2=9x 12,∴第3项系数为9. ③首先利用通项公式去求含x 9的项是第几项，再求这一项，即知系数.设第r+1项，含x 9，则T r+1=C r9(x 2)9-r(x21-)r， x 的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x 9项为第4项，T 4=C 39（x 2)6(x 21-)3=x21-x 9. ④设常数项为第r+1项，T r+1=C r9(x 2)9-r ·(x21-)r ,则x 的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T 7=C 69（x 2)9-6(x 21-)6=1621.【例2】求(x 2+3x+2)5的展开式中含x 的项.分析：由x 2+3x+2=(x+1)(x+2),利用二项展开式求解.也可以利用组合数及乘法原理.解法一：（x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x 的项是(x+1)5展开式中的一次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.∴含x 的项为C 45x·C 55·25+C 55·1·C 45x·24=240x.解法二：（x 2+3x+2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x ，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C 15·3x·C 44·24=240x.绿色通道:对于二项式的展开式问题有两种思路：一是转化为二项式（可因式分解）；二是利用组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第二种思路更简捷. 变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x 3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x 2)5. 在（1-x 2)5展开式中含x 2的项是C 15·15-1(-x 2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x 3项的系数为C 15（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0.求： （1）a 8+a 7+…+a 1; (2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.分析：有关求系数和的问题，一般采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果. 解：令x=0,得a 0=1.(1)令x=1，得(3-1)8=a 8+a 7+…+a 1+a 0①∴a 8+a 7+…+a 2+a 1=28-a 0=256-1=255. （2）令x=-1，得(-3-1)8=a 8-a 7+a 6…-a 1+a 0，②∴①+②得28+48=2(a 8+a 6+a 4+a 2+a 0), ∴a 8+a 6+a 4+a 2+a 0=21 (28+48)=32 896.绿色通道:“赋值法”的模式揭示了人们由“一般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭示了“特殊存在于一般之中”的辩证关系. 变式训练3.求（1+2x+x 2)10(1-x)5展开式中各项系数的和. 解：（1+2x+x 2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C20+C 120x+C 220x 2+…+C2020x 20)［C 05+C 15(-x)+C 25(-x)2+…+C 55(-x)5］=A 0+A 1x+A 2x 2+…+A 25x 25.对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A 0+A 1+A 2+…+A 25.∴展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x 2项的系数.分析：把(1+x)n (2≤n≤10且n∈N )展开，找全x 2项进行系数合并再进行处理. 解：∵（1+x)2=1+C 12x+C 22x 2，∴x 2的系数为C 22，(1+x)3=1+13C x+C 23x 2+C 33x 3.∴x 2的系数为C 23.同理：（1+x)4展开式中x 2项系数为C 24…(1+x)10展开式中x 2项系数为C 210.∴x 2项的系数为C 22+C 23+C 24+…+C 210=C 311=165.∴展开式中x 2项系数为165.绿色通道:综合运用二项式定理问题，灵活运用展开式的通项公式进行求解. 变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x 2项的系数是______________.（用数字作答）解：C 22+C 23+…+C 26=C 33+C 23+…+C 26=C 37=35.【例5】用二项式定理证明： 32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N ).分析：①变为二项式形式；②与64联系上. 证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C 11+n 8n+C 21+n 8n-1+…+C 11-+n n 82+n n +nn 1+8+C 12++n n -8(n+1)-1=82(8n-1+C 11+n +18n-2+…+C 11-+n n ).∵括号内每一项都是自然数，和为自然数，∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿色通道:利用二项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法一：9192=(100-9)92=10092-C 192·10091·9+C 292·10090·92-…-C 9192·100·991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=(10-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-C9192·10+(-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-920+1=(1092-C192·C9192+C292·1090-…+C9092·102-1 000)+81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法二：∵9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+1，由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C9192·90+1=8 281=8 200+81，∴被100除余81.。
数学(北师大版选修2-3)课件1.5.1二项式定理
二项式系数与项的系数
(1)求二项式2
x－1x6 的展开式中第
6
项的二项式
系数和第 6 项的系数；
(2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数．
第一章 计数原理
§ 5 二项式定理
5．1 二项式定理
学习目标
重点难点
1.理解二项式定理是代数乘法公式
的推广．
1.重点是二项式定理、
2．掌握二项式定理，并能利用计数 推导及通项公式．
原理证明二项式定理．
2．难点是利用计数原
3．会用二项式定理解决与二项式展 理推导出二项展开式.
开式有关的简单问题.
阅读教材：5.1二项式定理的有关内容，完成下列问题． 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有(a＋b)n＝ _C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…__＋__C_nn_b_n_____(n∈N＋)． 这个公式称为二项式定理．等号右边的多项式称为(a＋b)n 的二项展开式，(a＋b)n的二项展开式共有n＋1项，其中各项的 系数_C_nr___(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
1．(1)求(x＋2y)4 的展开式；
(2)
化
简：
C0n(x
＋
1)n
－C
1 n
(x＋
1)n
－
1＋
C2n
(x
＋
1)n
－2
－
…
＋(
高中数学 第1章 5二项式定理 北师大版选修2-3
1.二项式定理：公式(a＋b)n＝_C_0na__n＋__C_1n_a_n_－_1b_＋__…__＋__C__rna_n_－_rbr ＋__…__＋__C__nnb_n_(n∈N＋)叫作二项式定理．
2．二项展开式的通项与二项式系数：(1)(a＋b)n的二项展 开式共有__n_＋__1__项，式中的__C_rn_a_n_－_rb_r__叫作二项展开式的通 项，记作Tr＋1＝___C_rn_a_n_－_rb_r__(其中0≤r≤n，r ∈N，n∈N＋)，通 项为展开式的第r＋1项；
(3)Tr＋1＝Cr10x102－r·(－31x)r＝Cr10x102－r·(－13)r·x－r ＝Cr10·(－13)r·x10－2 3r. 若是正整数指数幂，则有10－2 3r为正整数，∴r 可以取 0,2， ∴项数有 2 个． (4)由题意 Tr＋1＝Cr7(x3)7－r(1x)r＝Cr7x21－4r，令 21－4r＝5，得 r ＝4，则 x5 的系数是 C47＝35. [答案] (1)15 (2)40 (3)B (4)35
5．二项展开式的应用 (1)利用通项公式 Crnan－rbr(0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)求指定 项、特征项(常数项，有理项等)或特征项的系数． (2)近似计算，当|a|与 1 相比较很小且 n 不大时，常用近似 公式(1±a)n≈1±na，使用公式时要注意 a 的条件以及对计算精 确度的要求． (3)整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形， 把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式 的因式或只有一、二项不能整除．
②(1＋x)n＝1＋C1nx1＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋xn(n∈N＋)． (6)要注意逆用二项式定理来分析解决问题．
2．在应用通项公式时要注意以下几点： (1)Crnan－rbr 是展开式的第 r＋1 项，而不是第 r 项； (2)通项公式表示的是二项展开式中的某一项，只要 n 与 r 确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展 开式中的各项依赖于 r； (3)公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒；
高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理知识导航 北师大版选修2-3(2021年最新整理)
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§5 二项式定理自主整理1.（a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为（a+b）n的二项展开式,(a+b）n的二项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为二项式系数，_______________称为二项展开式的第_______________项,又称为二项式通项。
2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式:(1+x）n=____________________________________________________________。
3.当n依次取1，2，3，…时，（a+b)n展开式的二项式系数如下图所示：图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：①表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________,即_______________；②与首末两端“等距离"的两个二项式系数_______________，即_______________。
高手笔记1。
二项展开式的项数为n+1项.2。
2019_2020学年高中数学第1章计数原理55.1二项式定理课件北师大版选修2_3
二项展 公式右__边__的__式__子__叫作(a＋b)n 的二项展开式
开式
各项的系数__C__rn(_r_＝__0_,1_,_2_，__…__，__n_) _____叫作二项式系 二项式系数
数 二项展开式
式中___C_rn_a_n_－_rb_r_______叫作二项展开式的通项 的通项
思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9 B．10
C．11
A．－280x4y3
B．280x4y3
C．－35x4y3
D．35x4y3
A [(x－2y)7 的展开式中的第 4 项为 T4＝C37x4(－2y)3＝(－2)3C37x4y3＝－280x4y3.]
合作探究 提素养
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
10)．
(1)展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
(2)展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760.
(3)展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
区分二项式系数与某一项系数 1二项式系数都是组合数 Cknk∈{0，1，2，…，n}，它与二项 展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二 项式展开式中“项的系数”这两个概念. 2第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项 式系数为 Ckn.例如，在1＋2x7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－32x3， 其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
北师大版高中数学选修2-3第一章 计数原理二项式定理课件
1 2 依题意得 ＝ ，即 n －3n－4＝0，解得 n＝ 3 2 －2 2Cn 4(舍去 n＝－1)．
设(x－ 2)4 展开式中含 x2 的项为第(r＋1)项，则 Tr＋1
归纳升华 1.求二项展开式的特定项的常用方法： (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母 的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一 字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整 除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 2．正确区分二项式系数与该项的系数． 二项式系数与项的系数是两个不同的概念， 前者仅与 二项式的指数及项数有关， 与二项式无关， 后者与二项式、 二项式的指数及项数均有关．
－
展开式通项
在二项式定理中，令 a＝1，b＝x， 备注
2 2 则得到公式(1＋x)n＝1＋C1 x ＋ C n nx k n ＋…＋Ck x ＋…＋ x n
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)(a＋b)10 的展开式中共有 10 项．(
n－ k k n (2)Ck a b 是 ( a ＋ b ) 展开式的第 k 项．( n
[变式训练] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)(2x＋ x)5 的展开式 中，x3 的系数是________(用数字填写答案)． a x＋ 8 (2)若 3 的展开式中 x4 的系数为 7，则实数 a x ＝________．
高中数学第一章计数原理5二项式定理知识导航北师大选修2-3创新
⾼中数学第⼀章计数原理5⼆项式定理知识导航北师⼤选修2-3创新§5 ⼆项式定理⾃主整理1.(a+b)n=_______________________________________________________________.这个公式称为⼆项式定理，等号右边的式⼦称为(a+b)n 的⼆项展开式，（a+b)n的⼆项展开式有_______________项，其中各项的系数_______________称为⼆项式系数，_______________称为⼆项展开式的第_______________项，⼜称为⼆项式通项. 2.在⼆项式定理中，如果设a=1,b=x ，则得到公式：(1+x)n=____________________________________________________________.3.当n 依次取1,2,3,…时，(a+b)n展开式的⼆项式系数如下图所⽰：图中所⽰的表叫作⼆项式系数表，它有这样的规律：①表中每⾏两端都是1，⽽且除1以外的每⼀个数都等于它“肩上”的两个数字的_______________，即_______________；②与⾸末两端“等距离”的两个⼆项式系数_______________，即_______________. ⾼⼿笔记1.⼆项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于⼆项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n.3.字母a 按降幂排列，从第⼀项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第⼀项起，次数由零逐项增1直到n.4.⼆项式的系数从C 0n ,C 1n ,⼀直到C 1-n n ,C nn .5.T r+1=C r n a n-r b r,可以表⽰（a+b)n的⼆项展开式中的任意⼀项，只要r 确定.6.T r+1是（a+b)n的⼆项展开式的第r+1项，⽽不是第r 项.7.⼆项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a 、b∈C )的展开式中，第r+1项的⼆项式系数是C r n ，⽽第r+1项的系数为C .rr n r n b a- 名师解惑1.如何应⽤⼆项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要⽤于求⼆项式的指数，求满⾜条件的项或系数，求展开式的某⼀项或系数.（1）运⽤通项公式T r+1=C rr n r nb a -解题，⼀般都需先转化为⽅程（组）求出n 、r ，然后代⼊通项公式求解.（2）求展开式的⼀些特殊项，通常都是由题意列⽅程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的⼤⼩关系. 2.⼆项展开式的性质剖析：（1）如果n 是偶数，则中间⼀项（第2n+1项）的⼆项式系数最⼤；如果n 为奇数，则中间两项（第n+21项与21+n +1项）的⼆项式系数相等并且最⼤. （2）所有⼆项式系数的和等于2n，即C 0n +C 1n +…+C nn =2n.(3)奇数项的⼆项式系数的和与偶数项的⼆项式系数的和相等.即C 0n +2n C +…=C 1n +C 3n +…=2n-1.3.运⽤⼆项式定理解题时有哪些常⽤的⽅法？剖析：（1）赋值法.在(a+b)n展开式中令a=b=1，得C 0n +C 1n +…+C n n =2n;令a=1,b=-1得C 0n -C 1n +C 2n -C 3n + 0∴C 0n +C 2n +C 4n +…=C 1n +C 3n +C 5n +…=2n-1.这种由⼀般到特殊的⽅法是“赋值法”.（2）利⽤⼆项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧. 讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项T r+1;(2)⼆项式系数最⼤的项；（3）项的系数绝对值最⼤的项；（4）项的系数最⼤的项；（5）项的系数最⼩的项；（6）⼆项式系数的和；（7）各项的系数的和. 分析：本题的最⼤特点是展开式的⼆项式系数与项的系数有的相同，有的仅差⼀负号.因此，系数最⼤和最⼩的项可直接利⽤⼆项式系数最⼤和最⼩的项来解决.⼆项式系数的和可利⽤和为2n这⼀性质求解；各项系数的和可利⽤⼆项式定理或赋值法求解.解：（1）T r+1=(-1)r·C r11x11-r y r.(2)展开式中⼆项式系数最⼤的项为中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(3)由于本题中系数绝对值最⼤的项就是⼆项式系数最⼤的项，因此，系数绝对值最⼤的项也是中间两项T 6=-C 511x 6y 5,T 7=C 611x 5y 6.(4)由（3）知，项的系数最⼤的项是T 7=C 611x 5y 6. (5)由（3）知，项的系数最⼩的项是T 6=-C 511x 6y 5.(6)展开式中，⼆项式系数的和为C 011+C 211111C ++…+C 1111=211.(7)展开式中，各项系数的和为C 311211111011C C C -+-+…+(-1)11C 1111=(1-1)11=011=0.绿⾊通道:本题是关于⼆项式系数性质应⽤的典型⽰例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视. 变式训练1.求（x 2-x 21)9展开式中的①第6项;②第3项的系数;③含x 9的项;④常数项. 解：①T 6=C 59(x 2)4(x 21-)5=1663-x 3.②T 3=C 29 (x 2)7(x21-)2=9x 12,∴第3项系数为9. ③⾸先利⽤通项公式去求含x 9的项是第⼏项，再求这⼀项，即知系数.设第r+1项，含x 9，则T r+1=C r9(x 2)9-r(x21-)r， x 的幂指数为2(9-r)-r=9,∴r=3.∴含x 9项为第4项，T 4=C 39（x 2)6(x 21-)3=x21-x 9. ④设常数项为第r+1项，T r+1=C r9(x 2)9-r ·(x21-)r ,则x 的幂指数为18-3r=0,即r=6,∴第7项为常数项，T 7=C 69（x 2)9-6(x 21-)6=1621.【例2】求(x 2+3x+2)5的展开式中含x 的项.分析：由x 2+3x+2=(x+1)(x+2),利⽤⼆项展开式求解.也可以利⽤组合数及乘法原理.解法⼀：（x 2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x 的项是(x+1)5展开式中的⼀次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的⼀次项之积的代数和.∴含x 的项为C 45x·C 55·25+C 55·1·C 45x·24=240x.解法⼆：（x 2+3x+2)5展开式中的⼀次项是5个括号中有1个括号内取3x ，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C 15·3x·C 44·24=240x.绿⾊通道:对于⼆项式的展开式问题有两种思路：⼀是转化为⼆项式（可因式分解）；⼆是利⽤组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第⼆种思路更简捷. 变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x 3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x 2)5. 在（1-x 2)5展开式中含x 2的项是C 15·15-1(-x 2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x 3项的系数为C 15（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a 8x 8+a 7x 7+…+a 1x+a 0.求：（1）a 8+a 7+…+a 1; (2)a 8+a 6+a 4+a 2+a 0.分析：有关求系数和的问题，⼀般采⽤“赋值法”，令⼆项式中的项取⼀个或⼏个值，得到⼀个或⼏个等式，然后再根据需要求得结果. 解：令x=0,得a 0=1.(1)令x=1，得(3-1)8=a 8+a 7+…+a 1+a 0①∴a 8+a 7+…+a 2+a 1=28-a 0=256-1=255. （2）令x=-1，得(-3-1)8=a 8-a 7+a 6…-a 1+a 0，②∴①+②得28+48=2(a 8+a 6+a 4+a 2+a 0), ∴a 8+a 6+a 4+a 2+a 0=21 (28+48)=32 896.绿⾊通道:“赋值法”的模式揭⽰了⼈们由“⼀般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭⽰了“特殊存在于⼀般之中”的辩证关系. 变式训练3.求（1+2x+x 2)10(1-x)5展开式中各项系数的和. 解：（1+2x+x 2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C20+C 120x+C 220x 2+…+C2020x 20)［C 05+C 15(-x)+C 25(-x)2+…+C 55(-x)5］=A 0+A 1x+A 2x 2+…+A 25x 25.对于x 取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A 0+A 1+A 2+…+A 25.∴展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10展开式中x 2项的系数.分析：把(1+x)n (2≤n≤10且n∈N )展开，找全x 2项进⾏系数合并再进⾏处理. 解：∵（1+x)2=1+C 12x+C 22x 2，∴x 2的系数为C 22，(1+x)3=1+13C x+C 23x 2+C 33x 3.∴x 2的系数为C 23.同理：（1+x)4展开式中x 2项系数为C 24…(1+x)10展开式中x 2项系数为C 210.∴x 2项的系数为C 22+C 23+C 24+…+C 210=C 311=165.∴展开式中x 2项系数为165.绿⾊通道:综合运⽤⼆项式定理问题，灵活运⽤展开式的通项公式进⾏求解. 变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6展开式中，x 2项的系数是______________.（⽤数字作答）解：C 22+C 23+…+C 26=C 33+C 23+…+C 26=C 37=35.【例5】⽤⼆项式定理证明： 32n+2-8n-9是64的倍数（n∈N ).分析：①变为⼆项式形式；②与64联系上. 证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C 11+n 8n+C 21+n 8n-1+…+C 11-+n n 82+n n +nn 1+8+C 12++n n -8(n+1)-1=82(8n-1+C 11+n +18n-2+…+C 11-+n n ).∵括号内每⼀项都是⾃然数，和为⾃然数，∴上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿⾊通道:利⽤⼆项式定理可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法⼀：9192=(100-9)92=10092-C 192·10091·9+C 292·10090·92-…-C 9192·100·991+992，前⾯各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.∵992=(10-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-C9192·10+(-1)92=1092-C192·1091+C292·1090-…+C9092·102-920+1=(1092-C192·C9192+C292·1090-…+C9092·102-1 000)+81，∴被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法⼆：∵9192=(90+1)92=C092·9092+C192·9091+…+C9092·902+C9192·90+1，由于前⾯各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C91 92·90+1=8 281=8 200+81，∴被100除余81.。
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件北师大版选修2_3
3. 二项式展开式中, 偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项
1 + C 3 + CC 4 +…=2n-1 . 式系数和, 即C������ ������ ������ ������ ������ ������
一
二
【做一做 3】 设 n∈N+, 则
0 2n - C 1 2n-1 +…+(-1)kC ������ 2n-k+…+(-1)n C ������ = C������ ������ ������ ������ 0 2n -C 1 2n-1 +…+( -1)kC ������ 2n-k+…+( -1)n C ������ = 解析:C������ ������ ������ ������ 0 n 1 n-1 ������ n-k ������ 0 C������ 2· (-1)0 +C������ 2 · (-1)1+…+C������ 2 · (-1)k+…+C������ 2 (-1)n =(2-1)n =1.
+
(2)每一行中, 与首末两端“等距离”的两个数相等. 这就是说, 二项展开式中, 与首末两端“等距离”的两项的二项式
������ 系数相等, 实际上反映了组合数的性质C������ = C������ ������ -������
.
一
二
名师点拨1.如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数 最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并 且最大. 0 1 2 ������ 2. 二项式系数的和等于 2n, 即C������ + C������ + C������ +…+C������ =2n.
2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 习题课 二项式定理课件 北师大版选修2-3
跟踪训练2 求(x2＋3x－4)4的展开式中x的系数.
解答
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期
A.一
B.二
C.三
D.四
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理
将数变形求余数.
因为 810＝(7＋1)10＝710＋C110×79＋…＋C910×7＋1＝7M＋1(M∈N＋)， 所以第810天相当于第1天，故为星期一.
为二项式定理
二项式系数
_C__rn(_r_＝__0_,1_，__…__，__n_)_
二项式通项
二项式定 理的特例
Tr＋1＝_C__rna_n_－_r_b_r(_k_＝__0_,1_，__…__n_)_ (1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnrxr＋…＋Cnnxn
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
第一章 计数原理
习题课 二项式定理
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念. 2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题.
内容索引
知识梳理 题型探究 当堂训练
知识梳理
1.二项式定理及其相关概念
公式(a＋b)n＝_C_0n_a_n＋__C_1n_a_n_－_1_b_＋__…__＋__C_rn_a_n－_r_b_r＋__…__＋__C__nnb_n，称 二项式定理
(4)二项式系数之和 C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝_2_n，所用方法是_赋__值__法__.
题型探究
类型一 二项式定理的灵活应用
命题角度1 两个二项式积的问题 例1 (1)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0) ＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝_1_2_0__. 解析 f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36C04＋C26C14＋C16C24＋C06C34＝120. (2)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝－__1__. 解析 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5. ∴x2的系数为C25＋aC15 ， 则10＋5a＝5，解得a＝－1.
高中数学 第一章 计数原理 5 第一课时 二项式定理课件 北师大版选修2-3.pptx
问题 1：(a＋b)n 展开式中共有多少项？ 提示：n＋1 项． 问题 2：(a＋b)n 展开式中系数有什么特点？ 提示：依次为组合数 C0n，C1n，C2n，…，Cnn. 问题 3：(a＋b)n 展开式中每项的次数有什么特点？项的 排列有什么规律？ 提示：每一项的次数和是一样的，都是 n 次，并且是按 a 的降幂排列，b 的升幂排列．
二项展开式 式中__C__rna_n_－_r_b_r _叫作二项展开式的通项 的通项 在二项式定理中，若 a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝1＋Cn1x＋C2nx2
＋…＋Cnr xr＋…＋xn.
5
(1)(a＋b)n 的展开式中共有 n＋1 项，字母 a 的幂指数按降 幂排列，字母 b 的幂指数按升幂排列，每一项的次数和为 n.
第 §5 一
课 第二时 一项 章式二
定项 理式
定 理
理解教材新知
知识点
把握热点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1
§5
二项式定理
第一课时 二项式定理
2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3； (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； (a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5. 根据上述规律归纳出(a＋b)n(n∈N＋，n≥2)的展开式，并 思考下列问题．
15
3．(湖南高考)12x－2y5 的展开式中 x2y3 的系数是
A．－20
B．－5
()
C．5
D．20
解析：由二项展开式的通项可得，第四项 T4＝C3512x2(－2y)3
＝－20x2y3，故 x2y3 的系数为－20，选 A.
高中数学第一章计数原理1.5二项式定理1.5.1二项式定理
������)3·
1 ������
3
+ C64(
������)2·
1 ������
4 + C65
������ ·
1 ������
5 + C66
16 ������
=x3+6x2+15x+20+151������
+
6 ������2
+
���1���3.
(2)原式=C���0��� (x+1)n+C���1��� (x+1)n-1(-1)+C���2��� (x+1)n-2(-
1)2+…+C������������ (x+1)n-k(-1)k+…+C������������(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规 律是:
(1)各项的次数都等于n; (2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按 升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n. 2.逆用二项式定理,可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分 析已知多项式的特点,向二项展开式的特点靠拢.
k+…+(-1)nC������������ .
分析对于(1)直接利用二项式定理展开;对于(2)可根据式子的特
点,逆用二项式定理求解.
解(1)
������ +
1 ������
6
= C60(
������)6+C61(