高一集合讲义
集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。
一、集合的含义与表示1、集合与元素的概念集合是一个不定义的原始概念,某些指定．．的对象．．集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A 、B 、C 表示；集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素,通常用小写字母 c b a 、、表示.2．集合中的元素的特征(1)确定性：按照明确的标准判断一个元素是否是在该集合里，不能模棱两可；(2)互异性：集合中没有两个元素是一样的；(3)无序性:集合中的元素无先后顺序，如{}{}c a b c b a ,,,,与是同一集合.3、元素与集合的关系元素与集合是属于和不属于的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈，若a 不是集合A 的元素，记作A a ∉．4、数学中一些常用的数集及其记法（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记做：N（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记做：+*N 或N（3）全体整数组成的集合称为整数集，记做：Z（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记做：Q（5）全体实数组成的集合称为实数集，记做：R5、集合的表示方法（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法叫列举法;（2）描述法：用集合所有元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;（3）图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合，另外还可以利用数轴、平面直角坐标系等表示集合.考点1：集合的基本概念例1. 下列哪些能构成集合;①我们班的高个子;②中国的所有大河;③某个村子里的年青人;④所有小正数组成的集合;⑤一切很大的数 ;⑥聪明的人;⑦小于10的正偶数.例2、以下四个对象①某中学的大胖子；②你所在班中身高超过1.8米的同学；③2008北京奥运会的比赛项目；④1,3,5能构成集合的有考点2：集合的表示方法例3、下列四个集合各自的含义分别是什么：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y x A 1 ② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B 1 ③ ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x C 1,例4、用适当的方法表示下列对象构成的集合（1）方程0322=--x x 的解集；（2）小于10的所有正奇数；（3）不等式823>+x 的解集；（4）直角坐标系中一、三象限内的点；（5）方程0112=-+-y x 的解.考点3：集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性例5、（1）下列命题中 ①集合{}5,4,3,2,1和{}1,2,3,4,5表示同一个集合 ②41,46,23,21,5,0这些数组成的集合有五个元素 ③方程0)3)(2)(12(2=-++-x x x x 的解集中含有4个元素④方程0122=+-x x 的解集为{}1,1 正确的有(2) 由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A 、1B 、-2C 、6D 、2(3) 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取得值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（4）若{}1,3,132+-∈-m m m ，则m=________________（5）若集合{}c b a M ,,=中元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（6）已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ，对任意的=∈∈B B a A a 则有,,(7)含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}200820082,0,,b ab a a ++求考点4：元素与集合的关系例6、用∉∈,填空 （1）集合{}5,4,3,2,1=A 那么 ①0 A ; ②1 A ; ③3 A ; ④-5 A ; ⑤5 A ; ⑥2 A ;(2)①6 N; ②23 Q; ③0 N; ④0 *N ;⑤0.5 Z 考点5;集合与方程、不等式的联系例7、已知集合{}R a x ax x ∈=++,0122（1）若集合A 中只有一个元素，求a 的取值范围（2）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围（1）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围二、集合间的基本关系1．子集（1）子集：若集合A 中任意．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合A 包含于．．．集合B （或集合B 包含．．集合A ），记作B A ⊆,集合A 叫做集合B 的子集. （2）空集：我们把不含有任何元素的集合叫空集，记做：Φ,规定空集是任何集合的子．．．．．．．．．．．集．.．（3）子集的性质：①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A A ⊆;②传递性:若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
即：若B A ⊆且C B ⊆,则C A ⊆.（4）集合相等：对于集合A 、B ，如果B A ⊆且A B ⊆,那么B A =，即B A 、里元素均相等.2、真子集（1）真子集：如果B A ⊆且存在元素B x ∈,且A x ∉,即B A ≠⊆且B A ，就说集合A 是集合B 的真子集，记作AB .（2）真子集的性质①规定空集是任何非空集合的真子集;②传递性：若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集.3、子集、真子集、非空真子集个数的求法若某个集合有n 个元素，则它的所有子集个数为n 2，真子集个数为（n 2-1）个，非空真 子集个数为(n 2-2)个.考点1：子集的基本符号例1、 在下列横线上填上适当的符号 （1）{}a {}a ； （2）{}3,1 {}3,2,1； （3）φ {}0；（4）0 {}0； （5）φ {}φ； （6）{}1 {}3<x x ；例2、已知{}是菱形x x A =，{}是正方形x x =B ，{}是平行四边形x x =C ，那么CB A ,,之间的关系是考点2：参数范围的确定 例3、设集合{}{}ab a a B b a A ,,,,,12==，且B A =，求实数b a ,.例4、已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3mB =，若A B ⊆，求实数m 的值.典型例题例5、设集合{}{}A B a x a x x B x x x A ⊆=-+++==+=若,01)1(2,04222,求实数a 的范围.例6、已知{}{}a x x B x x A <=<=,3（1） 若A B ⊆，则a 的取值范围是多少？（2） 若AB ，则a 的取值范围是多少？例7、若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=当,112,43,求实数m 的取值范围.例8、已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围.考点3：子集个数问题例9、下列集合中，只有一个子集的集合为（ ） {}0.2≤x x A {}0.3≤x x B {}0.2<x x C {}0.3<x x B例10、已知集合{}3,2,1=A （1）写出A 的所有子集;（2）若以这些子集为元素组成集合B ，判断A 与B 的关系.三、集合的基本运算1、交集：由所有属于集合A 且．属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝{}B x A x x ∈∈且.2、并集：由所有属于集合A 或．属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝{}B x A x x ∈∈或.3、补集：集合A 是集合U 的子集，由集合U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集，记作A U C ，即A U C ＝{}A x U x x ∉∈且.4、集合中元素的个数 )()()()(B A card B card A card B A card ⋃-+= ;)()()()(B A card B card A card B A card -+=⋃.5、运算性质（1）B B A B A =⇔⊆ ;(2)A B A B A =⇔⊆ .考点1：集合的基本运算例1、设集合{}{}=≤≤-∈=<<-∈=N M n Z n N m Z m M 则,31,23( ) {}1,0.A {}1,0,1.-B {}2,1,0.C {}2,1,0,1.-D例2、已知{}{}{}x N M x x x N x x M 则若3,0,12,1,,1,1,322-=---=++-= 的值为（ ） 2-.A 1-B. C.1 D.2例3、已知集合}4,12,{2--=x x A ,}9,1,5{x x B --=，若B A }9{=，求B A .例4、已知集合}015|{2=+-=px x x A 和}0|{2=--=b ax x x B ，若}5,3,2{=B A ，}3{=B A ，分别求实数p 、a 、b 的值例5、满足{}{}{}213214321,,,,,,M a a a a a M a a a a =⊆ 且的集合M 的个数为( ).1A B.2 C.3 D.4例6、已知全集{}{}(){}()(){}5,1,4,2,5,4,3,2,1====B U A U A U C C B C B A U 若,则下列结论正确的是( )B 3A,.3∉∉且A B 3A,.3∉∈且B A .3∉C B 3A,.3∈∈且D例7、已知{}{}{}{}2,7,8C ,6,3,1,5,4,3,8,7,6,5,4,3,2,1====那么集合B A U 是（ ） B .A ⋃A B B.A ⋂ ())(C C C.B U AU ⋃ ())(C C D.B U A U ⋂考点2：集合运算与方程、不等式例8、设集合{}{}01)1(2,04x x 222=-+++==+=a x a x x B x A（1）若的范围求a B B A ,= ;（2）若的范围求a B B A ,= .例9、集合{}{}a x x B x x A <=<<-=,11（1） 若的范围求a B A ,φ= ;（1） 若{}的范围求a x x B A ,1<= .考点3:交集、并集、补集中元素个数例10、某班有学生55人，其中音乐爱好者有34人，体育爱好者有43人，还有4人既不爱体育也不爱好音乐，班级中即爱好体育又爱好音乐的有多少人？例11、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为0049，电视机拥有率为0085，洗衣机拥有率为0044，拥有上述三种电器中的任意两种的占0063，三种电器齐全的有0025，那么一种电器也么有的农户占比例为多少?。
2024年高一数学《集合》完整版课件
2024年高一数学《集合》完整版课件一、教学内容本节课选自人教版高一数学必修1第一章《集合》部分。
教学内容包括：集合的概念、集合的表示方法、集合间的基本关系、集合的运算。
具体章节为1.1集合的概念，1.2集合的表示方法，1.3集合间的基本关系与运算。
二、教学目标1. 理解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够正确运用集合的符号表示集合。
2. 理解集合间的基本关系，掌握集合的运算，能够解决相关的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
三、教学难点与重点难点：集合间的基本关系与运算。
重点：集合的概念、表示方法，集合间的基本关系与运算。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
学具：课本、练习本、文具。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如水果摊上的水果种类，引出集合的概念。
2. 新课导入：（1）讲解集合的概念，让学生理解集合是由一些元素组成的整体。
（2）介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等。
（3）讲解集合间的基本关系，如子集、真子集、相等集合等。
（4）介绍集合的运算，如并集、交集、补集等。
3. 例题讲解：（1）给出一个具体的集合，让学生用不同的表示方法表示。
（2）判断给定的集合间关系，如A={1,2,3}，B={2,3,4}，判断A 与B的关系。
（3）进行集合的运算，如求A与B的并集、交集、补集。
4. 随堂练习：（1）让学生用自己的语言描述集合的概念。
（2）给出几个集合，让学生判断它们之间的关系。
（3）进行集合运算的练习。
六、板书设计1. 集合的概念2. 集合的表示方法3. 集合间的基本关系4. 集合的运算七、作业设计1. 作业题目：（1）用列举法表示集合：A={x|x是小于10的自然数}。
（2）判断集合A与B的关系：A={1,2,3}，B={x|x是小于4的自然数}。
（3）求集合A与B的并集、交集、补集。
2. 答案：（1）A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}（2）A=B（3）并集：A∪B={1,2,3,4}，交集：A∩B={1,2,3}，补集：A'={4,5,6,7,8,9}八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过生活中的实例引入集合的概念，让学生更容易理解。
高一数学第一学期授课讲义集合的含义与表示
高一数学第一学期授课讲义 集合的含义与表示（2课时）（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝ 3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅； （Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程： 一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉ ②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性： ★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、4：①② 2、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0) 二、集合的表示---------列举法和描述法 ★【例题2】、书本P4：例题1、P5：例题2★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x | x = 2k, k ∈N, k ≤3｝；（3）、3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
必修一_第一章_集合(集合讲义_做的很细_适合初学者)
集合之欧侯瑞魂创作1.1 集合的含义与暗示21.11 集合的含义21.2 子集、全集、补集91.3 交集、并集13第一章集合空集一、知识梳理1．集合的含义：一些元素组成的构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不界说的概念, 只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必需是“确定的”且“分歧”的2．集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用年夜写拉丁字母暗示, 如集合A,元素一般用小写拉丁字母暗示.如a,b,c……等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】3．集合中元素的特性：（1）确定性.设A 是一个给定的集合, x是某一元素, 则x是A的元素, 或者不是A的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对一个给定的集合, 它的任何两个元素都是分歧的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次第无关.4．经常使用数集及其记法：一般地, 自然数集记作____________正整数集记作__________或___________整数集记作________有理数记作_______实数集记作________5．元素与集合的关系：如果a是集合A的元素, 就记作__________ 读作“___________________”；如果a不是集合A的元素, 就记作______或______读作“_______________”；6．集合的分类：按它的元素个数几多来分：（i） _________________叫做有限集；（ii）________________________叫做无限集；（iii）_______________叫做空集, 记为_____________二、例题讲解1、运用集合中元素的特性来解决问题例1．下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰（2）高一数学课本中的难题（3）中国国旗的颜色（4）book中的字母（5）立方即是自己的实数（6）不等式2x-8<13的正整数解【解】点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准, 依照这个确定的标准, 它要么是这个集合的元素, 要么不是这个集合的元素, 即元素确定性.例2：集合M中的元素为1, x, x2-x, 求x的范围？分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同, 联列不等式组.点评: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例3：三个元素的集合也可暗示为0, a2, a+b, 求a2005+ b2006的值．分析：三个元素的集合也可暗示另外一种形式, 说明这两个集合相同, 而该题目从特殊元素0入手, 可以省去繁琐的讨论．点评:从特殊元素入手, 灵活运用集合的三个特征．2、运用元素与集合的关系来解决一些问题例4：集合A中的元素由∈Z,b∈Z)组成, 判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3分析：先把x写成, 再观察a, b是否为整数.点评:要判断某个元素是否是某个集合的元素, 就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.例5：不包括-1, 0, 1的实数集A满足条件a∈A, A, 如果2∈A,求A中的元素？分析：该题的集合所满足的特征是由笼统的语句给出的, 把2这个具体的元素代入求出A的另一个元素, 但该题要循环代入, 求出其余的元素, 同学们可能想不到.三、巩固练习1．下列研究的对象能否构成集合①某校个子较高的同学；②倒数即是自己的实数③所有的无理数④讲台上的一盒白粉笔⑤中国的直辖市⑥中国的年夜城市2．下列写法正确的是___________________②当n∈N时, 由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集④-1∈Z ⑤由book中的字母组成的集合与元素k, o, b组成的集合是同一个集合把正确的序号填在横线上31_______N -3_________N 0__________N1_______Z-3_________Q 0__________Z0_______N*________R_______Qcos300_______Z4． 由实数的个数是_________________个一、知识梳理1. 集合的经常使用暗示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来, 并____________________暗示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必需用“, ”隔开； ②集合的元素必需是明确的； ③各元素的呈现无顺序；集合的暗示 描述法列举法④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以暗示任何事物.（2）描述法将集合的所有元素都具有性质（）暗示出来, 写成_________的形式,称之为描述法.注意：①写清楚该集合中元素满足性质；②不能呈现未被说明的字母；③多层描述时, 应当准确使用“或”, “且”；④所有描述的内容都要写在集合的括号内；⑤用于描述的语句力求简明, 准确.思考:还有其它暗示集合的方法吗？【答】文字描述法：是一种特殊的描述法,如：{正整数}, {三角形}图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.2. 集合相等如果两个集合A, B所含的元素完全相同,___________________________________ 则称这两个集合相等, 记为：_____________二、例题讲解1、用集合的两种经常使用方法具体地暗示合例1．用列举法暗示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不年夜于10的质数的集合；（4集合；（5集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16, x∈N, y∈N }分析：先求出集合的元素, 再用列举法暗示.点评:（1）用列举法暗示集合的步伐为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法暗示集合的优点是元素一目了然；缺点是不容易看出元素所具有的属性.例2．用描述法暗示下列集合：（1（2x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6（5分析：用描述法暗示来集合, 先要弄清楚元素所具有的形式, 从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.点评: 用描述法暗示集合时, 注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性例3．已知试用列举法暗示集合A．分析：用列举法暗示的集合, 要认清集合的实质, 集合中的元素究竟满足哪些条件．点评:本题实际上是要求满足6被3-a整除的整数a的值,则集合A={-3, 0, 1, 2, 4, 5, 6, 9}.2、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}, Q={-1,a2,b2}, 且Q=P, 求1+a2+b2的值．分析：含字母的两个集合相等, 其实不意味着顺次对应相等, 要分类讨论, 同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.例5．已知集合有唯一元素, 用列举法暗示a的值构成的集合A.点拔：本题集合有唯一元素,分母, 转化为一元二次方程的判别式为0, 事实上当, 也能满足唯一元素, 但方程已不是一元二次方程, 而是一元一次方程, 也有唯一解, 所以本题要分三种情况讨论.三、巩固练习1.用列举法暗示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不年夜于15的正约数} (3) {x|x 为不年夜于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2, 0≤y<2, x, y ∈Z} 2. 用描述法暗示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合；(3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的 集合； .3. 下列集合暗示法正确的是 (1) {1, 2, 2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4){2, 4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}. 4、集合A={x|y=x2+1}, B={t|p=t 2+1}这三个集合的关系？5、已知试用列举法暗示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（ ）, 则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可暗示为：__________________.注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A, 能推出x ∈B ；（2）不能理解为子集A 是B 中的“部份元素”所组成的集合. 2．子集的性质： ① 思考 【答】 _________ 3．真子集的概念及记法：相等 集 合 的 关 系包括 全集子集 真子集补集而且A≠B, 这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：非空集合的真子集符号暗示为___________________②真子集具备传递性符号暗示为___________________5．全集的概念：如果集合U包括我们所要研究的各个集合,这时U可以看做一个全集（universal set）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________, 由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集（complementary set）, 记为___________”7二、例题讲解1、写出一个集合的子集、真子集及其个数公式例1．写出集合{a, b}的所有子集及其真子集；写出集合{a, b, c}的所有子集及其真子集；分析：按子集的元素的几多分别写出所有子集, 这样才华到达不重复, 无遗漏,点评:写子集, 真子集要按一定顺序来写．①一个集合里有n个元素, 那么它有2n个子集；②一个集合里有n个元素, 那么它有2n-1个真子集；③一个集合里有n个元素, 那么它有2n-2个非空真子集．2、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系例2：以下各组是什么关系, 用适当的符号暗示出来．（1）a与{a} 0 与（2（3）S={-2, -1, 1, 2}, A={-1, 1},B={-2, 2}；（4）S=R, A={x|x≤0, x∈R}, B={x|x>0 , x∈R }；（5）S={x|x为地球人 }, A={x|x 为中国人}, B={x|x为外国人 }点评:①判断两个集合的包括关系, 主要是根据集合的子集, 真子集的概念, 看两个集合里的元素的关系, 是包括, 真包括, 相等．②元素与集合之间用_______________集合与集合之间用_______________3、运用子集的性质例3：设集合A={x|x2+4x=0, x∈R}, B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R}, 若求实数a的取值范围．分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素, 在由可知, 集合B按元素的几多分类讨论即可．点评:, 要提防这一点．4、补集的求法例4：A,U=R, 试求A②设全集U=R, A={x|x>1}, B={x|x+a<0},, 求实数a 的取值范围．【解】①x>2}② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ,1}如图所示：-a≤ 1即a ≥-1点评:求集合的补集时通常借助于数轴, 比力形象, 直观．三、巩固练习1．判断下列暗示是否正确：∈{a, b}(4) {-1, 1} {-1, 0, 1} ≠ {-⊂2．指出下列各组中集合A与B之间的关系．(1) A={-1, 1}, B=Z；(2)A={1, 3, 5, 15}, B={x|x是15的正约数}；(3) A = N*, B=N(4) A ={x|x=1+a2,a∈N*}B={x|x=a2-4a+5,a∈N*}3．（1）已知则这样的集合M有几多个？（2）已知M={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9}, 集合P满足：则P, 则这样的集合P有几多个？4．以下各组是什么关系, 用适当的符号表来．{0} (2) {-1, 1}与{1, -1}(3) {(a,b)} 与{(b,a)}三、若U=Z, A={x|x=2k, k∈Z}, B={x|x=2k+1, k∈Z}, 则：6．设全集是数集U={2, 3, a2+2a-3}, 已知求实数a, b的值．7∈∈Z},∈Z}, 试判断A、B、C满足的关系8．已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}求a, b的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的界说：一般地, ______________________________________________,称为A 与B 交集(intersection set), 记作____________读作“___________”. 交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的集合.（2）当集合A 与B 没有公共元素时, 不能说A 与B 没有交集,而是A ∩2．交集的经常使用性质：（1） A ∩A = A ；交集 界说 集合的运算 运用 性质 并集 界说 集合的运算 运用 性质（2） A（3） A∩B = B∩A；（4）(A∩B)∩C =A∩(B∩C)；（5） A∩∩3．集合的交集与子集：思考:A∩B=A, 可能成立吗？【答】_______________________________________________结论：A∩4．区间的暗示法：设a, b是两个实数, 且a<b, 我们规定：[a, b] = _____________________（a, b）= _____________________[a , b）= _____________________（a , b] = ______________________（a, +∞）=______________________（-∞, b）=______________________（-∞, +∞）=____________________其中 [a, b], （a, b）分别叫闭区间、开区间；[a , b）, （a , b] 叫半开半闭区间；a, b叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“, ”号隔开.（3）∞读作无穷年夜, 它是一个符号, 不是一个数. 5．并集的界说：一般地, _________________________________________________, 称为集合A与集合B的并集(union set) 记作__________读作“___________”.交集的界说用符号语言暗示为：__________________________________交集的界说用图形语言暗示为：_________________________________注意：并集（A∪B）实质上是A与B的所有元素所组成的集合, 可是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.6．并集的经常使用性质：（1） A∪A = A；（2） A；（3） A∪B = B∪A；（4）(A∪B)∪C =A∪(B∪C)；（5）∪∪B7．集合的并集与子集：思考:A∪B=A, 可能成立吗？A【答】________________________结论：A∪二、例题讲解1、求集合的交、并、补集例1．（1）设A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}, 求A∩B；（2）设A={x|x>0}, B={x|x≤1}, 求A∩B；（3）设A={x|x=3k, k∈Z}, B={y|y=3k+1 k∈Z },C={z|z=3k+2, k∈Z}, D={x|x=6k+1, k∈Z}, 求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；点评:不等式的集合求交集时, 运用数轴比力直观, 形象.例2：已知数集A={a2, a+1, -3}, 数集B={a-3,a-2, a2+1}, 若A∩B={-3}, 求a的值．点评:在集合的运算中, 求有关字母的值时, 要注意分类讨论及验证集合的特性．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3, x∈R}, B={y|y=-x2+2x+10, x∈R}, 求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1, x∈R}, B={(x,y)|y=-x2x∈R}, 求A∩B；分析：先求出两个集合的元素, 或者集合中元素的范围, 再进行交集运算．特别注意（1）、（2）两题的区别, 这是同学们容易忽视的处所．点评:求集合的交集时, 注意集合的实质, 是点集还时数集．是数集求元素的公共部份, 是点集的求方程组的解所组成的集合．变式训练:1、根据下面给出的A 、B, 求A∪B①A={-1, 0, 1}, B={0, 1, 2, 3}；②A={y|y=x2-2x}, B={x||x|≤3}；③A={梯形}, B={平行四边形}．2．已知全集U=R, A={x|-4≤x<2}, B=(-1, 3), P={x|x≤0, 或x求：①(A∪B)∩P③ (A∩B)．点评:求不等式暗示的数集的并集时, 运用数轴比力直观, 能简化思维过程3、已知集合A={y|y=x-1, x∈R}, B={(x,y)|y=x2-1, x∈R}, C={x|y=x+1, y≥3},分析：首先弄清楚A, B, C三个集合的元素究竟是什么？然后再求出集合的有关运算.点评:本题容易呈现的毛病是不考虑各集合的代表元, 而解方程组．突破方法是：进行集合运算时, 应分析集合内的元素是数, 还是点, 或其它．2、运用并集的性质解题例4：已知集合A={x|x2-1=0 }, B={x|x2-2ax+b=0}, A∪B=A, 求a, b的值或a,b所满足的条件．分析：由于A∪B=A, 可知：而A={1, -1}, 从而顺利地求出实数a, b满足的值或范围．点评:利用性质：A∪是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.若集合P={1, 2, 4, m}, Q={2, m2}, 满足P∪Q={1, 2, 4, m}, 求实数m的值组成的集合．2. 已知集合A={x|x2-4x+3=0}, B={x|x2-ax-1=0}, C={x|x2-mx+1=0}, 且A∪B=AA∩C=C, 求a, m的值或取范围.例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}, B={x|x2-5x+6=0}, C={x|x2+2x-8=0},（1）若A∪B=A∩B, 求a的值；（2∩B, A∩求a的值．总结：解决本题的关键是利用重要结论：A∪B=A∩3、运用交集的性质解题例6：已知集合A={2, 5}, B={x|x2+px+q=0, x∈R}（1）若B={5}, 求p, q的值．（2）若A∩B= B , 求实数p, q满足的条件．分析：（1）由B={5}, 知：方程x2+px+q=0有两个相等, 再用一元二次方程的根与系数的关系容易求p, q的值．（2）由A∩B= B可知：而A={2, 5}从而顺利地求出实数⊂p, q满足的条件．点评:利用性质：A∩是解题的关键, 提防失落进空集这一陷阱之中．变式训练：1.已知集合A={x|x2+x-6=0}, B={x|mx+1=0}, 若A∩B =B, 求实数m所构成的集合M．2.已知集合M={x|x≤-1}, N={x|x>a-2}, 若M∩N则a满足的条件是什么？4、借助Venn图解决集合的运算问题例7不年夜于20的质数}, M,N是U的两个子集,求M, N的值．分析：用Venn图暗示集合M, N, U, 将符合条件的元素依次填入即可．5、交集并集性质的应用例8、已知集合A={(x,y)|x2－y2－y=4}, B={(x,y)|x2－xy－2y2=0}, C={(x,y)|x－2y=0}, D{(x,y)|x+y=0}.(1)判断B、C、D间的关系；(2)求A∩B.6、交集、并集在实际生活中的应用例9、某学校高一(5)班有学生50人, 介入航模小且的有25人, 介入电脑小组的有32人, 求既介入航模小组, 又介入电脑小组的人数的最年夜值和最小值.思维分析：题目以应用为布景, 解题关键是将文字转化为集合语言, 用集合运算来解决扑朔迷离的现实问题.7、数形结合思想与交集并集的应用例10、已知集合A={x|－2<x<－1, 或x>0}, B={x|a≤x≤b}, 满足A∩B={x|0<x≤2}, A∪B={x|x>－2}, 求a、b的值.点评：此题应熟悉集合的交与并的含义, 掌握在数轴上暗示集合的交与并的方法.8、分类讨论思想与交集、并集的综合应用例11、已知集合A={x|x2－4x+3=0}, B={x|x2－ax+a－1=0}, C={x|x2－mx+1=0}, 且A∪B=A, A∩C=C, 求a,m的值或取值范围.分析：先求出集合A, 由A∪由A∩然后根据方程根的情况讨论.评注：本例考查A与B, A与C的关系和分类讨论的能力.三、巩固练习1.设A=(-1, 3], B=[2, 4）, 求A∪B；2.已知A={y|y=x2-1}, B={y|x2=-y+2}求A∪B；3.写出阴影部份所暗示的集合：4.集合U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 4}A={2, 3, 5}5. 设集合A={小于7的正偶数}, B={-2, 0, 2, 4}, 求A∩B；6. 设集合A={x|x≥0}, B={x|x≤0,x∈R}, 求A∩B；7. 设集合A={(x,y)|y=-4x+6, x∈R}, B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；8. 设集合A={x||x=2k+1, k∈Z}, B={y|y=2k-1, k∈Z},C={x|x=2k , k∈Z},求A∩B, B∩C．9、集合A={x|x<－3, 或x>3}, B={x|x<1, 或x>4}, 则A∩B=__________.10、集合A={a2, a+1, －3}, B={a－3, 2a－1, a2+1}, 若A∩B={－3},则a的值为___________.11、已知A={x|x2－px+15=0}, B={x|x2－ax－b=0}, 且A∪B={2,3,5}, A∩B={3}, 求p,a,b的值.12、集合{3, x, x2－2x}中, x应满足的条件是___________.13、设A={x|x2+4x=0}, B={x|x2+2(a+1)x+a2－1=0,a∈R}.(1)若A∩B=B, 求实数a的值.(2)若A∪B=B,求实数a的值.。
高一数学集合课件版
函数奇偶性判断方法
定义法
若对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 ；若对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 。
图象法
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
练习题与解析
练习题
判断下列函数的奇偶性：（1） f(x)=x^2；（2）f(x)=sinx；（3） f(x)=|x|。
公式法
利用一元二次方程的求根 公式，结合不等式的性质 进行求解。
判别式法
根据一元二次方程的判别 式，判断方程的根的情况 ，进而求解不等式。
区间表示法及应用
1 2
区间表示法
用中括号或圆括号表示数集的方法，如[a, b]表 示a到b之间的所有实数，包括a和b。
区间在不等式中的应用
利用区间表示法可以直观地表示不等式的解集， 便于理解和分析。
解析
因式分解得(x - 1)(x - 3) < 0，根据一元 二次不等式的性质，解集为(1, 3)。
练习题2
解不等式x^2 - 4x + 3 < 0，并用区间表 示其解集。
04
函数概念与性质
函数定义及表示方法
函数定义
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数。
等差数列求和公式
$S_n = frac{n}{2} times (a_1 + a_n)$ 或 $S_n = n times a_1 + frac{n(n - 1)}{2} times d$。
高一数学《集合》完整版课件
（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体。
（2）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法。
（3）集合的性质：无序性、互异性、确定性。
（4）集合间的关系：子集、超集、相等、不相交。
（5）集合的运算：并集、交集、补集。
3.例题讲解：
（1）判断以下说法是否正确：①空集是任何集合的子集；②任何集合都是自身的子集。
2.集合间的关系和运算。
3.例题解答步骤。
七、作业设计
1.作业题目：
（1）用列举法和描述法表示集合：{x|x是正整数}。
（2）判断以下集合间的关系：A={x|x是3的倍数}，B={x|x是6的倍数}。
（3）求集合A={1, 2, 3, 4, 5}和集合B={4, 5, 6, 7, 8}的并集、交集和补集。
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一、教学内容
本节课选自高一数学教材第一章《集合与函数的概念》第一节“集合的概念及其表示”，内容包括集合的定义、集合的表示方法、集合的性质、集合间的基本关系和运算。
二、教学目标
1.理解集合的概念，掌握集合的表示方法，能够正确书写集合。
2.掌握集合的性质，理解集合间的基本关系和运算，能够解决相关问=∅。
-集合的运算：
-并集：集合A和集合B中所有元素组成的集合，记作A∪B。
-交集：集合A和集合B共有的元素组成的集合，记作A∩B。
-补集：在全集U中，不属于集合A的元素组成的集合，记作A'。
在教学过程中，需重点关注以下几点：
-解释集合运算的实际意义，如并集表示两个集合中所有元素的汇总，交集表示两个集合共有的部分。
2.鼓励学生主动提问，及时解答疑惑，促进师生互动。
四、情景导入
高一集合讲义
集合（一）集合的含义与表示1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.（三）集合的基本运算1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。
一、集合的含义与表示1、集合与元素的概念集合是一个不定义的原始概念,某些指定．．的对象．．集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A 、B 、C 表示；集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素,通常用小写字母 c b a 、、表示.2．集合中的元素的特征(1)确定性：按照明确的标准判断一个元素是否是在该集合里，不能模棱两可；(2)互异性：集合中没有两个元素是一样的；(3)无序性:集合中的元素无先后顺序，如{}{}c a b c b a ,,,,与是同一集合.3、元素与集合的关系元素与集合是属于和不属于的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈，若a 不是集合A 的元素，记作A a ∉．4、数学中一些常用的数集及其记法（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记做：N（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记做：+*N 或N（3）全体整数组成的集合称为整数集，记做：Z（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记做：Q（5）全体实数组成的集合称为实数集，记做：R5、集合的表示方法（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法叫列举法;（2）描述法：用集合所有元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;（3）图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合，另外还可以利用数轴、平面直角坐标系等表示集合.考点1：集合的基本概念例1. 下列哪些能构成集合;①我们班的高个子;②中国的所有大河;③某个村子里的年青人;④所有小正数组成的集合;⑤一切很大的数 ;⑥聪明的人;⑦小于10的正偶数.例2、以下四个对象①某中学的大胖子；②你所在班中身高超过1.8米的同学；③2008北京奥运会的比赛项目；④1,3,5能构成集合的有考点2：集合的表示方法例3、下列四个集合各自的含义分别是什么：① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y x A 1 ② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B 1 ③ ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y x C 1,例4、用适当的方法表示下列对象构成的集合（1）方程0322=--x x 的解集；（2）小于10的所有正奇数；（3）不等式823>+x 的解集；（4）直角坐标系中一、三象限内的点；（5）方程0112=-+-y x 的解.考点3：集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性例5、（1）下列命题中 ①集合{}5,4,3,2,1和{}1,2,3,4,5表示同一个集合 ②41,46,23,21,5,0这些数组成的集合有五个元素 ③方程0)3)(2)(12(2=-++-x x x x 的解集中含有4个元素④方程0122=+-x x 的解集为{}1,1 正确的有(2) 由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）A 、1B 、-2C 、6D 、2(3) 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取得值是（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5（4）若{}1,3,132+-∈-m m m ，则m=________________（5）若集合{}c b a M ,,=中元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形（6）已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ，对任意的=∈∈B B a A a 则有,,(7)含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}200820082,0,,b ab a a ++求考点4：元素与集合的关系例6、用∉∈,填空 （1）集合{}5,4,3,2,1=A 那么 ①0 A ; ②1 A ; ③3 A ; ④-5 A ; ⑤5 A ; ⑥2 A ;(2)①6 N; ②23 Q; ③0 N; ④0 *N ;⑤0.5 Z考点5;集合与方程、不等式的联系例7、已知集合{}R a x ax x ∈=++,0122（1）若集合A 中只有一个元素，求a 的取值范围（2）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围（1）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围二、集合间的基本关系1．子集（1）子集：若集合A 中任意．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合A 包含于．．．集合B （或集合B 包含．．集合A ），记作B A ⊆,集合A 叫做集合B 的子集. （2）空集：我们把不含有任何元素的集合叫空集，记做：Φ,规定空集是任何集合的子．．．．．．．．．．．集．.．（3）子集的性质：①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A A ⊆;②传递性:若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
高一数学集合ppt课件.pptx
1.1.1 集合的含义与表示
• 1.集合与元素的定义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，通常用大写拉丁字母A,B,C等表
示集合，用拉丁小写字母a，b，c等表示集合中的元素。如果a是A中的元素，就表示为a∈A，读作a属于A， 反之a∉A，读作a不属于A * 2.集合的三要素： 1、确定性，集合中的元素是确定的，要么在集合中要么不在，二者必居其一；（判断是否能组成集合的 方法） 2、互异性，集合里相同的元素不允许重复出现，比如{a,a,b,b,c,c}是错误的写法，应该写成{a,b,c}.（警示我 们做题后要检查） 3、无序性，集合里的元素的排列不考虑顺序问题，例如{a,b,c}与{a,c,b}表示同一个集合。（方便定义集合 相等）
• 2.交集的符号语言： A∩B={x|x∈A，且x∈B}
并集、交集的性质
• 集合交换律 A∩B=B∩A A∪B=B∪A • 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) • 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C） • A∩ Ø = Ø ，A∪ Ø = Ø
全集与补集
• 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U
• 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CuA 符号语言：CuA={x|x∈U，且x ∉A}
例5
• 1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则CuM=______。 • 2.已知全集U={0，1，2}，A={x|x-m=0}，如果CuA={0,1},则m=______。
高一数学《集合》课件
子集的表示方法：在数学符号中，如果集合A是集合B的子集，则表 示为A⊆B。
真子集的定义及性质
真子集的定义：如果集合A是集合B的子集，并且集合A不等于 集合B，则称集合A为集合B的真子集。
并集的证明：通过集合的基本性质和运算性质，可以证明并集的运算性质。 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
并集的应用：并集在数学、逻辑和计算机科学等领域有广泛的应用。 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
交集的运算性质与证明
补集的运算性质与证明
并集的性质： a) 任何集合与空集的并集都是该集合本身 b) 任何集合与 自身的并集是该集合本身 c) 并集的并集等于先求各自并集再求新的并集 a) 任何集合与空集的并集都是该集合本身 b) 任何集合与自身的并集是该集合本身 c) 并集的并集等于先求各自并集再求新的并集
交集的定义及性质
• 定义：两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，记作A∩B。
全集的运算性质与证明
全集的运算性质：全集与任 何集合的交、并、差等运算 结果仍为全集
全集的定义：包含所有元素 的对象或集合
全集的证明方法：通过定义 和公理进行证明
全集在数学中的应用：证明 集合的基本性质和定理
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汇报人：XX
证明：设任意集合A，则A包含 A中的所有元素，即A⊆A。
应用：在集合运算中，任何集 合都满足反身律，它是集合运 算的基本性质之一。
举例：例如，对于任意集合{1, 2, 3}，它自身也是其子集，即 {1, 2, 3}⊆{1, 2, 3}。