几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
三大尺规作图问题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决
古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊，是著名的欧洲古国，几何学的故乡。
这里的古人提出的三大几何难题，在科学史上留下了浓浓的一笔。
这延续了两千多年才得到解决的世界性难题，也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。
三大难题的提出传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。
用数学语言表达就是：三等分角问题：将任一个给定的角三等分。
倍立方体问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。
化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。
比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。
这三大难题在《几何原本》问世之前就提出了，随着几何知识的传播，后来便广泛留传于世。
貌似简单其实难从表面看来，这三个问题都很简单，它们的作图似乎该是可能的，因此，2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。
也提出过各种各样的解决办法，例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法，解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。
可是，所有这些方法，不是不符合尺规作图法，便是近似解答，都不能算作问题的解决。
其间，数学家还把问题作种种转化，发现了许多与三大难题密切相关的一些问题，比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。
可是谁也想不出解决问题的办法。
三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁，无数人做了无数次的尝试，均无一人成功。
后来有人悟及正面的结果既然无望，便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出?数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的，哪些不能？标准是什么？界限在哪里？可这依然是十分困难的问题。
尺规作图不能问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。
这其中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：■三等分角问题：三等分一个任意角；■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
在2400年前的古希腊已提出这些问题，直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。
1882年德国数学家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
【尺规作图不能问题的另类做法】[编辑本段]■总述人们用尺规解几何三大作图题屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑，假如跳出尺规作图的框框，也就是不限用尺规，而是借助于另外一些曲线，或者借助于尺规以外的一些工具，是不是可解决这些问题呢？人们发现，一旦跳出了尺规作图的框框，问题的解决将是轻而易举的.这方面的工作已经有许多人做过，而且取得了不少成就，下面的词条内容就择要介绍一二.■关于三等分一任意角问题★作法一尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623—1662)的方法，对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法，对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB 并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法：交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA■关于立方倍积问题★作法一柏拉图(Plato，公元前427—347年)的方法：作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边.★作法二门纳马斯(Menaechmus，约公元前375—325年)方法：从a∶x=x∶y=y∶2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长.★作法三阿波罗尼(Apollonius de Perge，约公元前260—200年)方法：作一矩形ABCD，这里AB=a、AD=2a.以此矩形对角线交点G为圆心，以适当长度为半径作圆，与AB、AD之延长线分别交于E、F，使E、C、F三点共线，则AB∶DF=DF∶BE=BE∶AD，线段DF之长即为所求立方体的棱长.■化圆为方问题★作法：对于已知圆O，作出它在第一象限的圆积线①l.连结这一圆积线的两个端点B、F，过点B引BF的垂线BG，交x轴于G.在OA上取一点H，使HA=1/2GO.以H为圆心，HG 为半径画弧，交y轴于点K.则以OK为一边的正方形，即为所求作的与圆O等积的正方形．【尺规作图不能问题的积极意义】[编辑本段]我们可以看出，几何三大问题如果不限制作图工具，便很容易解决.从历史上看，好些数学结果是为解决三大问题而得出的副产品，特别是开创了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等.不仅如此，三大问题还和近代的方程论、群论等数学分支发生了关系.【尺规作图不能问题的相关趣事】[编辑本段]阿纳克萨戈勒斯是古希腊著名学者,在天文学中,他曾因解释日,月食的成因而闻名遐迩,并且认识到月球自身并不发光.正是他出色的研究成果给他带来了不幸, 在他大约50岁的时候,横祸从天而降,蒙受了冤狱之苦.灾难的起因是他认为太阳是一块炽热的石头.由于当时的宗教早已一口咬定太阳是神灵,而这位学者却无视宗教的权威,说太阳是一块石头,因而被投入监狱.尽管被囚禁的时间并不太长,可是,在被囚禁的日子里冤屈,苦闷,无聊实在让人度日如年.在阴暗,潮湿的牢房里,阿纳克萨戈勒斯看不到外面的朝霞暮霭,每天只有不长时间,阳光能穿过牢房那狭小的方形窗户进入室内.每当阳光进入囚室,在墙壁上撒下一片光亮时,总会引起作为学者的他的种种联想.有一天,他在凝视圆圆的太阳赏赐给他的方形的光亮时,他那习惯于思索的头脑突发奇想:能不能(仅用直尺和圆规)作一个正方形,使其面积与一个已知圆的面积恰好相等呢就这样,一道世界名题——"化圆为方"问题诞生了,它与"立方倍积"问题,"三等分任意角"问题一起被后人称作古希腊几何作图三大难题. 阿纳克萨戈勒斯想到化圆为方问题之后非常兴奋,因为他身边没有书籍,没有笔,很难研究别的问题,而这个问题却不同,只要用草棍在地上画就行了,草棍在牢房里有的是.他在进入高墙之前做梦也没有想到,在他最痛苦的时候,是数学排除了他的几分烦恼.不过,他一生也未能解决他提出的这个问题。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
三大作图难题
引人入胜的千古难题——三大尺规作图问题尺规作图是我们熟知的内容。
尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。
直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。
公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。
在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。
于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。
数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。
尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。
所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。
起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。
人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。
这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。
用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。
任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。
于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。
但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。
于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。
正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。
八年级数学上册 13.4 三角形的尺规作图 尺规作图不能问题素材 (新版)冀教版
尺规作图不能问题尺规作图三大难题历经2000多年，早已得到解决，即它们都是尺规作图不能问题。
但我们经常收到一些同学的来信,声称他们能用尺规三等分一个角.下面附一段有关小资料，如各位有兴趣，可以查阅更多资料。
在爱琴海上有个小岛，叫提洛岛。
传说，很久以前，鼠疫袭击提洛岛，一个预言者说已经得到神的谕示，必须将立方体的阿波罗祭坛加倍，瘟疫方能停息。
一个工匠简单地将祭坛的各边加倍，体积变为原来的8倍，这并不符合神的意旨，因此瘟疫更加加猖獗。
作一个立方体，使它的体积等于已知立方体体积的2倍。
这就是古希腊几何作图的三大难题之一——倍立方问题。
另外两个难题是：化圆为方问题——作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积；三等分任意角问题——任意给一个角，作一个角，使它等于已知角的三分之一。
当然，“神的谕示”仅仅只是一个传说。
实际上，这三个问题是古希腊人在解出了一些作图题之后所作的一种引伸。
例如，因为任意角可以二等分，于是就想会想到任意角能不能三等分；因为容易作出一个正方形，它的面积是给定正方形面积的二倍，因此就想到倍立方的问题。
从表面上看，这三个问题都很简单，似乎应该可用尺规作图来完成，因此两千多年来曾经有许许多多数学家为此花费了大量的时间和精力。
虽然有些人不时声称自己获得了成功，但后来发现，他们不是用了错误的方法，就是违背了尺规作图的限制。
当然，某些特殊角还是可以用尺规进行三等分的，如90°角和45°角。
一般地，180/2n (n是正整数)的角都可以用尺规三等分。
1837年旺策尔(P.L.Wantzel， 1814—1848)首次证明了三等分任意角和立方倍积这两个问题不能用尺规作图来完成，1882年，林德曼(C.L.F.von Lindemann， 1852—1939)证明了化圆为方也是尺规作图不能问题。
1895年克莱因(F.Klein， 1849—1925)在总结前人研究成果的基础上，给出了几何三大问题不可能用尺规完成的简单而明晰的证法，从而使两千多年没有解决的疑难问题告一段落。
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。
其
中最著名的是被称为几何三大问题的古典难题：
三等分角问题：三等分一个任意角；
倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积
的两倍；
化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在
欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。
直至1837年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”
和“倍立方”为尺规作图不能问题。
而后在1882年德国数学
家林德曼证明π是超越数后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
还有另外两个著名问题：
正多边形作法:只使用直尺和圆规，作正五边形。
只使用直尺和圆
规，作正六边形。
只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上
去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正
七边形是不能由尺规作出的。
只使用直尺和圆规，作正九边形，
此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分
成三等份的。
问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形
的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正奇数边多边形的条件：
尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。
四等分圆周:只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。
高二数学知识点：几何的三大问题
高二数学知识点：几何的三大问题平面几何作图限制只能用直尺、圆规,而那个地点所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。
用直尺与圆规因此能够做出许多种之图形,但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。
有些问题看起来看起来专门简单,但真正做出来却专门困难,这些问题之中最有名的确实是所谓的三大问题。
几何三大问题是:1.化圆为方-求作一正方形使其面积等於一已知圆;2.三等分任意角;3.倍立方-求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
圆与正方形差不多上常见的几何图形,但如何作一个正方形和已知圆等面积呢?若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π,因此化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π,也确实是用尺规做出长度为π1/2的线段(或者是π的线段)。
三大问题的第二个是三等分一个角的问题。
对於某些角如90。
、180。
三等分并不难,然而否所有角都能够三等分呢?例如60。
,若能三等分则能够做出20。
的角,那麽正18边形及正九边形也都能够做出来了(注:圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。
/18=20。
)。
事实上三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
第三个问题是倍立方。
埃拉托塞尼(公元前276年~公元前195年)曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍,有人主张将每边长加倍,但我们都明白那是错误的,因为体积差不多变成原先的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解,而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。
而对那些专门讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，要紧协助国子、博士培养生徒。
“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。
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1.立方倍积问题
假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有
x3=2a3.
令a＝1，则上述方程取更简单的形式
x3-2=0.
根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必
不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.
2.三等分任意角问题
对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.
以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.
令OD=x，则有
4x3-3x-cosθ＝0.
如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.
8x3-6x-1=0.
以2x=y代入此方程，可得较简单的形式
y3-3y-1=0.
根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺
规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.
当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程
4x3-3x-cosθ=0就变为
4x3-3x=0.
解之，得
(见图6).
注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.
3.化圆为方问题
假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有
x2=πr2.
令r=1，即得
不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.
4.正七边形和正九边形的作图问题
正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.
(图8).
∵7θ=2π，
∴3θ=2π-4θ，
∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.
根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即
8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=
x4-x3-4x2+3x＋2=0.
分解因式，得
(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.
x3+x2-2x-1=0.
由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.
的
作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.
由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n
×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.
对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：
1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.
2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。