2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(二十)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（二十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则AB =A ．{0,1}B ．{0,1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}- 2．复数12z i =-的虚部为 A ．2iB ．2i -C ．2D ．-23．已知向量()()1,2,,4a b x ==，且a b ⊥，那么x 的值为 A ．2-B ．4-C ．8-D ．16-4．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是A ．6B ．10C ．91D ．925．把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =，那么3g π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为 A ．12-B ．12C ．3 D ．3-6．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．7．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>8．0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>9．在ABC ∆中，D 为BC 上一点，E 是AD 的中点，若BD DC λ=，13CE AB AC μ=+，则λμ+= A ．13B ．13-C ．76D ．76-10．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为π；③()f x 的最小值为0；④()f x 在[]0,2π上有3个零点其中所有正确结论的编号是 A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB BCD ⊥平面，BCD 是边长为3的等边三角形，若2AB =，则球O 的表面积为 A ．16πB ．323π C ．12π D ．32π12．已知抛物线21:8C y x =，圆222:(2)1C x y -+=，若点,P Q 分别在12,C C 上运动，且设点(4,0)M ，则||||PM PQ 的最小值为 A ．35 B ．45C ．4D ．4第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.14．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+<<-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是____．15.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.16．已知数列{}n a 满足*123...2(n n a a a a n a n N ++++=-∈)， ()222n n nb a -=-,则数列{}n b 中最大项的值是__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x （万人）13981012原材料y （袋）3223182428（I ）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （II ）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）关系为()()40020,036380,36t t t N C t t t N ⎧-<<∈⎪=⎨≤∈⎪⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）..参考公式：()()()^1111212nniii ii i nnii i ix x yy x yb x x xnxy nx====--==---∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=.参考数据：511343i ii x y==∑，521558ii x==∑，5213237i i y ==∑.18．(12分)如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===． （I ）证明：AE ⊥平面ECD ．（II ）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值．19．（12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2)cos 2BA C +=. （Ⅰ）求sinB ；（Ⅱ）若ABC 的周长为8，求ABC 的面积的取值范围.20．（12分）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，且,CA CB 所在直线的斜率之积等于34-，记顶点C 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求顶点C 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线Γ交于,M N 两点，点P 在曲线Γ上，且O 为PMN ∆的重心（O 为坐标原点），求证：PMN ∆的面积为定值，并求出该定值.21．（12分）已知a 为常数，a R ∈，函数2()ln f x x ax x =+-，()x g x e =（其中e 是自然对数的底数）.（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线，设切点为00(,)P x y ，求证：01x =； （Ⅱ）令()()()f x F xg x =，若函数()F x 在区间(0,1]上是单调函数，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=.（Ⅰ）写出曲线1C 的极坐标方程，并求出曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程；（Ⅱ）若射线02πθφφ=<<（）与曲线1C 交于,O A 两点，与曲线2C 交于,O B 点，且||2AB =，求tan φ的值.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()2f x x =.（Ⅰ）求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若正数a ，b ，c 满足14923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c++的最小值.文科数学参考答案1．C 2．D3．C4．B5．B6．D7．D8．D9.B 10．B 11．A12．B13．614．(,3]-∞15．-316．81 17．解：(1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==， 515222151343510.425 2.5558510.45ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41ˆˆa y bx =-=-⨯=-， 则y 关于x 的线性回归方程为 2.51ˆˆyx =-. (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,t t t NC t t t N -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+，当35t =时，max 300352010480L =⨯-=； 当36t ≥时，利润70036.5380L t =⨯+，当36t =时，max 70036.53803611870L =⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. 18.（1）证明：因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，则1AA CD ⊥ .又CD AD ⊥，1AA AD A =，所以CD ⊥平面11AA D D ，所以CD AE ⊥.因为1AA AD ⊥，1AA AD =，所以11AA D D 是正方形，所以AE ED ⊥. 又CDED D =，所以AE ⊥平面ECD .（2）由等体积法求解点1A 到平面AEC 的距离最后求解得直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为9. 19．（1）23sin()cos 2B AC +=且sin()sin A C B +=22sin cos cos 222B B B B ==，又022B π<<，sin0cos 222B B B ∴>=tan sin 2263B B B B ππ∴==∴=∴=（2）由题意知：8()b a c =-+2226416()21cos 222a c b a c ac B ac ac +--++-∴===36416()64ac a c ∴=-++≥-+，36408)0ac ∴-≥∴≥83≤8≥（舍）649ac ∴≤1sin 2ABC S ac B ∆∴==≤a c =时取“=”）综上，ABC 的面积的取值范围为0,9⎛ ⎝⎦20．解：（Ⅰ）设(),C x y ，因为点A 的坐标为()2,0-，所以直线AC 的斜率为()22AC yk x x =≠-+ 同理，直线BC 的斜率为()22BC y k x x =≠-由题设条件可得，()32224y y x x x ⋅=-≠±+-. 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：()221243x y x +=≠±.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，因为O 为PMN ∆的重心，所以0OP MO NO ++=，所以1230x x x ++=，1230y y y ++=，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=，()()()2222264443412484320k m k m k m ∆=-+-=+-> 122843kmx x k -+=+，()121226243m y y k x x m k +=++=+，32843km x k =+，32643m y k =-+，∴2286,4343km m P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，又点P 在椭圆上，所以()()2222222161214343k m m k k +=++，∴22443m k =+，因为O 为PMN ∆的重心，所以PMN ∆是OMN ∆的3倍，21MN x =-=，原点O 到直线MN的距离为d =12OMNS MN d ∆=⋅=32==.所以932PMN OMNS S ∆∆==，所以，PMN ∆的面积为定值，该定值为92. 21解：（1）()1'2f x x a x=+-（0x >）， 所以切线的斜率2000000ln 12x ax x k x a x x +-=+-=，整理得200ln 10x x +-=，显然，01x =是这个方程的解，又因为2ln 1y x x =+-在()0,+∞上是增函数，所以方程2ln 10x x +-=有唯一实数解，故01x =．（2）()()()2ln xf x x ax x F xg x e +-==，()()212ln 'xx a x a x x F x e -+-+-+=， 设()()212ln h x x a x a x x =-+-+-+，则()211'22h x x a x x=-+++-，易知()'h x 在(]0,1上是减函数，从而()()''12h x h a ≥=-．①当20a -≥，即2a ≤时， ()'0h x ≥，()h x 在区间()0,1上是增函数， ∵()10h =，∴()0h x ≤在(]0,1上恒成立，即()'0F x ≤在(]0,1上恒成立． ∴()F x 在区间(]0,1上是减函数，所以2a ≤满足题意．②当20a -<，即2a >时，设函数()'h x 的唯一零点为0x ，则()h x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减，又∵()10h =，∴()00h x >，又∵()()22ln 0aaa a a h eea e a e e ----=-+-+-+<，∴()h x 在()0,1内有唯一一个零点'x ，当()0,'x x ∈时，()0h x <，当()',1x x ∈时，()0h x >. 从而()F x 在()0,'x 递减，在()',1x 递增，与在区间(]0,1上是单调函数矛盾. ∴2a >不合题意．综上①②得，2a ≤．22．解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为2211x y -+=（），将极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ρθρθ==代入2211x y -+=（），可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=.联立ρθ=与2cos ρθ=，得tan θ= ∴曲线1C 与2C 公共弦所在直线的极坐标方程6R πθρ=∈（）,（或6πθ=和76θπ=）（2）把0θφφπ=<<（），代入ρθ=，2cos ρθ=，得||2cos OA φ=；||OB φ=又||2AB =，则2cos φφ-=2，可得1sin62663ππππφφ-=-∈-（），（，）所以3πφ=，tan φ=23．解：（1）化简得()221f x x x =-->.①当0x ≤时，()()222f x x x x =---=+，由()1f x >，即21x +>，解得1x >-，又0x ≤，所以10x -<≤；②当02x <<时，()23f x x =-，由()1f x >，即231x ->， 解得13x <，又02x <<，所以103x <<；③当2x ≥时，()2f x x =--不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由于111221333f ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，故149233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭，- 11 - ∴()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭， ∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963.。