量子力学教程Ch7
量子力学-第二版-周世勋PPT课件
QQuuaannttuumm mmeecchhaanniissmm
宝鸡文理学院物理与信息技术系
1
《量子力学》教材与参考书
教材
《量子力学教程》周世勋编，高等教育出版社
参考书及学习网站
1.《 量 子 力 学 教 程 》 曾 谨 言 著 ， （ 科 学 出 版 社,2003年第一版，普通高等教育十五国家级规划教 材）
一个开有小孔的封闭空腔 可看作是黑体。
波
3.的思想。
4.2.海森堡的矩阵力学：
5.在批判旧量子论的基础之上建立起来
6.3.狄拉克表述：
7.更为普遍的形式 10
§1.1经典物理学的困难
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
一.经典物理学的成功
十九世纪末期，物理学理论在当时看来己发展到相 当完善的阶段，其各个分支已经建立起系统的理论：
第六章 散射
Ch6. The general theory of scattering
第七章 自旋与全同粒子
Ch7. Spin and identity of particles
第一章 绪论
The birth of quantum mechanism
基本内容
Chap.1.绪论 The birth of quantum mechanism
1.1 经典物理学的困难
The difficult in classical physics
1.2 光的波粒二象性
The duality of light between wave and particle
1.3 微粒的波粒二象性
The duality of small particles between wave and particle
大学物理教程 ch17-2
E
激发态E不稳定
t 0, E , E不确定 t
能级宽度: E
E0
Im
Im 2
E E0 跃迁，辐射谱线宽度
(E
E ) 2
E0
(E
E ) 2
E0
h
h
应用举例：J / 粒子的发现
1966— 1974年，丁肇中与里特克实验小组，分别在美国布鲁克 海文国立实验室和斯坦福直线加速器中心，用不同方法独立发现 同一种静质量很大的新粒子(判据：m=E/c2，△t =? ),用能量不确 定关系确定寿命：能量不确定度为 0.063MeV。
2）认为客体与仪器的相互作用服从因果决定论，可以估 算和控制干扰，修正测量值。
微观世界：不能不计及测量行为产生的干扰。
1）以“量子化”取代连续性，作用量子 h 的存在规 定了干扰的范围，无法超越。
2）以概率性描述取代“决定论”，使对测量的干扰 不可控制，不可预测，不能校正。
不同的实验装置决定了不同的可测量，显示出客体某 些方面的特性而抑制其它方面的特性
电子衍射 I |Ψ |2
IN
I大:电子到达该处概率大
I小：电子到达该处概率小 I＝0:电子到达该处概率为零 各电子起点、终点、路 径均不确定
用|Ψ |2 对屏上电子数分布
作概率性描述
一般情况：
t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 dN N |Ψ |2 dV
|Ψ ( x, y, z, t ) |2 Ψ Ψ * dN
仅在“课堂”条件下观察，不可能了解某同学在运动方面的特长。
犹如“瞎子摸象”，我们得出的各种结论不是互相排斥、 对立的，而是互相补充协调的，共同揭示客体的属性。
微观客体的本来面目究竟如何？已超出经验范围，用经 典概念和语言来描述只能是互补性的，不确定关系就是 对互补原理的数学表述。
量子力学基础教程答案
量子力学基础教程答案【篇一：量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?31 ??d??d?， h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5，hc?e?kt?1 d?hc令x?，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2．在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt，求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解：? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t，玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1，求动能的量子化间隔?e，并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解：（1）方法1：谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?e,b?，相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???，动量为p??q??a??cos??t???，则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?，n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
北大《量子力学》chpt7
第七章自旋第七章目录§7.1 电子自旋存在的实验事实 (2)（1）Stern-Gerlach 实验（1922年） ........... 2 （2）电子自旋存在的其他证据 .. (3)§7.2 自旋－微观客体的一个动力学变量 (3)（1）电子的自旋算符和它的矩阵表示 ........... 3 （2）考虑自旋后，状态和力学量的描述 ......... 7 （3）考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程10§7.3 碱金属的双线结构 (10)（1）总角动量 .............................. 11 （2）碱金属的双线结构 . (15)§7.4 两自旋为1/2的粒子的自旋波函数 (16)(1) )S ,S (z z 21表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数 16(2) )S ˆ,S ˆ(z2表象中两自旋为21/的粒子的自旋波函数16 (3) Bell 基 (17)§7.5 Einstein -Podolsky-Rosen 佯谬和Bell 不等式 18(1) Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 ........... 18 (2) Bell Inqualities (18)§7.6 全同粒子交换不变性－波函数具有确定的置换对称性 21(1)交换不变性 .............................. 22 (2)全同粒子的波函数结构，泡利原理 .......... 23 (3)全同粒子的交换不变性的后果 .. (26)第七章 自旋在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它。
但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 101-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
量子力学教程习题答案周世勋
解：
= 1
= 0
*
= 0
同理可证其它的正交归一关系。
*
1
综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即
2
独态：
*
三重态：
单击添加文本具体内容简明扼要地阐述你的观点
单击此处添加副标题
*
解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程
*
*
两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为
式中
02
为归一化因子，即
03
求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
01
解：
02
*
第五章 微扰理论
*
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《量子力学教程》 习题解答
单击此处添加副标题
《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其中第六章为选学内容。 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
*
01
第一章 绪论
第七章 自旋和全同粒子
03
第三章 力学量的算符表示
单击此处添加正文
05
第五章 微扰理论
单击此处添加正文
02
第二章 波函数和薛定谔方程
单击此处添加正文
04
第四章 态和力学量的表象
单击此处添加正文
量子力学教程量子力学教程
归一化条件表示为
d3 r (r, sz ) 2
sz /2
d3
r(
(r,
/
2),
(r
,
/
2))
(r, / (r,
2) / 2)
d3 r[ r, / 2 2 r, / 2 2 ]
（2）
d3 r 1
（12）
并且
2 x
2 y
2 z
I
（单位算符）
（13）
可以证明 的三个分量反对易
x y y x 0 y z z y 0 z x x z 0
（14）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
式（11）和（14）联立得
)
1
（6）
a 与β构成电子自选态空间的一组正交完备基.一
般自旋态可以展开为
sz
a b
aa
b
波函数表示为
（7）
(r, sz ) r, / 2a r, / 2 （8）
8.1 电子自旋态与自旋算符
量量子子力力学学教程教程(第二版)
பைடு நூலகம்
x
y
y x
i z
y z z y i x
z x x z i y
式（15）与（13）归纳为
（15）
a a i a
（16）
上式与 概括了Pauli 算符的全部代数性质.
量子力学教程第七讲
可见，库仑场中的粒子处在束缚态时，其能量为分 立值，即能量是量子化的
方程（15）在 0 r 内的有限解
f
()
b0
(2l
1)!(n l
(l n)!2
1)!
l
1
L2l 1 nl
(
)
（19）
其中，b0为一任意常数，L2nll1() 称为缔合拉盖尔多项式
9
3.3 电子在库仑场中的运动（续7） The variables in Quantum mechanics
Rnl
()
N nl e
1 2
l
L2l 1 nl
(
)
（20）
角量子数 l 0,1,2, , n 1
10
3.3 电子在库仑场中的运动（续8） The variables in Quantum mechanics
8 E
2
r
2z n
es2
2
r
2z na0
r
式中a
0
h2
e
2 s
为玻尔半径
(a 0 ~ 5.291011m)
100(r,,) R10(r )y00(, )
1
z
a
0
3
2
e
zr 1a0
200(r , , )
R20(r )y00(, )
4
1
2
z
a
0
3
2
2
zr a0
e
zr 2a0
3
210 r,, R21 rY10 ,
3
4
z 2a0
2
zr a0 3
zr
e 2a0
cos
3
《量子力学教程》_课后答案
(n 1, 2, 3,)
∴ 2 ( x) A sin
n x a
由归一化条件
得
( x) dx 1
2
A2
a
2 sin
0
n xdx 1 a
由
a
b
sin
m n a x sin xdx mn a a 2
14
A
2 a 2 n sin x a a
2 ( x)
23
2
23
T 100 K 时， E 1.381021 J 。
7
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 h ec 2 ，其中 e 为电子的静止质量，而
c h ，所以 ，即有 ec
A2 2 T A2 2T pdq A 0 cos t dt 2 0 (1 cost )dt 2 nh ， n 0,1,2,
2 2 T 2
A2 2 nh E nh ， n 0,1,2, 2 T
6
v 2 v （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 evB ，得 R eB R
其解为
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n ka 0 ka n
max
0 h 6.626 1034 c 0.024A （电子的康普顿波长）。 31 8 e c 9.1 10 3 10
量子力学教程共45页
辐射热平衡状态: 处于某一温度T下的腔壁，单位面积所发射 出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡 状态。
实验发现：
热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线无关。
物理与光电工程学工程学院
能 量 密 度
0
5
10
(104 cm)
物理与光电工程学工程学院
内容
No Image
第一节 经典物理学的困难 第二节 光的波粒二象性 第三节 原子结构的波尔理论 第四节 微光粒子的波粒二象性
物理与光电工程学工程学院
§1 经典I物m 理N 学a 的o g 困难e
(一）经典物理学的成功
19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到 相当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
——光的粒子性的进一步证实 （四）波尔（Bohr）的量子论
物理与光电工程学工程学院
No Image
（一）Planck 黑体辐射定律
究竟是什么机制使空腔的原子产生出所观察到 的黑体辐射能量分布，对此问题的研究导致了 量子物理学的诞生。
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处
(1) 应用牛顿方程成功的讨论了从天体到地上各种 尺度的力学客体的运动，将其用于分子运动上， 气体分子运动论，取得有益的结果。1897年汤姆 森发现了电子，这个发现表明电子的行为类似于 一个牛顿粒子。
(2) 光的波动性在1803年由杨氏衍射实验有力揭示 出来，麦克斯韦在1864年发现的光和电磁现象之 间的联系把光的波动性置于更加坚实的基础之上。
能
No
量 密
Image
度
•该式称为 Planck
辐射定律
0
Planck 线
《量子力学教程》教学大纲QuantumMechanics
课程编号：适用专业：电子科学与技术专业级学时数：学分数：执笔者：熊新强编写日期：年月一、课程性质和目地量子力学是电子科学与技术专业地一门必修专业基础主干课程.根据电子科学与技术专业地培养目标，设置量子力学地目地要求主要有：使学生了解微观世界矛盾地特殊性和微观粒子地运动规律，初步掌握量子力学地原理和基本方法，为进一步学习与钻研打下必要地基础. 个人收集整理勿做商业用途二、课程内容与考试要求第一章绪论（学时）、内容：)、经典物理学地困难)、光地波粒二象性)、原子结构地波尔理论)、微粒地波粒二象性、考核要求：)、了解量子物理学发展简史、量子力学地研究对象及其特点；)、掌握微观粒子地波粒二象性.第二章波函数和薛定谔方程（学时）、内容：)、波函数地统计解释)、态叠加原理)、薛定谔方程)、粒子流密度和粒子数守恒定律)、定态薛定谔方程)、一维无限深势阱)、线性谐振子)、势垒贯穿、考核要求：)、掌握波函数地物理意义；)、理解薛定谔方程建立地过程；)、掌握薛定谔方程地简单应用.第三章量子力学中地力学量（学时）、内容：)、表示力学量地算符)、动量算符和角动量算符)、电子在库仑场中地运动)、氢原子)、厄米算符本征函数地正交性)、算符与力学量地关系)、算符地对易关系、两力学量同时有确定值地条件、测不准关系)、力学量平均值随时间地变化、守恒定律、考核要求：)、掌握量子力学中地力学量用算符表示地基本原理；)、掌握氢原子问题地求解方法；)、掌握算符间地关系及其物理意义.第四章态和力学量地表象（学时）、内容：)、态地表象)、算符地矩阵表示)、量子力学公式地矩阵表述)、么正变换*)、狄喇克符号*)、线性谐振子与占有数表象、考核要求：)、掌握态、力学量、量子力学中公式在各种表象中地表述方式；)、掌握表象变换理论；)、了解狄拉克符号.第五章微扰理论（学时）、内容：)、非简并定态微扰理论)、简并情况下地微扰理论)、氢原子地一级斯塔克效应*)、变分法*)、氢原子基态(变分法)*)、与时间有关地微扰理论)、跃迁几率)、光地发射和吸收)、选择定则、考核要求：)、掌握定态微扰理论地基本思想和应用条件；)、了解变分法；)、了解含时微扰论及其应用.三、课程教学地基本要求、本课程以课堂讲授为主.在课堂教学中可适当补充难易适中地考研题目作为例题，开阔学生地视野，拓宽知识面.在作业和练习方面，任课教师可以有针对性地增加一定量地附加题，题地难度略高于教材上地习题，以锻炼学生解决实际问题地能力. 个人收集整理勿做商业用途、根据教育发展地趋势和教学改革地要求，在本课程地教学过程中，应逐步引入现代化教学手段. 四、考试方式：闭卷笔试时间为分钟五、试题类型：()概念题()简答题()计算题()证明题六、课程成绩评定办法：本课程考试评分采用百分制评分法.期末考试成绩占课程总成绩地，平时成绩占（其中平时作业情况占，考勤及其它占）.个人收集整理勿做商业用途七、建议教材与教学参考书：、《量子力学》教材⑴《量子力学教程》周世勋编高等教育出版社（）元书号：个人收集整理勿做商业用途⑵《量子力学教程学习辅导书》张宏宝高等教育出版社() 元书号：个人收集整理勿做商业用途、《量子力学》教学参考书《量子力学基础》，关洪编，高等教育出版社（）《量子力学》，曾谨言，科学出版社（）《研究生量子力学入学试题选解》，马涛等，福建科技出版社（）《量子力学习题精选与剖析》，钱伯初等，科学出版社（）。
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Sˆz Sˆx SˆxSˆy iSˆy
Sˆ2 Sˆx2 Sˆy2 Sˆz2
平方分量间的对易关系 [Sˆ, Sˆ2 ] 0
Sˆ Sˆ
2 2
Sˆ Sˆ
x y
Sˆx Sˆ 2 Sˆy Sˆ 2
0 0
Sˆ 2Sˆz Sˆz Sˆ 2 0
( x, y, z)
8
1.自旋算符的本征值
由于在空间任意方向上的投影只有两个取值 ，
M sz e
Sz
（SI）
M sz e
Sz
c
轨道磁矩与轨道角动量的关系：
Ml
e
2
L
（SI）
Ml
e
2c
L
（CGS） （CGS）
M l z e （SI）
Lz
2
M lz e
Lz
2c
（CGS）
自磁矩是轨道磁矩的两倍
6
§7.2 电子的自旋算符和自旋函数
1．自旋算符
符 Sˆ为来了表描征述电电子子的的自自旋旋角特动性量，S引入。一个厄米算
0 i
i
0
ˆz 10 01
自旋算符矩阵
Sˆx
2
0 1
1 0
Sˆy
2
0i
i 0
Sˆz
2
10
01
18
5.自旋函数
电子既然有自旋，则其波函数就应考虑自旋量子
数
S
（构成力学量完全集合的力学量数目为4个），
而
ˆ
2 x
0
b*
b 0
0
b*
b | b |2
0
0
0 1
|
b
|2
0
0
1
16
| b |2 1
取 b 1
ˆ x
0 1
1 0
ˆy
1 2i
ˆzˆx ˆxˆ y
1 2i
1 0
0 1
0
1
1 0
1 2i
0 1
1
0
1 0
0 1
0
i
i
0
17
泡利矩阵
ˆ x
0 1
10
ˆ y
第七章
自旋与全同粒子
Spin and undistinguished similar particles
1
前言
前面的理论尚有两方面的局限:
1.未考虑粒子的自旋特征，微观粒子都有自旋特征。 2.仅考虑了单粒子体系，实际粒子体系一般是多粒 子体系。
主
电子的自旋特征
要 具有自旋特征粒子的波函数
研 究
角动量耦合
内 多粒子体系
容 实际应用
2
• 7.1 电子自旋 Electron spin
• 7.2 电子自旋算符与自旋波函数
Electron spin operator and spin wave function • 7.3 简单塞曼效应
Simple Zeeman effect • 7.6 全同粒子的性质
The characterization of similar particles • 7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理
s为自旋量子数
(s 1) 2
Sz ms
3．泡利算符
ms
为“磁”量子 数
(ms
1) 2
为了讨论问题方便，引入泡利算符 ˆ
Sˆ ˆ
2
Sˆx 2 ˆx Sˆy 2 ˆ y Sˆz 2 ˆz
10
对易关系ˆ ˆ 2iˆˆxˆyˆ yˆx
2iˆ z
ˆ yˆz ˆzˆ y 2iˆx
ˆzˆx ˆxˆz 2iˆ y
自旋算符在 S 2 、S z 表象中的矩阵形式，可根据
算符的一般理论，算符在其自身表象中为对角矩 阵，矩阵元就是其本征得到：
Sˆ2 3 4
2 1
0
0 1
ˆ 2
3
1 0
0
1
Sˆz
2
1 0
01
ˆ z
1 0
01
现在来研究 ˆ x 、ˆ y 的矩阵形式
14
由
ˆ
x
ˆ x
故有 a* a
b* c
基态氢原子在非均匀磁场中
Conclusion: 磁矩平行或反平行于外加磁场
M (Magnetic moment) parallel or anti-parallel to B (Magnetic field)
Problem：Where does the M come from?
4
乌仑贝克. 哥德斯米脱假设
The wave function of similar particle system Pauli principle
• 7.8 两个电子的波函数
The spin wave function of two electrons 3
7.1 电子自旋(Electron spin)
➢Stern-Gerlach实验
所以 Sˆx 、 Sˆy、 Sˆz 的本征值是
2
Sx 2
Sy 2
Sz 2
Sˆ
2 x
、
即
Sˆ
2 y
、
Sˆz 2
的本征值都是 2
4
2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
4
Sˆ 2 的本征值
S2
Sx2
S
2 y
S
2 z
3 2 4
若将自旋角动量本征值表示为角动量本征值的
一般形式:
9
S 2 s(s 1) 2
{ˆ , ˆ } 0
Prove
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆx
0
ˆ yˆz ˆzˆ y 0
ˆzˆx ˆxˆ y 0
ˆxˆ y
ˆ yˆx
1 2i
(ˆ yˆz
ˆzˆ y )ˆ y
1 2i
ˆ
y
(ˆ
yˆ
z
ˆzˆ y )
1 2i
ˆ yˆzˆ y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z
ˆ yˆzˆ y
0
13
4．自旋算符的矩阵表示
（1）每个电子具有自旋角动量 S ，它在空间任意方向
的取值只能有两个
Sz 2
。
（2）每个电子具有自旋磁矩 M S ，它与自旋角动量的关系是
MS
e
S
（SI）
MS
e
c
S
（CGS）
在任意 方面上
M sz
e
2
M B
（SI）
的投影
M sz
e
2c
M
B
（CGS）
5
（M B ——玻尔磁子）
回旋磁比率：
a* b*
c* d*
a c
b d
d* d （a, d 必为实数）
ˆ x
a b*
b d
15
再由 ˆzˆx ˆxˆz 0 得到
1 0 a b a b 1 0
0
1
b*
d
b*
d
0
1
a b a b 2a 0
b*
d
b*
d
0
2d
0
则 a0 d 0
ˆ x
0
b*
b0
[注意]：自旋角动量是电子内部的一种固有特性， 在经典理论中没有对应量，也不同于一般的力学量， 它不能表示为坐标和动量的函数。
S 是自旋角动量，应满足角动量算符的普遍对
易关系
7
Sˆ Sˆ i Sˆ
自旋角动量平方算符
SSˆˆxy
Sˆ y Sˆz
Sˆy Sˆx Sˆz Sˆy
iSˆz iSˆx
泡利算符平方算符
ˆ
2
ˆ
2
2 x
2 y
2 z
[ˆ
2 ,
ˆ ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ x ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ y ] 0
[ˆ
2 ,
ˆ z ] 0
11
本征值
ˆ x ˆ y ˆ z 的本征值都是 1
ˆx 2 Sˆx
Sx 2
x 1
2 x
2 y
2 z
1
ˆ 2 的本征值
2
2 x
2 y
2 z
3
12
反对易关系